(Luận văn thạc sĩ) Nguyên lý Carpets và ứng dụng

(Luận văn thạc sĩ) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Nguyên lý Carpets và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - HÀ MẠNH CƯỜNG NGUYÊN LÝ CARPETS VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Trịnh Thanh Hải THÁI NGUYÊN - 2021 i Mục lục Danh sách hình vẽ iii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nguyên lý Carpets 1.2 Ý nghĩa hình học nguyên lý Carpets Ứng dụng nguyên lý Carpets vào giải số tốn hình học phẳng 2.1 16 Ý tưởng chung việc ứng dụng nguyên lý Carpets vào giải tốn hình học phẳng 16 2.2 Một số ví dụ minh họa việc ứng dụng nguyên lý Carpets vào giải toán hình học phẳng 19 2.3 Một số ứng dụng nguyên lý Carpets thực tiễn 36 √ 2.3.1 Chứng minh số vô tỉ 36 √ 2.3.2 Chứng minh số vô tỉ 39 2.3.3 Đặc trưng ba Pythagoras 40 2.3.4 Các bất đẳng thức trung bình 42 2.3.5 Tổng lập phương 43 2.3.6 Chia đơi hình tròn âm dương 44 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 ii Danh sách hình vẽ 1.1 [DM R] = [BCR] 1.2 Nguyên lý Carpets 1.3 [AOD] = [BOC] 1.4 [CDP ] = [AM P ] + [BCM ] 1.5 [DP QR] = [AM P ] + [BM QN ] + [CN R] 1.6 Nguyên lý Carpets 1.7 Hai cách bố trí hai thảm phịng hình vng 1.8 [AEF ] = [DF P ] + [BEN ] 10 1.9 [M IP J] = [P AB] 11 1.10 Tính diện tích tứ giác IM DN 12 1.11 [QBCR] = [AM QP ] + [P RN D] 13 2.1 Diện tích phần màu xám diện tích phần màu đỏ 18 2.2 [AEF ] = [DF P ] + [BEN ] 19 2.3 [XY ZT ] = [AQX] + [BM Y ] + [CN Z] + [DP T ] 20 2.4 Điểm M nằm 2.5 [ABM ] + [BCM ] + [CAM ] = [ABC] 22 2.6 [P SQR] = [ARD] + [BSC] 22 2.7 Diện tích miền màu trắng không đổi 24 2.8 Ba đường chéo giao điểm 25 2.9 Diện tích phần màu hồng phần màu vàng 26 ABC 21 2.10 Diện tích phần màu hồng phần màu vàng 27 iii 2.11 Tổng diện tích hai nửa đường trịn nửa diện tích hình trịn 27 2.12 Diện tích miền màu xám tổng diện tích hai miền màu vàng 29 2.13 [AEP F ] = [BCP ] 29 2.14 [AEDF ] = [BDH] 30 2.15 Diện tích tam giác màu đỏ diện tích tam giác màu xanh 31 2.16 Lưới điểm cách đơn vị dài 32 2.17 [A] + [B] = [C] 33 2.18 Tìm diện tích tam giác màu đỏ 33 2.19 Tìm x 34 2.20 Diện tích màu xám diện tích màu xanh 35 √ 2.21 số vô tỉ 37 √ 2.22 số vô tỉ 40 2.23 Bộ ba Pythagoras (a, b, c) 41 2.24 Các bất đẳng thức trung bình 42 2.25 Tổng lập phương 43 2.26 Biểu tượng âm dương quốc kỳ Hàn Quốc 44 2.27 Hình trịn âm dương 45 2.28 Chia đơi đường trịn âm dương cách 45 2.29 Chia đơi đường trịn âm dương cách 46 2.30 Chia đơi đường trịn âm dương cách 47 2.31 Chia đơi đường trịn âm dương cách 47 2.32 Chia đơi đường trịn âm dương cách 48 Mở đầu Trong chương trình mơn Tốn trường phổ thơng, hình học phẳng nội dung quan trọng xuất đề thi THPT Quốc gia, tạp chí tốn học, blog tốn học, đề thi học sinh giỏi hay kì thi Olympic Hình học nói chung, tốn hình học phẳng nói riêng ln đánh giá nội dung tương đối khó, thường địi hỏi học sinh hiểu xác mối quan hệ yếu tố hình học, đối tượng hình học xét mà đơi ngơn ngữ khó diễn đạt cách đầy đủ Do toán hình học phẳng ln tốn thú vị thường phức tạp ln có sức hấp dẫn, niềm đam mê, thu hút yêu thích thầy dạy tốn học sinh Trong khuôn khổ luận văn, xin dành quan tâm đến nguyên lý Carpets (tiếng Việt thường gọi nguyên lý trải thảm toán liên quan đến nguyên lý Carpets) Tuy nhiên, cách thức khơng giảng dạy chương trình đại trà, chương trình nâng cao bậc phổ thơng Có thể diễn tả trực quan ngun lý Carpets sau: Cho hai thảm có tổng diện tích diện tích nhà Nếu ta trải hai thảm phạm vi nhà diện tích phần nhà chưa trải thảm diện tích nhà phủ hai thảm Trong thời gian vừa qua, có nhiều học viên cao học lựa chọn chủ đề liên quan đến hình học để triển khai luận văn thạc sĩ, chưa có học viên nghiên cứu nguyên lý Carpets toán liên quan đến nguyên lý Carpets (dành cho học sinh khá, giỏi) để phát triển thành luận văn thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp tốn sơ cấp Với mong muốn tìm hiểu nguyên lý Carpets để ứng dụng vào giải số toán liên quan, để làm tài liệu cho việc giảng dạy thân làm tài liệu tham khảo cho học sinh khá, giỏi tự học, chọn chủ đề “Nguyên lý Carpets ứng dụng” vào giải số toán liên quan đến nguyên lý Carpets làm luận văn thạc sĩ Mục đích luận văn tìm hiểu ngun lý Carpets, tìm hiểu ý nghĩa hình học nguyên lý Carpets qua việc sử dụng phần mềm hình học động Sưu tầm tốn hình học phẳng luyện thi đội tuyển học sinh giỏi, đề thi học sinh giỏi tốn dựa vào ngun lý Carpets để giải Trình bày lời giải, cố gắng đưa lời giải tường minh tốn, đề thi mà tài liệu tham khảo có lời giải vắn tắt định hướng lời giải sở dựa vào nguyên lý Carpets để giải Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, đề tài gồm chương, cụ thể: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày nguyên lý Carpets bổ sung số kiến thức nâng cao để làm rõ sở cho tốn trình bày Chương luận văn Chương Ứng dụng nguyên lý Carpets vào giải số tốn hình học phẳng Trong Chương 2, chúng tơi trình bày việc ứng dụng ngun lý Carpets kiến thức liên quan đến nguyên lý Carpets để giải số tốn hình học phẳng dành cho luyện thi đội tuyển học sinh giỏi Trong suốt q trình làm luận văn, tơi nhận hướng dẫn giúp đỡ tận tình PGS TS Trịnh Thanh Hải Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy! Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun, thầy giáo, phịng chức trường tạo điều kiện tốt cho q trình học tập trường Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học Tốn khóa 13 truyền thụ cho nhiều kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu khoa học quý báu Cuối tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, người thân đồng nghiệp động viên giúp đỡ tác giả suốt trình học tập Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 10 năm 2021 Học viên Hà Mạnh Cường Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày ngun lý Carpets bổ sung số kiến thức nâng cao để làm rõ sở cho tốn trình bày Chương luận văn 1.1 Nguyên lý Carpets Trong luận văn ta quy ước ký hiệu diện tích hình phẳng A [A] Nguyên lý Carpets tổng qt hóa từ tốn đơn giản sau Bài tốn 1.1.1 ([5]) Cho hình vng ABCD, lấy M điểm cạnh AB Đặt R giao điểm M C BD Chứng minh diện tích tam giác DM R diện tích tam giác BCR Hình 1.1: [DM R] = [BCR] Giải Hai tam giác BM D BM C có chung đáy BM có chung chiều cao (AD = BC) Do đó, chúng có diện tích Hai tam giác có giao tam giác BM R Do đó, xóa phần chung hai phần cịn lại có diện tích nhau: [DM R] = [BCR] Có thể diễn tả trực quan nguyên lý Carpets sau: Định lý 1.1.2 (Nguyên lý Carpets 1, [5]) Nếu hai thảm có diện tích đè lên phần khơng đè lên hai thảm có diện tích ngược lại Hình 1.2: Ngun lý Carpets Từ nguyên lý Carpets, ta giải hàng loạt toán thú vị sau hình thang Bài tốn 1.1.3 ([5]) Cho hình thang ABCD Chứng minh diện tích hai tam giác tạo hai đường chéo hình thang kề với hai cạnh bên Hình 1.3: [AOD] = [BOC] Chứng minh Gọi hình thang ABCD, O giao điểm hai đường chéo Tam giác ACD tam giác BCD có diện tích chúng có chung đáy CD đường cao đường cao hình thang Tam giác DOC phần chung hai tam giác ACD BCD Theo nguyên lý Carpets, phần không giao tam giác ACD tam giác BCD Hay tam giác AOD BOC có diện tích (xem Hình 1.3) Bài tốn 1.1.4 ([5]) Cho hình vng ABCD, M trung điểm AB Gọi P giao điểm AC với M D Chứng minh diện tích tam giác CDP tổng diện tích tam giác AM P BCM Hình 1.4: [CDP ] = [AM P ] + [BCM ] Chứng minh Hai tam giác ABC CDM có diện tích nửa diện tích hình vng nên có diện tích Mặt khác, phần chung hai tam giác tam giác M P C Do theo ngun lý Carpets, phần khơng giao hai tam giác có diện tích Tức [CDP ] = [AM P ] + [BCM ] Nhận xét 1.1.5 Trong Ví dụ 1.1.4, theo nguyên lý Carpets ta có [ADP ] = [CM P ] 36 2.3 Một số ứng dụng nguyên lý Carpets thực tiễn 2.3.1 Chứng minh √ số vơ tỉ Hiện có nhiều cách để chứng minh √ số vơ tỉ Trong [5] trình bày 29 cách chứng minh khác Một số có dùng nguyên lý trải thảm Sau đây, luận văn trình bày số cách chứng minh để so sánh cách √ m , (m, n) = hay n n mẫu số nhỏ có tính chất Ta có m > n n > m − n Mặt khác √ √ √ √ − 2n − m − m = m n =√ = (2 − 2)( + 1) = m−n 2−1 n −1 Cách Giả sử phản chứng √ 2= 2n − m Nhưng điều mâu thuẫn với n mẫu số nhỏ m√− n √ m có tính chất = Chứng tỏ số vô tỉ n √ m Cách Giả sử phản chứng = , (m, n) = hay n n mẫu số nhỏ có tính chất Ta có m > n n > m − n Mặt khác, Hay 2= từ 2n2 = m2 suy 4n2 − 4mn + m2 = 2n2 − 4mn + 2m2 ⇔ (2n − m)2 = 2(m − n)2 √ (2n − m)2 2n − m ⇔2= ⇔ 2= (m − n) m−n √ m Điều mâu thuẫn với n mẫu số nhỏ có tính chất = n √ Chứng tỏ số vô tỉ √ m Cách Giả sử phản chứng = , m, n số nguyên n dương thỏa mãn (m, n) = hay phân số tối giảm Vì m2 = 2n2 nên tồn hai hình vng với cạnh nguyên m n cho diện tích hình 37 vng cạnh m hai lần diện tích hình vng cạnh n Và m, n số ngun nhỏ có tính chất Xem Hình 2.21(a) Hình 2.21: √ số vơ tỉ Đặt hai hình vng nhỏ vào hình vng lớn Hình 2.21(b) Độ dài cạnh hình vng màu trắng m − n < n Độ dài cạnh hình vng màu xám 2n − m < m Các hình vng có độ dài cạnh ngun hiệu số nguyên số nguyên Theo ngun lý Carpets, diện tích hình vng màu xám tổng diện tích hai hình vng màu trắng hay 2(m − n)2 = (2n − m)2 ⇔ √ 2= 2n − m m−n Mẫu thuẫn với m n số ngun nhỏ có tính chất √ Chứng tỏ số vô tỉ √ = m/n Edwin Halfar (Am Math Monthly, Vol 62, No (1955), p 437) trình bày cách chứng minh dựa ý tưởng tương tự Cách sau √ n Cách Giả sử = , n, m nguyên dương Khi n > m m tồn số nguyên p > cho n = m + p 2m2 = n2 = (m + p)2 = m2 + 2mp + p2 ⇒ m2 = p2 + 2mp Điều kéo theo m > p Do đó, tồn số nguyên a > 0, a < m cho m = p + a, n = m + p = p + a + p = 2p + a Từ 2m2 = n2 suy 2(p + a)2 = (2p + a)2 38 ⇔ 2p2 + 4pa + 2a2 = 4p2 + 4pa + a2 ⇔ a2 = 2p2 Do đó, ta lặp lại tồn q trình vơ hạn lần n > m > p > a > ··· , tập số nguyên dương khác rỗng có phần tử nhỏ nên √ q trình khơng thể lặp lại vô hạn lần, mâu thuẫn chứng tỏ số vô tỉ Chứng minh Edwin Halfar khẳng định cho hai hình vng với cạnh ngun cho hình có diện tích hai lần diện tích hình cịn lại, tồn cặp hình vng nhỏ có tính chất Ta áp dụng nguyên lý Carpets minh họa cho chứng minh Edwin Halfar sau Cách Cho hai hình vng với cạnh ngun, hình có diện tích hai hình cịn lại Di chuyển hai hình vng nhỏ vào hai góc đối diện hình vng lớn 39 Phần giao hình vng nhỏ hình vng (hình màu đỏ) hình vng lớn Hình vng lớn trừ hợp hai hình vng nhỏ tạo thành hai hình vng nhỏ (màu xanh) hai góc hình vng lớn Theo ngun lý Carpets 2, ta có diện tích hình vng màu đỏ tổng diện tích hai hình vng màu xanh Hiển nhiên hình vng có cạnh ngun hình vng ban đầu có cạnh nguyên, hiệu số nguyên số nguyên Ta lặp lại tồn q trình vơ hạn lần Nhưng tập số ngun dương khác rỗng có phần tử nhỏ nên q trình lặp lại vô hạn lần, mâu thuẫn chứng tỏ khơng tồn hai hình vng với cạnh ngun, √ hình có diện tích hai lần hình cịn lại Hay tương đương số vô tỉ √ số vô tỉ √ Tương tự, ta chứng minh số vơ tỉ cách sử dụng √ tam giác chồng lên Ký hiệu Ts = s2 3/4 diện tích tam √ giác có độ dài cạnh s Giả sử phản chứng số hữu tỉ √ với = m/n phân số tối giản Khi m2 = 3n2 , hay tương đương 2.3.2 Chứng minh Tm = 3Tn Ta có m > n > 40 Hình 2.22: √ số vô tỉ Chiều dài cạnh tam giác nhỏ màu xám đậm Hình 2.22 2n − m Khi đó, chiều dài cạnh tam giác màu trắng n − 2(2n − m) = 2m − 3n Vì Tm = 3Tn nên theo nguyên lý Carpets, phần chồng lên ba thảm phần trống sàn hay diện tích tam giác nhỏ màu trắng ba lần diện tích tam giác nhỏ màu xám đậm Suy T2m−3n = 3T2n−m , hay tương đương (2m − 3n)2 = 3(2n − m)2 Do √ = (2m − 3n)/(2n − m), mẫu thuẫn với √ = m/n phân số tối giản tam giác nhỏ màu trắng nhỏ tam giác cạnh m (0 < 2m − 3n < m) tam giác nhỏ màu xám nhỏ tam giác cạnh n √ (0 < 2n − m < n) Suy số vô tỉ 2.3.3 Đặc trưng ba Pythagoras Định nghĩa 2.3.1 ([2]) Bộ ba số nguyên dương (a, b, c) gọi ba Pythagoras a2 + b2 = c2 Nó gọi nguyên thủy chúng khơng có nhân tử chung Ví dụ (a, b, c) = (3, 4, 5) (5, 12, 13) ba Pythagoras nguyên thủy, (a, b, c) = (6, 8, 10) ba Pythagoras không nguyên thủy 41 Hệ thức Pythagoras a2 +b2 = c2 cho tam giác vng với cạnh góc vng a, b cạnh huyền c gợi ý ta xét hai thảm hình vng với diện tích a2 b2 nằm phịng diện tích c2 minh họa Hình 2.23 Theo ngun lý Carpets, diện tích (a + b − c)2 hình vng màu xám tổng 2(c − a)(c − b) diện tích hai hình chữ nhật màu trắng Hình 2.23: Bộ ba Pythagoras (a, b, c) Đặt n = a + b − c, p = c − a q = c − b Vì n, p, q số nguyên a2 + b2 = c2 n2 = a + b − c = 2(c − a)(c − b) = 2pq, ta thu đặc trưng sau [2]: tồn tương ứng 1−1 ba Pythagoras (a, b, c) phép phân tích thừa số số phương chẵn dạng n2 = 2pq Ngồi ra, ta có a = n + q, b = n + p, c = n + p + q nên ba (a, b, c) nguyên thủy p q nguyên tố Ví dụ: • 62 = · · 18 = 2pq tương ứng với ba (a, b, c) = (n + q, n + p, n + p + q) = (7, 24, 25); • 62 = · · = 2pq tương ứng với ba (a, b, c) = (n + q, n + p, n + p + q) = (8, 15, 17); • 62 = · · = 2pq tương ứng ba (a, b, c) = (n + q, n + p, n + p + q) = (9, 12, 15) 42 2.3.4 Các bất đẳng thức trung bình Ta chứng minh số bất đẳng thức trung bình dựa vào hình vng chồng lên Để làm điều này, ta nới lỏng ràng buộc tổng diện tích hình vng diện tích hình vng chứa chúng Xem Hình 2.24 Hình 2.24: Các bất đẳng thức trung bình Khi x, y > 0, hai hình vng chồng lên trừ x = y Do ta thu bất đẳng thức 2(x2 + y ) ≥ (x + y)2 Đặt x = √ a y = (2.3) √ b (2.3), ta thu √ √ √ 2(a + b) ≥ ( a + b)2 = a + ab + b Từ suy bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân: với a, b dương a+b √ ≥ ab Đặt x = a/2 y = b/2 (2.3), ta thu a2 + b a+b ≥ 2 Lấy bậc hai hai vế ta thu bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình bình phương: với a, b dương a2 + b2 a+b ≥ 2 43 √ √ Đặt x = 1/ a y = 1/ b (2.3), ta thu 1 + ≥ +√ +√ a b a ab b a+b ≥√ ⇔ ab ab Lấy nghịch đảo nhân hai vế với ta thu bất đẳng thức trung bình điều hịa - trung bình nhân: với a, b dương √ 2.3.5 ab ≥ 2ab a+b Tổng lập phương Golomb (1965) sử dụng hình vng chồng lên để chứng minh công thức tổng lập phương n số tự nhiên 13 + 23 + · · · + n3 = (1 + + · · · + n)2 Trước tiên, ta biểu diễn k thành k hình vng diện tích k với ≤ k ≤ n, sau xếp hình vng hình vng lớn với cạnh có độ dài + + · · · + n Hình 2.25 Hình 2.25: Tổng lập phương 44 Khi k lẻ hình vng cạnh k (màu xám) không chồng lên Khi k chẵn, có hai hình vng cạnh k (gạch chéo) đè lên Nhưng theo nguyên lý Carpets, diện tích đè lên diện tích khơng bị phủ hình vng gạch chéo (phần màu trắng) Do đó, tổng diện tích hình vng cạnh k, ≤ k ≤ n diện tích hình vng cạnh + + · · · + n 2.3.6 Chia đơi hình trịn âm dương Quốc kỳ Hàn Quốc hình chữ nhật có trắng, có hình trịn âm dương, màu đỏ màu xanh dương dưới, bốn góc có quẻ bát quái Hình 2.26: Biểu tượng âm dương quốc kỳ Hàn Quốc Hình trịn âm dương đại diện cho đấu tranh, hợp tồn hai mặt đối lập (có thể nóng/lạnh, nam/nữ, bầu trời/trái đất, mặt trăng/mặt trời, v.v.) Trong hình trịn, phần Âm (khía cạnh tiêu cực, tiếng Hán Yin) hiển thị màu đên, phần Dương (khía cạnh tích cực, tiếng Hán Yang) hiển thị màu trắng Hình trịn âm dương gồm có hai miền hình trịn cách hai hình bán nguyệt nửa bán kính hình trịn lớn 45 Hình 2.27: Hình trịn âm dương Nhà giải đố tiếng người Anh H E Dudeney đặt toán chia đơi hình trịn cơng cụ hình học Euclid thơng thường dùng thước thẳng compa Ông đưa hai cách giải: cách Sau đó, M Gardner in lại tốn tờ báo khoa học Mỹ hai sách ông (New Mathematical Diversions, The Colossal Book of Short Puzzles) Để trả lời cho câu hỏi báo, số độc giả đưa chứng minh khác đơn giản cách Dudeney Cách Dựng hai nửa đường trịn nửa bán kính hình trịn lớn xoay 90◦ so với hai nửa đường trịn âm dương Do tính đối xứng, đường tròn lớn chia thành bốn phần Cụ thể hơn, phần âm màu đen chia thành hai phần nhau, phần dương màu trắng chia thành hai phần Vậy đường nét đứt chia đường trịn âm dương thành phần Hình 2.28: Chia đơi đường trịn âm dương cách 46 Cách Gọi R bán kính hình trịn lớn Khi nửa hình trịn nhỏ có bán kính R/2 Vậy phần âm (màu đen) bên đường kính nằm ngang hình trịn lớn nửa đường trịn có diện tích πR2 /8 Ở phía nửa hình trịn âm này, dựng hình quạt kề với đường kính hình trịn lớn đường thẳng hợp góc 45◦ tâm Diện tích hình quạt πR2 /8 Vậy hai phần có có tổng diện tích πR2 /4, nửa diện tích phần âm Suy đường thẳng hợp góc 45◦ với đường kính nằm ngang chia đơi đường trịn âm dương Hình 2.29: Chia đơi đường trịn âm dương cách √ Cách Gọi đường tròn lớn T Dựng đường trịn bán kính R/ 2, gọi hình T1 Diện tích đường trịn [T1 ] = πR2 /2 Gọi phần hình khuyên T2 , diện tích hình vành khun [T2 ] = πR2 − πR2 /2 = πR2 /2 Gọi phần âm S1 , phần dương S2 Vậy ta có hai cách phân hoạch hình trịn lớn: T = S1 ∪ S2 = T1 ∪ T2 , [S1 ] = πR2 /2 = [T2 ] Theo nguyên lý Carpets 3, ta suy [S1 ∩ T1 ] = [S2 ∩ T2 ] Kết hợp tính đối xứng tâm với tâm đường lớn, lấy phản xạ miền S2 ∩ T2 , ta suy diện tích phần âm hình vành khun diện 47 tích phần âm hình trịn T1 Chứng tỏ đường trịn T1 chia đơi hình trịn âm dương Hình 2.30: Chia đơi đường trịn âm dương cách Cách Lấy phản xạ qua đường kính nằm ngang đường tròn lớn tạo cặp âm dương thứ hai Khi đó, biên đường trịn âm dương thứ hai đường chia đơi cần tìm Đây hệ đơn giản nguyên lý Carpets cách Hình 2.31: Chia đơi đường trịn âm dương cách √ Cách Đặt x = R( − 1)/4 Khi đường nét đứt gồm hai nửa đường trịn có bán kính x hai nửa đường trịn bán kính x + R/2 Dễ chứng minh với giá trị x này, đường nét đứt chia đường trịn thành hai nửa diện tích Phần lại chứng minh hệ nguyên lý Carpets cách 48 Hình 2.32: Chia đơi đường trịn âm dương cách 49 Kết luận Luận văn với đề tài “Nguyên lý Carpets ứng dụng” đạt kết sau: Trình bày ba nguyên lý Carpets, tính chất số ví dụ minh họa cho nguyên lý Áp dụng nguyên lý giải số tốn chứng minh diện tích hình học số dạng tốn hình học khác (chứng minh hiệu số diện tích số, chứng minh ba đường chéo đồng quy, tính diện tích) √ √ Áp dụng nguyên lý Carpets chứng minh 2, số vô tỉ, đưa đặc trưng ba Pythagoras, chứng minh số bất đẳng thức trung bình, chứng minh công thức tổng lập phương giải tốn chia đơi đường trịn âm dương Hướng mở luận văn nghiên cứu việc ứng dụng nguyên lý Carpets với nhiều hai thảm 50 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phan Cung Đức (chủ biên), Các giảng hình học phẳng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2006 Tiếng Anh [2] C Alsina, R B Nelsen (2016), Icons of Mathematics: An exploration of Twenty Key Images, American Mathematical Society Press [3] T Andreescu, B Enescu (2011), Mathematical Olympiad Treasures, Springer [4] J Konhauser, D Velleman, S Wagon (1966), Which Way Did the Bicycle Go?, The Mathematical Assoication of America [5] https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ CarpetsInSquare.shtml [6] https://www.cheenta.com/carpet-strategy-in-geometry-watch -and-learn/ [7] http://themathguy.blogspot.com/2015/09/ still-in-love-after-all-these-years.html ... QBCR Áp dụng nguyên lý trải thảm ta có [QBCR] = [AM QP ] + [P RN D] Định lý dạng tổng quát nguyên lý Carpets, kết mở rộng nguyên lý Carpets 1, nguyên lý Carpets Định lý 1.2.8 (Nguyên lý Carpets. .. Carpets ứng dụng? ?? vào giải số toán liên quan đến nguyên lý Carpets làm luận văn thạc sĩ Mục đích luận văn tìm hiểu nguyên lý Carpets, tìm hiểu ý nghĩa hình học nguyên lý Carpets qua việc sử dụng. .. ngun lý Carpets nguyên lý Carpets 16 Chương Ứng dụng ngun lý Carpets vào giải số tốn hình học phẳng Trong Chương 2, chúng tơi trình bày việc ứng dụng nguyên lý Carpets kiến thức liên quan đến nguyên