LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2008 Bài Hãy xác định tất nghiệm hệ phương trình (ẩn x, y) sau: x y 29 (1) (I) log x.log y (2) Lời giải: Dễ thấy, (x, y) nghiệm hệ (I) x > 1, y > (3) Đặt log x t , t (do (3)) Ki đó, x 3t từ phương trình (PT) (2) có y t Vì từ PT (1) ta có PT (ẩn t) sau: 9t t 29 (4) Dễ thấy số nghiệm hệ (I) số nghiệm dương PT (4) Xét hàm số f (t ) 9t t Ta có f '(t ) 9t.ln 29 (0; +) t 1 ln t y ln y hàm nghịch biến Trên (0; +), t t nhận giá trị dương Vì thế, khoảng đó, y t ln hàm đồng biến Suy ra, f’(t) hàm số t2 đồng biến khoảng (0; +) Hơn nữa, 1 f ' f '(1) 18(ln ln 2256 )(ln 27 ln16) nên t0 (0; 1) cho f’(t0) = Do đó, ta có 2 bảng biến thiên hàm số f(t) (0: +): t t0 + f’(t) + f(t) + + -12 f(t0) Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình (4) có hai nghiệm dương Vì vậy, hệ (I) có tất hai nghiệm Nhận xét: - Bài tốn trường hợp riêng toán sau: Bài 1* Cho số thực a 17 Hãy xác định tất nghiệm hệ phương trình (ẩn x, y) sau: x2 y3 a (1) log x.log y (2) Cách giải toán tương tự Trường hợp a = 17 hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; 2) (x; y) = ( 2; ) (Trích từ báo Tốn học tuổi trẻ số 12/2008) DeThiMau.vn