Biên soạn thực hiện: Đỗ Trung Thành – giáo viên Trường THCS Nguyễn Thái Học – Lục Yên – Yên Bái ***************************************************************************** ĐỀ THI TUYỂN VÀO THPT CHUYÊN TỈNH YÊN BÁI Năm học 2005 – 2006 Buổi thi thứ hai (Dành cho thí sinh chun Tốn) ************************ Bài (3 điểm): Cho biểu thức: A = x + x - + x - x - a) Tìm điều kiện x để biểu thức A tồn x − (x ≥ 8) b) Chứng minh rằng: A = (4 ≤ x < 8) 4 c) Tìm giá trị x để A = Bài (2 điểm): Với giá trị a hai nghiệm phương trình x2 – 8x + 4a = gấp đơi nghiệm phương trình x2 + x – 4a = Bài (2 điểm): Cho số: n – 2, n – 1, n, n + 1, n + (n ∈ Z) Chứng minh rằng: Tổng bình phương số khơng thể bình phương số ngun Bài (3 điểm): Hai đường thẳng xx’ yy’ vuông góc với A Đường trịn có tâm O di động xx’ có bán kính R khơng đổi Một đường trịn thứ hai có tâm điểm C, bán kính CA Tâm C di động yy’, đường trịn tiếp xúc ngồi với đường trịn tâm O T a) Chứng minh tiếp tuyến chung hai đường tròn kẻ từ T qua điểm cố định yy’ Cho OA = d, tính bán kính AC đường trịn thứ hai theo d R b) Tìm giá trị d để hai đường trịn nhau, trường hợp tính góc OCA c) Một đường trịn thứ ba đơi tiếp xúc ngồi với hai đường trịn nói Tính diện tích phần xen ba đường trịn trường hợp chúng có bán kính R ****************************************************** HƯỚNG DẪN GIẢI Bài (3 điểm): Cho biểu thức: A = x + x - + x - x - a) Tìm điều kiện x để biểu thức A tồn x − (x ≥ 8) b) Chứng minh rằng: A = (4 ≤ x < 8) 4 c) Tìm giá trị x để A = HD: a) Điều kiện để A tồn tại: x − ≥ x ≥ x + x − ≥ ⇔ ( x − + 4) ≥ ∀x ⇔ x ≥ x − x − ≥ ( x − − 4) ≥ ∀x b) Với x ≥ ⇒ A = x − + 2+ | x − − | – Nếu x − − ≥ ⇔ x ≥ : A = x − + + x − − = x − – Nếu x − − < ⇔ ≤ x − < ⇔ ≤ x < : A = x − + + − x − = c) Từ kết b) ta có: * A = với ≤ x < (1) * Với x ≥ 8: A = ⇔ x − = ⇔ x = (2) ThuVienDeThi.com Biên soạn thực hiện: Đỗ Trung Thành – giáo viên Trường THCS Nguyễn Thái Học – Lục Yên – Yên Bái ***************************************************************************** Từ (1) (2) ta có: A = với giá trị ≤ x ≤ Bài (2 điểm): Với giá trị a hai nghiệm phương trình x2 – 8x + 4a = gấp đôi nghiệm phương trình x2 + x – 4a = HD: Giả sử α nghiệm phương trình x2 – x – 4a = (1) thỏa mãn điều kiện 2α α + α − 4a = (1') nghiệm phương trình x – 8x + 4a = (2) Khi đó: 4α − 16α + 4a = (2 ') Giải ta a = α thay vào phương trình (1’) ta a = a = – Nếu a = 0: (1) có hai nghiệm x1 =0, x2 = –1 (2) có hai nghiệm x1 = 0, x2 = (thỏa mãn) – Với a = 3: (1) có hai nghiệm x1 =3, x2 = –4 (2) có hai nghiệm x1 = 6, x2 = (thỏa mãn) Vậy: Với a = a = điều kiện toán thỏa mãn Bài (2 điểm): Cho số: n – 2, n – 1, n, n + 1, n + (n ∈ Z) Chứng minh rằng: Tổng bình phương số khơng thể bình phương số ngun HD: Theo ta có: A = (n – 2)2 + (n – 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = 5(n2 + 2) Vì A bình phương số nguyên: 5(n2 + 2) = (5m.k)2 = 52m.k2 (m ∈ N, m ≥ 1, k ∈ Z) Suy ra: A 25 ⇔ n2 + Xét trường hợp n = 5k, 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3, 5k + ta thấy trường hợp n2 + không chia hết cho ⇒ đpcm Bài (3 điểm): Hai đường thẳng xx’ yy’ vng góc với A Đường trịn có tâm O di động xx’ có bán kính R khơng đổi Một đường trịn thứ hai có tâm điểm C, bán kính CA Tâm C di động yy’, đường trịn tiếp xúc ngồi với đường tròn tâm O T a) Chứng minh tiếp tuyến chung hai đường tròn kẻ từ T qua điểm cố định yy’ Cho OA = d, tính bán kính AC đường trịn thứ hai theo d R b) Tìm giá trị d để hai đường tròn nhau, trường hợp tính góc OCA c) Một đường trịn thứ ba đơi tiếp xúc ngồi với hai đường trịn nói Tính diện tích phần xen ba đường trịn trường hợp chúng có bán kính R HD: a) ∆IAH = ∆OTH (c.g.c) ⇒ AI = OT = R ⇒ I cố định Theo ĐL Pitago: CA2 = OC2 – OA2 = (CA + R)2 – d2 y d2 − R 2 2 ⇔ CA = CA + 2CA.R + R – d ⇔ CA = 2R O' 2 d −R M =R⇒d=R b) Hai đường tròn ⇔ 2R C T N = 300 ; OCA = 600 Khi ∆CAO có: CO = 2R, OA = R ⇒ COA x x' O c) Khi đó, ∆COO’ tam giác có cạnh 2R Ta có: A H I 2R SCO ' O = 2R = R Các hình quạt trịn CMP, OPN, O’MN y' 2 có góc tâm 600 Có diện tích πR 2 3πR R (2 − π) = ⇒S = SCO’O – 3SqCMP = R − **************************************************************************************** ThuVienDeThi.com ...Biên soạn thực hiện: Đỗ Trung Thành – giáo viên Trường THCS Nguyễn Thái Học – Lục Yên – Yên Bái *****************************************************************************... phương trình x2 – 8x + 4a = gấp đôi nghiệm phương trình x2 + x – 4a = HD: Giả sử α nghiệm phương trình x2 – x – 4a = (1) thỏa mãn điều kiện 2α α + α − 4a = (1') nghiệm phương trình x – 8x + 4a =... ta a = α thay vào phương trình (1’) ta a = a = – Nếu a = 0: (1) có hai nghiệm x1 =0, x2 = –1 (2) có hai nghiệm x1 = 0, x2 = (thỏa mãn) – Với a = 3: (1) có hai nghiệm x1 =3, x2 = –4 (2) có hai