Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường THPT Cẩm Xuyên năm học 20132014 môn Toán lớp 1153786

TRƯỜNG THPT CẨM XUYÊN TỔ: TOÁN TIN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2013-2014 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi:8/01/2014 MƠN TỐN LỚP 11 Câu1.(3 điểm) Giải phương trình: sin x cos x  4sinx cos x  3sin x  cos x  2cos x   Câu 2.(2 điểm) Chứng minh rằng: M  biểu thức M có nghĩa 1    với a thỏa mãn  cos 2a  cos 4a  cos6a Câu 3.(2 điểm) Cho tam giác ABC có góc A,B,C lập thành cấp số cộng với A  B  C Biết: cos A B C 3 cos cos  , tính góc tam giác ABC 2 Câu 4(2.5 điểm) Cho cấp số cộng  u  cấp số nhân  v  n n u1  v1   thõa mãn: u2  v2  u   v  Tìm S  u4  v4 Câu 5(2 điểm) Có hai hộp đựng bi, hộp A đựng viên bi xanh, viên bi đỏ; hộp B đựng viên bi xanh viên bi đỏ Bốc ngẫu nhiên viên bi hộp A bỏ vào hộp B, sau bốc ngẫu nhiên viên bi hộp B bỏ lại vào hộp A Tính xác suất để sau đổi bi xong số bi xanh hai hộp Câu 6.(2.5 điểm) Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển: T  ( x  1)9  x. x   Câu 7.(4 điểm) Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Trên cạnh AB lấy điểm M khác A B Gọi (P) mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng ( ACD ') a) Trình bày cách dựng thiết diện hình hộp mặt phẳng (P) b) Xác định vị trí M để thiết diện nói có diện tích lớn Câu 8.(2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, O giao điểm AC BD; I, J trọng tâm tam giác SAB, SBC; M trung điểm CD, K trung điểm SM Hãy trình bày cách tìm giao điểm SO mặt phẳng (IJK) -HẾT -Họ tên thí sinh: Số báo danh: DeThiMau.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN LỚP 11 Đáp án Câu Phương trình cho tương đương: Điểm 1.5đ 1,5đ Câu (3đ) 1    với x, y, z dương x y z x  y  z Câu Vì a làm biểu thức T có nghĩa nên: (2đ)  cos 2a  0,1  cos 4a  0,1  cos6a  Suy ra: 1 M     cos 2a  cos 4a  cos6a  2cos 3a  2cos3a cos a  2 2  cos a  sin a   cos3a    2   sin a  Dấu xảy khi:  2cos3a  cos a Áp dụng bđt: Dấu không đồng thời xảy Vậy: M >2 Ta có: Từ gt A, B, C CSC suy Câu (2đ)  cos cos  AC    AC  2 u  n ,AC  2 A C 1 AC AC 1 cos   cos +cos  , 2 2 AC  Gọi B  2    A  ,C  3 có cơng sai d;   có cơng bội q 0,5 1,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ,AC  u2   d  v2  2.q  Ta có:  u3   2d  v3  2.q DeThiMau.vn 0,5 Câu (2đ) q    q  2q       d  2q  d  2 Vậy: 0,5 S  16  16 0,5 Không gian mẫu: n( )  C C Trường hợp 1: Lần thứ lấy viên bi xanh, sau trả lại phải bốc viên bi xanh viên bi đỏ, số cách bốc là: C73 C70 C82 C91 Trường hợp 2: Lần thứ lấy viên bi xanh viên bi đỏ, sau 1 Câu trả lại phải bốc viên bi xanh viên bi đỏ, số cách bốc là: C7 C7 C7 C10 0.5 (2đ) Trường hợp 3: Lần thứ lấy viên bi xanh viên bi đỏ, sau trả lại viên bi đỏ, số cách bốc là: C71.C72 C60 C113 Vậy số cách bốc thõa mãn yêu cầu toán là: n( A)  C73 C70 C82 C91 + C72 C71.C71.C102 + C71.C72 C60 C113 0,5 xác suất để sau đổi bi xong số bi xanh hai hộp là: 14 17 n( A)  n ( ) k 1 i 1 0,5 T  ( x  1)9  x. x     C9k x k   x.C8i xi (2)8i S   C9k x k có số hạng chứa x tương ứng với k=6, hệ số số hạng là: 0,5 k 1 S7  C96 Câu (2.5đ) P   (2)8i C8i xi 1 có số hạng chứa x ứng với i = 5, hệ số số hạng 0,5 i 1 là: P6  (2)3 C85  8C85 Vậy hệ số số hạng chứa x khai triển T  ( x  1)9  x. x   là: 0,5 C96  8C85 0,5 DeThiMau.vn I D' R Câu 7a (2đ) Q C' F A' P D B' C S K O A M J 1,0 N E B Trong mp(ABCD), qua M vẽ đường thẳng song song với AC cắt DB, BC E, N Trong mp(BDD’B’), qua E vẽ đường thẳng song song với D’O (O=ACBD) cắt B’D’ F Trong mp(A’B’C’D’), qua F vẽ đường thẳng song song với AC cắt A’D’, D’C’ R, Q Trong mp(AA’D’D), qua R vẽ đường thẳng song song với AD’ cắt AA’ S Trong mp(CC’D’D), qua Q vẽ đường thẳng song song với CD’ cắt CC’ P Thiết diện lục giác MNPQRS Do mặt đối diên hình hộp song song nên cạnh đối lục giác thiết diên MNPQRS song song cặp cạnh song song với cạnh tam giác ACD’  Các tam giác JKI, ACD’, RQI, JMS, NKP đồng dạng MJ MA NC NK PC PK QD ' QI          MJ=NK PK=QI MN MB NB NM PC ' PQ QC ' QP Câu  Các tam giác RQI, JMS, NKP (gọi diện tích chúng S1 gọi diện tích (2đ) tam giác JKI, ACD’ S2, S) AM Đặt  k ; ta có điều kiện  k  có: AB 2 0,5 0,5 0.5 S1  JM   AM   AM     k  S1 = k2S     S  AC   DC   AB  0.5 0,5 S2  JK   JM  MK   JM MK           k  1  S2 =( k2 + 2k +1)S S  AC   AC   AC AC   Diện tích thiết diện: Std  S  3S1 3  1   3S (dấu xảy  k  ) Std  S (k  k  )  S    k     2   2    M trung điểm AB Khó vẽ hình vẽ tay!!@@ S lớn  k  Câu (2đ) Lưu ý: Mọi cách giải khác mà cho điểm tương ứng -HẾT DeThiMau.vn 0.5 DeThiMau.vn DeThiMau.vn DeThiMau.vn DeThiMau.vn DeThiMau.vn Câu 2) Số cách bốc ngẫu nhiên viên bi hộp thứ bổ vào hộp thứ hai sau bốc viên bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ là: n( )  C143 C143 Trường hợp 1: Lần thứ lấy viên bi xanh, sau trả lại phải bốc viên bi xanh viên bi đỏ, số cách bốc là: C73 C70 C82 C91 Trường hợp 2: Lần thứ lấy viên bi xanh viên bi đỏ, sau trả lại phải bốc viên bi xanh viên bi đỏ, số cách bốc là: C72 C71.C71.C102 Trường hợp 3: Lần thứ lấy viên bi xanh viên bi đỏ, sau trả lại viên bi đỏ, số cách bốc là: C71.C72 C60 C113 Vậy số cách bốc thõa mãn yêu cầu toán là: n( A)  C73 C70 C82 C91 + C72 C71.C71.C102 + C71.C72 C60 C113 Xác suất bốc yêu cầu là: sin x cos x  4sinx cos x  3sin x  cos x  2cos x   DeThiMau.vn I D' R Q C' F A' P D B' C S A J K O M N E B Trong mp(ABCD), qua M vẽ đường thẳng song song với AC cắt DB, BC E, N Trong mp(BDD’B’), qua E vẽ đường thẳng song song với D’O (O=ACBD) cắt B’D’ F Trong mp(A’B’C’D’), qua F vẽ đường thẳng song song với AC cắt A’D’, D’C’ R, Q Trong mp(AA’D’D), qua R vẽ đường thẳng song song với AD’ cắt AA’ S Trong mp(CC’D’D), qua Q vẽ đường thẳng song song với CD’ cắt CC’ P Thiết diện lục giác MNPQRS Do mặt đối diên hình hộp song song nên cạnh đối lục giác thiết diên DeThiMau.vn MNPQRS song song cặp cạnh song song với cạnh tam giác ACD’  Các tam giác JKI, ACD’, RQI, JMS, NKP đồng dạng MJ MA NC NK PC PK QD ' QI          MJ=NK PK=QI MN MB NB NM PC ' PQ QC ' QP  Các tam giác RQI, JMS, NKP (gọi diện tích chúng S1 gọi diện tích tam giác JKI, ACD’ S2, S) AM Đặt  k ; ta có điều kiện  k  có: AB 2 S1  JM   AM   AM     k  S1 = k2S     S  AC   DC   AB  2 S2  JK   JM  MK   JM MK           k  1  S2 =( k2 + 2k +1)S S  AC   AC   AC AC   Diện tích thiết diện: Std  S  3S1 3  1   3S (dấu xảy  k  ) Std  S (k  k  )  S    k     2   2   S lớn  k   M trung điểm AB S Lấy I = AMB'D' O = ACBD, D' ta có: S, O, I điểm chung mặt phẳng (SAC) (SBD) M  S, O, I thẳng hàng I D Và I trọng tâm mặt chéo SAC P O C B' A SI  SO B N Vẽ BP // B'I DN // D'I  P, N  SO   OP  ON  x y   Đặt x  SD SB ; y SD ' SB ' SB SD SP SN SO        x, y  [1; 2] (*) SB ' SD ' SI SI SI 2   1 Suy ra:    3   x y xy  x y Từ (*):  x   x  x    3 x y      xy xy x(3  x)   1   x y DeThiMau.vn x y  ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN LỚP 11 Đáp án Câu Phương trình cho tương đương: Điểm 1.5đ... cách giải khác mà cho điểm tương ứng -HẾT DeThiMau.vn 0.5 DeThiMau.vn DeThiMau.vn DeThiMau.vn DeThiMau.vn DeThiMau.vn Câu 2) Số cách bốc ngẫu nhiên viên bi hộp thứ bổ vào hộp... qua Q vẽ đường thẳng song song với CD’ cắt CC’ P Thi? ??t diện lục giác MNPQRS Do mặt đối diên hình hộp song song nên cạnh đối lục giác thi? ??t diên DeThiMau.vn MNPQRS song song cặp cạnh song song với