Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS cấp thành phố Cần ThơNăm học 20122013 môn thi: Toán43671

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP THÀNH PHỐ-NĂM HỌC 2012-2013 Khóa ngày 11/04/2013 Đề thức MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian phát đề Câu (5,0 điểm) √ √ 2m + 16m + m−2 √ Cho biểu thức P = +√ +√ −2 m+2 m−3 m−1 m+3 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị tự nhiên m để P số tự nhiên √ 2013 Tính giá trị (a3 + 15a − 25) với a = 13 − + √ 13 + Câu (5,0 điểm) Giải phương trình: √ x+5+ √ 3−x−2 √ 15 − 2x − x2 + = Tìm giá trị m để hệ phương trình sau có nghiệm: 2x2 + mx − = mx2 − x + = Câu (5,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương x, y, z thỏa 1 + + = x y z x+y ≤2 x2 + y + xy = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức T = x2 + y − xy Cho hai số x, y thỏa mãn: Câu (2,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) hai điểm A, B nằm ngồi đường trịn cho OA = 2R Tìm điểm M đường trịn để M A + 2M B đạt giá trị nhỏ Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O; R) Gọi P điểm di động cung BC không chứa A Gọi M, N hình chiếu vng góc hạ từ A xuống P B, P C Chứng minh đường thẳng M N qua điểm cố định Gọi I, D, E chân đường cao hạ từ A, B, C xuống cạnh BC, CA, AB Chứng minh chu vi tam giác IDE không đổi A, B, C thay đổi đường tròn (O; R) cho diện tích tam giác ABC ln a2 —–HẾT—– Ghi chú: Giám thị coi thi khơng giải thích thêm DeThiMau.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP THÀNH PHỐ-NĂM HỌC 2012-2013 Khóa ngày 11/04/2013 Đề thức MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm có 03 trang.) CÂU NỘI DUNG (3,5 điểm) a) Điều kiện: m ≥ 0, m = √ m+1 P =√ m−1 b) P = + √ m−1 1(5,0đ) Để P ∈ N =⇒ m ∈ {4; 9} 2.(1,5 điểm) √ √ 3 a = 13 − + 13 + =⇒ a3 = 26 − 15a a3 + 15a − 25 = =⇒ (a3 + 15a − 25) (2,5 điểm) 2013 =1 Điều kiện: −5 ≤ x ≤ √ √ √ √ Đặt t = x + + − x, t2 = + 15 − 2x − x2 =⇒ t ≥ 2 t=3 Phương trình cho có dạng: t2 − t − = ⇐⇒ t = −2 (loại) √ √ t = ⇐⇒ x + + − x  =3 √ −2 + 2(5,0đ)  x= √ ⇐⇒ 4x2 + 8x − 59 = ⇐⇒  −2 − x= 2 (2,5 điểm) mx + 2y = Đặt x2 = y ≥ Hệ trở thành: −x + my = −2  m+4   x=  m2 + Hệ ln có nghiệm:  − 2m   y= ≥ (m ≤ ) m +2 2 − 2m m+4 = Ta có: x2 = y ⇐⇒ m +2 m +2 ⇐⇒ (m + 1) (m2 − m + 7) = ⇐⇒ m = −1 3(5,0đ) (3,0 điểm) ĐIỂM 0,5đ 2,0đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ Tiếp DeThiMau.vn CÂU NỘI DUNG Khơng tính tổng qt giả sử: ≤ x ≤ y ≤ z 1 =⇒ = + + ≤ =⇒ x = x y z x 1 y = (vô lý) =⇒ + = ≤ =⇒ y = =⇒ z = y z y Vậy (1; 2; 2) hoán vị chúng nghiệm phương trình cho (2,0 điểm) Hệ x+y ≤2 x2 + y + xy = x+y =2−a Do đó: x + y = − a (a ≥ 0) ⇐⇒ xy = (2 − a) − x2 + y + xy = , ∆ = S − 4P ≥ =⇒ ≤ a ≤ ĐIỂM 1,0đ 1,0đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ T = x2 + y + xy − 2xy = − 2(2 − a)2 T = x = 1, −1 √ y = √ x = −1, y =√ √ max T = x = 3, y = − x = − 3, y = 0,5đ B M′ M C O A 4(2,0đ) Gọi C điểm đoạn thẳng OA cho OC = R , ta có điểm C cố định Dễ thấy ∆OCM đồng dạng ∆OM A =⇒ M A = 2M C Ta có M A + M B ≥ BC (khơng đổi) M A + 2M B = 2(M B + M C) ≥ 2BC Dấu “=” xảy M nằm B C Vậy điểm M giao điểm đoạn BC đường trịn (O) M A+2M B đạt giá trị nhỏ 5(3,0đ) (2,0 điểm) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Tiếp DeThiMau.vn CÂU NỘI DUNG ĐIỂM A D E O C M I B N A′ P Kẻ AI ⊥ BC, I ∈ BC cố định Ta có BM A = BIA = 90◦ nên tứ giác AM BI nội tiếp hay AIM = ABM Ta lại có tứ giác ABP C nội tiếp nên ABM = ACP Do AIM = ACP (1) Mặt khác AIC = AN C = 90◦ nên tứ giác AIN C nội tiếp, suy ACP + AIN = 180◦ (2) Từ (1) (2) suy AIM + AIN = 180◦ Vậy đường thẳng M N qua điểm cố định I (1,0 điểm) 1,0đ Tứ giác BCDE nội tiếp suy AED = ACB Kéo dài AO cắt (O; R) điểm A′ Ta có: EAO + AED = BAA′ + ACB = 90◦ 1 =⇒ AO ⊥ DE =⇒ SAEOD = AO.DE = R.DE 2 1 Tương tự ta có: SBEOI = R.EI, SCDOI = R.ID 2 Vậy: SABC = SAEOD + SBIOE + SCDOI = R.(DE + EI + ID) 2a2 2SABC = (không đổi) =⇒ DE + EI + ID = R R 0,5đ —–HẾT—– Ghi chú: • Mọi cách giải khác đáp án cho điểm tối đa DeThiMau.vn 0,5đ 0,5đ 0,5đ ... ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP THÀNH PHỐ-NĂM HỌC 2012-2013 Khóa ngày 11/04/2013 Đề thức MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian phát đề HƯỚNG... (loại) √ √ t = ⇐⇒ x + + − x  =3 √ −2 + 2(5,0đ)  x= √ ⇐⇒ 4x2 + 8x − 59 = ⇐⇒  −2 − x= 2 (2,5 điểm) mx + 2y = Đặt x2 = y ≥ Hệ trở thành: −x + my = −2  m+4   x=  m2 + Hệ ln có nghiệm:  − 2m ... nhỏ 5(3,0đ) (2,0 điểm) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Tiếp DeThiMau.vn CÂU NỘI DUNG ĐIỂM A D E O C M I B N A′ P Kẻ AI ⊥ BC, I ∈ BC cố định Ta có BM A = BIA = 90 ◦ nên tứ giác AM BI nội tiếp hay AIM = ABM Ta