50 Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 943864

Đề Số Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp (Thời gian làm 150) Câu 1: Giải phương trình 6x = + x  x2 x  1 x C©u 2: Cho hƯ phương trình: x - 3y - = x2 + y2 - 2x - 2y - = Gäi (x1; y1) vµ (x2; y2) lµ hai nghiƯm cđa hệ phương trình HÃy tìm giá trị biểu thøc M = (x1- x2)2 + (y1-y2)2 C©u 3: Tõ điểm A nằm đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB AC (B,C tiếp điểm) Gọi M điểm cung nhỏ BC đường tròn (O) (M khác B C) Tiếp tuyến M cắt AB AC E, F, đường thẳng BC cắt OE OF P Q Chứng minh tỷ số PQ không đổi M di EF chuyển cung nhỏ BC Câu 4: Tìm số x, y, z nguyên dương thoả mÃn đẳng thức 2(y+z) = x (yz-1) Câu 5: Một ngũ giác có tính chất: Tất tam giác có đỉnh đỉnh liên tiếp ngũ giác ®Ịu cã diƯn tÝch b»ng TÝnh diƯn tÝch cđa ngũ giác Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp (Thời gian làm bài: 150) Câu 1: Cho biÓu thøc (x + x  2006) (y  y  2006)  2006 H·y tÝnh tæng: S = x + y DeThiMau.vn Câu 2: Trong cặp số thực (x;y) thoả mÃn: x2 x y2  y 0 x  y 1 HÃy tìm cặp số có tổng x+2y lớn Câu 3: Tìm số nguyên dương n cho x = 2n + 2003 vµ y = 3n + 2005 số phương Câu 4: Cho hai đường tròn (C1) (C2) tiếp xúc điểm T Hai đường tròn nằm đường tròn (C3) tiếp xúc với (C3) tương ứng M N Tiếp tuyến chung T (C1) (C2) cắt (C3) P PM cắt đường tròn (C1) diểm thứ hai A MN cắt (C1) điểm thứ hai B PN cắt đường tròn (C2) điểm thứ hai D MN cắt (C2) điểm thø hai C a Chøng minh r»ng tø gi¸c ABCD tứ giác nội tiếp b Chứng minh AB, CD PT đồng quy Câu 5: Giải phương trình x2 + 3x + = (x+3) x  Sở giáo dục đào tạo Thanh hoá ***** Đề thi học sinh giỏi lớp Môn: Toán Thời gian: 150 Bµi 1: Cã sè y nµo biĨu thị dạng sau không? y 13   13   Bµi 2: Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n hƯ thøc: 1 1    Chøng minh a b c abc r»ng : Víi mäi sè nguyªn n lẻ ta có: 1 1 n n n n a b c a  bn cn Bài 3: Giải hệ phương trình: x   y     x  y   1 Bµi 4: Cho hệ phương trình hai ẩn x, y sau: DeThiMau.vn (m  1) x  my  2m   mx  y  m  Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mÃn P = xy đạt giá trị lớn Bài 5: Tìm m để phương trình (x2-1)(x+3)(x+5) = m cã nghiƯm ph©n biƯt x1, x2, 1 1 x3, x4 thoả mÃn điều kiện  1 x1 x2 x3 x4 Bµi 6: Cho Parabol (P) đồ thị hàm số y x 2 a Tìm m cho điểm C(-2; m)thuộc Parabol b Có điểm thuộc Parabol cách hai trục toạ độ Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên: x3 y3 2y2 3y = Bài 8: Cho góc vuông xOy Các điểm A B tương ứng thuộc tia Ox Oy cho OA = OB Một đường thẳng d qua A cắt đoạn OB điểm M nằm O B Từ B hạ đường vuông góc với AM H cắt đường thẳng OA I Chứng minh OI = OM tứ giác OMHN nội tiếp Gọi K hình chiếu O lên BI Chứng minh OK = KH tìm quỹ tích điểm K M di động đoạn OB Bài 9: Cho tam giác ABC có A 900 , M điểm di động cạnh BC Gọi O E hình chiếu vuông góc M AB AC Xác định vị trí M để độ dài đoạn thẳng OE ngắn -Đề thi học sinh giỏi lớp Bài I (2®) Rót gän A  2a   2a   2a  2a Với a = Bài II (6đ) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình 2x2 + 4x = 19-3y2 b) Giải hệ phương trình x3 =7x +3y y3 = 7y+3x DeThiMau.vn Bài III (3đ) Cho x,y,z số không âm x+y+z =1 Tìm giá trị lớn M = xy+yz+zx Bài IV (6đ) Cho hình thang ABCD (AD//CD,AB CD) M,N thứ tự trung điểm đường hcéo AC BD , kẻ NH AD, MH BC Gọi I giao điểm MH NH Chứng minh I cách điểm C D Bài V (3đ) Cho a,b,c >0 a+b+c = Chøng minh b+c ≥ 16abc ®Ị thi häc sinh giái - lớp môn toán -thời gian : 150 phút người đề : lê thị hương lê thị tâm Câu 1: (4 điểm) Chứng minh biểu thức sau không phục thuộc giá trị x A= x ( x  6) x  3   2( x  x  3)(2  x )  x  10 x  12 x  x  ®iỊu kiƯn x # 4; x # ; x # C©u 2: (3 điểm) giải phương trình x 48 = 4x - + x  35 C©u 3: (4 ®iĨm) Ph©n tÝch thõa sè A = x3 y3 + z3 - 3xyz Từ tìm nghiệm nguyên (x, y , z) phương trình x3 + y3 + z3 - 3xyz = x (y - z)2 + z (x - y)2 + y( z-x)2 (1) t/m ®k: max (x, y, z) < x + y + z - max (x, y, z) (2) Câu 4: (3 điểm) Tìm GTNN cđa biĨu thøc  1 x10 y10 = (  )  ( x16  y16 )  (1  x y ) y x DeThiMau.vn Câu 5: (3 điểm) cho tam gi¸c ABC cã AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành phần HÃy tính diện tích phần Câu 6: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (0) có đường chéo AC&BD vuông với H < H không trùng với tâm (0) Gọi M,N chân đường vuông góc hạ từ H xuống đường thẳng AB, BC; P&Q giao điểm đường thẳng MH & NH với đường thẳng CD; OA chứng minh đường thẳng PQ // đường thẳng AC điểm M, N, P, Q nằm (0) Đề thi học sinh giỏi Toán lớp Sở GD-ĐT hoá Bảng A TrườngTHPT Bỉm Sơn ( Đề đề nghị ) Thêi gian 150 ( Kh«ng kĨ thêi gian phát đề) Câu1 : (4 điểm) Cho biểu thức A= ( x  y )2 x xy y  x xy y x y  x y x y  1,Rút gọn biểu thức A 2, So sánh A A Câu 2: ( Điểm) 1, Giải phương trình: x2 + 4x + = 2x  2, Cho  a  vµ  b Tìm giá trị lớn giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: P= ( a  b) a3 b3 Câu 3, (6 điểm) 1, Số đo hai cạnh góc vuông tam giác vuông nghiệm phương trình bậc hai: (m-2)x2-2(m-1)x +m = HÃy xác định giá trị m để số ®o cđa ®­êng cao øng víi c¹nh hun cđa tam giác là: 2, Cho điểm A,B phân biệt đường thẳng ( ) Đường tròn (o) tiếp xúc với đường thẳng ( ) A HÃy dựng đường tròn (o) tiếp xúc với đường tròn (o) tiếp xúc với đường thẳng ( ) B DeThiMau.vn Câu 4: (5 điểm) Cho hai đường tròn (o1) (o2) cắt A B Tiếp tuyến chung gần B hai đường tròn tiếp xúc với (o1) (o2) C D Qua A kẻ đường thẳng song song với CD cắt (o1) (o2) M N Các đường thẳng BC BD cắt đường thẳng MN P Q Các đường thẳng CM DN cắt E Chứng minh rằng: 1, Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD 2, Tam giác EPQ tam giác cân Sở giáo dục đào tạo hoá đề thi học sinh giỏi lớp bảng b Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao ®Ị)  Bµi 1: Rót gän A=  22 a  22 a  a    1   víi a > vµ a 1  a  a  Bài 2: Phân tích đa thức B = x4 + 6x3 + 7x2 6x + thành nhân tử Bài 3: Tìm m để phương trình x 15 x  m  cã hai nghiÖm nghiệm bình phương nghiệm Bài 4: Xác định m để hệ sau có nghiệm (x, y) với x, y số nguyên mx  y  m   2 x  my  2m  1 2 Bµi 5: Giải phương trình x x Bài 6: Cho đường thẳng (d): y = x + 2m gọi A, B giao điểm d với Ox, Oy Xác định m để SABO Bài 7: Cho x, y, z > 0, x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức C = ( xyz)(x+y)(y+z)(z+x) Bài 8: Tính bán kính đường tròn nội tiếp ABC vuông A biết đường phân giác AD chia cạnh huyền thành đoạn thẳng có ®é dµi 10 cm vµ 20 cm Bµi 9: Cho đường tròn tâm O, tiếp tuyến đường tròn B, C c¾t ë A, DeThiMau.vn  BAC = 600, M thuéc cung nhá BC, tiÕp tuyÕn t¹i M cắt AB, AC D, E Gọi giao điểm OD, OE với BC I, K Chứng minh tứ giác IOCE nội tiếp Bài 10: Chứng minh r»ng mét tø diƯn bÊt kú tån t¹i cạnh xuất phát từ đỉnh mà cạnh nhỏ tổng hai cạnh Tài liệu: - Bài 1, 2, 5: Một số vấn đề phát triển Đại số Bài 3, : Đại số nâng cao lớp Bài : Bất đẳng thức Phan Đức Chính Bài 8, 9, 10: Một số vấn đề phát triển Hình học Sở Giáo dục Đào Tạo hoá đề thi chọn học sinh giỏi lớp THCS Môn thi : Toán ( Thời gian làm : 150 phút) Bài I (3,0 điểm): Tính giá trị biểu thức P = a Trong ®ã a lµ a  a 1  a nghiƯm dương phương trình : 4x2+ x- = Bài II ( 6,0 điểm): 1) Giả sử phương tr×nh : x2+ax+b = cã hai nghiƯm x1 , x2 phương trình :x2+cx +d = có hai nghiÖm x3 , x4 Chøng minh r»ng : 2(x1+x3) (x1+x4) (x2+x3) (x2+x4) = 2(b-d)2- (a2-c2)(b-d)+(a+c)2(b+d) 2) Chøng minh r»ng nÕu phương trình : ax4+bx3+cx2-2bx+4a=0 (a 0) có hai nghiệm x1,x2 thoả mÃn x1x2=1 5a2=2b2+ac Bài III (5,0 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AA,BB,CC đường cao H trực tâm AH BH CH 1) Chứng minh rằng:   6 HA ' 2) Cho biÕt HB ' HC ' AH  m H·y tÝnh tgB.tgC theo m A' H Bài IV (4,0 điểm): Từ điểm O tuỳ ý mặt phẳng chứa hình bình hành ABCD Ta DeThiMau.vn nối với đỉnh hình bình hành Chứng minh diện tích tam giác AOC tổng hiệu diện tích hai tam giác kề nhau,mỗi tam giác tạo hai đường thẳng OA,OB,OC,OD cạnh hình bình hành Bài V (2,0 điểm): Gọi A tập hợp số nguyên tố p cho phương trình : x2+x+1 = py có nghiệm nguyên x,y Chứng minh A tập hợp vô hạn -§Ị thi häc sinh giái lớp Môn : Toán - Năm học: 2005 - 2006 (Thời gian làm bài: 180 phút) Sở GD-ĐT Thanh Hóa Trường THPT Mai Anh Tuấn Bài 1: (2,0đ) Tính giá trị biểu thức: A= Bài 2: (5,0đ) Cho parabol(P): y= x a.Viết phương trình đường thẳng (d) di qua điểm A B thuộc (P) có hoành độ - b.Tìm điểm C cung AB (P) cho tam gi¸c ABC cã diƯn tÝch lín nhÊt Bài 3: (4,0đ) Cho tam giác ABC vuông cân B, nội tiếp đường tròn (O;R) Trên cung AC có chứa điểm B, lấy điểm D tùy ý; tia ®èi cđa tia DA lÊy ®iĨm E cho DE = DC a Chøng minh r»ng trung ®iĨm I EC điểm D thẳng hàng với điểm thứ ba cố định b.Tìm tập hợp điểm E D di động cung ABC c.Xác định vị trí D cung ABC để độ dài AE lớn nhất, tính độ dài theo R DeThiMau.vn Bài 4: (4,0 đ) Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC có đáy tam giác Điểm A cách điểm A, B, C a Chứng minh chân đường cao hạ từ đỉnh A lăng trụ trùng với tam đáy ABC b Chứng minh mặt bên BCCB lăng trụ hình chữ nhật Bài 5: (5,0 đ) a.Giải phương trình: (x - 1) (x - 3) (x - 4) (x - 6) + = b.Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2x +7xy + 6y = 60 (C¸n bé coi thi không giải thích thêm) đề thi học sinh giỏi lớp thcs Sở gd & đt Thanh hoá Môn : Toán Thời gian : 150 phút không kể thời gian Trường thpt trần phú Nga Sơn giao Bài 1: (6 điểm) 1- Giải phương trình : x + y2 = x4 + x2y2 + y4 = 13 2- Cho biÓu thøc: A = 2x- x2+ Tìm x để A đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Bài : (3 điểm) Cho Phương trình : x2 (m - 1) x + m – = 1)Chøng minh có nghiệm với V giá trị m 2)Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu DeThiMau.vn Bài 3: (3 điểm) Cho a + b + c + d = Trong ®ã a, b, c, d Є R H·y chøng minh : a2 + b2 + c2 + d2 ≥ Bµi 4: (4 điểm) Cho đường tròn nội tiếp ABC , tiÕp xóc víi c¹nh BC t¹i D Chøng minh rằng: ABC vuông A chỉ khi: AB AC = 2DB DC Bµi 5: ( điểm) Cho hình chóp SABC có SA SB SB, SA SC, SC BiÕt SA = a; SB + SC = k Đặt SB = x a)Tính thể tích hình chãp SABC theo : a, k, x b)TÝnh SB, SC ®Ĩ thĨ tÝch h×nh chãp S ABC lín nhÊt ®Ị xuất ngân hàng đề Đề thi Học sinh giỏi lớp Môn Toán Sở GD&ĐT Thanh hóa Trường thpt hËu léc o0o - o0o C©u 1: (1 ®iĨm) Rót gän biĨu thøc: A x  2 x    , víi x < x    2 x   1 C©u 2: (2 điểm) Giải phương trình sau biết phương trình có nghiƯm ®èi nhau: x4 – 4x3 + 3x2 + 8x 10 = Câu 3: (2 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biÓu thøc P = x2 + y2, biÕt r»ng: x2 + y2 xy = Câu 4: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: 7x2 + 13y2 = 1820 Câu 5: (3 điểm) Cho ABC cân nội tiếp đường tròn (O; R) có AB = AC = R a) TÝnh BC theo R? 10 DeThiMau.vn nhỏ Gọi D giao điểm AM b) Cho M điểm di động cung AC vµ BC Chøng minh r»ng AM.AD lµ h»ng sè c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp MCD di động nhỏ đường cố định M di động cung AC -HÕt Sở gd ĐT hoá đề thi học sinh giỏi lớp Môn : Toán Thời gian làm : 150 Bµi : Cho biĨu thøc A a a a a : a 1 a  a a) Tìm a để biểu thức A có nghÜa b) Rót gän A Bµi : Cho số dương x,y thoả mÃn x+y=1 Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc    B  1  1   y  x Bài : Cho phương trình x2  m( x  1)  (m tham số ) a) Chứng minh phương trình có nghiệm phân biệt với m R b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 , x2 tho¶ m·n biĨu thøc x12 x2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị Bài : Một vận động viên bắn súng đà bắn 11 viên trúng vào vòng 9,10 điểm; tổng số điểm đạt 109 điểm Hỏi vận động vieen đà bắn viên kết bắn vào vòng sao? Bài : Giải phương trình x x 1  x   x 1  Bµi : Cho parabol(P) : y= x đường thẳng (d) : y= mx 2m a) tìm m để ®­êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi (P) b)chøng minh r»ng đường thẳng (d) qua điểm cố định A (P) Bài 7: Tìm nghiệm nguyên phương trình x 13 y 1820 Bài : gi¸c Cho tam gi¸c nhän ABC, gäi AH,BI,CK đường cao tam Chứng minh 11 DeThiMau.vn S HIK   cos A  cos B  cos C S ABC Bµi 9: Cho hình vuông ABCD Gọi MNPQ tứ giác lồi có đỉnh nằm cạnh hình vuông Xác định tứ giác MNPQ cho nã cã chu vi nhá nhÊt Bµi 10 : Cho đường tròn (O;R) điểm P cố định đường tròn, vẽ cát tuyến PBC tìm quỹ tích điểm O1 đối xứng với O qua BC c¸t tuyÕn PBC quay quanh P Së gi¸o dục & đào tạo Thanh hoá thi học sinh giỏi lớp THcs Đề thức Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Bài I (1,0 điểm) Cho hai phương trình: x2 + ax + = x2 + bx + 17 = BiÕt r»ng hai phương trình có nghiệm chung a b nhỏ Tìm a b Bài II (2 điểm) Giải phương trình: Bài III (2,5 điểm) x x  x  x  5x  20 x  y  1/ Gi¶i hệ phương trình: 7 4 x y x y 2/ Tìm nghiệm nguyên phương trình: x3 + y3 + 6xy = 21 Bài IV (2,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ) tâm O M điểm cung BC không chứa điểm A Gọi M điểm đối xứng với M qua O Các đường phân giác góc B góc C tam giác ABC cắt đường thẳng AM E F 1/ Chøng minh tø gi¸c BCEF néi tiÕp đường tròn 2/ Biết đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính r Chứng minh: IB.IC = 2r.IM Bài V (2 điểm) 1/ Cho số a, b thoả mÃn điều kiện:  a  ;  b  11 a + b = 11 Tìm giá trị lớn nhÊt cđa tÝch P = a.b 2/ Trong mỈt phẳng ( P ) cho tia chung gốc ph©n biƯt Ox ; Oy ; Oz 12 DeThiMau.vn Tia Ot không thuộc (P) xOt = yOt = zOt Chứng minh Ot vuông góc với mặt phẳng (P) -Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký hai người coi thi: Số 1: Sở GD&ĐT Thanh Hoá Trường THPT Hoằng Hoá Số 2: Đề thi học sinh giỏi lớp Môn : Toán Thời gian làm : 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Bài (2 điểm) Rút gọn biểu thức : 1 1     P= 1 5 9  13 2001  2005 Bài (2 điểm) Cho ba số dương x; y; z thoả mÃn điều kiện xy + yx + xz = HÃy tính giá trị biểu thức sau : (1  y )(1  z ) (1  z )(1  x ) (1  x )(1  y ) S= x y z  x2  y2 1 z2 Bài ( điểm) Giải phương trình : 2x 13 x  6 3x  x  3x  x  2 Bµi (2 ®iĨm)  x  y  3( x y ) Giải hệ phương trình : x y Bài (2 điểm) Tìm giá trị x để đẳng thức sau ®¼ng thøc ®óng : x  18 x  28  x  24 x  45 = – x2 + 6x -5 Bµi (2 ®iÓm) 13 DeThiMau.vn Cho Parabol (P) : y = x đường thẳng (d) qua hai điểm A, B (P) có hoành độ -2 Tìm điểm M cung AB (P) tương ứng có hoành độ x [-2; 4] cho tam giác MAB có diện tích lớn Bài ( điểm) Tìm cặp số nguyên dương (x; y) cho x4 số nguyên dương x2 y 14 DeThiMau.vn Bài (2 ®iĨm): Cho ®­êng trßn (0 , R ) vµ (0 , R ) cã R > R tiếp xúc với A Đường thẳng d qua A cắt đường tròn (0 , R ) M đường tròn (0 , R ) N ( điểm M, N khác A) Tìm tập hợp trung điểm I đoạn thẳng MN đường thẳng d quay quanh điểm A Bài (2 điểm): Trong hình vuông mà độ dài cạnh có cho trước 33 điểm, điểm thẳng hàng Người ta vẽ đường tròn có bán kính , có tâm điểm đà cho Hỏi có hay không điểm số điểm nói cho chúng thuộc vào phần chung hình tròn có tâm điểm Bài 10 (2 điểm): Cho tứ diện ABCD có cặp cạnh đối nhau, mặt phẳng (BCD) dựng điểm P, Q, R cho B, C, D trung ®iĨm cđa PR; QR; QP Chøng minh r»ng AP; AQ; AR đôi vuông góc./ Đề thi học sinh giỏi lớp - Môn Toán: Thời gian: 150phút Bài 1(2 ®iĨm): Thùc hiƯn phÐp tÝnh: A  17   17  10   3  3  2 Bµi 2(2 ®iĨm): Ph©n tÝch ®a thøc ph©n tư 24x3 - 26x2 + 9x - Bài 3(2 điểm): Tìm m để phương trình: x2 - 2x - x-1 + m = có nghiệm phân biệt Bài 4(2 điểm): Tìm m để hệ sau có nghiệm: x y x y m Bài 5(2 điểm): Tìm m ®Ĩ hƯ: mx  y  2x  y  m 1 cã nghiƯm (x;y) tho¶ x2 + y2 = Bài 6(2 điểm): Cho đường (dm): y = mx - 3m + a) Vẽ đồ thị (d2) (tức m = 2) b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ O tới (dm) lớn 15 DeThiMau.vn Bài 7(2 điểm): Tìm (x;y) nguyên thoả y  x  x  11x 2x Bài 8(2 điểm): Cho điểm I, qua I kẻ đường a b thoả a  b Trªn a vỊ hai phÝa cđa I lấy điểm A, D Trên b hai phía I lấy điểm B, C Thoả IA.ID = IB.IC a) Chøng minh r»ng A, B, C, D thuéc đường tròn b) Qua D kẻ đường song song với b cắt AB kéo dài F HÃy xác định điểm E FD cho AE FI Khi ICED hình gì? Bài 9(2 điểm): Cho hình bình hành ABCD có chu vi không đổi 2p M, N AB thoả AM = MN = NB P, Q trªn DC cho DP = PQ = QC AQ cắt DN, BP A1D1 CM cắt DN, BP B1C1 Hỏi hình bình hành ABCD có đặc điểm tứ giác A1B1C1D1 có diện tích đạt giá trị lớn Bài 10(2 điểm): Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h tích 30m3 đáy đường tròn (O) (O'), AB đường kính đường tròn tâm (O), C di động đường tròn (O) S thuộc đường tròn tâm (O') a) Xác định C để diện tích ABC lớn b) Khi ABC đạt giá trị lớn HÃy tính thể tích hình chóp SABC Sở giáo dục - đào tạo hóa Đề thi học sinh giỏi lớp THCS Trường THPT bc lê viết tạo **************************** Bµi 1: a) Chøng minh r»ng: 3 1  3   9 b) Tính giá trị biểu thức E  x  x  x  x  víi x   Bµi 2: Cho a  b , a  c , b  c chøng minh r»ng b2  c2 c2  a2 a2  b2 bc ca ab      (a  b)(a  c) (b  c)(b  a ) (c  a )(c  b) b  c c  a a  b Bài 3: Cho phương trình: x 2mx 2m Tìm m để phương trình có nghiệm cho nghiệm bình phương nghiệm Bài 4: Giải phương trình: x  5 x  Bµi 5: Chøng minh nÕu a hệ sau vô nghiệm: 16 DeThiMau.vn  x  y  a   x  y  1 y   x  Gäi A vµ B giao điểm (P) (d) Tìm M trªn cung AB cđa (P) cho diƯn tÝch  Bµi 6: Cho Parabol (P) y  x đường thẳng (d): MAB lớn Bài 7: Tìm nghiệm nguyên phương trình 8x y  z  t Bµi 8: Cho tam giác ABC Phân giác AD, trung tuyến AM Lấy đối xứng trung tuyến AM qua AD cắt BC t¹i N Chøng minh: NB AB  NC AC Bài 9: Diện tích hình thang Hỏi đường chéo lớn có giá trị bé Bài 10: Cho đường tròn ( 0; R) với đường kính AB MN Tiếp tuyến với (0) A cắt BM BN M1, N1 Gọi P trung điểm AM1, Q trung điểm AN1 Đường kính AB cố định, tìm tập hợp tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ đường kính MN thay đổi Sở giáo dục & đào tạo hoá đề thi học sinh giái líp Thêi gian: 150 Bµi 1: (4 ®iÓm) Cho biÓu thøc  x 3 x  x 3 x 2 9x  P  1    :  x   2  x  x x  x  6  a Rút gọn biểu thức P b Tìm giá trị x để P = Bài 2: (5 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ, cho điểm A(-1; -2); B(-3; 4); C(2;4) a Chøng minh r»ng A, B, C kh«ng thẳng hàng b Cho Parabol (P): y = ax2 + bx + c Xác định a, b, c để (P) ®i qua c¸c ®iĨm A, B, C c Qua O kẻ đường thẳng d tiếp xúc với (P) hay không ? Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau 17 DeThiMau.vn a)  x 1  y   xy7  x  4x   x  4x  b)  Bµi 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH vẽ đường tròn tâm O đường kính AH Đường tròn cắt cạnh AB, AC D E a Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật điểm D, O, E thẳng hàng b Các tiếp tuyến đường tròn tâm O kẻ từ D E cắt cạnh BC tương ứng M N Chứng minh M, N trung điểm đoạn HB, HC c Cho AB = 8cm, AC = 9cm TÝnh diÖn tích tứ giác MDEN Bài 5: (2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 với x 1, y    2  xy x y Người đề Nguyễn Thị Tut ®Ị thi häc sinh giái tØnh líp Së GD & ĐT Thanh hoá Trường THPT Quảng Xương Môn: môn toán - bảng A -năm học 2005 - 2006 (Thêi gian 150 phót, kh«ng kĨ thêi gian giao ®Ị) Bµi 1: (5 ®iĨm)    x x 1 x x        x x P 1> cho    x  1 x    a> Rót gän P b> Tìm giá trị lớn P 2>> Tìm đường thẳng y= x+ điểm có toạ độ thoà mÃn: y2 - 3y x + 2x =0 Bài 2: (5 điểm) 1> Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 + mx + n =0 T×m m, n tho· m·n hƯ 18 DeThiMau.vn  x1  x   3 x1 x 35 2> Giải phương tr×nh: x2 ( x   1)  x4 Bài 3: (5 điểm) 1> Cho đường tròn tâm O néi tiÕp h×nh thang ABCD (AB // CD) E, F tiếp điểm AB CD với đường trßn (O) a> CMR: BE DF  AE CF b> BiÕt AB = a, CD = 2a, BE = 2AE Tính diện tích ABCD 2> Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có B= 1v, cạnh bên SA vuông góc (ABC) A Gọi H, K hình chiếu vuông góc A lên SC SB Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp Bầi 4: (5 điểm) 1> Tìm a R để phương trình ẩn x sau: x  (4a  11 ) x  4a   cã nghiƯm nguyªn 2> Chøng minh r»ng: 4x y x2 y2   3 (x2  y )2 y x2 víi x, y kh¸c HÕt Sở GD & ĐT Thanh Hoá Trường THPT Quảng X­¬ng II  -Bài1 (5điểm) a Rút gọn Đề thi Học sinh giỏi lớp Môn: Toán Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) 19 DeThiMau.vn 1 P=  1 1 1 1 b Giải phương trình: x   x   5x Bài2 (5điểm) a Giải hệ phương trình x y  4z    y  z  4x    x  z  y b Tìm nghiệm nguyên: x+xy+y=9 Bài3 (5điểm) a Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= 4a 9b 16c   bca acb abc Víi a,b,c độ dài cạnh tam giác b Với a,b,c độ dài cạnh tam giác chứng minh phương trình: x2+(a+b+c)x+ab+bc+ca=0 vô nghiệm Bài (5điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn Đường cao HE Trên đoạn HE lấy điểm B cho tia CB  AH Hai trung tun AH vµ BK cđa tam giác ABC cắt I Hai trung trực AC BC cắt O a Chứng minh ABH đồng dạng với MKO b Chứng minh IO  IK  IM = 3 IA  IH  IB Ngân hàng đề thi học sinh giỏi môn Toán líp Thêi gian: 150 Tỉ To¸n, Tr­êng THPT Quảng Xương III Bài 1: 1) (2đ) Rút gọn biểu thøc: 1 1 27 a  6a   a  a  27 a  6a  3 3 (2đ) Trục thức mẫu số biÓu thøc: A    23 A  a3  a  2) Bµi 2: 20 DeThiMau.vn ... Ng­êi đề Nguyễn Thị Tuyết đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp Sở GD & ĐT Thanh hoá Trường THPT Quảng Xương Môn: môn toán - bảng A -năm học 2005 - 2006 (Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề) ... thẳng AC điểm M, N, P, Q nằm (0) Đề thi học sinh giỏi Toán lớp Sở GD-ĐT hoá Bảng A TrườngTHPT Bỉm Sơn ( Đề đề nghị ) Thời gian 150 phút ( Không kể thời gian phát đề) Câu1 : (4 điểm) Cho biÓu thøc... 2, Tam giác EPQ tam giác cân Sở giáo dục đào tạo hoá đề thi học sinh giỏi lớp bảng b Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: Rút gọn A=  22 a  22 a  a   