Tài liệu môn Toán Bất đẳng thức cauchy15818

Trường THPT Liễn Sơn Giáo viên: Trần Quyết BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY A) LÝ THUYẾT I) Định lí: Cho  0, i  1, n Khi a1  a2   an n  a1a2 an n Dấu xảy  a1  a2   an II) Hệ Hệ 1: Cho  0, i  1, n a1a2 an  q Khi a1  a2  an   n n q a1  a2   an n K Hệ 2: Cho  0, i  1, n a1  a2   an  K Khi max a1a2 an     n K a1  a2   an  n B) ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY I) Dùng bất đẳng thức Cauchy tìm giá trị nhỏ Nhận xét chung: Để áp dụng bất đẳng Cauchy tìm giá trị nhỏ S  a1  a2   an ,  ta làm sau:  bi  0, i  1, m  Biến S  b1  b2   bm   S0 thỏa mãn b1b2 bn  q có nghiệm b  b   b m 1  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy  S  m m q  S0  Const  Xét dấu kết luận Một số dạng thường gặp Dạng 1: S  A  m với m số dương; A B biểu thức đại số nhận giá trị dương B Tìm giá trị nhỏ biểu thức S Phương pháp chung:   Sử dụng X  X  Y  Y xuất số có B a Sử dụng a  m với m số mũ thừa số B m ThuVienDeThi.com Trường THPT Liễn Sơn Giáo viên: Trần Quyết Ví dụ Cho a  b  c  Tìm giá trị nhỏ S  a  108 c b  c  a  b  Lời giải Ta có: S  a  b   b  c   c  Theo giả thiết: a  b  c    a b  S  77     108 c b  c  a  b   108 a b bc  c 3 c b  c  a  b  108 a b bc  0,  0, c  0,  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 3 c b  c  a  b  108 bc   S 7  c   c b  c  a  b  a  c  108 a b bc    c  b  Kết luận: S  b  Dấu "  "  3 c b  c  a  b  c  a    Dạng 2: Cho A, B, C tổng đối xứng biến dương x, y, z Tìm giá trị nhỏ S  A  u x  u   v   w   Phương pháp chung: Đặt  B  v   y   v   w   u ,  ,   0,   ฀ C  w  z   w   v   v    v w u  w u v   S  3             Áp dụng bất đẳng thức Cauchy u v w  u v w  S        Dấu xảy  x  y  z Kết luận Ví dụ Cho x, y, z  Tìm giá trị nhỏ S  x y z   y  2z z  2x x  y Lời giải ThuVienDeThi.com x y z   A B C Trường THPT Liễn Sơn Giáo viên: Trần Quyết  x   a b c c  x   2b  x  a 9  y  2z  a       y   b  c  a Đặt  z  x  b   z  b  x 9 x  y  c   cx  y    z   c  a  b  4b c a 1 c a b  S                 1 9a b c  9a b c 3 b c a  a  b  c S 1   a  b  c  x  y  z c a b     a b c Kết luận: S   x  y  z Dạng 3: Cho A, B, C tổng đối xứng biến dương x, y, z Tìm giá trị nhỏ x y z   A B C S Phương pháp chung:     x x  y  z y z  Biến đổi tổng, chọn k :  S k     kyB kzC   A  kx  kxA  x y z  Đánh giá S  k      S1  kx  A ky  B kz  C  Tìm S1 (Dạng 2) Ví dụ Cho ABC : BC  a, CA  b, AB  c Tìm giá trị nhỏ S  a b c   2b  2c  a 2c  a  b 2a  2b  c Dự đoán: S  a  b  c  2b  2c  a  3a Lời giải   a b c    S  3  3a 2b  2c  a       b c a b c a b c 2 2      Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương ta được: ThuVienDeThi.com Trường THPT Liễn Sơn Giáo viên: Trần Quyết 3a 2b  2c  a   a  b  c 3b 2c  2a  b   a  b  c 3c 2a  2b  c   a  b  c  abc   S  3   abc  2a  2b  c  3c  S   2b  2c  a  3a  a  b  c 2c  2a  b  3b  Kết luận: S   a  b  c  ABC a b c    k với a, b, c số dương Tìm giá trị nhỏ x y z S  px  qy  rz; p, q, r  Dạng 4: Cho x, y, z  :  x, y , z   Ví dụ Cho  Tìm giá trị nhỏ S  x  y  z x  y  z 1  Lời giải 1 9  16 x y   36 x z   y z        S  4 x  y  z      17   x  z x  z y  x y z  y S2 16 x y 36 x z y 4z 2 2  17  S   12  12  17  49 y x z x z y   16 x y 36 x z y z x   y  4x  ;  ;   x z x z y    y S  49    z  6x   y  14 1   1 1  z  21  x y z    1   x x 2x   x   Kết luận: S  49   y  14  z  21   ThuVienDeThi.com Trường THPT Liễn Sơn Giáo viên: Trần Quyết Dạng 5: Cho x, y, z  Tìm giá trị nhỏ S  ax  by  cz  m n p   x y z ( a, b, c, m, n, p số dương) Phương pháp chung:    x  y  z  k  m n p  Chọn x, y, z , k cho: a1 x  ; b1 y  ; c1 z  x y z  a  a1  b  b1  c  c1  k1  m  n  p  S   a1 x     b1 y     c1 z    k1 x  y  z  x  y  z  Đánh giá Cauchy S  S0 , xét dấu kết luận  x, y , z  16 Ví dụ Cho  Tìm giá trị nhỏ S  x  y  z    x y z x  y  z  1  8  16   Phân tích: S   a1 x     b1 y     c1 z    k1 x  y  z  x  y  z   1 x  x x    8 Chọn  y      y z   y  16    4z z Lời giải 1  8  16   S   x     y     z    x  y  z     16   31 x  y  z   x  S  31   y  z  x  Kết luận: S  31   y  z  Dạng 6: Cho xi  0, i  1, n n n i 1 i 1  xik  nq k  Const Tìm giá trị nhỏ S   xim , m  k  Phương pháp chung:  Dự đoán S  x1  x2   xn  q ThuVienDeThi.com Trường THPT Liễn Sơn  Giáo viên: Trần Quyết Dùng Cauchy hạ bậc m  k Khai m x km i k sè xim  m m  k  sè q Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho m số dương: kxim  m  k q m  m m xikm q  m  k m  kxim  m  k q m  m.q  mk  xik k Cộng vế với vế bất đẳng thức ta được: kS  n m  k q m  m.q m  k  xik  S  nq m i 1   xim  q m , i  1, n   xi  q, i  1, n Kết luận Dấu xảy   n k k  xi  nq  i 1 Ví dụ Cho a, b, c  : a  b  c  12 Tìm giá trị nhỏ S  a  b  c Lời giải abcabc2 a  3.2  5 a10 215  40a    b  3.2  5 b10 215  40b   S  9.2  40 a  b  c  40.12  S  96  2c  3.2  5 c10 215  40c   S  96  a  b  c    Kết luận: S  96  a  b  c  Ví dụ Cho a  b  c  Chứng minh rằng: 8a  8b  8c  a  b  c Lời giải Ta có: 8a    3 8a  3.2 a ; 8b    3 8b  3.2 b ; 8c    3 8c  3.2 c      8a  8b  8c   a  b  c  a  b  c  2 a  b  c  a  b  c  a  b  c  a  b  c   8a  8b  8c  a  b  c Dạng 7: Cho xi  0, i  1, n, x1 x2 xn  q Tìm giá trị nhỏ biểu thức x1m x2m xnm ( Ai , Bi , Ci tổng đối xứng x1 , x2 , , xn ), i  1, m  S    A1 A2 Am 1 B1 B2 Bm 1 C1C2 Cm 1 Phương pháp chung: ThuVienDeThi.com Trường THPT Liễn Sơn   Giáo viên: Trần Quyết  x1  x2   xn  Chọn k1 , k2 , , km 1 :  x1m A1 A2 Am 1  A A A  k  k   k m 1  m 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho m số x1m A A A     m 1  px1 A1 A2 Am 1 k1 k2 km 1 x2m B B B     m 1  px2 B1 B2 Bm 1 k1 k2 km 1  xnm C C C     m 1  pxn C1C2 Cm 1 k1 k2 km 1  Cộng vế với vế  S  k x1  x2  x3   xn   nk n q Xét dấu bằng, kết luận Ví dụ Cho a, b, c  : abc  Tìm giá trị nhỏ S a3 b3 c3   b  c b  2c  c  a c  2a  a  b a  2b    12 a3 b  c b  2c a a 3a Phân tích: a  b  c  Chọn  ,  :          b  c b  2c      18 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương: a3 b  c b  2c a3 a b3 c  a c  2a b3 b    33  ;    33  18 12.18 c  a c  a  12 18 12.18 b  c b  2c  12 c3 a  b a  2b c3 c    33  Cộng vế với vế bất đẳng thức ta được: 18 12.18 a  b a  2b  12 abc abc abc abc  S 3  6 S 1 a  b  c  S Kết luận: S   a  b  c  II Sử dụng bất đẳng thức Cauchy tìm giá trị lớn Nhận xét chung: Để sử dụng bất đẳng thức Cauchy Tìm giá trị lớn P  a1a2 an , ai   ThuVienDeThi.com Trường THPT Liễn Sơn Giáo viên: Trần Quyết  Biến đổi tích: Lũy thừa hai vế tích với số mũ hợp lí nhân hai vế tích với số dương hợp lí  bi  0, i  1, m   Tích P1  b1b2 bm thỏa mãn: b1  b2   bm  S0  Const b  b   b m  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy  P  P0  Xét dấu kết luận có nghiệm Một số dạng thường gặp n n i 1 i 1   q  Const Tìm giá trị lớn S   m k  Ai với A1, A2 , , An Dạng 1: Cho  0, i  1, n tổng đối xứng biến Phương pháp chung: q  k  Ai  h n  a1  a2   an   m  k  A1  k  A2   k  An  h Dấu xảy   Kết luận a1  a2   an  q k  Ai  m h m 1 k  Ai  h m 1  k  Ai  h m  1 k1 Cộng vế với vế  S  S0  Const Ví dụ Cho a, b, c  : a  b  c  Tìm giá trị lớn S  21  a  b  21  b  2c  21  c  a Phân tích: a  b  c   21  a  b  27 Lời giải 3 27.27 21  a  b  21  a  b  21  b  2c  75  b  2c ; 27 S 27.27 27  27  21  a  b 75  a  b   21  a  b  27 21  c  a  75  c  a 27 75  a  b  c  S   a  b  c  Kết luận: S   a  b  c  Dạng 2: Cho A1 , A2 , , An biểu thức nhận giá trị dương Tìm giá trị lớn S  A1 A2 An Ví dụ 10 Cho x  0;3, y  0;4  Tìm giá trị lớn P  2 x  y 3  x 4  y  Lời giải ThuVienDeThi.com Trường THPT Liễn Sơn Giáo viên: Trần Quyết  2 x  y   6  x   12  y  Ta có: P  2 x  y 6  x 12  y      P  36   x  Dấu xảy  x  y   x  12  y   y  x  Kết luận: maxP=6  y  Ví dụ 11 Cho a  1;2 ; b  4;5; c  7;10 thỏa mãn: a  b  c  16 Tìm giá trị lớn P  a.b.c Phân tích: c  b  a  c   b   a,     1 Lời giải   a   b  c     1a    1b  16     1    1  16   P   a. b.c        3        a  2; b  5; c   a   b  c    Dấu xảy  a     b  5; a  b  c  16       a    P  90 Dấu xảy  b  c   a   Kết luận: maxP=90 b  c   ThuVienDeThi.com ... m  k  sè q Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho m số dương: kxim  m  k q m  m m xikm q  m  k m  kxim  m  k q m  m.q  mk  xik k Cộng vế với vế bất đẳng thức ta được: kS  n m... Cộng vế với vế bất đẳng thức ta được: 18 12.18 a  b a  2b  12 abc abc abc abc  S 3  6 S 1 a  b  c  S Kết luận: S   a  b  c  II Sử dụng bất đẳng thức Cauchy tìm giá...   a b c    S  3  3a 2b  2c  a       b c a b c a b c 2 2      Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương ta được: ThuVienDeThi.com Trường THPT Liễn Sơn Giáo viên: Trần Quyết