Đề thi chọn học sinh giỏi huyện Hạ Hòa môn: Toán 934990

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN Thời gian: 150 phút PHÒNG GDĐT HẠ HÒA Câu (4 điểm) 2010 Cho hàm số f (x)  (x  12x  31) Tính f (a) a  16   16  a b c a2 b2 c2    Chứng minh rằng: Cho   0 bc ca ab bc ca ab Câu 2: (4,5 điểm) x2 x x 1 1 2x  x   x x 1 x x  x  x x2  x Tìm tất giá trị x cho giá trị P số nguyên Cho biểu thức P  Tìm số nguyên a cho a  số nguyên tố Câu (4,5 điểm) Cho p 2p + hai số nguyên tố lớn Chứng minh 4p + hợp số 2 Giải phương trình: x  x   x  x  2 x  Câu (2,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân A, trung tuyến AD Điểm M di động đoạn AD Gọi N P hình chiếu điểm M AB AC Vẽ NH  PD H Xác định vị trí điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn Câu 5.( 3,5 điểm) Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME  AB, MF  AD a Chứng minh: DE = CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu 6.(1 điểm) Cho a, b dương a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 HẾT ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MƠN: TỐN PHỊNG GDĐT HẠ HỊA Đáp án Câu Điểm 0,5 a  16   16   a  32  3 (16  5)(16  5).( 16   16  )  a  32  3.(4).a 0,5  a  32  12a 0,25  a  12a  32  0.25  a  12a  31  0,25  f (a )  12010  0,25 Nhân vế của: a b c   1 bc ca ab với a + b + c rút gọn  đpcm 1.Điều kiện: x  0, x  Khi ta có x 2 x  x 1 x  P   , ta coi phương trình bậc Rút gọn biểu thức ta P  Ta có Px  P  1 hai x Nếu P    x   vơ lí, suy P  nên để 0,75 tồn x phương trình có   P  1  P P     3P  P    P  P   4  P  1  3 Do P nguyên nên P  1 +) Nếu P  1   P   x  không thỏa mãn +) Nếu P  1 0,75 P  1   P   2x  x   x  P  không thỏa mãn Vậy khơng có giá trị x thỏa mãn Ta có : a  4= a -2a+2 a +2a+2  0,5 Vì a  Z  a -2a+2  Z ;a +2a+2  Z Có a +2a+2= a+1   a Và a -2a+2= a-1   a ThuVienDeThi.com 0,5 Vậy a  số nguyên tố a +2a+2=1 a - 2a+2=1 0,5 Nếu a -2a+2=1  a  thử lại thấy thoả mãn Nếu a +2a+2=1  a  1 thử lại thấy thoả mãn 0,5 1.Do p số nguyên tố lớn nên p có dạng p  3k  *) Nếu p  3k  p   k   3(2 k  1)  p  hợp số (Vô lý) *) Nếu p  3k  1, k  p   12 k   3(4 k  1) Do k   nên p  hợp số 2.Điều kiện: x  2 PT  x  x   x x   2 x    2 x   0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5   4x2  4x x   x    2x   2x   x 3     2x 1  0 0,5 2 x  x     x  4 x  x    x  (tmđk) x    0,5 0,5 A H' N P O H M B D C E ABC vuông cân A  AD phân giác góc A AD  BC D  (O; AB/2) Ta có ANMP hình vng (hình chữ nhật có AM phân giác)  tứ giác ANMP nội tiếp đường trịn đường kính NP 0,25 0,50 ฀  900  H thuộc đường trịn đường kính NP mà NHP ฀ ฀  AHN  AMN  450 (1) Kẻ Bx  AB cắt đường thẳng PD E  tứ giác BNHE nội tiếp đường trịn đường kính NE Mặt khác BED = CDP (g.c.g)  BE = PC ThuVienDeThi.com 0,25 0,50 mà PC = BN  BN = BE  BNE vuông cân B ฀ ฀ ฀  450 mà NHB  NEB  NEB (cùng chắn cung BN) ฀  450 (2)  NHB ฀  900  H  (O; AB/2) Từ (1) (2) suy AHB gọi H' hình chiếu H AB  SAHB  0,50 HH '.AB  SAHB lớn  HH' lớn mà HH' ≤ OD = AB/2 (do H; D thuộc đường tròn đường kính AB OD  AB) Dấu "=" xẩy  H  D  M  D A E 0,50 B 0,25 F M D AE  FM  DF 0,5  AED  DFC  đpcm 0,5 a Chứng minh: C b DE, BF, CM ba đường cao EFC  đpcm c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a khơng đổi  ME  MF  a không đổi 0,5  S AEMF  ME.MF lớn 0,25  ME  MF (AEMF h.v) 0,25  M trung điểm BD 0,25 (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002 0,25  (a+ b) – ab =  (a – 1).(b – 1) =  a = b = 0,2 Vì a = => b2000 = b2001 => b = 1; b = (loại) 0,25 Vì b = => a2000 = a2001 => a = 1; a = (loại) 0,25 Vậy a = 1; b = => a2011 + b2011 = * Chú ý : Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa -HẾT ThuVienDeThi.com ThuVienDeThi.com ...HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MƠN: TỐN PHỊNG GDĐT HẠ HÒA Đáp án Câu Điểm 0,5 a  16   16   a  32  3 (16  5)(16  5).( 16  ... (loại) 0,25 Vậy a = 1; b = => a2011 + b2011 = * Chú ý : Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa -HẾT ThuVienDeThi.com ThuVienDeThi.com ... tứ giác BNHE nội tiếp đường tròn đường kính NE Mặt khác BED = CDP (g.c.g)  BE = PC ThuVienDeThi.com 0,25 0,50 mà PC = BN  BN = BE  BNE vuông cân B ฀ ฀ ฀  450 mà NHB  NEB  NEB (cùng chắn