Các thủ thuật Casio35504

CÁC THỦ THUẬT CASIO Thủ thuật 1: Khai triển đa thức hệ số nguyên hệ số phân số nhỏ (Cái áp dụng nhiều việc giải toán) a) Hệ số nguyên Nội dung: Ta nên nhớ điều sau: Giả sử khai triển đa thức đa thức có dạng: $a_n x^{n}+a_{n-1} x^{n1}+ +a_1x+a_0$ Tại $x=10$ đa thức có giá trị $\overline{a_na_{n-1} a_1a_0}$ Tại $x=100$ đa thức có giá trị $\overline{a_n0a_{n-1}0 0a_10a_0}$ Tại $x=1000$ đa thức có giá trị $\overline{a_n00a_{n1}00 00a_100a_0}$ Chắc bạn khó hiểu ! Nhưng ấn phím CASIO làm theo bước sau bạn hiểu ngay: Bước 1: Nhập đa thức :$9X^3+2X^2+7X+1$ Bước 2: Ấn CALC, máy hỏi $X?$ Bước 3: Nhập $10$ ấn nút $=$ Bạn thấy kết $9271$ Ấn tiếp "=", máy hỏi $X?$ Bước 4: Nhập $100$ ấn nút $=$ Bạn thấy kết $9020701$ Ấn tiếp "=", máy hỏi $X?$ Bước 5: Nhập $1000$ ấn nút $=$ Bạn thấy kết $9002007001$ Vậy bạn hiểu, không hiểu Comment bên Nhưng hệ số số nguyên âm ? Lại tìm hiểu tiếp ! Bước 1: Nhập đa thức :$9X^3-2X^2-7X+1$ Bước 2: Ấn CALC, máy hỏi $X?$ Bước 3: Nhập $10$ ấn nút $=$ Bạn thấy kết $8731$ Ấn tiếp "=", máy hỏi $X?$ Bước 4: Nhập $100$ ấn nút $=$ Bạn thấy kết $8979301$ Ấn tiếp "=", máy hỏi $X?$ Bước 5: Nhập $1000$ ấn nút $=$ Bạn thấy kết $8997993001$ Ấn tiếp "=", máy hỏi $X?$ Bước 6: Nhập $10000$ ấn nút $=$ Bạn thấy kết $8999799930001$ ThuVienDeThi.com Nhận xét: Nếu số bạn nhập $10^x$ (tức số $\overline{100 0}$ với $x$ số $0$), chia kết thành khoảng $x$ chữ số từ phải sang trái VD: $8997993001$ $8|997|993|001$ $8999799930001$ $8|9997|9993|0001$ Gọi giá trị khoảng thứ $t$ ($t \leq n$) $k_t$ ta có: + Nếu $k$ có nhiều số $9$ hệ số $a_{t}=10^{x}-k_t$ + Nếu $k$ có nhiều số $0$ hệ số $a_{t}=k_t$ P/s: Mình nói khó hiểu lịng vịng, tốt nên đọc cách làm bên dưới: Cách làm: Cách 1: (Chỉ áp dụng cho có hệ số $\leq 3$) VD cần khai triển $2(x+1)^2(x-1)-7(x^2+1)-8$ Bước 1: Nhập đa thức ẩn $X$ với hệ số nguyên không cồng kềnh (VD $2(X+1)^2(X-1)-7(X^2+1)-8$) Bước 2: Ấn CALC, máy hỏi $X?$, Ấn $1000$ ấn $=$ Bước 3: Máy kết số có nhiều chữ số, tách chữ số từ phải sang trái (VD: Máy $1994997983$ ta tách $1|994|997|983$) Bước 4: Ta tìm hệ số $a_0,a_1, $ cách sau: Nhóm chữ số thứ $k$ (tính từ phải sang trái) có giá trị $M_k$, chữ số hàng trăm $M_k$ số $9$ chứng tỏ hệ số $x^k$ $M_k-1000$ (số âm), giá trị nhóm thứ $k+1$ có giá trị $M_{k+1}+1$ (tăng thêm 1) Nhóm chữ số thứ $k$ (tính từ phải sang trái) có giá trị $M_k$, chữ số hàng trăm $M_k$ số $0$ chứng tỏ hệ số $x^k$ $M_k$ (số dương) (VD: Nhóm 1: $|983|$ hệ số $a_0$ $-17$ thêm vào nhóm Nhóm 2: $|997|$ hệ số $a_1$ $-3+1=-2$ thêm vào nhóm Nhóm 3: $|994|$ hệ số $a_2$ $-6+1=-5$ thêm vào nhóm Nhóm 4: $|001|$ hệ số $a_3$ $1+1=2$) Bước 5: Điền kết quả: $2(x+1)^2(x-1)-7(x^2+1)-8=2x^3-5x^2-2x-17$ Bước 6: Thử lại cho ăn ! (Ấn $2(x+1)^2(x-1)-7(x^2+1)-8-(2x^3-5x^2-2x-17)$, gán giá trị $x=1,2,3,4, $ mà thấy kết ln =0 xác) Nhận xét: Cách không hay lắm, làm quen nhìn hệ số nhóm biết ngày kết triển Cách 2: Áp dụng cho bậc cao, hệ số nguyên (Bậc đừng cao quá, hì hì) ThuVienDeThi.com VD cần khai triển $2(x+1)^3(x-1)^2-7(x^2+1)^2-8$ Bước 1: Gán giá trị $x=1000$ $10000$ thích (Tại $x=1000$ kết $1,994995982$x$10^{15}$) Bước 2: Nhìn vào giá trị sau dấu phảy, xem xét số bên cạnh ! Nếu số bên cạnh $9$ hệ số bậc cao hệ số sau dấu phảy cơng 1, số $0$ ngun (Sau dấu phảy số $1$, cạnh số $9$, suy hệ số bậc cao (bậc 5) $2$) Bước 3: Viết lại đa thức, sau trừ bậc cao vừa tìm ($2(x+1)^3(x-1)^2-7(x^2+1)^2-8-2x^5$) Bước 4: Cho $x=1000$ kết bậc đa thức giảm, tiếp tục làm bước (Tại $x=1000$ giá trị nhân $-5,004017998$x$10^{12}$ Do bậc hạ từ $15$ xuống $12$ nên đa thức có hệ số bậc khác Sau dấu phảy số $-5$, cạnh số $0$ nên hệ số bậc $-5$ Ấn tiếp $2(x+1)^3(x-1)^2-7(x^2+1)^2-8-2x^5+5x^4$ Gán $x=100$ kết $-4179813$, tách thành $-4|17|98|13|$ ta hệ số bậc $3$ $-4$, hệ số bậc $2$ $-18$, hệ số bậc $2$, hệ số tự $-13$) Bước 5: Ghi kết quả: $2(x+1)^3(x-1)^2-7(x^2+1)^2-8=2x^5-5x^4-4x^318x^2+2x-13$ Bước 6: Thử lại Nhận xét: Làm nhiều quen, khó nói Cũng hay ? b) Hệ số phân số: Bước 1: Tìm ước chung lớn mẫu mà ta dự đốn chúng góp mặt hệ số sau phân tích Bước 2: Viết đa thức, có phân số, tất đa thức nhân với ước chung lớn vừa tìm Bước 3: Làm phần a) P/s: Ai không hiểu comment Thủ thuật 2: Phân tích phương trình bậc thành nhân tử (Cái post lại) Đối với phương trình bậc dạng $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ ta chia làm mảng lớn: *** Đầu tiên phương trình $f(x)$ có nghiệm, ta xét: - Nếu trường hợp bạn phải thi, kiểm tra bạn nên sử dụng máy tính CASIO $fx$ mà giải nhé, sau hướng dẫn giải phương trình bậc ThuVienDeThi.com Casio : +Trường hợp 1: Bạn lấy máy tính, viết phương trình bậc bạn vào, ấn Shift + Solve sau ấn "=" để giải phương trình bậc đó: @@1: Nếu máy tính $X=$ số ngun cụ thể số vơ hạn có tuần hồn (VD:1,3333333 ) bạn ấn AC, sau ấn RCL + X máy lên xác nghiệm bạn (số ngun phân số tối giản) Khi $f(x)$ có nhân tử $(x - X)$ (với X nghiệm bạn vừa tính được) Sau bạn phân tích thành $(x - X) (mx^3+nx^2+px+q)$ Khi dùng máy tính để giải nghiệm phương trình bậc cách vào Mode Mode Mode ghi hệ số vào Từ bạn nhận tất nghiệm $f(x)$ gồm X ngiệm phương trình bậc @@2: Nếu máy tính hiên $X=$ số vơ hạn khơng tuần hồn, bạn chuyển sang Trường hợp 2(Cái khó) +Trường hợp 2:( Cái cơng thức bí mật đấy): Khi tìm nghiệm phương trình bậc đó, bạn chuyển liệu sang A cách ấn Alpha X Shift Sto A Sau bạn viết lại phương trình bậc đó, Ấn Shift + Solve, máy tiếp $X?$ bạn nhập 100 vào, ấn "=", ấn "=" để giải Khi máy tính nghiệm khác với nghiệm ban đầu Bạn chuyển liệu nghiệm vừa tìm sang B cách ấn Alpha X Shift Sto B Sau bạn viết lại phương trình bậc đó, Ấn Shift + Solve, máy tiếp $X?$ bạn nhập -100 vào, ấn "=", ấn "=" để giải Khi máy tính nghiệm khác với nghiệm ban đầu ThuVienDeThi.com Bạn chuyển liệu nghiệm vừa tìm sang C cách ấn Alpha X Shift Sto C (Thế đủ) Cái xong nè: Ấn Alpha A + Alpha B "=", kết số nguyên phân số bạn ấn tiếp Alpha A Alpha B "=" để tính tích số Khi áp dụng định lý Viét đảo ta $f(x)$ có nhân tử $x^2 (A+B)x + AB$ (Hay chưa) Cịn A+B khơng số ngun số vơ hạn có tuần hồn (Tức phân số ấy) Bạn làm tương tự với tổng B+C, C+A từ tìm nhân tử $f(x)$ Nói khơng làm, bạn làm theo ví dụ sau, bạn hiểu: $x^4+3x^3-4x^2-11x+5=0$ Ta ấn phím máy tính CASIO sau: Viết PT $x^4+3x^3-4x^2-11x+5=0$ máy tính CASIO fx-570MS fx570ES Ấn shift + SOLVE Máy hỏi X? Ấn 10 = (Nếu máy fx-570ES khơng cần làm tiếp, máy fx-570MS ấn tiếp Shift SOLVE) Sau hồi, máy X=1,791287847 Ấn AC, Ấn Alpha X Shift STO A _ Viết lại phương trình : $x^4+3x^3-4x^2-11x+5=0$ Ấn shift + SOLVE Máy hỏi X? Ấn -10 = (Nếu máy fx-570ES khơng cần làm tiếp, máy fx-570MS ấn tiếp Shift SOLVE) Sau hồi, máy X= - 2,791287847 ThuVienDeThi.com Ấn AC, Ấn Alpha X Shift STO B Viết lại phương trình : $x^4+3x^3-4x^2-11x+5=0$ Ấn shift + SOLVE Máy hỏi X? Ấn -1 = (Nếu máy fx-570ES khơng cần làm tiếp, máy fx-570MS ấn tiếp Shift SOLVE) Sau hồi, máy X= 0,4142135624 Ấn AC, Ấn Alpha X Shift STO C Nhận xét: Ấn Alpha B + Alpha C = Máy : -2,377074285 Ấn Alpha C + Alpha A = Máy : 2,20550141 Ấn Alpha A + Alpha B = Máy : -1 _ Chứng tỏ tổng A+B, B+C, C+A thấy A+B nguyên (hoặc số vơ hạn tuần hồn) Ấp tiếp Alpha A x Alpha B = Máy : -5 ThuVienDeThi.com Chứng tỏ A, B nghiệm phương trình bậc ẩn x : $x^2 - (A+B)x+AB=0$ Mà A+B= -1, A.B= -5 Suy A, B nghiệm phương trình $x^2+x-5=0$ Mà A, B nghiệm phương trình: $x^4+3x^3-4x^2-11x+5=0$ Suy $x^4+3x^3-4x^2-11x+5$ phân tích nhân tử có nhân tử $x^2+x-5$ Suy $x^4+3x^3-4x^2-11x+5 = (x^2+x-5)(ax^2+bx+c)$ Từ ta phân tích thành nhân tử Bài tập áp dụng: ${x}^{4}+3\,{x}^{3}-4\,{x}^{2}-11\,x+5=0$ ${x}^{4}+12\,{x}^{3}+21\,{x}^{2}-24\,x+5=0$ ${x}^{4}-6\,{x}^{3}-132\,{x}^{2}+885\,x+500=0$ $10\,{x}^{4}+27\,{x}^{3}-16\,{x}^{2}-45\,x+28=0$ $10\,{x}^{4}+27\,{x}^{3}+245\,{x}^{2}+306\,x+1288=0$ ${x}^{4}+9\,{x}^{3}+20\,{x}^{2}+9\,x+1=0$ Thủ thuật 3: Phân tích đa thức bậc cao thành nhân tử (Tổng quát thủ thuật 2) Nhận xét: Đơi ta thấy phương trình vơ tỷ mà cần nhìn thấy bình phương lên phương trình bậc cao cho lành ( = Bước đường Nguyễn Cơng Hoan) việc khai triển nó, phân tích thành nhân tử khiến nản Nhưng phương pháp sau giúp ích phần điều Nội dung: Trước tiên, cần xác định bậc đa thức, để phân tích thành nhân tử ta kiểm tra xem có thiếu nhân tử khơng ! VD: $(x^2+1)^2(x^2+5x+4)-21x^3-36x^2-7x+2$ có bậc $6$ Sau đó, xác định khoảng chứa nghiệm phương trình, giống phương trình bậc Cách làm: ThuVienDeThi.com Cách 1: Áp dụng cho mà nhân tử đa thức bậc < Bước 1: Nhập đa thức: $(x^2+1)^2(x^2+5x+4)-21x^3-36x^2-7x+2$ Bước 2: Giải nghiệm phương trình, cho $X$ điểm khoảng nghiệm VD: $0.414213562, -2.414213562, 1.618033988, -0.6180339880$ Bước 3: Cố tìm xem nghiệm nghiệm phương trình bậc hay bậc ? VD: $x^2-x-1=0$ $x^2+2x-1=0$ Bước 4: Viết PT tương đương với $(x^2-x-1)(x^2+2x-1)( )$ với tam thức bậc có dạng $ax^2+bx+c$ Quan trọng tìm $a,b,c$ Bước 5: Vì hệ số bậc cao phương trình bậc nên $a=1$, hệ số tự $6$ nên $c=6$ Bước 6: Viết máy tính sau: $(x^2+1)^2(x^2+5x+4)-21x^3-36x^2-7x+2(x^2-x-1)(x^2+2x-1)(x^2+Ax+6),A$ Bước 7: Ấn Shift + Solve để giải phương trình theo $A$ Đầu tiên cho $X=1,2,3, $ mà giải, ta $A=4$, $b=4$ Bước 8: Viết tiếp $(x^2+4x+6)$ Bước 9: Thử lại Nhận xét: Cách hạn chế Cách 2: (Một số tốn bình phương để giải phương trình bậc cao, lại tam thức bậc nhân với đa thức bậc bậc 3, cách gần giống cách giúp tìm nhân tử phương trình cịn lại Cách áp dụng thủ thuật 1.) VD: Giải phương trình $(x^2+1)^2(x^2+5x+4)-21x^3-26x^2-17x-8=0$ Bước 1: Tìm nghiệm phương trình, thấy phương trình có nghiệm từ ta có nhân tử $(x^2-x-1)$ (Như cách 1) Bước 2: Ta tìm nốt nhân tử bậc cịn lại, cách làm sau: Viết lên máy tính: $\dfrac{(x^2+1)^2(x^2+5x+4)-21x^3-26x^2-17x-8}{x^2-x1}$ Bước 3: Cho $x=1000$ ta kết $1,006013008$x$10^{12}$ Chứng tỏ hệ số bậc $1$ Bước 4: Viết tiếp $\dfrac{(x^2+1)^2(x^2+5x+4)-21x^3-26x^2-17x-8}{x^2-x1}-x^4$ Cho $x=1000$ ta $6013008004$ nên ta phương trình bậc là: $x^4+6x^3+13x^2+8x+4$ Bước 5: Viết : $(x^2-x-1)(x^4+6x^3+13x^2+8x+4)=0$ ThuVienDeThi.com Bước 6: Chứng minh phương trình bậc vơ nghiệm (Xem thủ thuật 4) Bước 7: Kết luận (Cái nhiều người thiếu) Nhận xét: Thủ thuật làm trí óc, tư người nên không khuyến cáo dùng cách Thủ thuật 4: Chứng minh phương trình bậc vơ nghiệm: (Post lại post) Thêm phương pháp "tủ" mình, cách chứng minh phương trình bậc vơ nghiệm ! (Ai khơng hiểu pmmmm nha, đau đầu đấy) _ Xét PT $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ với $d>0$ $a,b,c$ hệ số Khi bạn giải mà không nghiệm (Can't solve), bạn chứng minh phương trình vơ nghiệm Ví dụ 1: Giải phương trình: $x^4-6x^3+16x^2-22x+16=0$ Cách 1: Cách ăn may: $f(x)$ phân tích thành bậc cộng với hệ số tự không âm, giống $f(x)=x^4-6x^3+16x^2-22x+16$ Khi $f(x)=(x^2-2x+3)(x^2-4x+5)+1>0$ [?] Vậy lại phân tích thành này, câu hỏi khó ? Cách làm đặt $f(x)=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)+e$ Suy $f(x)=x^4+(a+c)x^3+(d+ac+b)x^2+(bc+ad)x+bd+e$ Đồng với đa thức ban đầu $f(x)=x^4-6x^3+16x^2-22x+16$ Ta có: $$\left\{\begin{matrix} a+c=-4\\ d+ac+b=16\\ bc+ad=-22\\ bd+e=16 \end{matrix}\right.$$ Từ dễ dàng suy $a=-2, \;b=3, \;c=-4, \; d=5, \; e=1$ nhờ phương pháp mị (Vì cách ăn may mà) Cách 2: (Cách ảo nhất, tui phát ra) ThuVienDeThi.com Cũng từ: $A=f(x)=x^4-6x^3+16x^2-22x+16$ Ta chứng minh $f(x)>0$ cách đặt $x=y-\frac{a}{4}$, để hệ số $y^3$ Đặt $x=y+\frac{3}{2}$ Biểu thức cho trở thành: $$A=y^4+\frac{5y^2}{2}-y+\frac{61}{16}=y^4-2m y^2+m^2+(2m+\frac{5}{2})y^2-y+\frac{61}{16}-m^2$$ (Chỗ ảo, hay) Cần tìm $m > -\frac{5}{2}$ để PT $(2m+\frac{5}{2})y^2-y+\frac{61}{16}m^2$ vơ nghiệm (khi >0) Thì $\Delta = \frac{5}{2}$ Có nhiều $m$ thỏa mãn lắm, VD: $m=0$ $m=-1$ $m=1$ đẹp mắt Chọn làm ! Giả sử: a) $m=-1$ $A=(y^2+1)^2+\frac{3}{2}(y-\frac{1}{3})^2+\frac{175}{48}$ Suy $A= (x^2-3x+\frac{13}{4})^2+\frac{3}{2}(x\frac{11}{6})^2+\frac{175}{48}>0$ b) $m=0$ $A=y^4+\frac{5}{2}(y-\frac{1}{5})^2 +\frac{297}{80}$ Suy $A=(x-\frac{3}{2})^4+\frac{5}{2}(x-\frac{17}{10})^2 +\frac{297}{80}>0$ c) $m=1$ $A=(y^2-1)^2+\frac{7}{2}(y-\frac{1}{7})^2+\frac{419}{112}$ Suy $A=(x^2-3x+\frac{5}{4})^2+\frac{7}{2}(x\frac{23}{14})^2+\frac{419}{112}$ _ ThuVienDeThi.com Nhận xét: Nhưng bạn khơng nên lợi dụng q, giống minhtuyb nhận xét: "Mình chia sẻ chút chỗ : Khi $A=y^4+\frac{5y^2}{2}-y+\frac{61}{16}$ trước chọn hệ số $m$ thích hợp nên kiểm tra xem tam thức bậc hai $\frac{5y^2}{2}y+\frac{61}{16}$ có vơ nghiệm hay khơng: +) Nếu vơ nghiệm $(\Delta