Bài tham luận: “Sử dụng khai triển niutơn và công thức để tính tổng hoặc chứng minh biểu thức chứa tổ hợp”39627

Giáo viên Bùi Văn Nhạn trường THPT Long Mỹ Email: phuongb6@gmail.com Cnk BÀI THAM LUẬN: “SỬ DỤNG KHAI TRIỂN NIUTƠN VÀ CƠNG THỨC ĐỂ TÍNH TỔNG HOẶC CHỨNG MINH BIỂU THỨC CHỨA TỔ HỢP” Trong tham luận muốn trình bày với quý đồng nghiệp kĩ thuật nhỏ để tính tổng chứng minh biểu thức có dạng sau (Dành cho học sinh học chương trình lớp 11) Dạng : Tính tổng sau 2011 2012 S1  C2012  2.21 C2012  3.22 C2012   2011.22010 C2012  2012.22011 C2012 2012 2013 S  12 C2013  22 C2013  32 C2013   20122 C2013  20132.C2013 21 22 23 2n n 1 2n 1 n S3  Cn  Cn  Cn   Cn  Cn n n 1 21  22  1 23  22012  2011 22013  2012 S4  C2012  C2012  C2012   C2012  C2012 2011 2012 Dạng : Chứng minh 2005  2.2C2005  3.22 C2005  4.23 C2005    2005  22004 C2005  2005 a) C2005 1 22 n  C2 n  C2 n  C2 n   C22nn 1   2  n  N *  2n 2n  ………………………………………………………………………………………………… Tơi trình bày tham luận nhằm mục đích : Thứ 1: Thường tổng chứa ký hiệu Cnk k  0, n mà STK đề thi HSG, đề thi b)   ĐH , đề thi thử ĐH mạng thường có lời giải dựa vào đạo hàm cấp 1, ; tích phân để tính mà thân học sinh lớp 11 học tổ hợp nhị thức niuton khơng thể giải Thứ 2: Học sinh học kiến thức tổ hợp nhị thức Niuton mà phải chờ đến học kiến thức đạo hàm cuối năm lớp 11 tích phân cuối HKI đầu HKII lớp 12 giải em khơng hứng thú đến kiến thức Thứ 3: Nếu em học sinh đặt câu hỏi : Các tập tính tổng phải sử dụng đạo hàm tích phân theo STK, đáp án đề thi đại học BGD đào tạo cịn có cách để tính mà khơng phải sử dụng kiến thức khơng ? Đây câu hỏi mà giúp cho thân tơi tìm hiểu thêm mãng kiến thức Với mục đích tơi giúp em giải dạng tốn thơng qua kiến thức : n n! n nk Khai triển nhị thức niuton  ax  b    Cnk  ax  b k vận dụng công thức Cnk  k ! n  k ! k 0 mà không sử dụng đạo hàm tích phân Cụ thể tơi trình bày với quý đồng nghiệp sau Dạng : Tính tổng 2011 2012  2.21 C2012  3.22 C2012   2011.22010 C2012  2012.22011 C2012 Bài Tính tổng sau : S1  1.20 C2012 2011 k 1 Nhận thấy tổng có dạng S1    1  k  1 2k C2012 Biến đổi sau k k 0 Trang DeThiMau.vn Giáo viên Bùi Văn Nhạn trường THPT Long Mỹ Email: phuongb6@gmail.com k 1   1  k  1 2k  1  k  1 2k C2012 k k 2012! 2012! k   1 2k k ! 2011  k !  k  1! 2011  k ! 2012.2011! k k  2012  1 2k C2011 k ! 2011  k ! Cho k chạy từ đến 2011 ta   1 2k k 2010 2011 S1  2012  20 C2011  21 C2011  22 C2011  23 C2011   22010 C2011  22011 C2011  Xét 1  x  2011 2011 2011  C2011  C2011 x  C2011 x  C2011 x   C2011 x 2010 2011 2011 2011  2C2011  C2011 22  C2011 23   C2011  C2011  1 Cho x  2 ta C2011 Vậy S1  2012 2012 2013 Bài Tính tổng sau S  12 C2013  22 C2013  32 C2013   20122 C2013  20132.C2013 2013 k Ta nhận thấy tổng có dạng S   k 2C2013 Biến đổi sau k 1 2013! 2013! k k k k k 2C2013   k  k  1  k  C2013  k  k  1 C2013  kC2013  k  k  1 k k ! 2013  k ! k ! 2013  k !  2013! 2013!   k  ! 2011   k   !  k  1! 2012   k  1 !  2013.2012.2011! 2013.2012!   k  ! 2011   k   !  k  1! 2012   k  1 ! k 2 k 1  2013.2012.C2011  2013.C2012 1 2013 Ta có C k 2 2013 C k 2 k 1 2012 k 2 2011 2011  C2011  C2011  C2011   C2011  22011 2012  C2012  C2012  C2012   C2012  22012  Từ (1) cho k chạy từ đến 2013 ta 2012 2013 22 C2013  32 C2013   20122 C2013  20132.C2013 2011 2012  2013.2012  C2011  C2011  C2011   C2011  C2012  C2012   C2012   2013  C2012   2013.2012.22011  2013  22012  1 Vậy S  12 C2013 S  2013.2012.22011  2013.22012  2014.2013.22011 21 22 23 2n n 1 2n 1 n Bài Tính tổng sau S3  Cn  Cn  Cn   Cn  Cn n n 1 n 1 k Ta nhận thấy tổng có dạng S3   Cnk 1 1  k  n  k 1 k Biến đổi sau Trang DeThiMau.vn Giáo viên Bùi Văn Nhạn trường THPT Long Mỹ Email: phuongb6@gmail.com n! n! 2k k 1 k  n  1! k k  2k   Cn  k 2 Cn 1   k k  k  1! n  k  1! k ! n   k ! n  k ! n   k ! n  Từ (2) cho k chạy từ đến n  ta 2Cn11  22 Cn21  23 Cn31  24 Cn41   2n 1 Cnn11   n 1 S3  20 Cn01  21 Cn11  22 Cn21  23 Cn31  24 Cn41   2n Cnn1  2n 1 Cnn11  20 Cn01   n 1 3n 1  S3  n 1 Bài Tính tổng sau 21  22  1 23  22012  2011 22013  2012 S4  C2012  C2012  C2012   C2012  C2012 2011 2012 k 1 2013 k  1   k 1 C2012 Ta nhận thấy tổng có dạng S   1  k  n  k k 1 Biến đổi sau k 1 2k   1 2012! 2013.2012! k 1 k 1 k 1  2k   1  C2012 2k   1 k k  k  1! 2013  k ! 2013 k  k  1! 2013  k ! Ta có S3          2013! k 1 k 1 k k    1 C2013 2k   1 2k C2013 k ! 2013  k ! 2013 2013 Cho k chạy từ đến 2013 ta 1 2012 2013 2012 2013 S4  21 C2013  22 C2013   22012 C2013  22013 C2013  C2013  C2013  C2013   C2013  C2013     2013 2013  1 2012 2013 21 C2013  22 C2013   22012 C2013  22013 C2013   2013 1 2012 2013 C2013  C2013  C2013  C2013   C2013  C2013  1  2013 1 2012 2013 S4  20 C2013  21 C2013  22 C2013   22012 C2013  22013 C2013  1   2013 1 2012 2013 C2013  C2013  C2013  C2013   C2013  C2013  1  2013 S4  1 32013 2013 S4    1  2013  2013 2013 Dạng : Chứng minh 2005  2.2C2005  3.22 C2005  4.23 C2005    2005  22004 C2005  2005 1 Bài Chứng minh C2005 Ta thấy vế trái (1) có dạng 2005   1 k 1 k 1 k k 2k 1 C2005 Trang DeThiMau.vn Giáo viên Bùi Văn Nhạn trường THPT Long Mỹ Email: phuongb6@gmail.com k  Xét k C2005 Vậy  1 k 1 k 2005! 2004! k 1  2005  2005C2004 k ! 2005  k !  k  1! 2004   k  1 ! k k 1 k 2k 1 C2005  2005  1 2k 1.C2004 với k = 1, …, 2005 k 1 2003 2004  21 C2004  22 C2004   22003 C2004  22004 C2004 Khi VT 1  2005  20 C2004  Ta có  x  1 2004 2004 2004  C2004  C2004 x  C2004 x  C2004 x   C2004 x 2003 2004 Chọn x  2 ta  20 C2004  21 C2004  22 C2004  23 C2004   22003 C2004  22004 C2004 Vậy VT 1  2005  VP 1 (đpcm) 1 22 n  C2 n  C2 n  C2 n   C22nn 1   2  n  N *  2n 2n  n Ta thấy vế trái (2) có dạng  C22nk 1 k 1 k  2n !  2n !  2n  1! k 1 1   C2 n  Xét 2k 2k  2k  1! 2n  2k  1!  2k ! 2n   2k ! 2n   2k ! 2n   2k ! Bài Chứng minh C22nk1 với k  1, n 2n  n 1 n 2k C2 n 1  C22n 1  C24n 1  C26n 1   C22nn1  Ta có VT     C22nk 1    2n  k 1 2n  k 1 k  Xét  x  1 n 1  C20n 1  C21n 1 x  C22n 1 x  C23n 1 x   C22nn1 x n  C22nn11 x n 1  3 Từ (3) cho x  ta C20n 1  C21n 1  C22n 1  C23n 1   C22nn1  C22nn11  22 n 1   Từ (3) cho x  1 ta C20n 1  C21n 1  C22n 1  C23n 1   C22nn1  C22nn11    Lấy     5 ta :  C20n  C22n 1  C24n 1  C26n 1   C22nn1   22 n 1  C22n 1  C24n 1  C26n 1   C22nn1  22 n  22 n  Vậy VT     VP (đpcm) 2n  Qua toán tơi muốn nhấn mạnh giúp em học sinh u thích mơn tốn đặc biệt học sinh lớp 11 học phần Tổ hợp nhị thức Niuton giải số lượng lớn tập STK đề thi đại học năm qua mà chờ đợi đến kiến thức Đạo hàm tích phân Phương pháp theo tơi tự nhiên mà khơng cần phải nhớ hình dạng STK nêu Hy vọng với tham luận nhỏ phần giúp quý đồng nghiệp giảng dạy lớp 11 có thêm cách nhìn khác dạng toán Cám ơn quý đồng nghiệp bỏ thời gian đọc tham luận Trân trọng kính chào Long Mỹ, ngày 14 tháng 01 năm 2013 Người viết tham luận Bùi Văn Nhạn Trang DeThiMau.vn Giáo viên Bùi Văn Nhạn trường THPT Long Mỹ Email: phuongb6@gmail.com CHIA SẺ THÊM VỚI QUÝ ĐỒNG NGHIỆP CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHÂN Kỉ thuật nhỏ tính tích phân phần dạng  e ax b  an x n  an 1 x n 1  an  x n   a1 x  a0 dx  a n ln n x  an 1 ln n 1 x   a1 ln x  a0 dx Sơ đồ tính  e ax b  an x n  an 1 x n 1  an  x n   a1 x  a0 dx bn  an bn   an   bn 1 n 1 a n bn 1  an 1  bn a b1  a1  b2 a b0  b1 a Dòng bn ; bn 1 ; dùng để chọn u tích phân phần Sơ đồ tính  a n ln n x  an 1 ln n 1 x   a1 ln x  a0 dx Trang DeThiMau.vn Giáo viên Bùi Văn Nhạn trường THPT Long Mỹ Email: phuongb6@gmail.com bn  an bn 1  an 1  bn n bn   an   bn 1. n  1 b1  a1  b2 b0  b1 Dịng b dùng để chọn u tích phân phần Ví dụ 1Tính I   e x  x  x  x  dx Ta có sơ đồ sau(Nháp) 3 1 2 13 13   2 Ta viết lại sau 13 13  13   3 I   e x  x  x  x   dx   e x  x  x   dx 2         Xem I1 Xem I 13 13   Tính I1   e x  x  x  x   dx 2 4  13    13 13 du   x  x   dx  u  x  x  x   2  Đặt  2  dv  e x dx v  e x   Trang DeThiMau.vn Giáo viên Bùi Văn Nhạn trường THPT Long Mỹ Email: phuongb6@gmail.com  13 13  13  3 Khi I1  e x  x  x  x     e x  x  x   dx  2 4 4 2  13 13  Vậy I  e x  x  x  x    C  2 4 Ví dụ Tính J    ln x  ln x  dx 1 1 3 Ta viết lại sau 0 5 J    ln x  3ln x  5ln x   dx    3ln x  6ln x   dx      Xem J1 Xem J Tính J1    ln x  3ln x  5ln x   dx   3ln x 6ln x      dx du u  ln x  3ln x  5ln x    Đặt   x x x  dv  dx v  x  J1  x  ln x  3ln x  5ln x      3ln x  6ln x   dx Vậy J  x  ln x  3ln x  5ln x    C Trang DeThiMau.vn ... Cho x  2 ta C2011 Vậy S1  2012 2012 2013 Bài Tính tổng sau S  12 C2013  22 C2013  32 C2013   20122 C2013  20132.C2013 2013 k Ta nhận thấy tổng có dạng S   k 2C2013 Biến đổi sau k 1... 2013.2012.22011  2013.22012  2014.2013.22011 21 22 23 2n n 1 2n 1 n Bài Tính tổng sau S3  Cn  Cn  Cn   Cn  Cn n n 1 n 1 k Ta nhận thấy tổng có dạng S3   Cnk 1 1  k  n  k 1 k Biến đổi sau... 1  S3  n 1 Bài Tính tổng sau 21  22  1 23  22012  2011 22013  2012 S4  C2012  C2012  C2012   C2012  C2012 2011 2012 k 1 2013 k  1   k 1 C2012 Ta nhận thấy tổng có dạng S