Đề thi học sinh giỏi huyện lớp năm học 2007-2008 Môn: Toán (Thời gian làm bài: 120 phút) Câu 1: (3 điểm) Cho P = x2 x x x 2( x 1) x x 1 x x a/ Tìm ĐKXĐ rút gọn P b/ Tìm giá trị nhỏ P c/ Tìm giá trị nguyên biểu thức Q = Câu 2: (2 điểm) Giải phương trình: a/ x 12 18 x 27 b/ x 3x x x x P x2 x C©u 3: (2 điểm) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác a/ Chứng minh rằng: NÕu a + b + c = th× a2 + b2 + c2 + 2abc < b/ Chøng minh: (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) abc Câu 4: (2 điểm) Cho ABC, M trung điểm BC, tia phân giác góc AMB cắt cạnh AB E, tia phân giác góc AMC cắt cạnh AC D a/ Chứng minh AED ABC đồng d¹ng DC b/ TÝnh ME2 + MD2 biÕt MC = 8cm, AD Câu 5: (1 điểm) Cho số thực dương a b thoả mÃn: a100+ b100 = a101+ b101 = a102+ b102 H·y t×m giá trị biểu thức: P = a2007+ b2007 Phòng GD & ĐT Yên Thành ThuVienDeThi.com hướng dẫn chấm toán Câu (3 đ) 0,25 ĐKXĐ: x > , x≠ a x ( x 1)( x x 1) x 2( x 1) x x 1 P= x 1 3 P = ( x )2 + ≥ 4 Min P = x = 4 2 Q= x 1 M x 0,25 P = xb c 0,5 0,5 0,25 Víi x > vµ x ≠ áp dụng bđt Cô-si cho số dương ta có: 1 Q x Do ®ã Q Z Q x M= 0,5 0,5 0,25 Câu (2đ) x 12 x 27 18 a 27 18 12 x x 0,5 2 0,5 §K: x ≥ b x x x x x x x 1 x x3 x = (Thoả mÃn ĐK) a b Câu (2đ) Vì a, b, c độ dài cạnh tam giác a + b + c = nên: a < 1, b < 1, c < (1- a)(1- b)(1- c) > ab + bc + ca - abc > (a + b + c)2 – (a2 + b2 + c2 + 2abc) > a2 + b2 + c2 + 2abc < Vì a, b, c độ dài cạnh tam giác nên: (a b c)(b c a ) b a c b a c = b a c b b (1) 2 ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 T¬ng tù: b c a c a b c (2) c a b a b c a (3) 0,25 Nh©n tõng vÕ cđa (1) (2) (3) ta có đpcm Câu (2đ) 0,25 Vì MD phân giác AMC nên: CD MC (1) AD MA Vì ME phân giác AMB nªn: a 0,5 BE MB (2) AE MA Do MB = MC nên từ (1) (2) ta cã: CD BE AD AE ED // BC AED ABC b DC DC AD AC hay AD AD AD BC AC AED ABC ED AD 5.BC 10(cm) ED = EMD vuông M ME2 + MD2 = ED2 = 100 (cm) 0,5 0,25 0,5 0,25 Câu (1đ) a102 + b102 = ( a101 + b101)( a + b) – ab(a100+ b100) Tõ gt đẳng thức suy ra: = a + b – ab hay (a -1)( b -1) = ( a ; b) = ( ; 1) P=2 ThuVienDeThi.com 0,5 0,25 0,25 ThuVienDeThi.com ... thức suy ra: = a + b – ab hay (a -1)( b -1) = ( a ; b) = ( ; 1) P=2 ThuVienDeThi.com 0,5 0,25 0,25 ThuVienDeThi.com ... b c)(b c a ) b a c b a c = b a c b b (1) 2 ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 T¬ng tù: b c a c a b c (2) c a