N05-GT1-Bai 09-03-2022

Chuỗi số Quy ước: ↓ chuỗi số hội tụ ↑ chuỗi số phân kỳ ∞ ∑ n n = Ví dụ: chuỗi số hội tụ p=2>1 Chú ý: So sánh với chuỗi p Chú ý: So sánh với chuỗi p Chuỗi lũy thừa (Chuỗi lũy thừa tâm a=0) Cách giải Ta thấy lim n | x n | =| x | n →∞ Theo tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi số + |x|1  Chuỗi phân kỳ Trường hợp |x|=1 Ta thấy, giới hạn tuyệt đối số hạng thứ n | x n −1 |=| x |n −1 = → ≠ Do đó, theo tiêu chuẩn số hạng thứ n ta có chuỗi phân kỳ Vậy chuỗi hội tụ | x |< ⇔ −1 < x < Chú ý: Cách tìm khoảng hội tụ thường dựa tiêu chuẩn Cauchy D’alembert Ví dụ: Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa ∞ S ( x) = ∑ n( x − 1) n n =0 Gợi ý: Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy D’alembert để giải Ví dụ Cách giải (D’alembert) ∞ ∞ S ( x) = ∑ n( x − 1) = ∑ an n n=0 n =0 an = n( x − 1) n ; an +1 = (n + 1)( x − 1) n +1 Ta thấy, an +1 (n + 1)( x − 1) n +1 lim = lim = n n →∞ a n →∞ n( x − 1) n = lim n →∞ n +1 | x − 1|=| x − 1| n Theo tiêu chuẩn D’alembert, ta có + |x-1|1  S(x) ↑ Trường hợp |x-1|=1 Ta thấy, lim | an |= lim | n( x − 1) n |= lim n = ∞ ≠ n →∞ n →∞ n →∞ Theo tiêu chuẩn số hạng thứ n, S(x) ↑ KL: Khoảng hội tụ |x-1|