www.VNMATH.com S Giáo D c & T o TP H CHÍ MINH K THI OLYMPIC TRUY N TH NG 30/4 L N XX – N M 2014 Tr Mơn thi : Tốn - Kh i : 11 Ngày thi : 05/04/2014 ng THPT Chuyên Lê H ng Phong Th i gian làm bài: 180 phút Ghi : –Thí sinh làm m i câu hay nhi u t gi y riêng ghi rõ câu s …… gi y làm –Thí sinh khơng s d ng máy tính c m tay – có 01 trang trang c a m i t Bài 1: (4 m) Gi i h ph Bài 2: (4 m) Cho dãy s ng trình : x + y = , ( x, y ∈ ) 125y − 125y + 15 = (un ) a Ch ng minh r ng u = 2n b Ch ng minh r ng dãy s u1 = n xác đ nh b i : −1) ( , ∀n ≥ u n +1 = u n + n +1 1 + + + , ∀n ≥ n +1 n + n+n (un ) có gi i h n h u h n, tìm gi i h n Bài 3: (3 m) Hai đ ng tròn (O1, R1 ) (O2, R2) (R1> R2) c t t i hai m M M’ M t ti p n chung T1T2 c a hai đ ng tròn c t đ ng th ng O1O2 t i P (T1 thu c (O1), T2 thu c (O2)) ng th ng PM c t (O1) (O2) l n l t t i M1 M2 khác M ng th ng PM’ c t (O1) (O2) l n l t t i M1’ M2’ khác M’ G i A, B, C, D l n l t trung m c a MM1, MM2, M’M1’, M’M2’ Ch ng minh r ng A, B, C, D n m m t đ ng tròn đ ng tròn ti p xúc v i T1T2 Bài 4: (3 m) Xác đ nh đa th c P(x) h s th c th a mãn P(x).P(x ) = P(x + 3x), ∀x Bài 5: (3 m) Cho hai s t nhiên m n cho m > n ≥ Bi t r ng hai ch s t n c a 2014m b ng v i hai ch s t n c a 2014n theo th t Tìm s m n cho t ng m + n có giá tr nh nh t Bài 6: (3 m) Cho đa giác đ u đ nh A1A A M i đ nh c a đa giác ho c có màu đ ho c có màu xanh Ch ng minh r ng t n t i hai tam giác phân bi t b ng có t t c đ nh đ nh c a đa giác màu H t ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com Gi i h ph K THI OLYMPIC TRUY N TH NG 30/4 - N M 2014 Mơn Tốn – Kh i 11 áp án ng trình : 2 x + y = , ( x, y ∈ ) 125y − 125y + 15 = Bài ∑ =4đ Cách 1: 2 (1) x + y = x = − y I ⇔ ( ) −6 15 (2) 125y ( y − 1) = 125y − 125y + 15 = T (1): y − ≤ y3 > K t h p v i (2): y − < 1đ ⇒ < y ⇒ y > 1đ (2) ⇔ 125 y + 15 = 125y Ta có: 3VT = 125 y5 + 125 y5 + 125 y5 + 15 + 15 ≥ 5 510.35.y15 = 3.125y3 = 3VP ThuVienDeThi.com 1đ www.VNMATH.com 15 5 Nên (2) ⇔ 125 y= 15 ⇔= y 1đ 10 x + y2 = x = ± ( I ) ⇔ 15 ⇔ y = y = 15 (un ) Cho dãy s Bài 1đ u1 = n xác đ nh b i : −1) ( u u , n = + ∀ ≥ n +1 n n +1 1 + + + , ∀n ≥ n +1 n + n+n a Ch ng minh r ng u = 2n (un ) b Ch ng minh r ng dãy s có gi i h n h u h n, tìm gi i h n ∑ =4đ ( −1) a T gi thi t có ∀n ≥ 1, un +1 − un = n +1 n 2n (−1) k −1 1 1 + u1 = − + − + − 2n k 2n ⇒ u2 n = ∑ ( uk − uk −1 ) + u1 = ∑ = = k k 1 1 1 1 ⇒ u2 n = + + + + − + + + 2n 2n 1 1 1 1 1 1 1 = + + + + − + + + + = + + + 2n n n +1 n + n+n 1 n 1 n = ∑ ∑ n k 1+ k = = k n+k n 1đ 1đ = b u2 n Xét hàm s 0.5 đ f ( x= ) ln ( x + 1) , x ≥ ⇒ f ' ( x=) x +1 k −1 k k −1 k Áp d ng đ nh lí Lagrange đo n ; ,= k 1; n ⇒ ∃ck ∈ ; n n n n k k −1 1 cho ln 1 + − ln 1 + = n n + ck n 0.5 đ 1 k k −1 ⇒ < ln 1 + − ln 1 + < (k ) n 1+ k n n 1+ k −1 n n n C ng v theo v b t đ ng th c (1), (2) , , (n) ta có u2 n < ln < u2 n + ⇒ lim u2 n = ln 2n 0.5 đ ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com u2 n +1 = u2 n + 1 lim u2 n + ln ⇒ lim u2 n +1 = = 2n + 2n + Do có lim un = ln N u thí sinh ch ng minh dãy s (un) có gi i h n h u h n cho 1đi m Bài Hai đ ng trịn (O1, R1 ) (O2, R2) (R1> R2) c t t i hai m M M’ M t ti p n chung T1T2 c a hai đ ng tròn c t đ ng th ng O1O2 t i P (T1 thu c (O1), T2 thu c (O2)) ng th ng PM c t (O1) (O2) l n l t t i M1 M2 khác M ng th ng PM’ c t (O1) (O2) l n l t t i M1’ M2’ khác M’ G i A, B, C, D l n l t trung m c a MM1, MM2, M’M1’, M’M2’ Ch ng minh r ng A, B, C, D n m m t đ ng tròn đ ng tròn ti p xúc v i T1T2 Ta có M, M’ đ i x ng qua O1O2 Theo gi thi t suy ABDC hình thang cân, nên ABDC n i ti p đ G i O trung m O1O2 suy O tâm đ ng tròn ng tròn ngo i ti p hình thang cân ABDC 0.5 đ ∑ =3đ 1đ 0.5 đ Goi T trung m T1T2 : OT / /O1T1 ; Ta có O1M1' / /O M ' ⇒ OC / /O1M1' / /O M ' M1' T1 / /M 'T2 ⇒ CT / /M1' T1 / /M 'T2 mà ∆O1M1' T1 cân t i O1 ⇒ ∆OCT cân t i O ⇒ OT = OC ⇒ T ∈ (O) O1T1 ⊥ T1T2 ⇒ OT ⊥ T1T2 nên (O) ti p xúc T1T2 Bài Xác đ nh đa th c P(x) h s th c th a mãn P(x).P(x2) = P(x3 + 3x), ∀ x ∈ P(x).P(x2) = P(x3 + 3x), ∀x (1) Tr ng h p P(x) ≡ c (c h ng s th c ) Khi (1) ⇔ c2 = c ⇔ c = ho c c = ThuVienDeThi.com 1đ 0.5 đ ∑ =3đ 0.5 đ www.VNMATH.com Tr ng h p degP ≥ Gi s (1) th a (1) ⇒ P2(0) = P(0) ⇒ P(0) = ho c P(0) = N u P(0) = P(x) = xmQ(x) v i m nguyên d ng Q(x) đa th c h s th c th a Q(0) ≠ ………………………………………………… (a) Khi (1) ⇔ x m Q(x)x 2m Q(x )+= (x 3x) m+Q(x 3x) ∀x∈ ⇔ x 2m Q(x)Q(x ) = + (x 3)m Q(x + 3x) , ∀x∈ \{0} ⇔ x 2m Q(x)Q(x ) = + (x 3)m Q(x + 3x) ∀x∈ (Do Q(x) đa th c ) …………………….(b) Trong (b), l y x = ta có Q(0) = mâu thu n v i (a) (!) ⇒ P(0) ≠ V y P(0) = G i α nghi m ph c c a P(x) có mơđun l n nh t ⇒ α > (Do P(0) ≠ 0) T (1) l n l α3 + 3α t thay x = α , x = ( α) +3 α (ký hi u 0.5 đ α ch m t c n b c hai c a s ph c α ), ta có α c ng nghi m c a P(x) 0.5 đ ⇒ α ≥ α + 3α ……………………………………………………………….………… (c) α ≥ α + α ………………………………………………………….…………… (d) t α = a + bi (a, b ∈ ) (c) ⇔ α ≥ α α + ⇔ ≥ α + ⇔1 ≥ α + ⇔ ≥ ( a2 − b2 + 3) + 4a2 b2 ⇔ ( a2 − b2 ) + 6(a2 − b2 ) + 4a2 b2 + ≤ ⇒ 6b2 ≥ 6a2 + 4a2 b2 + + ( a2 − b2 ) ≥ 6a2 + 4a2 b2 + ≥ 2 ⇒ b2 ≥ ⇒ 4a2 b2 ≥ 16a 3 2 ⇒ 6b2 ≥ 6a2 +8 + 4a2b2 ≥ 6a2+8+ 16a = 34a + 3 ⇒ b2 ≥ 17a + ………………………………………………………………………… (e) (d) ⇔ 0.5 đ α ≥ α + ⇔ α ≥ α + ⇔ a2 + b2 ≥ [(a + 3)2 + b2 ]2 ⇔ a2 + b2 ≥ (a2 + b2 + 6a + 9)2 ⇔ a2 + b2 ≥ (a2 + b2 )2 + 2(6a + 9)(a2 + b2 ) + (6a + 9)2 ⇔ (a2 + b2 )[(a2 + b2 ) + 2(6a + 9) − 1] + (6a + 9)2 ≤ ⇔ (a2 + b2 )(a2 + b2 + 12a + 17) + (6a + 9)2 ≤ …………………………………………….(f) Bài 2 Mà a2 + b2 + 12a + 17 ≥ a2 + 17a + + 12a + 17 = 26a + 12a + 55 > 0, ∀a : Mâu thu n v i (f) (e) 9 ⇒ Không t n t i đa th c P(x) v i degP ≥ th a u ki n đ V y P(x) ≡ ho c P(x) ≡ Cho hai s t nhiên m n cho m > n ≥ Bi t r ng hai ch s t n c a 2014m b ng v i hai ch s t n c a 2014n theo th t Tìm s m n cho t ng m + n có giá tr nh nh t ( Theo gi thi t, ta có : 2014 − 2014 100 ⇔ 2014 2014 m n n Do : 2014 ⇒ n ≥ n m−n − 1) 1đ ∑ =3đ 0.5 đ 0.5 đ ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com 2014m − n − 52 ⇔ (2000 + 14) m − n − 52 ⇒ 14p − 25 (v i p = m – n, p ∈ N* ) N u p = 2k + 14p = − 142k +1 = − 196k.14 − m t s có ch s t n b ng nên không chia h t cho 25 0.5 đ V y p = 2k, k ∈ N (1) Khi đó: 14p − 25 ⇔ 142k − 25 ⇔ (1 − 15) 2k − 25 ⇔ −30k 25 ⇒ k (2) * T (1) (2) ⇒ p 10 ⇒ p ≥ 10 0.5 đ 0.5 đ T ng m + n =2n + p ≥ 14 D u b ng x y n = p = 10 t c m = 12 n = V y m+n có giá tr nh nh t m=12 n=2 Bài Cho đa giác đ u đ nh A1A A M i đ nh c a đa giác ho c có màu đ ho c có màu xanh Ch ng minh r ng t n t i hai tam giác phân bi t b ng có t t c đ nh đ nh c a đa giác màu Ta g i m t tam giác đ (ho c xanh) n u m i đ nh c a màu đ (ho c xanh) Vì có đ nh đ 0.5 đ Gi ta ch ng minh r ng có hai tam giác đ b ng Các đ nh c a đa giác chia đ m t m nh t ng tròn ngo i ti p thành cung b ng Ta g i m i cung tam giác có cung A i A j không ch a m v i b ba đ t t (a i, j ng t cho t ai,j s l ng m nh thu c Ta cho t ng ng m i tam ;a j,k ;a k,i ) Rõ ràng ≤ a i, j ≤ a j,k ≤ a k,i ≤ a i, j + a j,k + a k,i = Ví d , tam giác v i đ nh t đ c đ c tam giác và ng ng v i b ba (2, 3, 4) Các tam giác b ng t t ng ng v i m t b ba, tam giác không b ng ng ng v i b ba khác Do đó, ta xây d ng đ cm tt gi a l p tam giác b ng v i t p h p b ba s nguyên d v i ∑ =3đ c tơ b ng màu nên có nh t đ nh có màu gi ng Khơng m t tính t ng qt, ta cho màu màu đ Do đó, có nh t C53 = 10 tam giác đ giác 0.5 đ 1đ ng ng song ánh ng có th t (a, b, c) a + b + c = 9.Các b ba th a u ki n g m (1, 1, 7), (1, 2, 6), (1, 3, 5), (1, 4, 4), (2, 2, 5), (2, 3, 4), (3, 3, 3) Suy có l p tam giác b ng 1đ Vì có nh t 10 tam giác đ nên có m t l p ch a nh t tam giác đ có nh t hai tam giác đ b ng 0.5 đ H t ThuVienDeThi.com ... hai ch s t n c a 2014m b ng v i hai ch s t n c a 2014n theo th t Tìm s m n cho t ng m + n có giá tr nh nh t ( Theo gi thi t, ta có : 2014 − 2014 100 ⇔ 2014 2014 m n n Do : 2014 ⇒ n ≥ n m−n...www.VNMATH.com Gi i h ph K THI OLYMPIC TRUY N TH NG 30/4 - N M 2014 Mơn Tốn – Kh i 11 áp án ng trình : 2 x + y = , ( x, y ∈ ) 125y − 125y... ⇒ n ≥ n m−n − 1) 1đ ∑ =3đ 0.5 đ 0.5 đ ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com 2014m − n − 52 ⇔ (2000 + 14) m − n − 52 ⇒ 14p − 25 (v i p = m – n, p ∈ N* ) N u p = 2k + 14p = − 142k +1 = − 196k.14