Đềthi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2015 2016 môn thi: Toán42159

ĐỀTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2015 - 2016 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Thanh oai Mơn thi : Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài I: (5,0 điểm) 1) Cho biểu thức:  x 7  x 3   A : x  2 x  2x  x    5x  10 x a) Rút gọn P b) Tìm x để A có giá trị ngun 2) Tìm số tự nhiên n để 32n 3  24n 1 chia hết cho 25 Bài II: (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: x  12 x   x  36 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  2y  2xy  3y   Bài III: (4,0 điểm) 1) Cho x, y, z dương thỏa mãn xy + yz + xz = Tìm giá trị lớn P= x  x2  y  y2  z  z2 2) Cho a, b, c dương thỏa mãn: a  b  c  abc  Tính giá trị biểu thức: B= a 1  b 1  c   b 1  c 1  a   c 1  a 1  b   abc  2015 Bài IV:(6 điểm) Cho đường tròn (O,R) từ điểm A nằm ngồi đường trịn kẻ hai tiếp tuyến AD, AE với đường tròn (D, E tiếp điểm) Đường thẳng qua O vng góc với OA cắt tia AD, AE B C 1) Chứng minh: DC = EB 2) Chứng minh: DA.DB = R2 3) Gọi K điểm cung nhỏ DE Tiếp tuyến K đường tròn (O,R) cắt AD, AE M, N Chứng minh BC2 = 4BM.CN 4) Cho OA = 2R.Tìm vị trí K để BM + CN đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ Bài V: (1 điểm) Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn x  5x   3y ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Bài I 1) a ĐKXĐ: x > 0, x    x  2 x  : x  = … x  x  2  x  22 x  1 x  x  2 x x 3 =…= = …= x 1  x  22 x  1 x  Rút gọn A  1)a  Điểm 0,25 2 x 1  Chứng minh A > x  x   x 5 Lại có A = =   x 1 2 x 1   2,0 0,5 Suy ra: < A < 2,5 x 1)b A = => =  … x = (thỏa mãn ĐK x > 0, x  ) x 1 (2điểm) x A = => =  … x = (không thỏa mãn ĐK x > 0, x  ) x 1 Kết luận… 0,5 0,5 0,25 32n 3  24n 1 = 27.32n  2.24n  25.32n  32n  24n = BS25  9n  16n  02,5 0,25 Nếu n lẻ 9n  16n Chia hết cho 25 => A chia hết cho 25 n n Nếu chẵn 9n tận 1, cịn 16n tận suy  16 n n (1điểm) tận băng => 9  16  tận =>A không chia hết cho 0,25 25 0,25 Vậy n lẻ A chia hết cho 25 ĐK: x  0,25 Bài I 2) Bài II 1) (2điểm) x  12 x   x  36  x  12 x   x  36     x  2x   x   12 x   36   x  1   x 1     x   0,5  x   x  5 x 1 Giải pt: x   x  vô nghiệm Giải pt:  x  x  ĐK  x   … x  11x  24  x = (loại) ; x = (chọn) Bài II 2) Biến đổi phương trình x2+2y2 +2xy +3y-4 =0  (x2+2xy+ y2) + y2 + 3y - = ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,25 0.5  (y + 4)(y -1) = -(x+y)2   -  y  y thuộc Z nên y   4;3;2;1;0;1 (2điểm) 0.5 0.5 KL Có cặp (x;y) thỏa mãn phương trình (4;- 4), (1;- 1),(5;-3), (1;3),(2;0), (-2;0) 0,5 Từ điều kiện xy + yz + xz = => 1+ x2 = xy + yz + xz + x2 = (x + y)( + z) 0,5 x x x 1 x x       x  y x  z 2 x  y x  z   x2 0,5 y 1 y y  z 1 z z      Tương tự ;     Bài III  y2  x  y y  z   z2  z  x z  y  0,5 1) (2điểm) Cộng vế bất đẳng thức 1 y x y z x z       P  =  x  y y  x z  y y  z x  z x  z  3 Từ diều kiện: a  b  c  abc   b  abc   c  a Tìm dấu xảy x = y = z = 0,5 c  abc   b  a; a  abc   b  c; 0,5 Xét Bài III 2)  a 1  b 1  c   a 1  b  c  bc   a a  abc  bc  a  2a abc  abc  (2điểm)  a  abc  a  abc Tương tự… Khi B = a  b  c  abc  abc  2015   2016 Kết luận… 0,5 0,5 0,5 B D O Bài IV 1) A (1,5điểm) E C Vẽ hình đến câu a + Chứng minh tứ giác DBCE hình thang cân + Chỉ BE = CD Bài IV Áp dụng hệ thức lượng váo tam giác vuông AOB đường cao OD chứng 2) minh DA.DB = R2 (1,5điểm) ThuVienDeThi.com 0,25 1,0 0,25 1,5 B D M K O A N E Bài IV 3) C ฀ 180  A ฀ ฀ Chứng minh B  C  (2,5điểm) (1) ฀ ฀ DOE 180  A ฀ Chứng minh MON   (2) 2 ฀ C ฀  MON ฀ Từ (1) (2) ta có: B Chứng minh MON đồng dạng với MBO (gg) BM BO BC BC BC2 Suy  Hay BM.NC   OC NC 2 Kết luận Áp dụng bất đẳng thức Cô si BM  CN  BM.CN  2OB Bài IV Tính OB  2R 2OB  4R ; 4) 3 (1,5điểm) 4R Kết luận: min(BM + CN) = Khi K giáo điểm AO với đường tròn Nếu y = pt trở thành x  5x    x = 2; x = Nếu y = pt trở thành x  5x    x = 1; x = 0,5 0,5 0,5 0, 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 Nếu y  9 y Bài V (1điểm) Xét x = 3k ( k  N ) VT = = 9k  15k  không chia hết cho Xét x = 3k +1 ( k  N ) VT = = 9k  9k  không chia hết cho Xét x = 3k +2 ( k  N ) VT = -= 9k  3k  không chia hết cho  khơng có số tự nhiên lớn thỏa mãn toán Kết luận (x;y) = (2;0); (3;0); (4;1); (1;1) ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 ... 0,25 Nếu y  ? ?9 y Bài V (1điểm) Xét x = 3k ( k  N ) VT = = 9k  15k  không chia hết cho Xét x = 3k +1 ( k  N ) VT = = 9k  9k  không chia hết cho Xét x = 3k +2 ( k  N ) VT = -= 9k  3k  khơng... 25.32n  32n  24n = BS25  9n  16n  02,5 0,25 Nếu n lẻ 9n  16n Chia hết cho 25 => A chia hết cho 25 n n Nếu chẵn 9n tận 1, 16n tận suy  16 n n (1điểm) tận băng => ? ?9  16  tận =>A không chia... a  2a abc  abc  (2điểm)  a  abc  a  abc Tương tự… Khi B = a  b  c  abc  abc  2015   2016 Kết luận… 0,5 0,5 0,5 B D O Bài IV 1) A (1,5điểm) E C Vẽ hình đến câu a + Chứng minh tứ