Đề thi môn Toán lớp 10 Trường THPT chuyên Tuyên Quang29324

ĐỀ THI MƠN TỐN LỚP 10 Đề thi có 01 trang, 05 câu TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XI TRƯỜNG THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG * ĐỀ THI ĐỀ XUẤT     x  x2  y  y    Câu (4 điểm) Giải hệ phương trình   x  y   y  x   3x  Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O; đường cao AD, BE, CF; trực tâm H Gọi K trung điểm OH, L giao điểm EF với BC Chứng minh LB.LC  KL2  KD Câu (4 điểm) Cho ba số thực a,b,c không âm a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức P  2a (a  1)  b  c  2b(b  1)  c  a  2c(c  1)  a  b Câu (4 điểm) Cho số nguyên dương a, b, c, d thoả mãn a  b  c  d ; ad  bc; d  a  Chứng minh a số phương Câu (4 điểm) Có 101 thành phố Giữa hai thành phố có đường bay chiều, khơng có đường bay Biết thành phố có 50 đường bay đến 50 đường bay Chứng minh với hai thành phố A B, ta tới B từ A mà phải qua nhiều thành phố C - Hết(Người đề : Đoàn Phú Như Số điện thoại 0916776986) ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI ĐỀ XUẤT OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XI (Hướng dẫn có 03 trang) Hướng dẫn chấm Câu    Điểm  x  x2  y  y    Câu (4 điểm) Giải hệ phương trình   x  y   y  x   3x  x2   x2  x  x2   x  x  x  Giải Ta có Tương tự: y   y  Do đó: x    x2  y  y    x  x2    x  y  x2   y    x  y   y2   y x2  y x 1  y 1 2 0    x2   y   x  y  x y    ( x  y)  0  ( x  y ) 1  2 2     x 1  y 1 x 1  y 1   x  y   y  x 4,0 Thay y = -x vào phương trình thứ hai hệ ta phương trình x  x   x  x   3x Từ phương trình ta thấy x > Do   x  x   x  x   3x  2x  x   2x   x  x   x  2 2 x  x    2x  x   2x    (1  x)     x 1 x2  x   x 0       x  2 x  x 1  x  2x  x   2x  2x   x  y    Vậy hệ có nghiệm  Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O; đường cao AD, BE, CF; trực tâm H Gọi K trung điểm OH, L giao điểm EF với BC Chứng minh LB.LC  KL2  KD 4,0 Giải ThuVienDeThi.com Hướng dẫn chấm Câu Điểm A E N K F O H C M D B L Gọi M, N trung điểm BC, AH Ta có điểm D, E, F, M, N nằm đường trịn đường kính MN (đường trịn Euler tam giác ABC) Ta có tứ giác OMHN hình bình hành (OM song song NH) nên MN OH cắt trung điểm K OH, suy đường trịn (MDFNE) có tâm K bán kính R = KD Do LF LE  KL2  KD Ta có tứ giác BCEF nội tiếp nên LB.LC  LF LE Vậy: LB.LC  KL2  KD Câu (4 điểm) Cho ba số thực a, b, c không âm a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức P  2a (a  1)  b  c  2b(b  1)  c  a  2c(c  1)  a  b Giải Từ giả thiết ta có P  2a  3a   2b  3b   2c  3c  Ta chứng minh: 3 Thật vậy: 3 2a  3a    a với a  0;1 2a  3a    a  2a  3a   (1  a )3  a (a  1)  , 4,0 với a  0;1 Đẳng thức xảy a = a = Tương tự 2b  3b    b ; 2c  3c    c với b, c  0;1 Do đó: P   (a  b  c)  P =  (a, b, c) = (1, 0, 0) hoán vị Vậy MaxP = đạt (a, b, c) = (1, 0, 0) hoán vị Câu (4 điểm) Cho số nguyên dương a, b, c, d thoả mãn: a  b  c  d ; ad  bc; d  a  Chứng minh a số phương 4,0 Giải Đặt ad  bc  t Ta có: ThuVienDeThi.com Hướng dẫn chấm Câu a  d bc  Điểm t t t    a  d   c  (d  c) 1    (d  c) 1    d c  cd   c  a  d  b  c 1 Khi đó:  d  a  d a2 Kết hợp với giả thiết ad  b  c   bc  d  a  suy ra:  c  b    (*) d  a  b  c  a  2b  d  a  d  b  c  Dấu (*) xảy khi:  Ta có: ad  bc  a  Khi đó: bc b b2  Suy ra:  2b  d   (d  b)  d d d d d  a   a  d   d  b   a  (d  b  1) Vậy a số phương Câu (4 điểm) Có 101 thành phố Giữa hai thành phố có đường bay chiều, khơng có đường bay Biết thành phố có 50 đường bay đến 50 đường bay Chứng minh với hai thành phố A B, ta tới B từ A mà phải qua nhiều thành phố C Giải Xét hai thành phố A B Nếu tồn đường bay từ A đến B tốn chứng minh Nếu không tồn đường bay từ A đến B ta gọi S tập hợp thành phố X mà có đường bay từ A đến X, P tập hợp thành phố Y mà có đường bay từ Y đến 4,0 B Khi A, B khơng thuộc S, P theo giả thiết S  P  50 Ta có: 101  S  P  A, B  S  P  A, B  S  P  102  S  P  S  P  Suy tồn thành phố C  S  P Khi tồn đường bay A → C → B - Hết- ThuVienDeThi.com ... P theo giả thi? ??t S  P  50 Ta có: 101  S  P  A, B  S  P  A, B  S  P  102  S  P  S  P  Suy tồn thành phố C  S  P Khi tồn đường bay A → C → B - Hết- ThuVienDeThi.com ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI ĐỀ XUẤT OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XI (Hướng dẫn có 03 trang) Hướng dẫn chấm Câu ... ThuVienDeThi.com Hướng dẫn chấm Câu a  d bc  Điểm t t t    a  d   c  (d  c) 1    (d  c) 1    d c  cd   c  a  d  b  c 1 Khi đó:  d  a  d a2 Kết hợp với giả thi? ??t