(LUẬN văn THẠC sĩ) mô hình ising trên các đồ thị ngẫu nhiên dày

LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan viết luận văn tìm tịi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình thầy Cấn Văn Hảo Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa cơng bố phương tiện Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, tháng 10 năm 2021 Học viên Vũ Hồng Sơn download by : skknchat@gmail.com LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Cấn Văn Hảo, người thầy trực tiếp hướng dẫn giúp đỡ tơi tìm đề tài luận văn định hình hướng nghiên cứu Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình thời gian dài thầy Thầy quan tâm, giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn Viện Toán học, trung tâm Unesco, quỹ Vinif hỗ trợ tài giúp tơi hồn thành hai năm học thạc sỹ Bên cạnh đó, q trình học tập, nghiên cứu thực Luận văn, tơi cịn nhận nhiều quan tâm, góp ý, hỗ trợ quý báu thầy cô, anh chị bạn bè ngồi Viện Tốn học Đặc biệt xin gửi lời cảm ơn anh Nguyễn Văn Quyết, người đồng hành xêmina suốt năm vừa qua Tôi xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi môi trường học tập nơi đào tạo Viện Toán học sở đào tạo Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam suốt q trình thực luận văn Đặc biệt, xin cảm ơn gia đình, người thân bạn bè ln sát cánh, động viên khích lệ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu download by : skknchat@gmail.com Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đồ thị đồ thị có trọng 1.1.1 Kí hiệu định nghĩa 1.1.2 Mật độ đồng cấu dãy đồ thị hội tụ trái 1.2 Graphon 1.2.1 Graphon mật độ đồng cấu 1.2.2 Chuẩn cắt graphon 1.2.3 Không gian metric graphon 1.3 Mơ hình Ising đồ thị ngẫu nhiên 1.3.1 Giới thiệu mơ hình Ising 1.3.2 Mơ hình Ising đồ thị 7 9 11 11 12 12 14 Mơ hình Ising graphon đồ thị dày 2.1 Mơ hình spin tổng qt graphon 2.2 Mơ hình Ising đồ thị dày 2.3 Một ví dụ 18 18 21 24 Mơ hình Ising trung bình đồ thị ngẫu nhiên dày 3.1 Sự hội tụ hàm lượng tự trung bình 3.2 So sánh hai hàm lượng tự 3.2.1 Định lí so sánh 3.2.2 Một ví dụ 29 29 42 42 44 Tài liệu tham khảo download by : skknchat@gmail.com 48 MỞ ĐẦU Mơ hình Ising mơ hình tốn học đơn giản mơ tả tượng chuyển pha vật lí thống kê Mục đích ban đầu mơ hình Ising, chủ đề luận án tiến sĩ Ising giải thích cấu trúc tính chất chất sắt từ Ở đây, Ising cố gắng giải thích số liệu thực nghiệm quan sát vật liệu sắt từ cách sử dụng mơ hình người thầy Lenz đề xuất năm 1920 Gần đây, mơ hình Ising trở nên phổ biến đưa mơ hình đơn giản để đạt đồng thuận quần thể Thật vậy, giả định bạn bè có nhiều khả có quan điểm phản đối ý kiến, sử dụng mơ hình Ising mạng lưới tình bạn để mơ hình hóa ý kiến chiếm ưu dân số hồn cảnh Thêm vào đó, mạng lưới phức tạp thường khó quan sát thường mô tả qua đồ thị ngẫu nhiên Kết là, mơ hình Ising đồ thị ngẫu nhiên khơng nghiên cứu mạnh nhà vật lý tốn, cơng nghệ thơng tin, mà cịn trở nên phổ biến nhà kinh tế học nhà khoa học xã hội, sau tìm thấy nhiều ứng dụng khoa học thần kinh, sinh học v.v Chẳng hạn Contucci, Gallo Menconi [1] ví dụ khoa học xã hội, Kohring [2] cho ứng dụng tác động xã hội, Fraiman, Balenzuela, Foss Chialvo [3] cho ứng dụng cho não Bornholdt Wagner [4] cho ví dụ kinh tế Giả sử ta có đồ thị ngẫu nhiên G = (V, E) với tập đỉnh V tập cạnh E Mỗi đỉnh đồ thị gán hai spin +1 −1 Như không gian tất trạng thái Ω = {+1, −1}|V | Năng lượng trạng thái σ ∈ Ω cho hàm Halminton: H(σ) = −β σu σv − B u∼v σu , u∈V đây, u ∼ v nghĩa uv ∈ E , hay u kề với v G, β > tham số đặc trưng cho nghịch đảo nhiệt độ B từ trường tác động lên hệ Lưu ý, H biến ngẫu nhiên G đồ thị ngẫu nhiên Từ nảy sinh nhiều cách định nghĩa độ đo Gibbs không gian trạng thái Ω Ở đây, ta xét hai loại độ đo theo định luật Boltzmann độ đo Gibbs ngẫu nhiên, kí hiệu µ, độ đo Gibbs trung bình, kí hiệu µ sau Với σ ∈ Ω, µ(σ) = exp(−H(σ)) , Z µ(σ) = E[exp(−H(σ)] , E[Z] E kì vọng lấy theo đồ thị ngẫu nhiên G Z hàm phân hoạch cho Z= exp(−H(σ)) σ∈Ω download by : skknchat@gmail.com Như µ độ đo ngẫu nhiên µ độ đo không ngẫu nhiên lấy trung bình tất đồ thị ngẫu nhiên Các câu hỏi mơ hình Ising tập trung nghiên cứu tính chất khơng gian trạng thái độ đo Gibbs Hàm phân hoạch Z đóng vai trò quan trọng nghiên cứu độ đo này, đặc biệt giới hạn log Z , N →∞ N ϕ(β, B) = lim log EZ , N N →∞ ϕ(β, B) = lim N = |V | số đỉnh đồ thị Hàm ϕ (tương ứng ϕ) gọi hàm lượng tự (tương ứng lượng tự trung bình) Các hàm chứa nhiều thơng tin vật lí hệ, ví dụ từ tính trung bình, độ nhạy từ, nhiệt dung riêng thu từ đạo hàm hàm Bởi vậy, câu hỏi nghiên cứu mơ hình Ising tìm hàm lượng tự Trong khoảng 20 năm gần đây, đồ thị ngẫu nhiên giới hạn đề tài nhận nhiều thu hút toán học, ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học máy tính, mạng thần kinh, mạng xã hội Khái niệm hội tụ dãy đồ thị dày (khi số cạnh có cỡ bình phương số đỉnh, ví dụ đồ thị đầy đủ) đưa Lovász cộng [5], [6], [7] Ý tưởng coi không gian đồ thị không gian hàm số từ [0, 1]2 vào [0, 1] từ coi hội tụ đồ thị hội tụ hàm số Ở đồ thị G gồm N đỉnh coi hàm số W G [0, 1]2 có cách xác định sau: Với (x, y) ∈ [0, 1]2 , tồn số tự nhiên i j thỏa mãn i−1 i j−1 j a N ) n = o(1) Đẳng thức cuối nhận từ bất bẳng thức độ tập trung phân phổi chuẩn, theo [28], chương 7.1 Kết hợp với 3.1.25 suy EZ exp N FN √Z N = EZ exp N FN √Z N = EZ exp N F √Z N = EZ exp N F √Z N √ a N ) + EZ exp N FN √ + o(1) I(|Z|∞ a N ) + o(1) I(|Z|∞ √Z N √ I(|Z|∞ > a N ) eo(1) + o(1) Sau tác động thêm hàm log lấy giới hạn N → ∞, ta thu lim sup N →∞ log EZ exp N FN N √Z N − log EZ exp N F N √Z N Bước 3: Phân tích độ lệch lớn kết luận Kì vọng cơng thức log EZ exp N FN N √Z N download by : skknchat@gmail.com = (3.1.31) 42 kì vọng hàm√lũy thừa nên ta sử dụng cơng thức độ lệch lớn Vectơ ngẫu nhiên Gaussian Z/ N thỏa mãn nguyên lí độ lệch lớn với hàm tỷ lệ I(z) = |z|2 /2 tốc độ N , Z (d) √ = N N Z (1) + + Z (N ) , Z (i) i∈[N ] vectơ ngẫu nhiên Gaussian n chiều độc lập Sử dụng bổ đề Varadhan với kết z → F (z) hàm liên tục, ta thu log EZ exp N F lim N →∞ N √Z N = sup n (zk )n k=1 ∈R n F (z) − zk2 k=1 Cuối cùng, kết hợp kết với (3.1.24) (3.1.31), ta có (n) ϕ (β, B) = (n) lim ϕN (β, B) N →∞  = log + sup n (zk )n k=1 ∈R = log + n (zk )n k=1 ∈R zk2 k=1 n β log cosh  sup n F (z) − λk zk uk (x) + B dx − k=1 n  zk2  k=1 Vậy ta giải xong định lí 3.1.6 3.2 So sánh hai hàm lượng tự 3.2.1 Định lí so sánh Định lý 3.2.1 Cho W graphon xác định dương Gọi GN (W ) dãy đồ thị ngẫu nhiên tắc sinh W , gọi ϕ(β, B), ϕ(β, B) tương ứng giới hạn hàm lượng tự mô hình Ising ngẫu nhiên trung bình GN (W ) Khi đó, với β, B ta có bất đẳng thức ϕ(β, B) ϕ(β, B) (3.2.1) Chứng minh Trước hết, ta nhắc lại ϕN (β, B) = log ZN → ϕ(β, B) N ϕN (β, B) = h.c.c., log E[ZN ] → ϕ(β, B) N download by : skknchat@gmail.com 43 Do đó, để chứng minh (3.2.1), sử dụng Bổ đề Borel-Cantelli cần với ε > 0, P(ϕN (β, B) ϕN (β, B) + ε) = O(N −2 ), O(N −2 ) khơng phụ thuộc ε Bởi bất đẳng thức Jensen, E[log ZN ] log E[ZN ] Do vậy, ta cần chứng minh P(| log ZN − E[log ZN ]| εN ) = O(N −2 ) (3.2.2) Đặt Iij = I(i ∼ j) biến ngẫu nhiên nhận giá trị i nối với j ngược lại Chúng ta đánh số lại biến ngẫu nhiên {Iij , i < j n} {Ik , k KN } Chúng ta coi log ZN hàm tất định biến ngẫu nhiên {Ik , k KN }, N (N −1) Với k KN , định nghĩa KN = Xk = E[log ZN | σ(I1 , , Ik )] N Khi (Xk )K k=1 martingale thỏa mãn X0 = E[log ZN ] XKN = log ZN Ngoài ra, |Xk − Xk−1 | max | log ZN ((Il )l=k , Ik = 1) − log ZN ((Il )l=k , Ik = 0)| (Il )l=k (3.2.3) Với σ ∈ ΩN , ta có |HN (σ)((Il )l=k , Ik = 1) − HN (σ)((Il )l=k , Ik = 0)| Mặt khác ZN = σ∈ΩN exp(−HN (σ)), lập luận tương tự (3.1.10), exp(−HN (σ)) − log log σ∈ΩN β N exp(−HN (σ)) σ∈ΩN max |HN (σ) − HN (σ)| σ∈ΩN Do đó, | log ZN ((Il )l=k , Ik = 1) − log ZN ((Il )l=k , Ik = 0)| max |HN (σ)((Il )l=k , Ik = 1) − HN (σ)((Il )l=k , Ik = 0)| σ∈ΩN β N Bất đẳng thức với (Il )l=k Do vậy, kết hợp với (3.2.3) ta thu với k KN , |Xk − Xk−1 | β N download by : skknchat@gmail.com 44 N Từ đó, ta áp dụng định lí Azuma cho dãy martingale (Xk )K k=1 với gia số bị chặn β/N thu P(| log ZN − E[log ZN ]| exp −(εN )2 2KN (β/N )2 εN ) = P(|X0 − XKN | εN ) exp(−(εN/β)2 ) (3.2.4) Do đó, (3.2.2) chứng minh Chú ý Bất đẳng thức Azuma (3.2.4) mạnh, log ZN tập trung cao độ xung quanh giá trị trung bình Thật vậy, với x > 0, P(| log ZN − E[log ZN ]| x) = P(|X0 − XKN | x) exp −x2 2KN (β/N )2 exp(−x2 /β ) Nói riêng, ∞ √ x)dx P(| log ZN − E[log ZN ]| Var(log ZN ) C, với C = C(β) < ∞ 3.2.2 Một ví dụ Chúng ta quay trở lại với ví dụ 2.3.1 xem xét mơ hình Ising với độ đo trung bình Ví dụ 3.2.2 Xét graphon cho W (x, y) = p r x, y 12 , trường hợp khác, < x, y với p r dãy đồ thị ngẫu nhiên tắc (GN (W ))N Lưu ý rằng, điều kiện p r nhằm đảm bảo W graphon xác định dương Gọi ϕN (β, B) hàm lượng tự trung bình mơ hình Ising GN (W ) Ta cần tính giới hạn ϕ(β, B) = lim ϕN (β, B) N →∞ Lời giải Do tính đối xứng mơ hình, khơng tính tổng qt, ta xét B Từ cơng thức W (x, y), dễ dàng kiểm tra W (x, y) = λ1 u1 (x)u1 (y) + λ2 u2 (x)u2 (y) download by : skknchat@gmail.com (3.2.5) 45 với λ1 = p+r , λ2 = p−r ; u2 (x) = I(x ∈ [0, 21 ]) − I(x ∈ ( 12 , 1]) u1 ≡ 1, Từ định lí 3.1.6, ta có ϕ(β, B) = log + max L(z1 , z2 ), z1 ,z2 ∈R L(z1 , z2 ) = log cosh βλ1 z1 u1 (x) + = log cosh + log cosh βλ1 z1 + βλ1 z1 − 1 βλ2 z2 u2 (x) + B dx − z12 − z22 2 βλ2 z2 + B 1 βλ2 z2 + B − z12 − z22 2 Ta có phương trình ∇L = tương đương với  √  z1 = βλ1 tanh(√βλ1 z1 + √βλ2 z2 + B) + tanh(√βλ1 z1 − √βλ2 z2 + B)  z2 √2 √ √ √ √ βλ2 = tanh( βλ1 z1 + βλ2 z2 + B) − tanh( βλ1 z1 − βλ2 z2 + B) (3.2.6) Khơng khó để thấy z2 = nghiệm hệ (3.2.6) Mặt khác, ta thấy giá trị lớn L phải xảy z2 = qua bất đẳng thức 2L(z1 , z2 ) − L z1 + λ2 λ1 z2 , − L z1 − λ2 λ1 z2 , = −2z22 + λ2 z λ1 Từ đây, thay z2 = vào hệ phương trình (3.2.6), ta thu phương trình tanh( βλ1 z1 + B) − βλ1 z1 = Kết hợp với B > công cụ khảo sát hàm số, ta thu kết max L(z1 , z2 ) = L(z1 , 0) z1 ,z2 z1 nghiệm lớn phương trình (3.2.7) Do đó, ϕ(β, B) = log + log cosh( Đặt m1 = βλ1 z1 + B) − z1 √ βλ1 z1 ϕ(β, B) = log + log cosh(βλ1 m1 + B) − βλ1 m1 download by : skknchat@gmail.com (3.2.7) 46 m1 nghiệm lớn phương trình (3.2.8) tanh(βλ1 m1 + B) = m1 Tiếp theo, ta giới hạn giới hạn hàm lượng tự mơ hình Ising ngẫu nhiên Mệnh đề 3.2.3 Với graphon cho ví dụ 2.3.1 3.2.2 p r, ϕ(β, B) = ϕ(β, B), βc = inf{β : lim+ M (β, B) > 0} = B→0 , λ1 đó, M (β, B) = lim MN (β, B) = lim N →∞ N →∞ SN N µN với SN = σ1 + + σN Chứng minh Ta nhắc lại ϕ(β, B) = log + (1 + m1 ) log(1 + m1 ) + (1 − m1 ) log(1 − m1 ) βλ1 (m1 )2 + Bm1 − 2 (3.2.9) ϕ(β, B) = log + log cosh(βλ1 m1 + B) − βλ1 m1 (3.2.10) m1 nghiệm lớn thỏa mãn tanh(βλ1 m1 + B) = m1 (3.2.11) Phương trình viết lại thành βλ1 m1 + B = log(1 + m1 ) − log(1 − m1 ) (3.2.12) Thay (3.2.12) vào (3.2.9) ta có ϕ(β, B) = log + βλ1 (m1 )2 + Bm1 log(1 + m1 ) + log(1 − m1 ) m1 log(1 + m1 ) − log(1 − m1 ) − − 2 log(1 + m ) + log(1 − m1 ) βλ1 = log + (m1 )2 + Bm1 − − m1 (βλ1 m1 + B) 2 βλ1 = log − (m1 )2 − log − m12 download by : skknchat@gmail.com 47 Thay (3.2.11) vào phương trình sử dụng đẳng thức ϕ(β, B) = log + log cosh(βλ1 m1 + B) − = − tanh2 (x) ta có cosh (x) βλ1 m1 = ϕ(β, B) Tiếp theo, sử dụng lập luận tương tự cho Mệnh đề 2.3.4, thu B > M (β, B) = lim MN (β, B) = lim N →∞ N →∞ SN N = µN ∂ ϕ(β, B) ∂B Thêm ϕ(β, B) = ϕ(β, B), ta có βc = βc = 1/λ1 download by : skknchat@gmail.com 48 Kết luận Ngày nay, nhiều vấn đề khoa học kĩ thuật khác hệ thống máy tính, mạng xã hội, mạng thần kinh, dịch tễ học đưa vào mơ hình đồ thị ngẫu nhiên Điều dẫn đến phát triển mạnh mẽ sơi động lí thuyết đồ thị ngẫu nhiên năm gần Rất nhiều ý tưởng tốn học vật lí sử dụng để nghiên cứu tính chất đồ thị ngẫu nhiên Luận văn đóng góp chút hiểu biết mơ hình Ising đồ thị ngẫu nhiên Trong luận văn này, nghiên cứu hội tụ hàm lượng tự cho đồ thị ngẫu nhiên xác định thông qua graphon W Hai kết luận văn là: • Sự hội tụ hàm lượng tự mơ hình Ising ứng với dãy đồ thị ngẫu nhiên đỉnh nối với cách độc lập với xác suất xác định thông qua graphon W (định lí 3.1.6) • Định lí so sánh hai hàm lượng tự mơ hình Ising ngẫu nhiên (định lí 3.2.1) Ngồi ra, chúng tơi đưa ví dụ với hàm graphon gồm thành phần để minh họa cho kết (3.2.2) Hướng nghiên cứu tiếp theo: Sau hồn thành luận văn, dự kiến số hướng nghiên cứu sau: • Chứng minh định lí 3.1.6 cho trường hợp graphon • Nghiên cứu điểm chuyển pha dáng điệu tiệm cận hàm lượng tự quanh điểm chuyển pha • Nghiên cứu tính khả vi hàm ϕ(β, B) • Nghiên cứu định lí giới hạn trung tâm định lí giá trị trung gian hàm từ hóa MN (β, B) download by : skknchat@gmail.com 49 Tài liệu tham khảo [1] P Contucci, I Gallo, and G Menconi Phase transitions in social sciences: two-population mean field theory International Journal of Modern Physics B, 22(14):2199-2212, (2008) [2] G Kohring Ising models of social impact: the role of cumulative advantage Journal de Physique I, 6(2):301-308, (1996) [3] D Fraiman, P Balenzuela, J Foss, and D Chialvo Ising-like dynamics in largescale functional brain networks Physical Review E, 79(6):061922, (2009) [4] S Bornholdt and F Wagner Stability of money: phase transitions in an ising economy Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 316(1):453-468, (2002) [5] C Borgs, J Chayes, L Lovász, V.T Sós and K Vesztergombi: Convergent Sequences of Dense Graphs I: Subgraph Frequencies, Metric Properties and Testing, Advances in Math 219 (2008), 1801-1851 [6] C Borgs, J Chayes, L Lovász, V.T Sós and K Vesztergombi: Convergent Sequences of Dense Graphs II: Multiway Cuts and Statistical Physics, Annals of Math 176 (2012), 151-219 [7] L Lovász and B Szegedy: Limits of dense graph sequences J Comb Theory B 96 (2006), 933-957 [8] Remco van der Hofstad Stochastic processes on random graphs Lecture notes for the 47th Summer School in Probability in Saint-Flour Available in https://www.win.tue.nl/ rhofstad/ [9] E Ising Beitrag zur Theorie des Ferro- und Paramagnetismus Ph.D Thesis, University of Hamburg, 1924 [10] M Niss History of the lenz-ising model 1920-1950: From ferromagnetic to cooperative phenomena Archive for History of Exact Sciences, 59(3): 267–318, 2005 download by : skknchat@gmail.com 50 [11] E Schneidman, M J Berry II, R Segev, and W Bialek Weak pairwis correlations imply strongly correlated network states in a neural population Nature, 440(7087):1007–1012, 2006 [12] Allan Gut Probability: A Graduate Course, Springer New York, (2013) [13] B A Cipra An introduction to the Ising model The American Mathematical Monthly 94(10): 937-959 (1987) [14] J J Hopfield Neural networks and physical systems with emergent collective computational abilities Proceedings of the national academy of sciences, 79 (8):2554–2558, 1982 [15] S N Durlauf Statistical mechanics approaches to socioeconomic behavior National Bureau of Economic Research Cambridge, 1996 [16] S N Durlauf How can statistical mechanics contribute to social science? Proceedings of the National Academy of Sciences, 96(19):10582–10584, 1999 [17] S Galam Rational group decision making: a random field Ising model at T = Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 238(1):66–80, 1997 [18] S Galam and A C R Martins Two-dimensional Ising transition through a technique from two-state opinion-dynamics models Physical Review E, 91(1):012108, 2015 [19] S Galam and S Moscovici Towards a theory of collective phenomena: consensus and attitude changes in groups European Journal of Social Psychology, 21(1):49–74, 1991 [20] P Contucci and S Ghirlanda Modeling society with statistical mechanics: An application to cultural contact and immigration Quality and Quantity, 41(4):569–578, 2007 [21] A Dembo and A Montanari Ising models on locally tree-like graphs Ann Appl Probab 20(2): 565-592, (2010) [22] C Giardinà, C Giberti, R van der Hofstad and M.L Prioriello Annealed central limit theorems for the Ising model on random graphs ALEA 13(1): 121-161, (2016) Open Access [23] V H Can Limit theorems for the annealed Ising model on random regular graphs Ann Appl Probab 29(3): 1398-1445 (2019) download by : skknchat@gmail.com 51 [24] V H Can, C Giardina, C Giberti, R van der Hofstad Annealed Ising model on configuration models to appear Ann Inst H Poincaré Probab Statist (2021) [25] S Dommers, C Giardinà, C Giberti, R van der Hofstad and M.L Prioriello Ising critical behavior of inhomogeneous Curie-Weiss and annealed random graphs Communications in Mathematical Physics 348 (1): 221–263, (2016) [26] C Giardinà, C Giberti, R van der Hofstad and M.L Prioriello Quenched central limit theorems for the Ising model on random graphs Journal of Statistical Physics 160(6): 1623-1657, (2015) [27] Sourav Chatterjee Large Deviations for Random Graphs, Springe (2015) [28] W Feller An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol 1, Third edition, Wiley 196 download by : skknchat@gmail.com ... 1.3 Mơ hình Ising đồ thị ngẫu nhiên 1.3.1 Giới thiệu mơ hình Ising 1.3.2 Mơ hình Ising đồ thị 7 9 11 11 12 12 14 Mơ hình Ising graphon đồ thị dày 2.1 Mơ hình. .. skknchat@gmail.com 29 Chương Mô hình Ising trung bình đồ thị ngẫu nhiên dày Mơ hình Ising dãy đồ thị ngẫu nhiên thường gắn với hai loại độ đo độ đo ngẫu nhiên độ đo trung bình Chương luận văn trình bày giới... skknchat@gmail.com 21 2.2 Mơ hình Ising đồ thị dày Trước hết, ta xây dựng định nghĩa dãy đồ thị ngẫu nhiên tắc mơ hình Ising với độ đo ngẫu nhiên Cuối thấy rằng, hàm lượng tự định nghĩa dãy đồ thị dày hội tụ tới