Bài tập Hình học 11 Phép biến hình31544

WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG Vấn đề : PHÉP DỜI HÌNH A KIẾN THỨC CƠ BẢN Phép biến hình ª ĐN : Phép biến hình quy tắc để với điểm M mặt phẳng xác định điểm M mặt phẳng , điểm M gọi ảnh M qua phép biến hình ª Kí hiệu : f phép biến hình M ảnh M qua phép f ta viết : M= f(M) hay f f(M) = M hay f : M I  M hay M I  M Điểm M gọi tạo ảnh f phép biến hình đồng  f(M) = M ,  M  H Điểm M gọi điểm bất động , kép , bất biến f1 ,f2 phép biến hình f2  f1 phép biến hình ª Nếu H hình tập hợp điểm M= f(M), với M  H, tạo thành hình H gọi ảnh H qua phép biến hình f ta viết : H= f(H) Phép dời hình ĐN : Phép dời hình phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách hai điểm , tức với hai điểm M,N ảnh M, N chúng , ta có MN= MN ( Bảo toàn khoảng cách ) Tính chất : ( phép dời hình ) ฀ ĐL : Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng , ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng ฀HQ : Phép dời hình biến : Đường thẳng thành đường thẳng Tia thành tia Đoạn thẳng thành đoạn thẳng  trực tâm , trọng tâm I  trọng tâm ) Tam giác thành tam giác ( Trực tâm I  I , R = R ) Đường tròn thành đường tròn ( Tâm biến thành tâm : I I Góc thành góc B BÀI TẬP  x  = 2x   M  = f(M) =  Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I  y = y + Tìm ảnh điểm sau : a) A(1;2) b) B(  1;2) c) C(2;  4) Giaûi : a) A  = f(A) = (1;5) b) B = f(B) = (  7;6) c) C = f(C) = (3;  1)  x = 2x  y  Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I  M  = f(M) =   y = x  2y + Tìm ảnh điểm sau : a) A(2;1) b) B(  1;3) c) C(  2;4) Giaûi : a) A  = f(A) = (4;3) b) B = f(B) = (  4;  4) c) C = f(C) = (  7;  7) Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I  M  = f(M) = (3x; y) Đây có phải phép dời hình hay không ? Giải : Lấy hai điểm M(x1; y1 ), N(x2 ; y2 )  M = f(M) = (3x1; y1 ) Khi f : M(x1; y1 ) I  N = f(N) = (3x2 ; y2 ) f : N(x2 ; y2 ) I W W W V N M A T H ThuVienDeThi.com C O M - -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM Ta có : MN = (x2  x1 )2  (y  y1 )2 , MN = 9(x  x1 )2  (y  y1 )2 Nếu x1  x MN  MN Vậy : f phép dời hình (Vì có số điểm f không bảo toàn khoảng cách) Trong mpOxy cho phép biến hình : a) f : M(x;y) I  M = f(M) = ( y ; x  2) x y b) g : M(x;y) I  M = g(M) = ( 2x  ; y+1)  x y Phép biến hình phép dời hình ? HD : a) f phép dời hình b) g phép dời hình ( x1  x MN  MN ) Trong mpOxy cho phép biến hình :  M = f(M) = (y + ;  x) a) f : M(x;y) I b) g : M(x;y) I  M = g(M) = ( x ; 3y ) Pheùp biến hình phép dời hình ? Giải : a) f phép dời hình b) g phép dời hình ( y1  y2 MN  MN ) Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I  M = f(M) = (2x ; y  1) Tìm ảnh đường thẳng () : x  3y  = qua phép biến hình f Giải : Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ   x x =  2x x  Ta coù f : M(x;y) I  M = f(M) =    y  y   y  y    x Vì M(x;y)  ()  ( )  3(y  1)    x  6y    M(x;y)  () : x  6y   Cách : Lấy điểm M,N  () : M  N  M  f(M)  (4;1) ฀ M  () : M(2;0) I ฀ N  ( ) : N(  1;  1) I  N  f(N)  (2; 0) ฀ Qua M(4;1) x+ y   ()  (MN) :   PTCtaéc () :   PTTQ () : x  6y   1 ฀ VTCP : MN  (6; 1) Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I  M = f(M) = (x  ; y  1) a) CMR f phép dời hình b) Tìm ảnh đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y  2)2 =  (C) : (x  2)2 + (y  3)2 = I Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I  M = f(M) = (x  ; y  1) a) CMR f phép dời hình b) Tìm ảnh đường thẳng () : x + 2y  = c) Tìm ảnh đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y  2)2 = x2 y2 + =1 Giải : a) Lấy hai điểm M(x1; y1 ),N(x2 ; y2 ) d ) Tìm ảnh elip (E) : Khi f : M(x1; y1 ) I  M = f(M) = (x1  3; y1  1) f : N(x2 ; y2 ) I  N = f(N) = (x2  3; y2  1) Ta coù : MN = (x2  x1 )2  (y2  y1 )2 = MN Vaäy : f phép dời hình W W W V N M A T H ThuVienDeThi.com C O M - -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM b) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ  x = x   x  x  Ta coù f : M(x;y) I  M = f(M) =    y  y   y  y  Vì M(x;y)  ()  (x  3)  2(y  1)    x  2y    M(x;y)  () : x  2y   Caùch : Lấy điểm M,N  () : M  N ฀ M  () : M(5 ;0) I  M  f(M)  (2;1) ฀ N  () : N(3 ; 1) I  N  f(N)  (0;2) ฀ Qua M(2;1) x  y 1  ()  (MN) :   PTCtaéc () :   PTTQ() : x  2y   2 ฀ VTCP : MN  (2;1) Caùch : Vì f phép dời hình nên f biến đường thẳng () thành đường thẳng () // ()  M  f(M)  (2;1) ฀ Laáy M  () : M(5 ;0) I ฀ Vì () // ()  () : x + 2y  m = (m  5) Do : ()  M(2;1)  m =   () : x  2y   c) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ x = x  x  x   M = f(M) =   Ta coù f : M(x;y) I y  y  y  y  Vì M(x;y)  (C) : (x + 1)2 + (y  2)2 =  (x  4)2  (y  3)2    M(x;y)  (C) : (x  4)2  (y  3)2  + Taâm I(  1;2) f + Taâm I= f [ I(  1;2)]  (4;3) Caùch : (C)    (C)   BK : R =  BK : R= R =  (C) : (x  4)2  (y  3)2  d) Dùng biểu thức toạ ñoä  x = x   x  x  Ta coù f : M(x;y) I  M = f(M) =    y  y   y  y  Vì M(x;y)  (E) : x2 y2 (x+ 3)2 (y  1)2 (x + 3)2 (y  1)2 + =1  + =  M(x;y)  (E) : + =1 3 Trong mpOxy cho pheùp biến hình f : M(x;y) I  M = f(M) = (x  1; y  2) a) CMR f phép dời hình b) Tìm ảnh đường thẳng () : x  2y  = c) Tìm ảnh đường tròn (C) : (x + 3)2 + (y  1)2 = d) Tìm ảnh parabol (P) : y2 = 4x ÑS : b) x  2y  = c) (x + 2)2 + (y  1)2 = d) (y + 2)2 = 4(x  1) 10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I  M = f(M) = (x ; y) Khẳng định sau sai ? A f phép dời hình B Nếu A(0 ; a) f(A) = A C M f(M) đối xứng qua trục hoành D f [ M(2;3)]  đường thẳng 2x + y + = ĐS : Chọn C Vì M f(M) đối xứng qua trục tung  C sai 12 Trong mpOxy cho pheùp biến hình : f1 : M(x;y) I  M = f1(M) = (x + ; y  4) ; f2 : M(x;y) I  M = f2 (M) = (  x ;  y) Tìm toạ độ ảnh A(4;  1) qua f1 f2 , nghóa tìm f2 [f1(A)] f f  A(6;  5) I  A(  ; ) ÑS : A(4;  1) I x  M = f(M) = ( ; 3y) Khaúng định sau sai ? 11 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I A f (O) = O (O điểm bất biến) B Ảnh A  Ox ảnh A= f(A)  Ox C Ảnh B  Oy ảnh B= f(B)  Oy D M= f [M(2 ;  3)] = (1;  9) ĐS : Chọn D Vì M= f [ M(2 ;  3)] = (1; 9) W W W V N M A T H ThuVienDeThi.com C O M - -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM Vấn đề : PHÉP TỊNH TIẾN A KIẾN THỨC CƠ BẢN    ĐN : Phép tịnh tiến theo vectơ u phép dời hình biến điểm M thành điểm M cho MM  u   Kí hiệu : T hay Tu Khi : Tu (M)  M  MM  u ฀ Phép tịnh tiến hoàn toàn xác định biết vectơ tịnh tiến ฀ Nếu To (M)  M , M To phép đồng  Biểu thức tọa độ : Cho u = (a;b) phép tịnh tiến Tu  x= x + a  M=Tu (M)  (x; y )  M(x;y) I  y= y + b Tính chất : ฀ ĐL : Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách hai điểm ฀ HQ : Bảo toàn tính thẳng hàng thứ tự điểm tương ứng Biến tia thành tia Bảo toàn tính thẳng hàng thứ tự điểm tương ứng Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho Biến tam giác thành tam giác (Trực tâm I  trực tâm , trọng tâm I  trọng tâm ) Đường tròn thành đường tròn (Tâm biến thành tâm : I I I , R = R )  PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM  x= x + a  M=Tu (M)  (x; y )  M(x;y) I  y= y + b  PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH (H) Cách : Dùng tính chất (cùng phương đthẳng , bán kính đường tròn : không đổi ) Lấy M  (H) I  M  (H) ฀ (H)  đường thẳng   (H)  đường thẳng phương  Tâm I  Taâm I  (H)  (C)  ฀ (H)  (C)  I  (cần tìm I) + bk : R + bk : R= R Caùch : Dùng biểu thức tọa độ Tìm x theo x , tìm y theo y thay vào biểu thức tọa độ  M, N  (H) Cách : Lấy hai điểm phân biệt : M, N  (H) I B, BÀI TẬP  Trong mpOxy Tìm ảnh M điểm M(3;  2) qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (2;1) Giải    x    x   Theo định nghóa ta có : M = Tu (M)  MM  u  (x  3; y  2)  (2;1)    y   y  1  M(5; 1)  Tìm ảnh điểm qua phép tịnh tiến theo vectơ u :  a) A(  1;1) , u = (3;1)  A(2;3)  b) B(2;1) , u = (  3;2)  B(  1;3)  c) C(3;  2) , u = (  1;3)  C(2;1) W W W V N M A T H ThuVienDeThi.com C O M - -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM  Trong mpOxy Tìm ảnh A,B điểm A(2;3), B(1;1) qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (3;1)   Tính độ dài AB , AB Giải   Ta có : A= Tu (A)  (5;4) , B= Tu (B)  (4;2) , AB = |AB|  , AB = |AB |     Cho vectơ u1; u2 Gỉa sử M1  Tu (M),M2  Tu (M1) Tìm v để M2  Tv (M) Giaûi     Theo đề : M1  Tu (M)  MM1  u1 , M2  Tu (M1)  M1M2  u2            Neáu : M2  Tv (M)  MM2  v  v  MM2  MM1  M1M2  u1+ u2 Vaäy : v  u1+ u2 Đường thẳng  cắt Ox A(  1;0) , cắt Oy B(0;2) Hãy viết phương trình đường thẳng  ảnh   qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (2;  1) Giải Vì : A  Tu (A)  (1; 1) , B  Tu (B)  (2;1) ฀ qua A(1;  1) x   t Maët khác :   Tu ()   qua A,B Do :    ptts  :  y  1  2t ฀ VTCP : AB= (1;2) Đường thẳn g  cắt Ox A(1;0) , cắt Oy B(0;3) Hãy viết phương trình đườn g thẳn g   ản h   qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (  1;  2) Giải Vì : A   Tu (A)  (0; 2) , B  Tu (B)  ( 1;1)  ฀ qua A (0;  2) x  t  Mặt khác :    Tu (  )    qua A ,B Do :     ptts   :   y  2  3t  ฀ VTCP : A B= (  1;3)  Tương tự : a)  : x  2y  = , u = (0 ; 3)    : x  2y    b)  : 3x  y  = , u = (  ;  2)    : 3x  y    2 Tìm ảnh đườn g tròn (C) : (x + 1)  (y  2)  qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (1;  3) Giải  x= x +  x = x   Biểu thức toạ độ phép tịnh tiến Tu laø :   y= y   y = y + Vì : M(x;y)  (C) : (x + 1)2  (y  2)2   x2  (y   1)2   M (x ;y )  (C) : x  (y  1)2  Vậy : Ản h (C) laø (C) : x  (y  1)2  Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I  M = f(M) = (x  1; y  2) a) CMR f phép dời hình b) Tìm ảnh đường thẳng () : x  2y  = c) Tìm ảnh đường tròn (C) : (x + 3)2 + (y  1)2 = d) Tìm ảnh parabol (P) : y = 4x ÑS : b) x  2y  = c) (x + 2)2 + (y  1)2 = d) (y + 2)2 = 4(x  1) 10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I  M = f(M) = ( x ; y) Khẳng định sau sai ? A f phép dời hình B Nếu A(0 ; a) f(A) = A C M f(M) đối xứng qua trục hoành D f [ M(2;3)]  đường thẳng 2x + y + = ĐS : Chọn C Vì M f(M) đối xứng qua trục tung  C sai  Tìm ảnh đường tròn (C) : (x  3)2  (y  2)2  qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (  2;4) x= x  x = x+  Giải : Biểu thức toạ độ phép tịnh tiến Tu :   y = y   y = y  Vì : M(x;y)  (C) : (x  3)2  (y  2)2   (x  1)2  (y  2)2   M(x;y)  (C) : (x  1)2  (y  2)2  Vậy : Ảnh (C) (C) : (x  1)2  (y  2)2  W W W V N M A T H ThuVienDeThi.com C O M - -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM  BT Tương tự : a) (C) : (x  2)2  (y  3)2  1, u = (3;1)  b) (C) : x2  y2  2x  4y   0, u = (  2;3)  (C) : (x  1)2  (y  2)2  (C) : x2  y2  2x  2y   10 Trong hệ trục toạ độ Oxy , xác định toạ độ đỉnh C D hình bình hành ABCD biết đỉnh A(  2;0), đỉnh B(  1;0) giao điểm đường chéo I(1;2) Giải    ฀ Gọi C(x;y) Ta có : IC  (x  1; y  2),AI  (3;2),BI  (2; 1) ฀ Vì I trung điểm AC nên :   x   x    C(4; 4) C = T (I)  IC  AI   AI y   y  ฀ Vì I trung điểm AC nên :   x   x   D  D(3; 4) D = T (I)  ID  BI   D BI y D   y D  Bài tập tương tự : A(  1;0),B(0;4),I(1;1)  C(3;2),D(2;  2) 11 Cho đường thẳng song song d d Hãy phép tịnh tiến biến d thành d Hỏi có phép tịnh tiến ? Giải : Chọn điểm cố định A  d , A  d   Lấy điểm tuỳ ý M  d Gỉa sử : M = T (M)  MM  AB AB    MA  MB  MB / /MA  M  d  d = T (d) AB Nhận xét : Có vô số phép tịnh tiến biến d thành d 12 Cho đường tròn (I,R) (I,R) Hãy phép tịnh tiến biến (I,R) thành (I,R)   Giải : Lấy điểm M tuỳ ý (I,R) Gỉa sử : M = T (M)  MM  II II    IM  IM  IM  IM  R  M  (I,R)  (I,R) = T [(I,R)] II 13 Cho hình bình hành ABCD , hai đỉnh A,B cố định , tâm I thay đổi di động đường tròn (C) Tìm quỹ tích trung điểm M cạnh BC Giải   Gọi J trung điểm cạnh AB Khi dễ thấy J cố định IM  JB Vậy M ảnh I qua phép tịnh tiến T Suy : Quỹ tích M JB  ảnh đường tròn (C) phép tịnh tiến theo vectơ JB  14 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho parabol (P) : y = ax2 Gọi T phép tịnh tiến theo vectơ u = (m,n) (P) ảnh (P) qua phép tịnh tiến Hãy viết phương trình (P) Giaûi :    Tu  M(x;y) , ta có : MM= u , với MM= (x  x ; y  y) ฀ M(x;y) I   x  x = m  x = x  m  Vì MM= u     y y = n   y = y  n Maø : M(x; y)  (P) : y  ax2  y  n = a(x  m)2  y = a(x  m)2  n  M(x;y)  (P) : y = a(x  m)2  n Vậy : Ảnh (P) qua phép tịnh tiến Tu (P) : y = a(x  m)2  n  y = ax2  2amx  am  n   15 Cho ñt  : 6x + 2y  1= Tìm vectơ u  để  = Tu ()     Giaûi : VTCP  a = (2;  6) Để :  = Tu ( )  u phương a Khi : a = (2;  6)  2(1; 3)   choïn u = (1;  3)   16 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho điểm A(  5;2) , C(  1;0) Bieát : B = Tu (A) , C = Tv (B) Tìm u v để thực phép biến đổi A thành C ? Giaûi W W W V N M A T H ThuVienDeThi.com C O M - -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM          Tu Tv  B I  C(1; 0) Ta coù : AB  u,BC  v  AC  AB  BC  u  v  (4; 2) A(  5;2) I Tu + v   17 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho điểm K(1;2) , M(3;  1),N(2; 3) vectơ u = (2;3) ,v = (  1;2) Tìm ảnh K,M,N qua phép tịnh tiến Tu Tv          Tu Tv  B I  C(x; y) Ta coù : AB  u,BC  v  AC  AB  BC  u  v  (1;5) HD : Gỉa sử : A(x;y) I  x   x  Do : K=Tu  v (K)  KK  (1;5)     K(2; 7)  y   y  Tương tự : M(4;4) , N(3;2) 18 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho ABC : A(3;0) , B(  2;4) , C(  4;5) G trọng tâm ABC phép   tịnh tiến theo vectơ u  biến A thành G Tìm G = Tu (G) Giải Tu Tu  G(1;3) I  G(x; y) A(3;0) I     x   4 x  5   G(5;6) Vì AG  (4;3)  u Theo đề : GG  u    y    y  19 Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (C) : (x  1)2  (y  3)2  2,(C) : x2  y2  10x  4y  25   Có hay không phép tịnh tiến vectơ u biến (C) thành (C) HD : (C) có tâm I(1;  3), bán kính R = ; (C) có tâm I(5;  2), bán kính R=  Ta thấy : R = R= nên có phép tịnh tiến theo vectơ u = (4;1) biến (C) thành (C) 20 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho hình bình hành OABC với A(  2;1) vaø B   :2x  y  = Tìm tập hợp đỉnh C ? Giải    ฀ Vì OABC hình bình hành nên : BC  AO  (2; 1)  C  Tu (B) với u = (2; 1)   Tu  x  x   x  x  ฀ B(x;y) I  C(x; y) Do : BC  u     y  y  1 y  y  ฀ B(x;y)    2x  y  =  2x  y  10 =  C(x; y)   : 2x  y  10 = 21 Cho ABC Gọi A1,B1,C1 trung điểm cạnh BC,CA,AB Gọi O1,O2 ,O3 I1,I2 ,I3 tương ứng tâm đường tròn ngoại tiếp tâm đường tròn nội tiếp ba tam giác AB1C1, BC1A1, CA1B1 Chứng minh : O1O2O3  I1I2 I3 HD :  Xeùt pheùp tịnh tiến : T1  biến A I  C,C1 I  B,B1 I  A1 AB T1  T1  T1  AB AB AB 2   AB1C1 I  C1BA1;O1 I  O2 ; I1 I  I2    O1O2  I1I2  O1O2  I1I2  Lý luận tương tự : Xét phép tịnh tiến T1  ,T1  suy : BC CA 2     O2O3  I2 I3 vaø O3O1  I3I1  O2O3  I2 I3 ,O3O1  I3I1  O1O2O3  I1I2 I3 (c.c.c) ฀  60 ,B ฀  150 D ฀  90 22 Trong tứ giác ABCD có AB = 3cm ,CD  12cm , A Tính độ dài cạnh BC DA HD :   T ฀ ฀  150 ) BC  M  AM  BC.Ta coù : ABCM hình bình hành BCM  30 (vì B  Xeùt : A I W W W V N M A T H ThuVienDeThi.com C O M - -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM ฀ ฀  360o  (90  60  150 )  60  MCD  30 Lại có : BCD Định lý hàm cos MCD :  36 MD2  MC2  DC2  2MC.DC.cos30  (6 3)2  (12)2  2.6 3.12  MD = 6cm Ta coù : MD = CD vaø MC = MD  MDC tam giác ฀ ฀  MCD nửa tam giác  DMC  90 MDA  30 ฀ ฀ ฀ Vaäy : MDA  MAD  MAB  30  AMD tam giác cân M Dựng MK  AD  K trung điểm AD  KD=MDcos30  cm  AD  3cm Tóm lại : BC = AM = MD = 6cm , AD = AB = 3cm Vấn đề : PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC A , KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐN1: Điểm M gọi đối xứng với điểm M qua đường thẳng a a đường trung trực đoạn MM Phép đối xứng qua đường thẳng gọi phép đối xứng trục Đường thẳng a gọi trục đối xứng ĐN2 : Phép đối xứng qua đường thẳng a phép biến hình biến điểm M thành điểm M đối xứng với M qua đường tha úng a   Kí hiệu : Đa (M)  M  MoM  MoM , với Mo hình chiếu M đường thẳng a Khi : ฀ Nếu M  a Đa (M)  M : xem M đối xứng với qua a ( M gọi điểm bất động ) ฀M  a Đa (M)  M  a đường trung trực MM ฀ Đa (M)  M Đa (M)  M ฀ Đa (H)  H Đa (H)  H , H ảnh hình H ฀ ĐN : d trục đối xứng hình H  Đd (H)  H ฀ Phép đối xứng trục hoàn toàn xác định biết trục đối xứng Chú ý : Một hình trục đối xứng ,có thể có hay nhiều trục đối xứng Biểu thức tọa độ : M(x;y) I  M  Ñd (M)  (x;y ) x= x x=  x ª d  Ox :  ª d  Oy :   y =  y y = y ĐL : Phép đối xứng trục phép dời hình ฀HQ : 1.Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự điểm tương ứng Đường thẳng thành đường thẳng Tia thành tia Đoạn thẳng thành đoạn thẳng Tam giác thành tam giác (Trực tâm I  trọng tâm )  trực tâm , trọng tâm I Đường tròn thành đường tròn (Tâm biến thành tâm : I I  I , R  = R ) Góc thành góc  PP : Tìm ảnh M = Đa (M) (d)  M , d  a H = d  a H trung điểm MM  M ? W W W V N M A T H ThuVienDeThi.com C O M - -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM ª PP : Tìm ảnh đường thẳng : = Ña ()  TH1: () // (a) Lấy A,B  () : A  B Tìm aûnh A= Ña (A)   A,// (a)    TH2 :  // a Tìm K =   a Laáy P   : P  K Tìm Q = Đa (P)   (KQ) ª PP : Tìm M  () : (MA + MB)min Tìm M  () : (MA+ MB)min  Loại : A, B nằm phía () : 1) gọi A đối xứng A qua () 2) M  (), MA + MB  MA+ MB  AB Do đó: (MA+MB)min= AB  M = (AB)  ()  Loaïi : A, B nằm khác phía () : M  (), MA + MB  AB Ta coù: (MA+MB)min = AB  M = (AB)  () B BÀI TẬP Trong mpOxy Tìm ảnh M(2;1) đối xứng qua Ox , đối xứng qua Oy Ñ Ñ Oy Ox  M(2;  1) I HD : M(2;1) I  M(2; 1) Trong mpOxy Tìm ảnh M(a;b) đối xứng qua Oy , đối xứng qua Ox Đ Đ Oy Ox  M(a;  b) HD : M(a;b) I  M(  a;b) I Ñ Ñ b  M Cho đường thẳng (a) : x  = , (b) : y + = điểm M(  1;2) Tìm : M Ia  M I Ñ Ñ b  M(5; 4) [ vẽ hình ] HD : M(  1;2) Ia  M(5;2) I Cho đường thẳng (a) : x  m = (m > 0) , (b) : y + n = (n > 0) Ñ Ñ b  M(x; y) Tìm M: M(x;y) a  M(x; y)  Ña Ñb x  2m  x x  2m  x  M   M  HD : M(x;y) I I tñ(m;y) tñ(2m x; n) y  2n  y  y  y Cho điểm M(  1;2) đường thẳng (a) : x + 2y + = HD : (d) : 2x  y + = , H = d  a  H(  2;0) , H trung điểm MM  M(  3;  2) Cho điểm M(  4;1) đường thaúng (a) : x + y =  M = Ñ a(M)  ( 1; 4) Cho đường thẳng () : 4x  y + = , (a) : x  y + = Tìm ảnh = Đa ( ) HD : 1   caét a  K    a  K(2;1) ฀ Vì  1 ฀ M(  1;5)    d  M,  a  d : x  y    H(1/ 2; / 2) : tđiểm MM  M  Đa (M)  (2;2) ฀   KM: x  4y + = Tìm b = Đa (Ox) với đường thẳng (a) : x + 3y + = HD : ฀ a  Ox = K(  3;0) ฀ M  O(0;0)  Ox : M= Ña (M) = (  ;  ) 5 ฀ b  KM: 3x + 4y  = Tìm b = Đa (Ox) với đường thẳng (a) : x + 3y  = W W W V N M A T H ThuVienDeThi.com C O M - -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM HD : ฀ a  Ox = K(3;0) ฀ P  O(0;0)  Ox + Qua O(0;0) ฀    : 3x  y  +  a 9 ฀ E = a    E( ; ) laø trung ñieåm OQ  Q( ; ) 10 10 5 ฀ b  KQ : 3x + 4y  = 10 Tìm b = ĐOx (a) với đường thẳng (a) : x + 3y  = Giải : Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ (rất hay) Cách : ฀K= a  Ox  K(3;0) ฀ P(0;1)  a  Q = ÑOx (P) = (0;  1) ฀ b  KQ : x  3y  = 11 Cho đường thẳng () : x  2y + = , (a) : x  2y  = Tìm ảnh = Đa () PP :  / /a Cách : Tìm A,B    A,B      AB Cách : Tìm A    A     / / ,   A Giaûi : ฀ A(0;1)    A  Ña (A)  (2; 3) ฀   A, / /    : x  2y   12 Cho đường tròn (C) : (x+3)2  (y  2)2  , đường thẳng (a) : 3x  y + 1= Tìm (C) = Đa [(C)] HD : (C) : (x  3)2  y  13 Trong mpOxy cho ABC : A(  1;6),B(0;1) C(1;6) Khẳng định sau sai ? A ABC cân B B ABC có trục đối xứng C ABC  ĐOx (ABC) D Trọng tâm : G = ĐOy (G) HD : Chọn D 14 Trong mpOxy cho điểm M(  3;2), đường thaúng () : x + 3y  = 0, đường tròn (C) : (x+3)2 (y  2)2 Tìm ảnh M, () (C) qua phép đối xứng truïc (a) : x  2y + = Giải : Gọi M, () (C) ảnh M, () (C) qua phép đối xứng trục a ฀ Qua M(  3;2) a) Tìm ảnh M : Gọi đường thẳng (d) :  ฀  a + (d)  (a)  (d) : 2x  y + m = Vì (d)  M(  3;2)  m =  (d) : 2x  y  =   x H  (x M  x M  ) + H = (d )  (a )  H (  2;0 )  H la ø tru n g ñ ie åm c u ûa M ,M   H   y  (y  yM )  H M   2  (  x M  ) x  1     M  M (  1;  ) yM   2   (2  y  ) M  b ) T ìm a ûn h (   ) : ฀Vì   (  ) c a ét (a )  K = (  )  (a ) 2 x + 3y  =  T o a ï ñ o ä c u ûa K la ø n g h ie äm c u ûa h e ä :   K (2; ) x  2y + = ฀ Laáy P  K  Q = Ña [P(  1;3)] = (1; 1) ( Laøm tương tự câu a) ) ฀ Qua P(  1;3) Gọi đường thẳng (b) :  ฀  a W W W V N M A T H ThuVienDeThi.com C O M - 10 -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM + (b)  (a)  (b) : 2x  y + m = Vì (b)  P(  1;3)  m =   (b) : 2x  y  = + E = (b)  (a)  E(0;1)  E trung điểm P,Q    1 x E  (x P  xQ ) 0  (1  xQ ) x Q   E    Q(1; 1) y Q  1 y  (y  y ) 1  (3  y ) Q Q  E P  ฀ Qua K(2;2) x2 y2  + ()  (KQ) :   () :   3x  y   ฀VTCP : KQ  (1; 3)  (1;3) c) + Tìm ảnh tâm I(  3;2) câu a) Đa Đa  (C) : ฀ Tâm I Tìm I I  I + Vì phép đối xứng trục phép dời hình nên (C): ฀ Taâm I I ฀R  ฀ R  R   2 Đa   Vậy : (C) + Taâm I(  3;2) I  (C) + Tâm I = Đa [ I(  3; 2)]  ( ; )  BK : R =  BK : R= R = 2 2  (C) : (x  )  (y  )  5    15 Trong mpOxy cho điểm M(3;  5), đường thẳng () : 3x + 2y  = 0, đường tròn (C) : (x+1)2 (y  2)2 Tìm ảnh M, () (C) qua phép đối xứng trục (a) : 2x  y + = HD : Ña 33 13  M( ;  ),(d) : x  2y   0,tđiểm H(  ;  ) a) M(3;  5) I 5 5 15 b) + K=  (a)  K( ; ) 7 + P  () : P(2;0)  K , Q = Ña[P(2;0)] = (  2;2)  ()  (KQ) : x  18y  38  Ña 9 c) + I(1;  2) I  I(  ; ) , R= R =  (C) : (x + )2  (y  )2  5 5 16 Cho điểm M(2;  3), đường thẳng () : 2x + y  = 0, đường tròn (C) : x2  y2  2x  4y   Tìm ảnh M, () (C) qua phép đối xứng qua Ox ĐOx x  x  x  x (2) HD : Ta coù : M(x;y)  (1)    M  y  y y  y Ñ Ox  M(2;3) ฀ Thay vaøo (2) : M(2;  3)  ฀ M(x;y)  ( )  2x  y  =  M(x;y)  () : 2x  y  = ฀ M(x;y)  (C) : x2  y2  2x  4y    x2  y2  2x  4y    (x  1)2  (y  2)2   M(x;y)  (C) : (x  1)2  (y  2)2  17 Trong mpOxy cho đường thẳng (a) : 2x  y+3 = Tìm ảnh a qua ĐOx ĐOx  x  x  x  x Giải : Ta có : M(x;y) I  M    y   y  y   y Vì M(x;y)  (a) : 2x  y+3 =  2(x)  (y)+3 =  2x  y+3 =  M(x; y)  (a) : 2x  y + = Đ Oy Vậy : (a) I (a) : 2x  y + = 18 Trong mpOxy cho đường tròn (C) : x2  y2  4y  = Tìm ảnh a qua ÑOy ÑOy  x   x  x   x  Giải : Ta có : M(x;y) I M   y  y  y  y Vì M(x;y)  (C) : x2  y2  4y  =  (  x)2  y2  4(y)  =  x2  y2  4y  =  M(x; y)  (C) : x2  y2  4y  = Đ Oy Vậy : (C) I (C) : x2  y2  4y  = W W W V N M A T H ThuVienDeThi.com C O M - 11 -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM 19 Trong mpOxy cho đthẳng (a) : 2x  y  = , () : x  3y  11 = , (C) : x  y  10x  4y  27 = a) Vieát biểu thức giải tích phép đối xứng trục Đa b) Tìm ảnh điểm M(4;  1) qua Đa c) Tìm ảnh : () = Đa (),(C)  Đa (C) Giải a) Tổng quát (a) : Ax + By + C=0 , A  B2     Đa  Gọi M(x;y) I  M(x; y) , ta coù : MM  (x  x; y  y) phương VTPT n = (A;B)  MM  tn x  x y  y x  x  At x  x  At   (t  ฀ ) Goïi I trung điểm MM nên I( ; )  (a) 2 y  y  Bt y  y  Bt x  x y  y x  x  At y  y  Bt )  B( )  C   A( )  B( )C   A( 2 2 2(Ax + By + C)  (A  B2 )t  2(Ax + By + C)  t  A  B2  2A(Ax + By + C) 2B(Ax + By + C) ; y  y    x  x   A  B2 A  B2   4(2x  y  3) 12 x   x  y  x  x    5 5 Áp dụng kết ta có :   y  y  2(2x  y  3)  y  y  y    5 5 Ña b) M(4;  1) I  M( ; ) 5 Ñ a   : 3x  y  17  c)  I Ñ a  (C) : (x  1)2  (y  4)2  d) (C) I 20 Trong mpOxy cho đường thẳng () : x  5y  = vaø () : 5x  y  13 = Tìm phép đối xứng qua trục biến () thành () Giải 5  () () cắt Do trục đối xứng (a) phép đối xứng biến () thành () Vì  1 đường phân giác góc tạo () ()  x  y   (a1 )   25 25 +  x  y   (a2 ) Vaäy có phép đối xứng qua trục ( 1) : x  y   , (  ) : x  y   Từ suy (a) : | x  5y  |  | 5x  y  13| 21 Qua phép đối xứng trục Đa : Những tam giác biến thành ? Những đường tròn biến thành ? HD : Tam giác có đỉnh  trục a , hai đỉnh lại đối xứng qua trục a Đường tròn có tâm  a 22 Tìm ảnh đường tròn (C) : (x  1)2  (y  2)2  qua phép đối xứng trục Oy PP : Dùng biểu thức toạ độ  ÑS : (C) : (x  1)2  (y  )2  23 Hai ABC ABC nằm mặt phẳng toạ độ đối xứng qua trục Oy Biết A(  1;5), B(4;6),C(3;1) Hãy tìm toạ độ đỉnh A , B C ĐS : A(1;5), B(4;6) C(  3;1) 24 Xét hình vuông , ngũ giác lục giác Cho biết số trục đối xứng tương ứng loại đa giác cách vẽ trục đối xứng W W W V N M A T H ThuVienDeThi.com C O M - 12 -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM ĐS : ฀ Hình vuông có trục đối xứng , đường thẳng qua đỉnh đối diện đường thẳng qua trung điểm cặp cạnh đối diện ฀ Ngũ giác có trục đối xứng ,đó đường thẳng qua đỉnh đối diện tâm ngũ giác ฀ Lục giác có trục đối xứng , đường thẳng qua đỉnh đối diện đường thẳng qua trung điểm cặp cạnh đối diện 25 Gọi d phân giác A ABC , B ảnh B qua phép đối xứng trục Đd Khẳng định sau sai ? A Nếu AB < AC B cạnh AC B B trung điểm cạnh AC C Nếu AB = AC B  C D Nếu B trung điểm cạnh AC AC = 2AB ĐS : Nếu B= Đd (B) B  AC ฀ A Vì AB < AC mà AB= AB nên AB< AC  B cạnh AC ฀ B sai Vì giả thiết toán không đủ khẳng định AB = AC ฀ C Vì AB= AB mà AB = AC neân AB = AC  B  C ฀ D Vì Nếu B trung điểm cạnh AC AC=2AB mà AB=AB nên AC=2AB 26 Cho đường thẳng a b cắt O Xét phép đối xứng trục Đa Đb : Đ Đ a  B I b  C Khẳng định sau không sai ? A I A A,B,C  đường tròn (O, R = OC) B Tứ giác OABC nội tiếp C ABC cân B D ABC vuông B HD : ฀ A Không sai Vì d1 trung trực AB  OA = OB , d trung trực BC  OB = OC  OA = OB = OC  A,B,C  đường tròn (O, R = OC) ฀ Các câu B,C,D sai 27 Cho ABC có hai trục đối xứng Khẳng định sau ? A ABC  vuông B ABC  vuông cân C ABC  HD : Gỉa sử ABC có 2trục đối xứng AC BC AB = AC   AB  AB  BC  ABC BC = BA D ABC  cân ฀  110o Tính B ฀ C ฀ để ABC 28 Cho ABC có A có trục đối xứng ฀ = 50o C ฀  20o ฀ = 45o vaø C ฀  25o A B B B ฀ = 40o vaø C ฀  30o C B HD : Chọn D Vì : ABC có trục đối xứng ABC cân ฀  110o  90o  ABC cân A , : Vì A o ฀ o o ฀ C ฀  180  A  180  110  35o B 2 29 Trong hình sau , hình có nhiều trục đối xứng ? A Hình chữ nhật B Hình vuông C Hình thoi ĐS : Chọn B Vì : Hình vuông có trục đối xứng 30 Trong hình sau , hình có trục đối xứng ? A Hình chữ nhật B Hình vuông C Hình thoi ĐS : Chọn D Vì : Hình thang cân có trục đối xứng W W W V N M A T H ThuVienDeThi.com C O M - 13 -W W W V N M A T H C O M ฀ =C ฀  35o D B D Hình thang cân D Hình thang cân WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM 31 Trong hình sau , hình có trục đối xứng ? A Hình thoi B Hình vuông ĐS : Chọn C Vì :  có trục đối xứng C  D  vuông cân 32 Trong hình sau , hình có nhiều trục đối xứng ? A Hình vuông B Hình thoi C Hình tròn ĐS : Chọn C Vì : Hình tròn có vô số trục đối xứng D Hình thang cân 33 Trong hình sau , hình trục đối xứng ? B  C  cân D Hình thoi A Hình bình hành ĐS : Chọn A Vì : Hình bình hành trục đối xứng 34 Cho hai hình vuông ABCD ABCD có cạnh a có đỉnh A chung Chứng minh : Có thể thực phép đối xứng trục biến hình vuông ABCD thànhø ABCD HD : Gỉa sử : BC  BC = E ฀ B ฀  90 , AE chung Ta coù : AB = AB , B ÑAE  EB = EB  ABE = ABF    B I B  biết AB = AB ĐAE  EC = EC Mặt khác :  C  C I  AC = AC = a  ฀  BAB ฀AE  DAE ฀  90  Ngoaøi : AD = AD D ĐA ĐAE  D I  D  ABCD I ABCD 35 Goïi H trực tâm ABC CMR : Bốn tam giác ABC , HBC , HAC , HAC có đường tròn ngoại tiếp HD : ฀ =C ฀ (cùng chắn cung BK ฀ ) Ta có : A ฀ =C ฀ (góc có cạnh tương ứng  )  C ฀ =C ฀ A 1  CHK cân  K đối xứng với H qua BC Xét phép đối xứng trục BC Ñ Ñ Ñ BC H ; B I BC B ; C I BC C Ta coù : K I Đ BC Đường tròn ngoại tiếp HBC Vậy : Đường tròn ngoại tiếp KBC I 36 Cho ABC đường thẳng a qua đỉnh A không qua B,C a) Tìm ảnh ABC qua phép đối xứng Đa b) Gọi G trọng tâm ABC , Xác định G ảnh G qua phép đối xứng Đa Giải a) Vì a trục phép đối xứng Đa nên : ฀ A  a  A  Ña (A)  B,C I  C cho a trung trực BB,CC ฀ B,C  a nên Đa : B I b) Vì G  a nên Đa : G I  G cho a trung trực GG 37 Cho đường thẳng a hai điểm A,B nằm phía a Tìm đường thẳng a điểm M cho MA+MB ngắn Giải : Xét phép đối xứng Đa : A I  A M  a MA = MA Ta coù : MA + MB = MA+ MB  AB Để MA + MB ngắn chọn M,A,B thẳng hàng Vậy : M giao điểm a vaø AB W W W V N M A T H ThuVienDeThi.com C O M - 14 -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM 38 (SGK-P13)) Cho góc nhọn xOy M điểm bên góc Hãy tìm điểm A Ox điểm B Oy cho MBA có chu vi nhỏ Giải Gọi N = ĐOx (M) P = ĐOx (M) Khi : AM=AN , BM=BP Từ : CVi = MA+AB+MB = NA+AB+BP  NP ( đường gấp khúc  đường thẳng ) MinCVi = NP Khi A,B giao điểm NP với Ox,Oy 39 Cho ABC cân A với đường cao AH Biết A H cố định Tìm tập hợp điểm C trường hợp sau : a) B di động đường thẳng  b) B di động đường tròn tâm I, bán kính R Giải a) Vì : C = ĐAH (B) , mà B   nên C   với  = ĐAH () Vậy : Tập hợp điểm C đường thẳng  b) Tương tự : Tập hợp điểm C đường tròn tâm J , bán kính R ảnh đường tròn (I) qua ĐAH Vấn đề : PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM ĐN : Phép đối xứng tâm I phép dời hình biến điểm M thành điểm M đối xứng với M qua I Phép đối xứng qua điểm gọi phép đối tâm Điểm I gọi tâm của phép đối xứng hay đơn giản tâm đối xứng   Kí hiệu : ĐI (M)  M  IM   IM ฀ Nếu M  I M  I ฀ Nếu M  I M  ĐI (M)  I trung trực MM ฀ ĐN :Điểm I tâm đối xứng hình H  ĐI (H)  H Chú ý : Một hình tâm đối xứng ĐI Biểu thức tọa độ : Cho I(x o ; y o ) phép đối xứng tâm I : M(x;y) I  M  ÑI (M)  (x; y ) x= 2xo  x  y  2yo  y Tính chất : Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách hai điểm Biến tia thành tia Bảo toàn tính thẳng hàng thứ tự điểm tương ứng Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho Biến góc thành góc có số đo Biến tam giác thành tam giác ( Trực tâm  trực tâm , trọng tâm  trọng tâm ) Đường tròn thành đường tròn ( Tâm biến thành tâm : I I  I , R  = R ) B BÀI TẬP Tìm ảnh điểm sau qua phép đối xứng tâm I : 1) A(  2;3) , I(1;2)  A(4;1) 2) B(3;1) , I(  1;2)  B(5;3) 3) C(2;4) , I(3;1)  C(4; 2) Giaûi :   x   x  a) Gỉa sử : A  ĐI (A)  IA   IA  (x  1; y  2)  (3;1)    A(4;1) y    1 y  Cách  : Dùng biểu thức toạ độ   W W W V N M A T H ThuVienDeThi.com C O M - 15 -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM Tìm ảnh đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm I : 1) () : x  2y   0, I(2; 1)  () : x  2y   2) () : x  2y   0, I(1; 0)  () : x  2y   3) () : 3x  2y   0, I(2; 3)  () : 3x  2y   Giải PP : Có cách Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ Cách : Xác định dạng  //  , dùng công thức tính khoảng cách d(;)   Cách : Lấy A,B   , tìm aûnh A ,B      AB ÑI  x   x  x   x 1) Cách 1: Ta có : M(x;y) I  M   y  2  y y  2  y Vì M(x;y)    x  2y    (4  x)  2(2  y)    x  2y    M(x;y)   : x  2y   ĐI Vậy : () I  () : x  2y   Cách : Gọi  = ĐI ()   song song   : x + 2y + m = (m  5) |5| |m|  m  (loaïi)    | m |   Theo đề : d(I;) = d(I;)   m  5 12  22 12  22  () : x  2y   Cách : Lấy : A(  5;0),B(  1;  2)    A(9; 2), B(5; 0)    AB : x  2y   Tìm ảnh đường tròn sau qua phép đối xứng tâm I : 1) (C) : x2  (y  2)2  1,E(2;1) 2) (C) : x2  y2  4x  2y  0,F(1; 0) 3) (P) : y = 2x2  x  , taâm O(0;0)  (C) : (x  4)2  y2   (C) : x2  y2  8x  2y  12  ñ / nghiã hay biểu thức toạ độ (P) : y =  2x2  x  HD : a) Có cách giải : Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ ĐE  I,R  R  (đã cho) Cách : Tìm tâm I I b) Tương tự Cho hai điểm A B Cho biết phép biến đổi M thành M cho AMBM hình bình hành HD :   MA  BM Nếu AMBM hình bình hành     MB  AM       Vì : MM  MA  AM  MA  MB (1)   Gọi I trung điểm AB Ta có : IA  IB        Từ (1)  MM  MI  IA  MI  IB  MM  2MI    MI  IM  M  ĐI (M) Cho ba đường tròn (I1; R),(I 2; R),(I3; R) đôi tiếp xúc A,B,C Gỉa sử M điểm (I1; R) , : ĐI ÑC ÑA ÑB Q M I  N ; N I  P ; P I  Q CMR : M I HD :  Do (I1; R) tiếp xúc với (I2 ; R) A , nên :   ĐA ĐA ĐA M I  N ; I1 I  I2  MI1 I  NI2  MI1  NI2 (1) W W W V N M A T H ThuVienDeThi.com C O M - 16 -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM  Do (I2 ; R) tiếp xúc với (I3; R) B , nên :   ÑB ÑB ÑB N I  P ; I2 I  I3  NI2 I  PI3  NI2   PI3 (2)  Do (I3; R) tiếp xúc với (I1; R) C , nên :   ÑC ÑC ÑC P I  Q ; I3 I  I1  PI3 I  QI1  PI3  QI1 (3)   Từ (1),(2),(3) suy : MI1  QI1  M  ÑI (Q) Cho ABC tam giác vuông A Kẻ đường cao AH Vẽ phía tam giác hai hình vuông ABDE ACFG a) Chứng minh tập hợp điểm B,C,F,G,E,D có trục đối xứng l l l l b) Gọi K trung điểm EG Chứng minh K đường thẳng AH c) Goïi P = DE  FG Chứng minh P đường thẳng AH d) Chứng minh : CD  BP, BF  CP e) Chứng minh : AH,CD,BF đồng qui HD : ฀ ฀  45 nên ba điểm D,A,F thẳng hàng  45 vaø CAF a) Do : BAD l ÑDF ÑDF ÑDF ÑDF  Ta coù : A  A ; D  D ; F  F ; C  G; ĐDF B  E (Tính chất hình vuông ) Vậy : Tập hợp điểm B,C,F,G,E,D có trục đối xứng đường thẳng DAF ฀ ฀ b) Qua phép đối xứng trục DAF ta có : ABC = AEG neân BAC  AEG ฀ ฀ Nhưng : BCA (  đối xứng = )  AGE ฀ ฀ (do KAG cân K) Suy : A ฀ A ฀  K,A,H thaúng hàng  K AH AGE A 2 c) Tứ giác AFPG hình chữ nhật nên : A,K,P thẳng hàng (Hơn K trung điểm AP ) Vậy : P treân PH d)  Do EDC = DBP neân DC = BP  DC = BP  ฀ ฀  Ta coù : DB = AB  BDC  ABP  CD  BP  BCD  APB hai góc có cặp  BC = AP  cạnh : BC  AP  cặp cạnh lại : DC  BP Lý luận tương tự , ta coù : BF  CP e) Ta coù : BCP Các đường thẳng AH, CD BF ba đường cao BCP nên đồng qui Cho hai điểm A B gọi ĐA ĐB hai phép đối xứng tâm A B a) CMR : ĐB  ĐA  T  2AB b) Xác định ĐA  ĐB HD : a)  Gọi M điểm , ta có :   ĐA  M : MA  AM M I   ÑB MI  M : MB  BM Nghóa : M = ÑB  ÑA (M), M (1) ÑB  Đ A  Ta ng minh : M I  M :    Bieát : MM  MM  MM     M  2MB Maø :  MM  2MA vaø M      Vaäy : MM  2MA  2MB  2MA  2MA  2AB        Vì : MA  AM nên MA  MA  Suy : MM  2AB  M  T  (M), M (2) 2AB W W W V N M A T H ThuVienDeThi.com C O M - 17 -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM Từ (1) (2) , suy : ĐB  ĐA  T  2AB b) Chứng minh tương tự : ÑA  ÑB  T  BA Chứng minh hình (H) có hai trục đối xứng vuông góc với (H) có tâm đối xứng HD : Dùng hình thoi Gỉa sử hình (H) có hai trục đối xứng vuông góc với Lấy điểm M thuộc (H) M1  Ña (M) , M2  Ñb (M1) Khi , theo định nghóa M1,M2  (H) ฀ ฀ Gọi O = a  b , ta có : OM = OM1 vaø MOM  2AOM1 ฀ OM  2M ฀ OB OM1 = OM2 vaø M ฀ ฀ ฀ ฀ OB) Suy : OM = OM2 vaø MOM1  M1OM2  2(AOM1 +M ฀   hay MOM1   90  180 Vậy : O trung điểm M M Do : M2  ÑO (M), M  (H),M2  (H)  O laø tâm đối xứng (H) ฀ ฀  BCN = 30 ABC Cho ABC có AM CN trung tuyến CMR : Nếu BAM HD : ฀ ฀ ฀ ฀ Tứ giác ACMN có NAM  NCM  30 nên nội tiếp đtròn tâm O, bkính R=AC MON  2NAM  60 ĐN ĐN  (O1) B  (O1) A  (O) Xeùt : A I  B  (O) I ÑM ÑM  B  (O) I  (O2 ) B  (O2 ) C  (O) C I OO1  OO2  2R  OO1O2 tam giác Khi , ta có :  ฀  MON  60 Vì O1B  O2 B  R  R  2R  O1O2 nên B trung điểm O1O2 Suy :ABC ฀ OO1O2 (Vì đồng dạng với BMN) Vì OO1O2 tam giác nên ABC tam giác Vấn đề : PHÉP QUAY A KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐN : Trong mặt phẳng cho điểm O cố định góc lượng giác  Phép biến hình biến điểm M thành điểm M cho OM = OM (OM;OM) =  gọi phép quay tâm O với góc quay  ฀ Phép quay hoàn toàn xác định biết tâm góc quay  ฀ Kí hiệu : QO Chú ý : Chiều dương phép quay  chiều dương đường tròn lựơng giác ฀ Q2k  phép đồng ,k  ฀ ฀ Q(2k+1)  phép đối xứng tâm I ,k  ฀ Tính chất : ฀ ĐL : Phép quay phép dời hình ฀ HQ : 1.Phép quay biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự điểm tương ứng Đường thẳng thành đường thẳng Tia thành tia Đoạn thẳng thành đoạn thẳng W W W V N M A T H ThuVienDeThi.com C O M - 18 -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM Q Q  trực tâm , trọng tâm I  trọng tâm ) Tam giác thành tam giác (Trực tâm I Q(O ;  )  I , R = R ) Đường tròn thành đường tròn ( Tâm biến thành tâm : I I Góc thành góc B BÀI TẬP Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(x;y) Tìm M / = Q(O ; ) (M) HD :  x = rcos Gọi M(x;y) Đặt : OM = r , góc lượng giác (Ox;OM) =  M   y = rsin Q(O ; )  M / Gọi M / (x;y) độ dài OM / = r (Ox;OM / ) =  +  Vì : M I Ta coù : x = rcos( + ) = acos .cos  asin .sin   x cos   y sin  y = rsin( + ) = asin.cos  a cos .sin   x sin   y cos  x= x cos   y sin  Vaäy : M /  y= x sin   y cos  Đặc biệt : Q(O ; ) x = x cos   y sin   M I M / /  y =  x sin   y cos  Q(I ; ) x  xo = (x  xo ) cos   (y  yo )sin   M/   M I I(xo ;yo ) y  yo = (x  xo )sin   (y  yo ) cos  Q(I ; ) x  xo = (x  xo ) cos   (y  yo )sin   M/ /   M I  I(xo ;yo ) y  yo =  (x  xo )sin   (y  yo ) cos  Trong mpOxy cho phép quay Q a) Điểm M(2;2) (O;45 ) Tìm ảnh : b) Đường tròn (C) : (x  1)2 + y = Q (O ; 45 ) Giải Gọi : M(x;y) I M / (x / ;y / ) Ta coù : OM = 2, (Ox; OM) =  x = rcos(+45 )  r cos .cos 45  r sin .sin 45  x.cos 45  y.sin 45 Thì M /  y = rsin(+45 )  r sin .cos 45  r cos .sin 45  y.cos 45  x.sin 45  2 x y x= 2  M/  y= x  y  2 Q (O ; 45 ) a) A(2;2) I A / (0 ;2 2) Q  / ฀ Taâm I(1;0) (O ; 45 )  (C) : ฀ Taâm I ? b) Vì (C) :  ฀ Bk : R = ฀ Bk : R = R = Q 2 2 2 (O ; 45 ) I(1;0) I I / ( ; ) Vaäy : (C) : (x  ) + (y  ) =4 2 2  y x= x  2 Trong mpOxy cho pheùp biến hình f :  Hỏi f phép ? y= x  y  2 W W W V N M A T H ThuVienDeThi.com C O M - 19 -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM Giải     x= x cos  y sin  M(x;y) với   f phép quay Q  Ta coù f : M (x; y) I   (O; )  y= x sin  y cos  3 Trong mpOxy cho đường thẳng ( ) : 2x  y+1= Tìm ảnh đường thẳng qua : a) Phép đối xứng tâm I(1;  2) b) Phép quay Q (O;90 ) Giaûi  x   x  x   x a) Ta coù : M(x;y) = ĐI (M) biểu thức tọa độ M       y y  y  4  y Vì M(x;y)  () : 2x  y+1=  2(2  x)  (4  y)    2x  y    M(x;y)  () : 2x  y   ĐI Vậy : () I  () : 2x  y   Q (O;90 )  M(x;y) Đặt (Ox ; OM) =  , OM = r , b) Caùch : Gọi M(x;y) I Ta có (Ox ; OM) =  + 90 ,OM  r Q x  r cos(  90 )   r sin   y x  y x = rcos (O;90 ) I  M   Khi : M   y = rsin  y   x  y  r sin(  90 )  rco s   x Vì M(x;y)  () : 2(y)  (  x) + =  x  2y + =  M(x;y)  () : x  2y   Q (O;90 )  () : x  2y   Vaäy : () I Q (O;90 )  M(1; 0)  () Cách : Lấy :  M(0;1)  () I Q 1 (O;90 )  N(  ;0)  () I  N(0; )  () 2 Q (O;90 )  () I  ()  MN : x  2y   Q (O;90 ) Cách :  Vì () I ()  ()  () mà hệ số góc : k    k    Q  (O;90 )  M(0;1)  () I  M(1; 0)  () ฀ Qua M(1; 0)   () :   () : x  2y   hsg ; k =  ฀  Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(3;4) Hãy tìm toạ độ điểm A ảnh A qua phép quay tâm O góc 90o HD : Gọi B(3;0),C(0;4) hình chiếu A lên trục Ox,Oy Phép quay tâm O góc 90o biến hình chữ nhật OABC thành hình chữ nhật OCAB Khi : C(0;3),B(  4;0) Suy : A(  4;3) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Tìm phép quay Q biến điểm A(  1;5) thành điểm B(5;1)   OA  OB  26 HD : Ta coù : OA  (1;5) vaø OB  (5;1)     OA.OB   OA  OB (A) B=Q (O ; 90 ) W W W V N M A T H ThuVienDeThi.com C O M - 20 -W W W V N M A T H C O M ... cho phép biến hình : a) f : M(x;y) I  M = f(M) = ( y ; x  2) x y b) g : M(x;y) I  M = g(M) = ( 2x  ; y+1)  x y Phép biến hình phép dời hình ? HD : a) f phép dời hình b) g phép. .. hình ( x1  x MN  MN ) Trong mpOxy cho phép biến hình :  M = f(M) = (y + ;  x) a) f : M(x;y) I b) g : M(x;y) I  M = g(M) = ( x ; 3y ) Phép biến hình phép dời hình ? Giải : a) f phép. .. phép dời hình b) g phép dời hình ( y1  y2 MN  MN ) Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I  M = f(M) = (2x ; y  1) Tìm ảnh đường thẳng () : x  3y  = qua phép biến hình f Giải