ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 TÀI LIỆU TOÁN THPT Mơn: TỐN NGÀY 23-02-2013 http://www.k2pi.net ĐỀ SỐ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu (2 điểm) Cho hàm số y = x −2 (C ) x +1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C ) b) Tìm (C ) điểm M mà tiếp tuyến đồ thị cắt đường tiệm cận (C ) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác I AB có bán kính đường trịn ngoại tiếp ( I giao điểm hai đường tiệm cận) bán kính đường trịn nội tiếp Câu (2 điểm) sin 2x sin x + (cos x + 1) (cos x + 2) =1 sin 2x + cos 2x + sin x + cos x + 2 x + y +1 xy =x +y b) Giải hệ phương trình : 3 = 4x y 4x y + x − x + y xy − y a) Giải phương trình : Câu (1 điểm) Tính tích phân : I= π x (7 − cos 2x) + dx cos x + Câu (1 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABC D có đáy ABC D hình thoi tâm O , O A = 2OB = 2a Cạnh SO vng góc với mặt phẳng đáy Một mặt phẳng (α) qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC , SD B ′ ,C ′ , D ′ Gọi M trung điểm AB ′ Tính thể tích khối chóp S.ABC D góc đường thẳng SM với mặt phẳng (α), biết △B ′C ′ D ′ Câu (1 điểm) Cho số thực x, y, z thuộc đoạn [1; 3] Tìm giá trị nhỏ biểu thức : T= 25 y + z 12x + 2012 x y + y z + zx PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh làm hai phần A B A Theo chương trình chuẩn Câu 6A (2 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các Ox y cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C ) : (x −2)2 +(y −3)2 = 45 Đường trịn (C ) có tâm K (−1; −3) cắt đường tròn (C ) theo dây cung song song với AC Biết diện tích tứ giác AIC K = 30 2, chu vi tam giác ABC 10 10 I tâm đường trịn (C ) Hãy tìm điểm B có hồnh độ âm b) Trong khơng gian với hệ tọa độ Đề-các Ox y z cho tam giác ABC có C (3; 2; 3) Phương trình đường cao AH : x −2 y −3 z −3 x −1 y −4 z −3 = = , phương trình đường phân giác B D : = = Tính chu vi tam giác 1 −2 −2 ABC Câu 7A (1 điểm) Giải phương trình : 2x + 4x + 3x +3x = x2 + x + B Theo chương trình nâng cao Câu 6B (2 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các Oxy cho tam giác ABC cân A , phương trình cạnh bên AC : x+y −3 = Trên tia đối tia C A lấy điểm E Phân giác góc B AC cắt B E D Đường thẳng d qua D song song với AB cắt BC F Tìm tọa độ giao điểm M AF B E biết phương trình đường thẳng AF : 2x + y − = I (−1; −3) trung điểm DF b) Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các Oxyz cho tứ diện ABC D có A(2; 0; 0), B (0; 2; 0),C (0; 0; 2), D(2; 2; 2) mặt cầu (S) : (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 16 Gọi M điểm có tọa độ nguyên nằm tứ diện Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M cắt (S) theo đường trịn có chu vi bé Câu 7B (1 điểm) Cho số phức z , z thỏa mãn : z số ảo z − z |z |2 số ảo ; z số thực z + z |z |2 số thực Tính |z |2012 + |z |2013 ———————————————–Hết—————————————————- DeThiMau.vn TỔNG HỢP LỜI GIẢI TRÊN DIỄN ĐÀN Câu Cho hàm số y = x −2 x +1 (C ) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C ) b) Tìm (C ) điểm M mà tiếp tuyến đồ thị cắt đường tiệm cận (C ) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác I AB có bán kính đường trịn ngoại tiếp kính đường tròn nội tiếp (I giao điểm hai đường tiệm cận) bán a) Lời giải (hungchng): x −2 có tập xác định: D = R\{−1} x +1 ′ * Đạo hàm y = (x + 1)2 > ∀x ∈ D , Hàm số đồng biến (−∞; −1), (−1; +∞) lim − y = +∞; x = −1 lim + y = −∞; Hàm số y = * Đồ thị x→−1 x→−1 phương trình tiệm cận dọc lim y = 1; lim y = 1; y = phương trình x→−∞ x→+∞ tiệm cận ngang * Bảng biến thiên x y′ −∞ +∞ −1 + + −4 +∞ y −3 −2 −1 −3 Tiếp tuyến điểm M x ; y ∈ (C ) có dạng ∆ : y = Giao điểm hai tiệm cận I (−1; 1) x 02 − 4x − + (x + 1)2 (x + 1)2 3x Giao điểm ∆ với tiệm cận đứng tiệm cận ngang A −1; , |x + 1| −2 b) Lời giải (hbtoanag): Khi I A = −1 −∞ I B = 2|x + 1|, AB = (x + 1)2 + (x + 1)2 x0 − B (2x + 1; 1) x0 + I A.I B.AB 4R AB p = 3AB ⇐⇒ AB.p = 30 ⇐⇒ 4pRr = I A.I B.AB ⇐⇒ pR = 12AB ⇐⇒ 5 9 + + 1) = 15 + |x + 1| + ⇐⇒ (x + 1)2 + (x 0 (x + 1)2 |x + 1| (x + 1)2 Đặt t = |x + 1| + , t ≥ 3, phương trình trở thành |x + 1| t − t + t − = 15 ⇐⇒ t − = 15 t − t − ⇐⇒ t − = 5t ⇐⇒ t = Giải phương trình |x + 1| + = ta nghiệm x = 1, x = −3, x = , x = − |x + 1| 2 5 , M , M ; −1 , M ; −3; − Vậy có bốn điểm thỏa yêu cầu toán M1 1; −1 2 Diện tích tam giác I AB S = pr = Câu 2.a Giải phương trình : Lời giải (Mai Tuấn Long): sin 2x sin x + (cos x + 1) (cos x + 2) =1 sin 2x + cos 2x + sin x + cos x + DeThiMau.vn http://www.k2pi.net 2 sin x + cos x = ĐK: cos x = − (cos x + 1)(2 − cos x)(2 cos x + 1) = ⇐⇒ (sin x − 1)2 = (2 sin x + cos x)(2 cos x + 1) π ⇐⇒ sin x = ⇐⇒ x = + k2π, (k ∈ Z)(TMĐK) π Vậy PT có nghiệm: x = + k2π, (k ∈ Z) PT ⇐⇒ Câu 2.b Giải hệ phương trình : Lời giải (nthoangcute): Đầu tiên, ta có: x + y +1 xy = x2 + y x + y x y − y = 4x y 4x y + x − 2 x + y x y − y − x y x y + x − = −x y x y − + x y(x + y) − y (−1 + x)2 − x y x y − Ta chứng minh hay cần chứng minh: x3 + y x y − y − x y x3 y + x − ≤ 2 x2 y x y − − x2 y x + y + x2 y x y − ≥ ⇐⇒ 16x y ≥ (x + y)2 Đặt s = x + y, p = x y Giả thiết có: p = s2 s +3 3s (5s + 3)(s − 1) ≥0 (s + 3)2 s (s − 1) Theo Cauchy ta có: s − 4p = ≥0 s +3 Do BĐT chứng minh HPT có nghiệm (x, y) = (0, 0); 21 , 12 BĐT cần chứng minh tương đương với: Lời giải (Lê Đình Mẫn): Phân tích ý tưởng cho tốn: Đầu tiên, ta biến đổi chút xíu P T (2) sau: P T (2) ⇐⇒ x y(x + y)(x − x y + y ) − y = 4x y (4x y + x − 1) (3) Để ý P T (3) có lượng biểu thức có chút tương đồng với P T (1) Cho nên ta thay đổi hình thức P T (1) lại xem Khi P T (1) ⇐⇒ (x + y)x y = x − x y + y Hãy quan sát mối tương đồng nhận thấy điều đặc biệt không Vậy lại không sử dụng phép nhỉ! Nhưng đừng vội Để ý P T (3) số hạng có chứa y thực phép sau để đơn giản hố lượng y Và ta có P T (3) ⇐⇒ x y (x + y)2 − y = 4x y (4x y + x − 1) (4) Đến đây, để giản ước lượng y đầu giải ta xét trường hợp Từ hệ ban đầu có + TH1: Nếu y = =⇒ x = ngược lại Do (0; 0) nghiệm hệ ban đầu + TH2: Xét x y = Lúc P T (4) ⇐⇒ (2x − 1)2 = x [(x + y)2 − 16x y ] Bây tốn quy giải hệ phương trình sau (x + y + 1)x y = x + y (1) (2x − 1)2 = x [(x + y)2 − 16x y ] http://www.k2pi.net DeThiMau.vn (5) Hệ gọn tiếp tục với phép Ta có P T (1) ⇐⇒ (x + y + 3)x y = (x + y)2 =⇒ x + y + = nên P T (1) ⇐⇒ x y = (x + y)2 , thay vào P T (5) ta x + y +3 (2x − 1)2 = x (x + y)2 − 16 (x + y)4 (x + y + 3)2 ⇐⇒ (2x − 1)2 = 3x (x + y)2 [1 − (x + y)][5(x + y) + 3] (x + y + 3)2 (6) Đến đây, nên suy nghĩ hướng giải hệ lại khơng phải đối xứng hồn 1 nên ; 2 tồn? Nhưng dễ dàng đốn hệ có nghiệm sử dụng đánh giá: (x + y)2 ≥ 4x y ∀x, y ∈ R Ta có xy = (x + y)2 (x + y)2 x + y −1 x+y ≥1 ≤ ⇐⇒ ≥ ⇐⇒ x + y < −3 x + y +3 x + y +3 Suy [1 − (x + y)][5(x + y) + 3] ≤ Do 3x (x + y)2 [1 − (x + y)][5(x + y) + 3] P T (6) ⇐⇒ (2x − 1) = = ⇐⇒ x = y = (x + y + 3) 2 1 ; 2 Tóm lại, hệ phương trình ban đầu có nghiệm (0; 0) Câu Tính tích phân : I= π x (7 − cos 2x) + dx cos x + Lời giải (Mai Tuấn Long): I= = π 2x − cos2 x + cos x + π 4x dx − 2 = 2x − 2x sin x = π dx = x d(sin x) + π π +2 π 2x(2 − cos x) dx + π d(tan x ) π dx cos x + tan2 x2 + π sin x dx + π π2 −π+2+ d(tan x2 ) tan2 x2 + Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABC D có đáy ABC D hình thoi tâm O , O A = 2OB = 2a Cạnh SO vng góc với mặt phẳng đáy Một mặt phẳng (α) qua A vuông góc với SC cắt cạnh SB, SC , SD B ′ ,C ′ , D ′ Gọi M trung điểm AB ′ Tính thể tích khối chóp S.ABC D góc đường thẳng SM với mặt phẳng (α), biết △B ′C ′ D ′ Lời giải (dan_dhv): S C′ D′ I O′ B′ C D O M B A DeThiMau.vn http://www.k2pi.net Trong (S AC ), từ A vẽ AC ′ ⊥ SC Ta có B D ⊥ AC =⇒ B D ⊥ SC =⇒ (α)//B D B D ⊥ SO Gọi O ′ giao SO AC ′ (α) giao (SB D) = B ′ D ′ //B D(B ′ ∈ SB ; D ′ ∈ SD) SB ′ SC ′ SD ′ = = =⇒ D I C ′ D ′ Gọi I điểm SC thõa mãn: B I B ′C ′ Suy ra: SB SI SD Do tam giác B ′C ′ D ′ tam giác suy Tam giác I B D tam giác cạnh B D = 2a BD Ta có: B D ⊥ OI suy OI đường cao tam giác I DB =⇒ OI = =a ′ Ta có SC ⊥ (α) =⇒ SC ⊥ (I B D) =⇒ SC ⊥ OI =⇒ AC OI Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông SOC ta có: 1 1 1 + = =⇒ = 2− 2= =⇒ SO = 2a 2 2 SO OC IO SO 3a 4a 12a 2 Diện tích đáy AC B D = 4a Thể tích khối chóp S.ABC D là: V = SO.S ABC D = Ta có: SC = SO + OC = 4a = S A = AC =⇒ △S AC ′ Suy C trung điểm SC Hay O ′ trọng tâm tam giác S AC Ta có: AC ′ = SO = 2a =⇒ AO ′ = 8a 3 3a AC ′ = 3 4a 2a B ′D ′ = B D = =⇒ B ′O = =⇒ AB ′ = 3 AO + OB ′2 = a 52 C ′ B ′2 + AC ′2 AB ′2 7a − = ′ SC = Ta có : SC ′ ⊥ (α) =⇒ g (SM ; (α)) = g (SMC ′ ) = ϕ Vậy tan ϕ = MC ′ C ′ M trung điểm tam giác C ′ B ′ A , suy C ′ M = Câu Cho số thực x, y, z thuộc đoạn [1; 3] Tìm giá trị nhỏ biểu thức : T= Lời giải (nthoangcute): Ta xét 12x + 2012 x y + y z + zx f (x) = Thì 25 y + z f ′ (x) = − 25 y + z 12x + 2012 x y + y z + zx y + z x + 503 y + 503 z 25 25 (1+z)2 g (y) ≥ g (1) = = h(z) 16 384+503z 25 (1 + z)(265 + 503z) >0 h ′ (z) = 16 (384 + 503z)2 25 h(z) ≥ h(1) = 3548 25 T≥ 3548 Lời giải (hbtoanag): Ta có T≥ http://www.k2pi.net 25(y + z)2 (y + z)2 12x + 2012x(y + z) + 2012 ≥ DeThiMau.vn 25(y + z)2 12x + 2012x(y + z) + 503(y + z)2 Xét hàm có m(x) = 12x + 2012x(y + z) + 503(y + z)2 , x ∈ [1; 3], m (x) = 24x + 2012(y + z) > 0, ∀x ∈ [1; 3] Do m(x) đồng biến [1; 3], 25t suy T (x) nghịch biến [1; 3] Suy T (x) ≥ T (3) = = f (t ), với t = y +z ∈ [2; 6] 108 + 6036t + 503t 150900t + 540t > 0, ∀t ∈ [2; 6] nên f đồng biến [2; 6], Lại có f (t ) = 108 + 6036t + 503t 25 25 f (t ) ≥ f (2) = Cuối T = x = 3; y = z = 3548 3548 ′ Lời giải (Miền cát trắng): Ta có đặt t = T≥ 25(y + z)2 12x + 2012x(y + z) + 2012 (y + z) ≥ x 25 , xét hàm số f (t ) = ············ y +z 12t + 2012t + 503 25 12 x x + 2012 + 503 (y + z)2 y +z Câu 6A.a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các Ox y cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C ) : (x − 2) + (y − 3)2 = 45 Đường trịn (C ) có tâm K (−1; −3) cắt đường tròn (C ) theo dây cung song song với AC Biết diện tích tứ giác AIC K = 30 2, chu vi tam giác ABC 10 10 I tâm đường trịn (C ) Hãy tìm điểm B có hồnh độ âm Lời giải (Lê Đình Mẫn): B A I A′ M E C N K Tâm (C ) I (2; 3) Ta có R (C ) = I K = Kiểm chứng K (−1; −3) ∈ (C ) Gọi M N = (C ) ∩ (C ) Suy M N ⊥ I K Mà AC ∥ M N =⇒ AC ⊥ I K I K AC = 30 =⇒ AC = 10 Lại có AB + BC +C A = 10 10 =⇒ B A + BC = 10 (1) Bây ta tìm tọa độ A, C Kẻ A A ′ đường kính (C ), 1 A A ′2 − AC = (6 5)2 − (4 10)2 = gọi E = I K ∩ AC Suy I E = A ′C = 2 −→ − → Suy I K = I E =⇒ E (1; 1) Phương trình đường thẳng AC qua E (1; 1) vng góc với I K có phương trình: x + 2y − = Như A, C giao điểm AC (C ), suy A(1 − 2; + 2), C (1 + 2; − 2) Do S AIC K = Cuối cùng, cần giải hệ gồm PT(1) PT (C ) ta tìm B DeThiMau.vn − 3; 12+3 http://www.k2pi.net Câu 6A.b Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các Ox y z cho tam giác ABC có C (3; 2; 3) x −2 y −3 z −3 = = , phương trình đường phân giác 1 −2 x −1 y −4 z −3 = = Tính chu vi tam giác ABC BD : −2 Phương trình đường cao AH : Lời giải (Mai Tuấn Long): − → = (1; 1; −2) véc tơ phương AH H ∈ AH =⇒ H = (2 + a; + a; − 2a) u −−→ −−→ =⇒ C H = (a − 1; 1 + a; −2a) H ∈ BC =⇒ C H u = =⇒ a = =⇒ H = (2; 3; 3) x = − t , (t ∈ R) =⇒ BC có PT: y = + t z =3 − → u = (1; −2; 1) véc tơ phương B D B = BC B D =⇒ B = (1; 4; 3) −→ → I ∈ B D =⇒ I = (1 + b; − 2b; + b) I H ⊥ B D =⇒ I H − u = =⇒ I = ( 32 ; 3; 27 ) −−−→ H1 điểm đối xứng H qua B D =⇒ I trung điểm H H1 =⇒ H1 = (1; 3; 4) =⇒ B H1 = (0; −1; 1) x = , (s ∈ R) H1 ∈ AB =⇒ AB có PT: y = − s z = 3+s A = AB ∩ AH =⇒ A = (1; 2; 5) =⇒ AB = AC = BC = 2; =⇒ C ABC = AB + AC + BC = Câu 7A Giải phương trình : Lời giải (Mai Tuấn Long): 2x + 4x + 3x PT Ta có: Nếu: +3x = x2 + x + 3 ⇐⇒ (x + 3x + 2) + (x + x + 3) 3x +3x+2 = x + x + 2x + 4x + = (x + 3x + 2) + (x + x + 3) > x + 3x + < ⇐⇒ 3x +3x+2 < =⇒ V T = (x + 3x + 2) + (x + x + 3) 3x +3x+2 < (x + 3x + 2) + (x + x + 3) < x + x + = V P Nếu: x + 3x + > ⇐⇒ 3x +3x+2 > =⇒ V T = (x + 3x + 2) + (x + x + 3) 3x +3x+2 > (x + 3x + 2) + (x + x + 3) > x + x + = V P x = −1 Nếu: x + 3x + = ⇐⇒ =⇒ V T = V P x = −2 x = −1 Vậy PT có hai nghiệm: x = −2 Câu 6B.a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các Oxy cho tam giác ABC cân A , phương trình cạnh bên AC : x + y − = Trên tia đối tia C A lấy điểm E Phân giác góc B AC cắt B E D Đường thẳng d qua D song song với AB cắt BC F Tìm tọa độ giao điểm M AF B E biết phương trình đường thẳng AF : 2x + y − = I (−1; −3) trung điểm DF Lời giải (Sv_ĐhY_013): Cho P trung điểm BC Ta có: DF AB =⇒ AM P B AM PC AF FC = =⇒ = =⇒ = =⇒ P M AC =⇒ P M EC =⇒ M B = M E MF PF MF PF MF PF Kẻ đường thẳng M P giao AB trung điểm J , cắt (d ) I ′ ta chứng minh I ′ ≡ I I ′F I ′D = =⇒ I ′ trung điểm DF JB JA Vậy P M qua trung điểm I DF Cuối M giao điểm P I AF suy M (9; −13) Dùng định lý Ta lét ((d ) song song AB ) : Câu 6B.b Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các Oxyz cho tứ diện ABC D có A(2; 0; 0), B (0; 2; 0),C (0; 0; 2), D(2; 2; 2) mặt cầu (S) : (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 16 Gọi M điểm có tọa độ nguyên nằm tứ diện Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M cắt (S) theo đường trịn có chu vi bé http://www.k2pi.net DeThiMau.vn Lời giải (Mai Tuấn Long): Mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; 3) bán kính R = Điểm M thuộc miền tứ diện có tọa độ nguyên =⇒ có nhất: M = (1; 1; 1) −−→ I M = (0; −1; −2) =⇒ I M = < R nên M nằm mặt cầu (S) Mặt phẳng (α) cắt (S) theo đường trịn có chu vi nhỏ khoảng cách từ I đến (α) −−→ lớn I M =⇒ (α) mặt phẳng qua M nhận I M véc tơ pháp tuyến Vậy (α) có PT: y + 2z − = Câu 7B Cho số phức z , z thỏa mãn : z số ảo z − z |z |2 số ảo ; z số thực z + z |z |2 số thực Tính |z |2012 + |z |2013 Lời giải (dan_dhv): Ta có z − z |z |2 số ảo ⇐⇒ z − z |z |2 = − z − z |z |2 ⇐⇒ z − z (|z |)2 = −z + z (|z |)2 ⇐⇒ z + z 1 − (|z |)2 ⇐⇒ (|z |)2 = ⇐⇒ |z | = (Do z không số ảo nên z = −z ) z + z |z |2 số thực ⇐⇒ z + z |z |2 = z + z |z |2 ⇐⇒ z + z |z |2 = z + z |z |2 ⇐⇒ z − z − |z |2 ⇐⇒ |z | = (Do z số thực Khi z = z ) Vậy P = |z |2012 + |z |2013 = DeThiMau.vn http://www.k2pi.net ... = 4a = S A = AC =⇒ △S AC ′ Suy C trung điểm SC Hay O ′ trọng tâm tam giác S AC Ta có: AC ′ = SO = 2a =⇒ AO ′ = 8a 3 3a AC ′ = 3 4a 2a B ′D ′ = B D = =⇒ B ′O = =⇒ AB ′ = 3 AO + OB ′2 = a 52... Suy M N ⊥ I K Mà AC ∥ M N =⇒ AC ⊥ I K I K AC = 30 =⇒ AC = 10 Lại có AB + BC +C A = 10 10 =⇒ B A + BC = 10 (1) Bây ta tìm t? ?a độ A, C Kẻ A A ′ đường kính (C ), 1 A A ′2 − AC = (6 5)2 − (4 10)2... cận ngang A −1; , |x + 1| −2 b) Lời giải (hbtoanag): Khi I A = −1 −∞ I B = 2|x + 1|, AB = (x + 1)2 + (x + 1)2 x0 − B (2x + 1; 1) x0 + I A. I B.AB 4R AB p = 3AB ⇐⇒ AB.p = 30 ⇐⇒ 4pRr = I A. I B.AB