Đề cương ôn tập học kì II Toán 910457

GV: Nguyễn Văn Hân ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ II TOÁN I Kiến thức bản: Định nghĩa phương trình bậc hai ẩn số Phương trình bậc hai ẩn x y hệ thức dạng: ax + by = c (1) đó: a, b c số biết (a  b  ) Nghiệm phương trình bậc hai ẩn số (x0, y0) nghiệm (1)  ax0  ay0  c Áp dụng: Cặp số (1;1) (0,5 ; ) có nghiệm phương trình 2x – y = hay khơng ? Giải  Cặp số (1;1)  x = 1; y =1 Thay x = 1, y = vào phương trình 2x – y = ta : 2.1 – =  = Vậy cặp số (1;1) có nghiệm phương trình 2x – y =  Cặp số (2;0)  x = ; y = Thayx = 2, y = vào phương trình 2x – y = ta : 2.2– =  = ( vô lý ) Vậy cặp số (2;0) không nghiệm phương trình 2x – y = Nghiệm tổng quát phương trình bậc hai ẩn : x  R a c  a) Dạng : ax + by = c  by = -ax +c  y   x  Vậy nghiệm tổng quát :  ax  c b b  y   b c  c x  b) Dạng : ax + 0y = c  ax = c  x  Vậy nghiệm tổng quát :  a a  y  R x  R c  c) Dạng : 0x + by = c  by = c  y  Vậy nghiệm tổng quát :  c b  y  b Áp dụng: Cho hai phương trình 2x + y = 3x +2y = a) Tìm nghiệm tổng quát phương trình b) Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm hai phương trình hệ tọa độ, xá định nghiệm chung chúng Định nghĩa hệ phương trình bậc hai ẩn ax  by  c (I) , a ,a’, b,b’ a ' x  b ' y  c '  Hệ phương trình bậc hai ẩn có dạng :  c,c’ số biết  Hai hệ phương trình gọi tương đương với chúng có tập nghệm  Hệ phương trình bậc hai ẩn (I) (với a ,a’, b,b’ c,c’ khác ) a b c   a' b' c' a b c + Vô nghiệm,   a' b' c' a b + Có nghịêm nhất,  a' b' + Có vô số nghiệm, Các phương pháp giải hệ phương trình bậc hai ẩn DeThiMau.vn GV: Nguyễn Văn Hân ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ II TOÁN a) Phương pháp :  Bước 1: Rút ẩn chẳng hạn x từ phương trình thay vào phương trình  Bước 2: Giải phương trình có ẩn y  Bước 3: Thay giá trị y vào biểu thức x để tìm x      b) Phương pháp cộng :  Bước : Biến đổi phương trình hệ cho hệ số x y phương trình đối  Bước : + Nếu hệ số x ( y) ta trừ vế theo vế + Nếu hệ số x ( y) đối ta cộng vế theo vế  Bước : Giải phương trình ẩn vừa tìm  Bước : Thay giá trị ẩn vừa tìm vào hai phương trình hệ cho để tìm giá trị ẩn thứ Lưu ý: Học sinh không cần phải học thuộc lòng hai phương pháp giải (Đọc – hiểu làm tập) Đồ thị hàm số y = ax2  Đồ thị hàm số y = ax2 đường cong qua gốc toạ độ nhận trục Oy làm trục đối xứng ,đường cong gọi Parabol với đỉnh O Tính biến thiên y = ax2 Hàm số y = ax2 (a >0) Hàm số y = ax2 ( a < 0) Nghịch biến x <  Đồng biến x < Đồng biến x >  Nghịch biến x < Giá trị nhỏ y = x =  Giá trị lớn y = x = Đồ thị nằm phía trục hồnh  Đồ thị nằm phía trục hồnh O điểm thấp đồ thị  O điểm cao đồ thị Cách vẽ đồ thị :  Lập bảng giá trị hàm số y = ax2 Cho x nhận giá trị -2,-1,0,1,2 … ta tính giá trị tương ứng y = ax2  Vẽ cặp điểm bảng giá trị hệ trục toạ độ nối điểm lại với đường trơn liến nét ta đồ thị hàm số y = ax2 Chú ý: a > đồ thị quay lên a < đồ thị quay xuống Định nghĩa phương trình bậc hai ẩn số: Phương trình bậc hai ẩn số phương trình có dạng ax2 + bx + c = (a  0) x ẩn số a, b, c hệ số cho Áp dụng: Hãy đưa phương trình sau dạng tổng quát phương trình bậc hai xác định hệ số a, b, c: a) 5x2 + 2x = - x b) 3x2 – 2x = x2 + Giải: a) 5x2 +2x = 4-x  5x2 + 2x – + x =  5x2 + 3x – = có a = ; b = ; c = - b) 3x2 – 2x = x2 +  3x2 – 2x – x2 – =  2x2 – 2x – = có a = ; b = -2 ; c = -3 10 Công thức nghiệm tổng quát phương trình bậc hai: *  = b2 – 4ac   > phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = DeThiMau.vn b  b  ; x1 = 2a 2a GV: Nguyễn Văn Hân  ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ II TỐN  = phương trình có nghiệm kép :x1 = x2 =   < phương trình vơ nghiệm Áp dụng : Giải phương trình sau: a) 2x2 – 7x + = Giải a) 2x2 – 7x + = có a = ; b = - ;c =  = b2 – 4ac =(-7)2 – 4.2.3 = 49 –24 = 25  = 25 =5 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: b 2a b) -2x2 + 5x + =  b    12 b  75 = = =3 ; x2 = = = = 2a 4 2a Vậy nghiệm phương trình cho x1 = x2 = x1 = b) -2x2 + 5x + = có a = -2 ; b = ;c =  = b2 – 4ac =(5)2 – 4.(-2).3 = 25 + 24 = 49  = 49 =7 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt b  57  12  b   5  = = = - ; x2 = = = =3 2a 2(2) 4 3 2a 2.(2) Vậy nghiệm phương trình cho x1 = ; x2 = x1 = 11 Cơng thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai a x2 +bx + c = (a  0); b, = b ; ’ = b’2 – ac  b'   '  b'   ' > phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = a a ' b ’ =0 phương trình có nghiệm kép :x1 = x2 =  * ’ < phương trình vơ a  ’  nghiệm Chú ý số tập SGK toán tập II: 16a,b,c,d/tr45; 17/tr49; 12 Khi phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, vơ nghiệm , có nghiệm  Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt  > (hoặc ’ > 0)  Phương trình bậc hai có nghiệm (nghiệm kép) = (hoặc ’ = 0)  Phương trình bậc hai vơ nghiệm  < (hoặc ’ < 0)  Phương trình bậc hai có nghiệm   (hoặc ’  0) 13 Các trường hợp nhẩm nghiệm đặc biệt  Nếu phương trình ax2 +bx + c = có a + b + c = phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = c a  Nếu phương trình ax2 +bx + c = a - b + c = x1 = -1; x2 = - phương trình có hai nghiệm\ c a  Nếu a c trái dấu phương trình bậc hai ln có hai nghiệm phân biệt DeThiMau.vn GV: Nguyễn Văn Hân ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II TỐN Áp dụng: Tìm nghiệm phương trình bậc hai 4x2 + 2x – = Ta có: a + b + c = + +(-6) = c 6 3  = a 3 Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = -1; x2 =  phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = b) x2 + 23x +22 = có a = 1; b = 23 ; c = 22 Ta có: a - b + c = – 23 + 22 =  phương trình có hai nghiệm x1 = -1; x2 = - c = - 22 a Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = -1; x2 = - 22 14 Phát biểu định lý Vi-et : Nếu x1 , x2 hai nghiệm phương trình ax2 +bx + c = (a  0) x1 + x2 = b c ; x1 x2 = a a Áp dụng: Khơng giải phương trình tính tổng tích hai nghiệm phương trình: 2x2 -6x -3 = Giải 2x2 -6x -3 = có a = ; b = -6 ;c = -3 Ta có: a = > c= -3 0) : kb2 = (k + 1)2.ac Dạng 3: Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm, có nghiệm kép, vơ nghiệm Phương pháp: Cho phương trình: ax2+bx+c = + Nếu a = giải cụ thể + Nếu a.c < kết luận phương trình có hai nghiệm trái dấu a    a  + Để pt có hai nghiệm    a  + Để ptvn    + Để pt có nghiệm   Bài 1: a) Cho phương trình (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = (ẩn x) Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Cho phương trình (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + = Tìm m để phương trình có nghiệm a) Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m – = - Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm - Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Cho phương trình: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – = Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài 2: 4x 22m  1x  m2  m    a) Cho phương trình: 2 x  2x  x 1 Xác định m để phương trình có nghiệm b) Cho phương trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = Xác định m để phương trình có nghiệm Dạng 4: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số Phương pháp: + Chỉ phương trình có nghiệm + áp dụng hệ thức viet + giải hệ phương trình sau làm tham số đưa pt không chứa tham số Bài 1: Không giải phương trình 3x  x   Tính giá trị biểu thức sau: A  3 x1  x2 3 x2  x1  B x1 x  x2  x1  C  x1  x2 D x1  x   x1 x2 Bài 2: a) Cho phương trình: x2 – mx + 2m – = Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình khơng phụ thuộc vào tham số m DeThiMau.vn 11 GV: Nguyễn Văn Hân ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II TỐN b) Cho phương trình bậc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = Khi phương trình có nghiệm, tìm hệ thức nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số m c) Cho phương trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập với m, suy vị trí nghiệm hai số – Bài 3: Cho phương trình bậc hai: (m – 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = Khi phương trình có nghiệm, tìm hệ thức nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số m Bài 4: Cho phương trình: x2 – 2mx – m2 – = a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm x1 , x2 với m b) Tìm biểu thức liên hệ x1 ; x2 không phụ thuộc vào m c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn: x1 x   x x1 Bài 5: Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = a) Giải biện luận phương trình theo m b) Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2: - Tìm hệ thức x1 ; x2 độc lập với m - Tìm m cho |x1 – x2| ≥ Bài 6: Cho phương trình (m – 4)x2 – 2(m – 2)x + m – = Chứng minh phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + = Dạng 5: Chứng minh phương trình có nghiệm, vơ nghiệm Phương pháp: Cho phương trình: ax2+bx+c = + C \ m a.c < kết luận phương trình có hai nghiệm trái dấu a  pt có nghiệm   a  +C\m  pt có hai nghiệm   a  +C\m  ptvn   +C\m  Bài 1: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm 1) x2 – 2(m - 1)x – – m = ; 2) x2 + (m + 1)x + m = ; 2 3) x – (2m – 3)x + m – 3m = ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = ; 5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + = ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = ; 7) x2 – 2mx – m2 – = ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – + m = 9) ax + (ab + 1)x + b = Bài Chứng minh phương trình sau có nghiệm phân biệt a) x  x  m  b) x  x   m  c)  x  mx  m   Bài 3: a) Chứng minh với a, b , c số thực phương trình sau ln có nghiệm: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = b) Chứng minh với ba số thức a, b , c phân biệt phương trình sau có hai nghiệm 1    (Èn x) phân biết: xa xb xc c) Chứng minh phương trình: c2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = vô nghiệm với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác DeThiMau.vn 12 GV: Nguyễn Văn Hân ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ II TỐN d) Chứng minh phương trình bậc hai: (a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = ln có hai nghiệm phân biệt Bài 4: a) Chứng minh phương trình bậc hai sau có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1) bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (3) b) Cho bốn phương trình (ẩn x) sau: x2 + 2ax + 4b2 = (1) x2 - 2bx + 4a2 = (2) 2 x - 4ax + b = (3) 2 x + 4bx + a = (4) Chứng minh phương trình có phương trình có nghiệm c) Cho phương trình (ẩn x sau): 2b b  c ax  x (1) 0 bc ca 2c c  a bx  x (2) 0 ca ab 2a a  b cx  x (3) 0 ab bc với a, b, c số dương cho trước Chứng minh phương trình có phương trình có nghiệm Bài 5: a) Cho phương trình ax2 + bx + c = Biết a ≠ 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh phương trình cho có hai nghiệm b) Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) có hai nghiệm hai điều kiện sau thoả mãn: a(a + 2b + 4c) < ; 5a + 3b + 2c = Dạng 6: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm phương trình bậc hai cho trước ax2 + bx + c = Phương pháp: nắm vững hệ thức viet c  x  x   a   x x   b  a x12 + x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1+x2) Bài 1: Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình: x2 – 3x – = Tính: 2 A  x1  x ; B  x1  x ; Chú ý: C 1  ; x1  x  D  3x1  x 3x  x1 ; E  x1  x ; F  x1  x DeThiMau.vn 13 ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ II TỐN GV: Nguyễn Văn Hân Lập phương trình bậc hai có nghiệm 1 vµ x1  x2  Bài 2: Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình: 5x2 – 3x – = Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau: 3 A  2x1  3x1 x  2x  3x1x ; 1 x x1 x x  B        ; x x  x1 x1   x1 x  3x  5x1x  3x C 2 4x1x  4x1 x 2 Bài 3: a) Gọi p q nghiệm phương trình bậc hai: 3x2 + 7x + = Không giải phương trình thành lập phương trình bậc hai với hệ số số mà nghiệm p q vµ q 1 p 1 1 vµ 10  72 10  Bài 4: Cho phương trình x2 – 2(m -1)x – m = a) Chứng minh phương trình ln ln có hai nghiệm x1 ; x2 với m 1 vµ y  x  b) Với m ≠ 0, lập phương trình ẩn y thoả mãn y1  x1  x2 x1 Bài 5: Không giải phương trình 3x2 + 5x – = Hãy tính giá trị biểu thức sau: b) Lập phương trình bậc hai có nghiệm A  3x1  2x 3x  2x1 ; B x1 x  ; x  x1  C  x1  x2 ; D x1  x   x1 x2 Bài 6: Cho phương trình 2x2 – 4x – 10 = có hai nghiệm x1 ; x2 Khơng giải phương trình thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1 Bài 7: Cho phương trình 2x2 – 3x – = có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn:  x1 y  x2 y  x   a)  b)  x2 y  x   y  x  Bài 8: Cho phương trình x + x – = có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: x1 x  y1  y  x  x  y  y  x  x 2  ; b)  a)  y y  y  y 2  5x  5x     3x  3x  y y DeThiMau.vn 14 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II TỐN GV: Nguyễn Văn Hân Bài 9: Cho phương trình 2x2 + 4ax – a = (a tham số, a ≠ 0) có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1  y  1 1    x1  x vµ x1 x y1 y Bài 10: Cho phương trình x  2m  1x  m  4m   a) Xác định giá trị m để phương trình có nghiệm b)Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương c) Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm đối d) Gọi x1;x2 hai nghiệm có phương trình Tính x12+x22 theo m Bài 11: Cho phương trình x  2m  1x  2m  10  (với m tham số) a) Giải biện luận hệ phương trình b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1;x2, tìm hệ thức liên hệ x1 x2 mà khơng phụ thuộc m c) Tìm giá trị m để A  10 x1 x2  x1  x2 đạt giá trị nhỏ Bài 12: Cho phương trình x  2mx  m   a) Cm phương trình có hai nghiệm x1 x2 với m b) Tìm biểu thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc m c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thoả mãn x1 x   x x1 Bài 13: Cho phương trình x  4ax  a  (a tham số, a  ) có hai nghiệm x1;x2 Hãy lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1;y2 thoả mãn: y1  y  1 1   x1  x2  y1 y x1 x2 D¹ng 8: Giải tốn lập phương trình, hệ phương trình: Tốn Chuyển động (trên đường bộ, đường sông có tính đến dòng nước chảy) Bi 1: Mt ụtụ i t A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính qng đường AB thời gian dự định lúc đầu Bài 2: Một người xe máy từ A đến B cách 120 km với vận tốc dự định trước Sau quãng đường AB người tăng vận tốc thêm 10 km/h quãng đường lại Tìm vận tốc dự định thời gian xe lăn bánh đường, biết người đến B sớm dự định 24 phút Bài 3: Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau lại ngược từ B trở A Thời gian xi thời gian ngược 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B Biết vận tốc dòng nước km/h vận tốc riêng canô lúc xuôi lúc ngược Bài 4: Một canô xuôi khúc sông dài 90 km ngược 36 km Biết thời gian xi dịng sơng nhiều thời gian ngược dòng vận tốc xi dịng vận tốc ngược dịng km/h Hỏi vận tốc canô lúc xuôi lúc ngược dịng Bài 5: Một ơtơ chuyển động với vận tốc định để hết quãng đường dài 120km thời gian định Đi nửa quãng đường xe nghỉ phút nên để đến nơi giờ, xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h nửa qng đường cịn lại Tính vận tốc dự định ôtô DeThiMau.vn 15 GV: Nguyễn Văn Hân ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ II TỐN Bài 6: Một đội xe cần chuyên chở 36 hàng Trước làm việc đội xe bổ sung thêm xe nên xe chở so với dự định Hỏi đội xe lúc đầu có xe? Biết số hàng chở trờn cỏc xe cú lng bng Toán làm chung làm riêng (toán vòi nước) Bi 1: Hai người thợ làm chung công việc 12 phút xong Nếu người thứ làm người thứ hai làm hai người làm cơng việc Hỏi người làm cơng việc xong? Bài 2:Nếu vịi A chảy vịi B chảy vịi B chảy 30 phút 4 hồ Nếu vòi A chảy hồ Hỏi chảy mỗI vịi chảy đầy hồ Bài 3: Hai vịi nước chảy vào bể sau đầy bể Nếu vịi chảy cho đầy bể vịi II cần nhiều thời gian vịi I Tính thời gian vịi chảy đầy bể? Bài 4: Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước chảy đầy bể 48 phút Nếu chảy riêng, vòi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai 30 phút Hỏi chảy riêng vịi chảy đầy bể bao lõu? Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm Bi 1: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất chi tiết máy? Bài 2: Năm ngoái tổng số dân hai tỉnh A B triệu người Dân số tỉnh A năm tăng 1,2%, tỉnh B tăng 1,1% Tổng số dân hai tỉnh năm 045 000 người Tính số dân tỉnh năm ngoỏi v nm nay? Toán có nội dung hình học Bài 1: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m Người ta làm lối xung quanh vườn (thuộc đất vườn) rộng m Tính kích thước vườn, biết đất cịn lại vườn để trồng trọt 4256 m2 Bài 2: Cho hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên m diện tích tăng 500 m2 Nếu giảm chiều dài 15 m giảm chiều rộng m diện tích giảm 600 m2 Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu Bài 3: Cho tam giác vng Nếu tăng cạnh góc vng lên cm cm diện tích tam giác tăng 50 cm2 Nếu giảm hai cạnh cm diện tích giảm 32 cm2 Tớnh hai cnh gúc vuụng Toán tìm số Bài 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số 11, đổi chỗ hai chữ số hàng chục hàng đơn vị cho số tăng thêm 27 đơn vị Bài 2: Tìm số có hai chữ số, biết số gấp lần chữ số hàng đơn vị số cần tìm chia cho tổng chữ số thương số dư Bài 3: Nếu tử số phân số tăng gấp đôi mẫu số thêm giá trị phân số Nếu tử số thêm mẫu số tăng gấp giá trị phân số Tìm phân số 24 DeThiMau.vn 16 ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ II TỐN GV: Nguyễn Văn Hân Bài 4:Nếu thêm vào tử mẫu phân số giá trị phân số giảm Nếu bớt vào tử mẫu, phân số tăng Hình học Tìm phân số Bài 1: Hai tiếp tuyến đường tròn (O) A B cắt M Biết ฀ AMB  35o a) Tính số đo góc tâm tạo hai bán kính OA OB b) Tính số đo cung AB (cung lớn cung nhỏ) Bài 2: Cho ฀ ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AC Vẽ đươg tròn tâm O ngoại tiếp ฀ DBC Từ O hạ đường vng góc OH, OK với BD ( H  BC , K  BD ) a) Chứng minh OH > OK b) So sánh hai cung nhỏ BD BC Bài 3: Cho đường tròn (O; R)và dây cung BC = R Hai tiếp tuyến đươgn tròn (O) B, C ฀ ABC , BAC cắt A Tính ฀ Bài 4: Cho đường trịn (O) hai dây AB, AC Trên cung nhỏ AC lấy điểm M ฀ ASC  MCA Gọi S giao điểm AM BC Chứng minh ฀ Bài 5: Cho tam giác ABC Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy điểm D ฀  ฀ ACB cho DB = DC DCB a) Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp b) Xác định tâm đườgn tròn qua bốn điểm A, B, C, D Bài 6: Cho đường trịn (O) có bán kính R=2cm Hai bán kính OA, OB tạo thành góc 750 ( ฀ AOB  75o ) a) Tính sd ฀AB (cung bị chắn) b) Tính độ dài cung lớn ฀AB , cung nhỏ ฀AB c) Tính diện tích hình quạt tròn OAB Bài 7: Từ điểm A bên ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AM AN, chúng tạo thành góc 60o Tính góc tâm ฀ AOB Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc nhọnnoij tiếp đường trịn (O), đường cao AH Kẻ đường kính AE a) Tính ฀ ACE ฀ ฀ b) Chứng minh BAH  OAC Bài 9: Cho đường trịn (O) đường kính BC Điểm A thuộc cung BC (AB < AC) Tiếp tuyến ฀ A cắt đường thẳn BC I Kẻ AH  BC Chứng minh AB tia phân giác góc IAH Bài 10: Từ điểm M ngồi đường trịn (O), kẻ hai cát tuyến MAB MCD tới đường ฀ ฀  40o  50o , sd BC trịn, biết HMD a) Tính sd ฀ AD b) Chứng minh AC  BD Bài 11: Từ điểm M ngồi đường trịn (O), kẻ tiếp tuyến MT cát tuyến MAB đường tròn Chứng minh MT2 = MA.MB Bài 12: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn P điểm cung AB khơng chứa C D Hai dây PC PD cắt dây AB E F Các dây AD PC kéo dài cắt I, dây BC PD kéo dài cắt K Cm: DeThiMau.vn 17 GV: Nguyễn Văn Hân ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II TỐN a) CIˆD  CKˆ D b) Tứ giác CDFE nội tiếp c) IK//AB d) Đường tròn ngoại tiếp ADF tiếp xúc với AP A Bài 13: Cho đường tròn (O;R) điểm A với OA  R Một đường thẳng (d) quay quanh A cắt (O) M, N Gọi I trung điểm MN a) Cm OI  MN Suy I di chuyển cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B C thuộc (O) b) Cm tứ giác ABCO hình vng c) Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn đoạn AB, AC cung nhỏ BC (O) Bài 14: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A B Các đường thẳng AO AO’ cắt đường tròn (O) điểm thứ hai C, D cắt đường tròn (O’) điểm thứ hai E, F Cm: a) B, F, C thẳng hàng b) AB, CD, EF đồng quy c) Tứ giác CDEF nội tiếp d) A tâm đường tròn nội tiếp BDE e) MN tiếp tuyến chung đường tròn (O) (O’) (M, N tiếp điểm) Chứng minh AB qua trung điểm MN g) Tìm điều kiện để DE tiếp tuyến chung (O) (O’) Bài 15: Cho đường tròn (O) dây AB M điểm cung AB, C thuộc AB, dây MD qua C Cm: a) AM2  MC.MD b) MB.BD  BC.MD c) Đường tròn ngoại tiếp BCD tiếp xúc với BM B d) Gọi R1, R2 bán kính đường trịn ngoại tiếp BCD ACD Cm R1 + R2 không đổi C di động đoạn AB Bài 16: Cho đường tròn tâm O bán kính R có hai đường kính AOB COD vng góc với Lấy điểm E OA, nối CE cắt đường tròn F Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đường tròn, qua E dựng Ey vng góc với OA Gọi I giao điểm Fx Ey a) Cm bốn điểm I, F, E, O nằm đường tròn b) Tứ giác OCEI hình gì? c) Khi E chuyển động AB I chuyển động đường nào? Chóc c¸c em «n tËp tèt! DeThiMau.vn 18 ... hai số u ; v cần tìm u = 3; v =2 u = 2; v = DeThiMau.vn ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ II TỐN GV: Nguyễn Văn Hân HÌNH HỌC I Kiến thức bản: Các góc học: x A A m O E C O B Góc tâm ฀ AOB  sd ฀ AmB B A C... dấu phương trình bậc hai ln có hai nghiệm phân biệt DeThiMau.vn GV: Nguyễn Văn Hân ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II TỐN Áp dụng: Tìm nghiệm phương trình bậc hai 4x2 + 2x – = Ta có: a + b + c = + +(-6)...GV: Nguyễn Văn Hân ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ II TOÁN a) Phương pháp :  Bước 1: Rút ẩn chẳng hạn x từ phương trình thay vào phương