Kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi tỉnh lớp 9 – Vòng 1 năm học 2015 2016. môn: Toán39366

PHỊNG GD&ĐT HỒNG MAI KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH ĐỀ CHÍNH THỨC LỚP – VỊNG NĂM HỌC 2015-2016 Mơn: TỐN (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) -C©u (2.0 điểm) a) Giải phương trình: (x  3)(x  5)(x  6)(x  10)  24x  b) Chứng minh rằng: Nếu a, b, c thỏa mãn a  b  c  2015 ba số a, b, c phải có só 2015 1 1    a b c 2015 C©u (2.0 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x  x  b) Chứng minh với số tự nhiên n 4n  15n  chia hết cho c) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện  x  y  z  3x  2y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức: 3x  2y  z C©u (4.0 điểm) a) Cho x, y, z thỏa mãn x(x  1)  y(y  1)  z(z  1)  Chứng minh x  y  z  b) Tìm số nguyên dương n để tổng n  n  n  n  số phương C©u (1.0 điểm) Cho hình thoi ABCD với góc BAD 1200 Tia Ax tạo với tia AB góc 150 cắt BC M cắt đường thẳng CD N Chứng minh: 3   2 AM AN AB2 C©u (2.0 điểm) Cho tam giác ABC vng A, có AB=AC=a Vẽ hình chữ nhật AEMF có chu vi 2a E  AB, F  AC a) Tính góc MCF b) Từ M vẽ đường thẳng MN  EF (N  EF) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định -Hết - ThuVienDeThi.com Họ tên thí sinh:………………………………………………….SBD:…………… ĐÁP ÁN Nội dung Câu a) (x  3)(x  5)(x  6)(x  10)  24x   (x  3)(x  10) (x  5)(x  6)  24x   (x  13x  30)(x  11x  30)  24x   (x  30  12x)  x  (x  30  12x)  x   24x   (x  30  12x)2  x  24x   (x  30  12x)2  25x   (x  30  12x  5x)(x  30  12x  5x)   x  17x  30  (x  2)(x  15)  x       x  6x  30  x  (x  3)  21  (VN) 1 1 1 1 b) Từ a  b  c  2015        a b c 2015 a b c abc bc  ac  ab    (bc  ac  ab)(a  b  c)  abc abc abc  (bc  ac)(a  b)  (bc  ac)c  ab(a  b)  abc  abc  (bc  ac)(a  b)  (b  a)c  ab(a  b)   (a  b)(bc  ac  c  ab)  a  b   (a  b)(b  c)(a  c)    b  c  mà a+b+c=2015 nên ba số a, b, c phải a  c  có só 2015 a) x  x   x  x  x  x  1 x x  1 x  x  1 x x  1x  1 x  x  1  x x  1x  x  1x  1 x  x  1 x  x  1 x x  1x  1   x  x  1x  x  x  x  1 b) Xét n=0 40  15.0   0 Xét n=1 41  151   18 Giả sử toán với n=k tức 4k  15k  1 Ta chứng minh toán với n=k+1 Thật 4k 1  15(k  1)   4k.4  15k  15   4k  15k  1 4k.3  15   4k  15k  1 4k   Vậy 4n  15n  chia hết cho với số tự nhiên n c) Từ  x  y  z   y  1; z  kết hợp với 3x  2y  z   (3x  1)  2(y  1)  (z  1)  3 suy x  ; y  1;z   x  ; y2  1;z   3x  ;2y2  2;z   3x  2y2  z     Dấu “=” xả  x  ; y  1; z  (TM) Vậy ( 3x  2y  z )  10 x  ; y  1; z  3 ThuVienDeThi.com 10  3(x  y  z )  3(x  y  z)   x  y  z  nên x(x  1)  y(y  1)  z(z  1)   (x  y  z )  3(x  y  z)   2  (x  y  z )  3(x  y  z)    (x  y  z  4)(x  y  z  1)   x  y  z    x  y  z  ( x  y  z   0) a) x(x  1)  y(y  1)  z(z  1)  b) Xét n  ta có n  n  n  n   khơng số phương Xét n  ta có n  n  n  n   24  23  22    31 không số phương Xét n  ta có n  n  n  n   34  33  32    121  11 số phương Xét n  , Đặt y  n  n  n  n   (2y)  4n  4n  4n  4n  ta có 4n  4n  n  4n  4n  4n  4n   4n  4n  4n  4n   (n  3)  2n  n   (2y)  2n  n  1  khơng có giá trị y thỏa mãn 2 ( hai số phương liên tiếp khơng có số phương nào) Vậy n=3 n  n  n  n  số phương ฀ Kẻ AE  AN, AE cắt CD E  DAE  150 ABM =ADE (g.c.g)  AM=AE Kẻ AH  CD, xét AME có đường cao AH ta có N 1 1 1   hay   (1) AE AN AH AM AN AH ฀  60  DAH ฀ Xét ADH vng H có D  30 3 nên DH  AD  AH  AD  AH  AD 2 hay AH  AB2 (2) 1 Từ (1) (2) suy   hay 2 AM AN AB 3   AM AN AB2 a) Chu vi hình chữ nhật AEMF 2(AF+MF)=2a  AF+MF=a, mà AF+FC=a nên MF=FC, suy MFC vng cân F nên góc MCF 450 b) Gọi D đỉnh thứ tư hình vng ABDC nên D cố định ฀ ฀ Ta c/m DMF =EFC  MDF  CEF Từ chứng minh DM  EF Mà MN  EF nên ba điểm D, M, N thẳng hàng hay đường thẳng MN qua điểm D cố định -HÕt ThuVienDeThi.com B M 150 A C 150 H E D B D a M E N A a F C ...  1? ?? x x  1? ??x  1? ??   x  x  1? ??x  x  x  x  1? ?? b) Xét n=0 40  15 .0   0 Xét n =1 41  15 1   18  Giả sử toán với n=k tức 4k  15 k  1? ?? Ta chứng minh toán với n=k +1 Thật 4k ? ?1. .. a+b+c=2 015 nên ba số a, b, c phải a  c  có só 2 015 a) x  x   x  x  x  x  1? ?? x x  1? ?? x  x  1? ?? x x  1? ??x  1? ?? x  x  1? ??  x x  1? ??x  x  1? ??x  1? ?? x  x  1? ?? x... n=k +1 Thật 4k ? ?1  15 (k  1)   4k.4  15 k  15   4k  15 k  1? ?? 4k.3  15   4k  15 k  1? ?? 4k   Vậy 4n  15 n  chia hết cho với số tự nhiên n c) Từ  x  y  z   y  1; z  kết hợp