PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THẠCH HÀ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2014 - 2015 Mơn thi: TỐN - LỚP Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 29/ 10 / 2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài a) Rút gọn biểu thức sau: A = b) So sánh 3- 2- 20152 20142 3+ + 3+ 2 2+ - 2 2.2014 20152 20142 2 x y xy Bài a) Tìm hai số x, y thỏa mãn 3 x y x y b) Tìm ba số ngun tố cho tích chúng năm lần tổng chúng Bài a) Giải phương trình: ( x 2014) 2014 ( x 2015) 2016 b) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức: M x 10 x Bài Cho tam giác ABC, đường thẳng song song với cạnh BC cắt cạnh AB D cắt AC E (D A) P điểm cạnh BC a) Chứng minh SPBD PB.DB SABC AB.BC b) Chứng minh diện tích PDE khơng lớn diện tích ABC c) Đường thẳng DE vị trí diện tích PDE đạt giá trị lớn Bài Cho x, y thỏa mãn ( x 2014 x )( y 2014 y ) 2014 2015 y 2015 Tính giá trị biểu thức S x -HẾT -Họ tên thí sinh: Số báo danh: Lưu ý: Học sinh khơng dùng máy tính ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015 Mơn : TỐN - LỚP Nội dung Bài a) 3- A= = Bài 2- 3+2 2( - 3) 4- + + = 2( - 3) + - 1+ = 24 =- - + 3+ 2+ 3- 2 2( + 3) 4+ - 2( + 3) + 1- b) Ta có 20152 20142 ( 20152 20142 1)( 20152 20142 1) 20152 20142 (20152 1) (20142 1) 20152 20142 (2015 2014)(2015 2014) 2 2 2015 2014 2015 2014 20152 20142 2015 2014 2.2014 20152 20142 20152 20142 2.2014 Vậy 20152 20142 > 2015 20142 Bài 2 2 2 x y xy x y xy x y xy Ta có 3 2 x y x y x y x y ( x y )( x +y - xy ) =2( x y ) x y xy x y =x y x y xy x y =0 y =0 b) Gọi a,b,c ba số ngun tố cần tìm ta có: abc = 5(a+b+c) Tích ba số nguyên tố abc chia hết có số Giả sử a = 5bc = 5(5+b+c) bc = 5+b+c bc -b - c + = (b-1)(c-1) = b,c số nguyên dương có vai trị nên ta có hệ: b b b b c c c c Kết luận: Ba số nguyên tố cần tìm 2, 5, a) Bài Ta có: (x 2014) 2014 (x 2015) 2016 x 2014 1007 x 2015 Kiểm tra ta thấy x = 2014 x = 2015 nghiệm phương trình ThuVienDeThi.com 1008 1 6,0đ + Nếu x > 2015 x – 2014 > nên x 2014 x 2014 x 2014 1007 x 2015 1008 1007 Chứng tỏ pt khơng có nghiệm thỏa mãn x > 2015 + Nếu x < 2014 x – 2015 < -1 nên x 2015 x 2015 x 2014 2007 x 2015 2008 1 2008 1 Chứng tỏ pt nghiệm thỏa mãn x < 2014 x 2014 1007 x 2014 x 2014 0 x 2014 + Nếu 2014 < x < 2015 thì: nên 1008 1 x 2015 x 2015 2015 x x 2015 x 2014 1007 x 2015 1008 Chứng tỏ 2014 < x < 2015 không thỏa mãn p trình Vậy, phương trình có hai nghiệm x = 2014 x = 2015 b) Tìm GTNN, GTLN biểu thức: M x 10 x Điều kiện để thức có nghĩa: ≤ x ≤ 10 Đặt N= x 10 x N2 = + ( x 2)(10 x) ≥ (vì ( x 2)(10 x) ≥0) Nên N2 ≥ đẳng thức xẩy x = x = 10 Do đó: M ≥ 3N + 10 x ≥ 3N ≥ đẳng thức xẩy x = 10 Vậy GTNN M = Áp dụng BĐT Bunhiacopky ta có: M ≤ 25( x 10 x) 10 122 Đẳng thức xẩy x = 25 Vậy GTLN M = 10 a) A 90o Ta có AH = AB sinB với B BC.AH AB.BC.sin B (1) 2 BP.BD.sin B Tương tự SBDP (2) k SABC Từ (1) (2) suy ta S PBD PB.DB S ABC AB.BC E D K B H (Có thể sử dụng hai tam giác vuông đồng dạng) Bài b) AH cắt DE K DE k BC h S DE h k k h k Ta có PDE S ABC BC h h2 Áp dụng bất đẳng thức cosy cho hai số không âm k h – k ta có h2 k (h k ) k h k h k (h k ) k h k S DE h k 1 => PDE S PDE S ABC S ABC BC h h 4 Đặt AH = h, AK = k ThuVienDeThi.com P C Dấu “=” xảy k h k k h c) S PDE lớn k S PDE h tức DE đường trung bình ABC lúc S ABC Nhận xét ( 2014 x x)( 2014 x x) 2014 ( 2014 y y )( 2014 y y ) 2014 Bài y 2014 y 2014 x x Kết hợp với giả thiết ta say ra: x 2014 x 2014 y y Cộng vế hai đẳng thức ta suy ra: x + y = - x- y hay x = - y Vật S x 2015 y 2015 x 2015 ( x ) 2015 Tổng PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THẠCH HÀ ThuVienDeThi.com ... có 20152 20142 ( 20152 20142 1)( 20152 20142 1) 20152 20142 (20152 1) (20142 1) 20152 20142 (2015 2014) (2015 2014) 2 2 2015 2014 2015 2014. .. 2 2 2015 2014 2015 2014 20152 20142 2015 2014 2 .2014 20152 20142 20152 20142 2 .2014 Vậy 20152 20142 > 2015 20142 Bài 2 2 2 x y xy ... thỏa mãn x < 2014 x 2014 1007 x 2014 x 2014 0 x 2014 + Nếu 2014 < x < 2015 thì: nên 1008 1 x 2015 x 2015 2015 x x 2015 x 2014 1007 x 2015 1008