PHỊNG GD&ĐT HỒNG MAI KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH ĐỀ CHÍNH THỨC LỚP – VỊNG NĂM HỌC 2015-2016 Mơn: TỐN (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) -C©u (2.0 điểm) a) Giải phương trình: (x 3)(x 5)(x 6)(x 10) 24x b) Chứng minh rằng: Nếu a, b, c thỏa mãn a b c 2015 ba số a, b, c phải có só 2015 1 1 a b c 2015 C©u (2.0 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x x b) Chứng minh với số tự nhiên n 4n 15n chia hết cho c) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z 3x 2y z Tìm giá trị lớn biểu thức: 3x 2y z C©u (4.0 điểm) a) Cho x, y, z thỏa mãn x(x 1) y(y 1) z(z 1) Chứng minh x y z b) Tìm số nguyên dương n để tổng n n n n số phương C©u (1.0 điểm) Cho hình thoi ABCD với góc BAD 1200 Tia Ax tạo với tia AB góc 150 cắt BC M cắt đường thẳng CD N Chứng minh: 3 2 AM AN AB2 C©u (2.0 điểm) Cho tam giác ABC vng A, có AB=AC=a Vẽ hình chữ nhật AEMF có chu vi 2a E AB, F AC a) Tính góc MCF b) Từ M vẽ đường thẳng MN EF (N EF) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định -Hết - ThuVienDeThi.com Họ tên thí sinh:………………………………………………….SBD:…………… ĐÁP ÁN Nội dung Câu a) (x 3)(x 5)(x 6)(x 10) 24x (x 3)(x 10) (x 5)(x 6) 24x (x 13x 30)(x 11x 30) 24x (x 30 12x) x (x 30 12x) x 24x (x 30 12x)2 x 24x (x 30 12x)2 25x (x 30 12x 5x)(x 30 12x 5x) x 17x 30 (x 2)(x 15) x x 6x 30 x (x 3) 21 (VN) 1 1 1 1 b) Từ a b c 2015 a b c 2015 a b c abc bc ac ab (bc ac ab)(a b c) abc abc abc (bc ac)(a b) (bc ac)c ab(a b) abc abc (bc ac)(a b) (b a)c ab(a b) (a b)(bc ac c ab) a b (a b)(b c)(a c) b c mà a+b+c=2015 nên ba số a, b, c phải a c có só 2015 a) x x x x x x 1 x x 1 x x 1 x x 1x 1 x x 1 x x 1x x 1x 1 x x 1 x x 1 x x 1x 1 x x 1x x x x 1 b) Xét n=0 40 15.0 0 Xét n=1 41 151 18 Giả sử toán với n=k tức 4k 15k 1 Ta chứng minh toán với n=k+1 Thật 4k 1 15(k 1) 4k.4 15k 15 4k 15k 1 4k.3 15 4k 15k 1 4k Vậy 4n 15n chia hết cho với số tự nhiên n c) Từ x y z y 1; z kết hợp với 3x 2y z (3x 1) 2(y 1) (z 1) 3 suy x ; y 1;z x ; y2 1;z 3x ;2y2 2;z 3x 2y2 z Dấu “=” xả x ; y 1; z (TM) Vậy ( 3x 2y z ) 10 x ; y 1; z 3 ThuVienDeThi.com 10 3(x y z ) 3(x y z) x y z nên x(x 1) y(y 1) z(z 1) (x y z ) 3(x y z) 2 (x y z ) 3(x y z) (x y z 4)(x y z 1) x y z x y z ( x y z 0) a) x(x 1) y(y 1) z(z 1) b) Xét n ta có n n n n khơng số phương Xét n ta có n n n n 24 23 22 31 không số phương Xét n ta có n n n n 34 33 32 121 11 số phương Xét n , Đặt y n n n n (2y) 4n 4n 4n 4n ta có 4n 4n n 4n 4n 4n 4n 4n 4n 4n 4n (n 3) 2n n (2y) 2n n 1 khơng có giá trị y thỏa mãn 2 ( hai số phương liên tiếp khơng có số phương nào) Vậy n=3 n n n n số phương Kẻ AE AN, AE cắt CD E DAE 150 ABM =ADE (g.c.g) AM=AE Kẻ AH CD, xét AME có đường cao AH ta có N 1 1 1 hay (1) AE AN AH AM AN AH 60 DAH Xét ADH vng H có D 30 3 nên DH AD AH AD AH AD 2 hay AH AB2 (2) 1 Từ (1) (2) suy hay 2 AM AN AB 3 AM AN AB2 a) Chu vi hình chữ nhật AEMF 2(AF+MF)=2a AF+MF=a, mà AF+FC=a nên MF=FC, suy MFC vng cân F nên góc MCF 450 b) Gọi D đỉnh thứ tư hình vng ABDC nên D cố định Ta c/m DMF =EFC MDF CEF Từ chứng minh DM EF Mà MN EF nên ba điểm D, M, N thẳng hàng hay đường thẳng MN qua điểm D cố định -HÕt ThuVienDeThi.com B M 150 A C 150 H E D B D a M E N A a F C ... 1? ?? x x 1? ??x 1? ?? x x 1? ??x x x x 1? ?? b) Xét n=0 40 15 .0 0 Xét n =1 41 15 1 18 Giả sử toán với n=k tức 4k 15 k 1? ?? Ta chứng minh toán với n=k +1 Thật 4k ? ?1. .. a+b+c=2 015 nên ba số a, b, c phải a c có só 2 015 a) x x x x x x 1? ?? x x 1? ?? x x 1? ?? x x 1? ??x 1? ?? x x 1? ?? x x 1? ??x x 1? ??x 1? ?? x x 1? ?? x... n=k +1 Thật 4k ? ?1 15 (k 1) 4k.4 15 k 15 4k 15 k 1? ?? 4k.3 15 4k 15 k 1? ?? 4k Vậy 4n 15 n chia hết cho với số tự nhiên n c) Từ x y z y 1; z kết hợp