Chuyên đề : Tổ hợp Mục tiêu: Ôn lại kiến thức quy tắc cộng, quy tắc nhân,hoán vị, tổ hỵp,chØnh hỵp.Nh»m cđng cè lÝ thut vỊ tỉ hỵp A.Lý thuyết: 1.Quy tắc cộng ,quy tắc nhân 2.Hoán vị ,chỉnh hợp ,tổ hợp -Số hoán vị: Pn n ! n.(n 1).(n 2) 2.1 , §k: n N ; n n! n.(n 1).(n 2) 2.1 (k thõa sè) (n k )! §k: n,k N ,1 k n n! -Số tổ hợp: Cnk đk: n,k N , k n k !(n k )! -Giai thõa: n ! n.(n 1).(n 2) 2.1 ®k: n N ; n -Sè chØnh hỵp: Ank 3.Mét sè công thức liên hệ: Cnk Cnn k Ann Pn n ! , 4.Công thức nhị thức Niu T¬n: , Ank Cnk k ! , Cnk1 Cnk11 Cnk n n n 1 n2 k nk k n a.Khai triÓn: (a b) Cn a Cn a b Cn a b Cn a b Cn b b.TÝnh chÊt: -Trong khai triÓn cã n+1 số hạng -Số hạng tổng quát thứ k+1 Tk 1 Cnk a n k b k -Khai triển đặc biệt: (1 1)n 2n Cn0 Cn1 Cn2 Cnn (1 1) n 0n Cn0 Cn1 Cn2 (1) n Cnn B.Bµi tËp: Dạng 1:Lớp toán chọn Lưu ý: -Quan tâm đến điều kiện chữ số có khác hay không -Đối với tập số có xuất số cần lưu ý chọn chữ số đầu -Đối với toán yêu cầu lập số có tính chất đặc biệt cần ưu tiên chọn trước Bài 1:Cho số :1,2,3,4,5,6 Có thể lập số tự nhiên thoả mÃn đk: a.Có chữ số b.Có chữ số khác c Có chữ số khác chẵn Giải: a.Giả sử số cần tìm có dạng: a1a2 a3a4 a5 Chän a1 tõ tËp sè ®· cho cã cách chọn, ứng với cách chọnđó có cách chọn a2.Tương tự có cách chọn a3,a4,a5,a6 Theo quy tắc nhân có :56 số thoả mÃn yêu cầu b.Số chữ số cần tìm số hoán vị phần tử :P6=6!=720(số) c.Giả sử số cần tìm có dạng: a1a2 a3a4 -Chọn a4 chẵn có cách chọn -Số cách chọn số lại là: A35 5.4.3 60 -Theo quy tắc nhân có: 3.60=180 ThuVienDeThi.com Bài 2:Cho số :0,1,2,3,4,5,6 Có thể lập số tự nhiên thoả mÃn đk: a.Có chữ số khác b.Có chữ số khác nhau,chẵn c Có chữ số khác chẵn thiết có mặt số d.Có chữ số thoả mÃn số có mặt lần số khác có mặt lần Giải: a.Số chữ số cần tìm là: A46 2160 (số) b.Giả sử số cần tìm có dạng: a1a2 a3a4 -TH1: a4 số số số cần tìm là: A63 120 (số) -TH2:a4 chẵn khác 0: có cách chän Chän a1kh¸c cã c¸ch chän, chän a2,a3 có A26 cách chọn Vậy có tất 3.5 A26 =450 (số) Theo quy tắc cộng có tất cả:120+450=570(số) c.Theo phần a có 2160 số có chữ số khác (gồm loại: có số số 3).trong số mặt chữ số lµ: A54 600 (sè) VËy sè cã chữ số khác có mặt số là:2160-600=1560(số) d.Vì số có mặt lần nên ta viết lại tập số dạng:0,1a1b2,3,4,5,6 Lập số có 8chữ số khác từ tập số có:7.P7=35280(số) Trong số số 1a,1b trùng nên số bị lặp lại lần số số cần tìm là:35280:2=17640 (số) Bài 3: Từ số 1,2,3,4,5.Có thể lập số tự nhiên có chữ số khác nhau.Tính tổng số Giải: Số chữ số cần tìm A45 120 (sè) TÝnh tỉng:(Sư dơng pp ghÐp cỈp) GhÐp 120 sè thành 60 cặp cho tổng cặp 6666.(VD:1234+5432=6666) lưu ý với số có ! số tương ứng Vậy tổng số là:6666.60=399960 Bài 4: Từ số 0,1,2,3,4,5.Có thể lập số tự nhiên có chữ số khác nhau.Tính tổng số Giải: -Số số cần tìm : A63 720 (sè) -TÝnh tỉng :pp céng cét +Hµng đơn vị:các chữ số 1,2,3,4,5,6 có mặt A52 lần.Vậy tổng hàng đơn vị (1+2+3+4+5+6) A52 =21 A52 =105.20=2100 + Tương tự hàng chục ,hàng trăm có tổng là:21000,210000 +Hàng nghìn : chữ số 1,2,3,4,5,6 có mặt A63 lần Vậy tổng hàng nghìn 21 A63 10000=2520000 Vậy tổng cần tìm là:2520000+210000+21000+2100=2753100 Bài 5:Cho tập hợp A={0,1,2,3,4,5,6,7}.Có thể lập số tự nhiên: a)Có chữ số? b) Có chữ số khác nhau? c)Chẵn có chữ số khác nhau? d)Lẻ có chữ số? ThuVienDeThi.com e)Lẻ có chữ số chứa số 0? g)Chẵn có chữ số khác mặt chữ số và1? Giải: a)Số cần tìm là:7.8.8.8= b)Số cần tìm 7.7.6.5= c) Gọi số cần tìm abc *TH1:c=0 Cã c¸ch chän c Cã c¸ch chän a Cã c¸ch chän b Theo QTN cã 1.7.6=42 c¸ch *TH2:c Cã c¸ch chän c Cã c¸ch chän a Cã c¸ch chän b Theo QTN có 3.6.6=108 cách Vậy theo quy tắc cộng có 42+108=150 cách d)Số cần tìm có dạng abcde víi e 1;3;5;7,a 1; 2;3; 4;5;6;7,c,b,d 0;1; 2;3; 4;5;6;7 Cã c¸ch chän e Cã c¸ch chän a Cã c¸ch chän b Cã c¸ch chän c Cã c¸ch chän d.VËy cã 4.7.8.8.8=14336 c¸ch e)Lẻ có chữ số 14336 ` lẻ có chữ số không chứa số có dạng abcde 1; 2;3; 4;5;6;7 Chän e cã c¸ch,c¸c sè lại có 7.7.7 cách Vậy có 4.7.7.7.7=9604 cách Vậy có 14336-9604=4732 Bài 6:Trên giá sách có 10 s¸ch tiÕng ViƯt kh¸c nhau,8 qun s¸ch tiÕng Anh kh¸c ,6 qun s¸ch tiÕng Ph¸p kh¸c nhau.Hái cã cách chọn: a)Một sách? b)Ba sách tiếng khác nhau? c)Hai sách tiếng khác nhau? Giải: a)Theo quy tắc cộng có 10+8+6=24 cách b)Theo quy tắc nhân có 10.8.6=480 cách c)Th1: Chọn sách TV sách TA có 10.8=80 cách Th2: Chọn sách TV sách TP có 10.6=60 cách Th3: Chọn sách TP sách TA cã 6.8=48 c¸ch Theo QTC cã 80+60+48=188 c¸ch chän hai sách tiếng khác nhau.Có số tự nhiên có tính chất: a)Là số chẵn có chữ số ? b)Là số lẻ có chữ số ? c) Là số chẵn có chữ số khác ? d) Là số lẻ có chữ số khác nhau? ThuVienDeThi.com Giải: a)Có 45 cách b)Cã 45 c¸ch c)Th1:b=0 cã c¸ch chän b, cã c¸ch chän a.VËy cã 1.9=9 c¸ch Th2: b cã c¸ch chän b,cã c¸ch chän a.VËy cã 4.8=48 c¸ch Theo QTC cã 9+48=51 c¸ch d)Sè lẻ có chữ số khác ab b cã c¸ch chän ,a cã c¸ch chän Vậy có 5.8-40 cách chọn Bài 7: Có 10 cặp vợ chồng dự tiệc Tính số cách chọn người đàn ông người đàn bà bữa tiệc để phát biểu ý kiến cho: a)Hai người đố vợ chồng? b)Hai người không vợ chồng? Giải: a)Chọn người đàn ông có 10 cách ,chọn người đàn bà vợ người đàn «ng cã c¸ch.VËy cã 1.10=10 c¸ch b)Chän người đàn ông có 10 cách ,chọn người đàn bà không vợ người đàn ông có cách.Vậy có 10.9=90 cách Dạng 2: Công thức nhị thức Niu Tơn Bài 1: Cho đa thức P(x)=1+x)9+(1+x)10++(1+x)14 ,Có dạng khai triển là: P(x)=a0+a1x+a2x2++a14x14.HÃy tính hệ số a19 Giải: Ta có (1+9)9= C90 C91 x C92 x C99 x9 cã hƯ sè cđa x9 lµ C99 T¬ng tù khai triĨn (1+x)10 cã hƯ sè cđa x9 lµ C109 (1+x)11 cã hƯ sè cđa x9 lµ C119 (1+x)12 cã hƯ sè cđa x9 lµ C129 (1+x)13 cã hƯ sè cđa x9 lµ C139 (1+x)14 cã hƯ sè cđa x9 lµ C149 VËy a9= C99 C109 C119 C129 C139 C149 =1+10+55+220+715+2002=3003 Bµi 2: Đa thức P(x)=(1+x)+2(1+x)2+3(1+x)3++20(1+x)20,được viết dạng là: P(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3++a20x20.HÃy tính hệ sè a19 Gi¶i: Ta cã:15(1+x)15=15(1+ C151 x C152 x C153 x3 C1515 x15 ) 16(1+x)16=16(1+ C161 x C162 x C163 x3 C1616 x16 ) 20(1+x)20=20 (1+ C201 x C202 x C203 x3 C2020 x 20 ) VËy a15= 15 16C161 17C172 18C183 19C194 20C205 =400995 Bµi 3: Khai triĨn P(x)= (1+x)12 +(1+x)13+…+(1+x)17.H·y t×m hƯ sè cđa sè hạng chứa x8 Giải: ThuVienDeThi.com Ta có:(1+x)12 có hệ số cđa x8 lµ C124 (1+x)13 cã hƯ sè cđa x8 lµ C135 (1+x)14 cã hƯ sè cđa x8 lµ C146 (1+x)15 cã hƯ sè cđa x8 lµ C157 (1+x)16 cã hƯ sè cđa x8 lµ C168 (1+x)17 cã hƯ sè x8 C179 Do khai triển tổng S ,ta có hệ số số hạng x8 : C124 C135 C146 C157 C168 C179 72710 12 x Bµi 4:Trong khai triĨn ,h·y t×m hƯ sè cđa sè hạng chứa x4 x Giải: 12 x Trong khai triĨn ,ta cã sè h¹ng thø (k+1) víi k 12 lµ: 3 x 12 k k x C 3 3k k k 3 (1) 12 k C12k 1 x k 1 312 k C12k x12 k T( k 1) x Do ®ã nÕu số hạng thứ (k+1) chứa x4 phảicó: x122 k x 12 2k k 1.12! Nếu số hạng chứa x4là số h¹ng thø ,ta cã T 34 C124 x 5x4 81.4!.8! k 12 k VËy hÖ số số hạng chứa x4là 18 Bài 5: HÃy tìm khai triển nhị thức x3 số hạng độc lập với x x Gi¶i 18 Gi¶ sư khai triĨn nhÞ thøc x3 x lµ: T( k 1) C18k ( x3 )18k sè h¹ng thø (k+1) víi k 18 k 1 C18k x546 k x Nếu T( k 1) không chứa (độc lập đối víi x) th× ta cã:54-6k=0 k=9 VËy khai triển nhị thức đà cho,số hạng độc lập x số hạng thứ 10,nên ta có:T10= C189 12 Bài 6:Tìm số hạng không chứa x khai triĨn niu T¬n cđa x x Gi¶i: 12 1 Khai triĨn x C120 x12 C121 x11 C12k x12k k x x x Số hạng thứ (k+1) khai triển đố lµ: C12k x12k k C12k x122 k x Sè hạng không phụ thuộc x khi: 12-2k=0 k=6 Vậy số hạng thứ khai triển không phụ thuộc vào x có giá trị là: C126 924 n Bài 7: a.Xác định hệ số thø nhÊt ,thø hai , thø khai triÓn x3 x ThuVienDeThi.com b.Cho biết tổng hệ số nói 11.Tìm hƯ sè cđa x2 Gi¶i: n(n 1) n(n 1) b.Theo gi¶ thiÕt n 11 n n 20 n a.Ta cã Cn0 1, Cn1 n, Cn2 nk H¹ng tư thø k+1 cđa khai triĨn lµ: C ( x ) Cnk x5k 2 n x 2n 2.4 Cho 5k-2n=2 k VËy hƯ sè cđa x2 lµ C62 5 k n k Bµi 8: m Tìm giá trị số thùc x cho khai triĨn cđa x x1 tổng hạng tử thứ ba thứ năm 135 tổng hệ số ba hạng tử cuối 22 Giải: Ta cã Cmm2 Cmm1 Cmm m(m 1) m 22 4 x 1 x 2x 12x 4 C C6 2 135 x 2 x x 1 x x 30.2 60.2 30.2 x 135 m vµ 15.2 4.2 x 2.2 x 2(2 x ) 9.22 x 1 x D¹ng 3: CM đẳng thức tổ hợp 1:CM nhờ khai triển Niu Tơn Bµi 1:Chøng minh r»ng: 1 1 3n Cn0 Cn1 Cn2 (1) k k Cnk (1) n n Cnn 2n 3 3 n 1 1 Gi¶i: Ta cã : 1 Cn0 Cn1 Cn2 (1)k k Cnk (1)n n Cnn 2n 3 3 3 n n Suy : 1 3n 2n 3 3 1 1 VËy : 3n Cn0 Cn1 Cn2 (1)k k Cnk (1)n n Cnn 2n 3 3 n Bài 2:Tính biểu thức a A Cn0 Cn1 Cn2 Cnn b B Cn1 Cnnn 1 Cn2 Cn3 Cnp n p Cn Cn1 Cn2 Cnn Giải: a.áp dụng nhị thức Niu t¬n: (1+x)n= Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n Cho x=1 ta cã: 2n= Cn0 Cn1 Cn2 Cnn A ThuVienDeThi.com b Ta cã : Cn1 n, Cn2 n! (n 1)! n 1 Cn 2!(n 2)! n ! Cn3 n! 2!(n 2)! n2 Cn 3!(n 3)! n! … p Cnp ( p 1)!(n p 1)! n! p n p 1 p 1 Cn p !(n p )! n! n Cnn (n 1)! n 1 n 1 Cn n! n(n 1) 2 2 Bµi 3: Chøng minh r»ng: (Cn ) (Cn ) (Cn ) (Cnn )2 C2nn Do ®ã B=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1= Gi¶i: Ta viÕt khai triĨn: (1+x)2n=(1+x)n.(1+x)n (1 x) n (1 x) n ( Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n )( Cn0 x n Cn1 x n 1 Cn2 x n Cnn ) HƯ sè cđa xn (1 x)2 n C2nn Do C2nn (Cn0 )2 (Cn1 )2 (Cn2 )2 (Cnn )2 Bµi 4: Chøng minh Cn0 6Cn1 62 Cn2 6n Cnn n Gi¶i: Ta cã: (1 x)n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n Cho x=6 ta cã : Cn0 6Cn1 62 Cn2 6n Cnn n Bµi 5: Chøng minh r»ng: 4n Cn0 4n 1 Cn1 4n Cn2 (1) n Cnn Cn0 2Cn1 22 Cn2 2n Cnn Gi¶i: Ta cã: (2n 1)n Cn0 (2 x)n Cn1 (2 x)n 1 Cn2 (2 x)n 2 (1)n Cnn Cho x=2 ta cã : 3n n 4n Cn0 4n 1 Cn1 4n Cn2 (1)n Cnn Ta l¹i cã : (1 x)n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n Cho x=2 ta cã: 3n Cn0 2Cn1 2Cn2 2n Cnn Tõ (1) vµ(2) ta cã : (1) (2) 4n Cn0 4n 1 Cn1 4n Cn2 (1) n Cnn Cn0 2Cn1 22 Cn2 2n Cnn 2.Chøng minh nhê c«ng thøc: Cnk Cnk1 Cnk11 Bµi 1:Cho k vµ n số tự nhiên cho k n CMR: Cnk 4Cnk 1 6Cnk 2 4Cnk 3 Cnk 4 Cnk Giải: Ta có công thức : Cnp Cnp 1 Cnp1 Do ®ã k k 1 k 1 k 2 k 2 k 3 k 3 k 4 k k 1 (Cn Cn ) 3(Cn Cn ) 3(Cn Cn ) Cn Cn = Cn 41 3Cn 1 3Cnk12 Cnk13 ThuVienDeThi.com VT= = (C (Cnk1 Cnk11 ) 2(Cnk11 Cnk12 ) (Cnk12 Cnk13 ) k n2 2C k 1 n2 )C k 2 n2 (C k n 1 C k 1 n2 ) (C k 1 n2 C k 2 n2 = ) =C C C (dpcm) Bµi 2: Cho k n số tự nhiên cho k n Chøng minh r»ng: k n 3 k 1 n 3 k n4 Cnk 3Cnk 1 3Cnk Cnk 3 Cnk3 Gi¶i: Cmk Cmk 1 Cmk 11 Do ®ã: Cnk3 Cnk Cnk11 = (Cnk1 Cnk11 ) (Cnk11 Cnk12 ) = Cnk1 2Cnk11 Cnk12 = Cnk Cnk 1 2(Cnk 1 Cnk 2 ) Cnk 2 Cnk 3 = Cnk 3Cnk 1 3Cnk 2 Cnk (đpcm) Chứng minh nhờ công thức đạo hàm Bài 1: Chứng minh đẳng thức : n4n 1 Cn0 (n 1)4n 2 Cn1 (n 2)4n 3 Cn2 (1)n 1 Cnn 1 Cn1 4Cn1 n 2n 1 Cnn Gi¶i: Ta cã : (2n 1)n Cn0 (2 x)n Cn1 (2 x)n 1 Cn2 (2 x)n (1)n Cnn Lấy đạo hµm hai vÕ ta cã: 2n(2 x 1) n 1 2nCn0 (2 x) n 1 2(n 1)Cn1 (2 x) n 2(n 2)Cn2 (2 x) n 3 (1) n 1 Cnn 1 Cho x=2 ta cã: n3n 1 = n 4n 1 Cn0 (n 1)4n Cn1 (n 2)4n 3 Cn2 (1) n 1 2Cnn 1 (1) Ta cã: (1 x)n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n ,lấy đạo hàm hai vÕ cã: n (1 x)n1 Cn0 Cn1 2Cn2 x nCnn x n 1 Cho x=2 ta cã: n3n1 Cn1 2Cn2 n2n 1 Cnn (2) So s¸nh (1) vµ (2) ta cã : n 4n 1 Cn0 (n 1)4n Cn1 (n 2)4n 3 Cn2 (1) n 1 Cnn 1 Cn1 4Cn1 n 2n 1 Cnn Bµi 2: TÝnh A Cn1 2Cn2 33n 4Cn4 (1) n 1 nCnn Gi¶i: Ta cã: (1 x)n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x3 Cn4 x (1)n Cnn x n Lấy đạo hµm cđa hai vÕ ta cã: n(1 x) n 1 Cn1 Cn2 x 3Cn3 x 4Cn4 x3 (1) n Cnn x n 1 Cho x = ta cã: = Cn1 2Cn2 3Cn3 4Cn4 (1)n nCnn ThuVienDeThi.com VËy A = Cn1 2Cn2 3Cn3 4Cn4 (1)n 1 nCnn Bµi 3: TÝnh S C22n C24n C26n C22nn Gi¶i: Ta cã: (1 x)2 n C20n C21n x C22n x C23n x3 C22nn x n Cho x = , ta cã: 22 n C20n C21n C22n C23n C22nn (1) Ta cã: (1 x)2 n C20n C21n x C22n x C23n x3 C22nn x n Cho x = ta cã: 22 n C20n C21n C22n C23n C22nn Céng (1) vµ (2) ta cã: C20n C22n C24n C22nn 22 n C20n C22n C24n C22nn 22 n 1 C22 C24n C22nn 22 n 1 Bµi 4: Chøng minh r»ng nCn0 (n 1)Cn1 Cnn 1 n2n 1 Gi¶i: Ta cã: (1 x) n C1x x Cn2 x Cnn x n Lấy đạo hµm vÕ ta cã: n(1 x)n 1 Cn1 2Cn2 x nx n 1Cnn Chọn x = 1, ta được: n 2n Cn1 2Cn2 3Cn3 nCnn n 2n 1 Cnn 1 2Cnn 3Cnn 3 nCnn v× Cnk Cnn k VËy: nC Cn0 _ (n 1)Cn1 2Cnn 2 Cnn 1 n2n 1 Bµi 5: Chøng minh r»ng n(n 1)2n 2 n(n 1)Cn0 (n 1)(n 2)Cn1 2Cnn 2 Gi¶i: Ta cã: (1 x) n Cn1 x Cn2 x Cn3 x3 Cnn x LÊy đạo hàm theo x, lần thứ ta có: n(n 1)(1 x) n 2Cn2 3.2 xCn3 n(n 1) x n 2Cnn Chọn x = 1, ta được: ThuVienDeThi.com (2) n(n 1)2n 2Cn2 3.2Cn3 n(n 1)Cnn 2Cnn 3.2Cnn 3 n(n 1)Cn0 v× Cnk Cnn k VËy: n(n 1)2n 2 n(n 1)Cn0 (n 1)(n 2)Cn1 3.2Cnn 3 2Cnn 2 4/ Chøng minh nhờ tích phân Bài 1: Chứng minh Cn1 Cn2 Cnk Cnn 2n 1 C 11 1 1 k 1 n n n Giải: Ta tính tích phân: (2 x) n dx Đặt: u = + x => du = dx §ỉi cËn: x u x u VËy: (1 x) n dx u n 1 2n 1 u du n 1 n 1 n Mặt khác ta có: (1 x)2 Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x3 Cnn x n LÊy tÝch ph©n vÕ ta cã: (1 x) n = Cn0 x 10 Cn1 = Cn0 1 1 0 0 dx Cn0 dx Cn1 xdx Cn2 x dx Cnn x n dx n 1 x2 n x x C C n n 2 n 1 Cn1 C2 Cn 2n 1 n n 11 1 1 n n 1 Bµi 2: Chøng minh r»ng (1) Cnn 1 1 Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 n n Giải: Ta tính tích phân: (1 x) n dx Đặt: u = +x => du = dx §ỉi cËn: x u x 1 u ThuVienDeThi.com 1 VËy: 0 u n du 0 u n du u 1 n 1 n 1 (1) Ta cã: (1 x)n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x3 Cnn x n 1 1 1 1 1 0 0 (1 x) n dx Cn0 dx Cn1 xdx Cn2 x dx Cnn x n dx VËy (1 x) n dx = Cn0 x Cn1 x2 1 Cn2 x3 x n 1 Cnn n 1 1 1 (1) n 1 n = C Cn Cn Cn n 1 (2) n Bài 3: a) Tính tích phân I x(1 x n )n dx 1 1 (1) n n Cn Cn Cn Cn 2(n 1) 2(n 1) b) Chøng minh r»ng: Gi¶i: a) Ta cã: 1 (1 22 ) n 1 1 n I = x(1 x ) dx (1 x ) d (1 x ) 20 (n 1) 2(n 1) 1 n (1) b) Theo khai triÓn Newton ta cã: (1 x) n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x3 Cnn x n (1 x ) n Cn0 Cn1 ( x ) Cn2 ( x ) Cnn ( x ) n x(1 x ) n xCn0 x3Cn1 x5Cn2 (1) n x(1 x n )dx x n 1 n Cn 2n 1 1 x n 1 n x Cn (1) n Cn 2n So sánh (1) (2) ta cã: 1 1 (1) n n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cn 2(n 1) 2(n 1) Bài 4: a) Tính tích phân: I x(1 x) n dx ThuVienDeThi.com (2) 1 n 1 n 1 (1) n 2Cn0 22 Cn1 Cn2 (1) n Cn n 1 n 1 b) Chøng minh r»ng: Gi¶i: a) Ta có: : I (1 x)dx Đặt: u = - x => du = -dx x u x 1 u §ỉi cËn: 1 0 1 n n n (1 x) dx u du u du 1 1 u n 1 1 (1) n 1 1 (1) n 1 n 1 n 1 n 1 b) Theo khai triÓn Newton ta cã: (1 x) n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x3 Cn4 x (1) n Cnn x n LÊy tÝch ph©n vÕ: (1 x) n dx C 0 n 2 dx C xdx x dxC (1) C x dx n 2 n n n n n 2 1 (1) n n n 1 2Cn0 Cn1 x Cn2 x3 Cn x 0 n 1 1 (1) n 1 n 2Cn0 22 Cn1 22 Cn2 Cn n So sánh (1) (2) ta có: 1 n 1 n 1 (1) n 2Cn0 22 Cn1 Cn2 (1) n Cn n 1 n Bài 5: a) Tính tích phân: I x(1 x)19 dx b) Chøng minh r»ng: 1 1 S C190 C191 C192 C1918 C1919 20 21 Gi¶i: a) Ta cã: : I x(1 x)19 dx Đặt: u = -1 - x => -dt = -dx => x = - t ThuVienDeThi.com (1) x t x 1 t §ỉi cËn: (1 x) n 1 dx u du I x(1 x) dx (1 t )t (dt ) (t 19 n 0 19 19 t 20 t 21 t )dt 20 21 420 20 b) Theo nhÞ thøc Newton ta cã: x(1 x)19 x(C190 C191 x C192 x C1918 x18 C1919 x19 C190 x C191 x C192 x3 C1918 x19 C1919 x 20 21 x2 1 1 19 1 x 19 x x(1 x) dx C19 C19 C19 C19 C19 C19 21 21 420 19 HÕt ThuVienDeThi.com ... nhau.Tính tổng số Giải: Số chữ số cần tìm A45 120 (số) Tính tổng:(Sử dụng pp ghép cặp) Ghép 120 số thành 60 cặp cho tổng cặp 6666.(VD:1234+5432=6666) lưu ý với số có ! số tương ứng Vậy tổng số... tự nhiên có chữ số khác nhau.Tính tổng số Giải: -Số số cần tìm : A63 720 (số) -Tính tổng :pp cộng cột +Hàng đơn vị:các chữ số 1,2,3,4,5,6 có mặt A52 lần.Vậy tổng hàng đơn vị (1+2+3+4+5+6) A52... =105.20=2100 + Tương tự hàng chục ,hàng trăm có tổng là:21000,210000 +Hàng nghìn : chữ số 1,2,3,4,5,6 có mặt A63 lần Vậy tổng hàng nghìn 21 A63 10000=2520000 Vậy tổng cần tìm là:2520000+210000+21000+2100=2753100