SCIENCE TECHNOLOGY PHÂN TÍCH THỐNG KÊ TRƯỜNG ỨNG SUẤT ĐÀN HỒI CỦA CÁC HẠT TRÊN BỀ MẶT ĐA TINH THỂ: HƯỚNG TỚI NGHIÊN CỨU SỰ HÌNH THÀNH CỦA VẾT NỨT MỎI STATISTICAL AND NUMERICAL STUDY OF LOCAL ELASTIC STRESS FIELD AT SURFACE OF POLYCRYSTALS: IMPLICATIONS TO THE FORMATION OF FATIGUE CRACKS Đặng Văn Trường, Nguyễn Xuân Chung TÓM TẮT Bằng cách sử dụng phương pháp mô phần tử hữu hạn với vi cấu trúc xây dựng ngẫu nhiên (tương tự với [1] [3]), trường ứng suất đàn hồi hạt tinh thể bề mặt tính tốn cách thống kê (giá trị trung bình độ lệch) Các hướng tinh thể khác lựa chọn nhằm nghiên cứu ảnh hưởng chúng tới phân bố ứng suất hạt tinh thể Vai trị hình dáng 3D hạt phân tích Các kết trình bày báo nhận từ mô sử dụng vật liệu thép không gỉ 316L với cấu trúc tinh thể lập phương tâm mặt (CFC) chúng so sánh với kết công bố với vi cấu trúc 2D 3D đơn giản hóa [1, 3] Từ khóa: Đa tinh thể, phân bố ứng suất, mơ phần tử hữu hạn, hình thành vết nứt mỏi ABSTRACT By using an approache based on numerical simulations (finite element method) with random polycrystalline microstructures (similar to [1] and [3]), the elastic stress field within the grains of surface is statistically evaluated (mean value and standard deviation) The different crystalline orientations have been selected to study their affects to the stress distribution within the grains The role of 3D grain morphology is analyzed The results were obtained for autstenitic stainless steels 316L having a face centered cubic crystal structure (CFC) and they are compared with previous works on simplified 2D or 3D microstructures [1, 3] Keywords: Polycrystals, stress distrbution, simulation by finite element method, formation of fatigue cracks Đặng Văn Trường, Nguyễn Xuân Chung Trường Đại học Công nghiệp Hà Nội Email: truongdv.ck@gmail.com Ngày nhận bài: 02/08/2017 Ngày nhận sửa sau phản biện: 30/11/2017 Ngày chấp nhận đăng: 25/12/2017 GIỚI THIỆU Hiện tượng mỏi phá hủy vật liệu kết cấu tác dụng tải trọng lặp lặp lại theo thời gian Tuổi thọ mỏi chia làm hai giai đoạn: Giai đoạn hình thành vết nứt giai đoạn phát triển vết nứt Mặc dù đáp ứng toàn kết cấu miền đàn hồi, biến dạng dẻo xuất cục số hạt tinh thể bên trường hợp vật liệu đa tinh thể Các biến dạng dẻo cục xuất ngày nhiều số chu kì tải trọng tăng dần Chúng tồn dạng dải trượt Các dải trượt trồi lên bề mặt vị trí mà vết nứt mỏi hình thành Bài báo tập trung vào giai đoạn hình thành vết nứt hướng tới việc giải thích vết nứt hình thành hạt tinh thể thơng qua đặc điểm hạt tinh thể kích thước, hình dạng phương tinh thể hạt Để đạt điều đó, việc dự đốn trường ứng suất biến dạng hạt tinh thể bề mặt cần thiết Những vị trí xuất biến dạng dẻo, vị trí tiềm xuất vết nứt mỏi, kết phân bố không đồng trường ứng suất tính dị hướng tinh thể đặc tính vi cấu trúc đa tinh thể [1, 2] Việc phân tích trường ứng suất cục phạm vi hạt tinh thể cho phép ta xác định dạng vi cấu trúc cục tạo điều kiện thuận lợi, hạn chế biến dạng dẻo xuất vết nứt mỏi QUÁ TRÌNH MƠ PHỎNG VÀ XỬ LÝ KẾT QUẢ 2.1 Giới thiệu tổng quan q trình mơ Các mơ thực nhằm đánh giá phân tích phân bố trường ứng suất hạt tinh thể bề mặt có định hướng tinh thể Hướng tinh thể nghiên cứu hướng hạt nằm tâm mặt tự khối đa tinh thể, gọi hạt trung tâm (hạt màu đậm thể hình 1) Đối với khối đa tinh thể, hướng tinh thể hạt ngoại trừ hạt trung tâm chọn cách ngẫu nhiên Mỗi khối đa tinh thể thể tập hợp khác hạt lân cận hạt trung tâm Mỗi mô tương ứng với khối đa tinh thể Sau loạt N mô tương ứng với N khối đa tinh thể có định hướng tinh thể hạt trung tâm (hình 1a), việc xử lý kết thu cho phép phân tích phân bố đại lượng X mơ Số 43.2017 ● Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 53 KHOA HỌC CÔNG NGHỆ (hình 1b) sau N mơ (hình 1c) khối đa tinh thể hạt trung tâm hạt trung tâm Phân bố trường X khối đa tinh thể hạt trung tâm thể dạng biểu đồ mật độ xác suất hình Với Vk Vgk thể tích khối đa tinh thể hạt trung tâm mơ k, ta có: Giá trị trung bình X Vk độ lệch chuẩn SDVk X trường X khối đa tinh thể tích Vk Giá trị trung bình X Vgk độ lệch chuẩn SDVgk X trường X hạt trung tâm tích Vgk Tổng hợp kết nhận từ N mô phỏng, ta biểu diễn phân bố trường X N khối đa tinh thể tích V N hạt trung tâm tích Vg, đó: N N V Vk Vg Vgk k 1 Hình Q trình mơ : a Loạt N mô với N đa tinh thể có hướng tinh thể hạt (màu đỏ) không thay đổi; b Xử lý kết phân tích phân bố đại lượng X khối đa tinh thể (màu đen) hạt trung tâm (màu đỏ) mô thứ k; c Xử lý kết phân tích phân bố đại lượng X toàn N đa tinh thể tồn N hạt trung tâm loạt mơ 2.2 Các khái niệm kí hiệu sử dụng Với trường X xác định miền thể tích V, giá trị trung bình X V phương sai VarV X X V xác định sau: X V X ( x )dv VV VarV X X x) X ( V V V dv Các giá trị trung bình ( X V nPI SDV X Xi X V i 1 V Với Xi giá trị đại lượng X điểm i tích Δvi Thể tích miền V tổng thể tích nPI điểm 2.3 Xử lý kết mơ Q trình xử lý kết N mơ minh họa hình Ban đầu, kết xử lý với mơ k Sau đó, giá trị trung bình độ lệch chuẩn trường X N mô tính tốn Đối với mơ k, giá trị trường X xuất tất điểm tích phân khối đa tinh thể 54 Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ ● Số 43.2017 ) độ lệch chuẩn N VarVk X Vk V k 1 Phương sai liên lớp phương sai giá trị trung bình nhận từ mô phỏng: v i Vg SDVintra X VarVintra X VarVinter X n i PI1 X i v i V X thể N hạt trung tâm (thu từ N mô phỏng) tính tốn Các độ lệch chuẩn phân chia làm hai thành phần Thành phần thứ thể độ sai lệch trường X khối đa tinh thể, tương ứng với mô phỏng, gọi độ lệch nội lớp (intra-class) Thành phần thứ hai thể độ sai lệch trường X khối đa tinh thể khác nhau, gọi độ lệch liên lớp (inter-class) Từ ta có định nghĩa phương sai nội lớp trung bình phương sai mơ Ví dụ N khối đa tinh thể, phương sai độ lệch chuẩn nội lớp tính sau: VarVintra X Trong mô phần tử hữu hạn, trường X xác định điểm tích phân i (integration point) lưới miền V với nPI điểm (i = 1… nPI) Do giá trị trung bình độ lệch chuẩn X tính sau: V ( SDV X SDVg X ) trường X N khối đa tinh Độ lệch chuẩn SDV(X) bậc phương sai X k 1 N X V k 1 X Vk V V k SDVinter X VarVinter X Ta chứng minh phương sai tổng thể tổng phương sai nội lớp phương sai liên lớp Biểu diễn dạng độ lệch chuẩn ta có: SDV X SD X SD X intra V inter V Các tính tốn bổ trợ thực để lựa chọn số mô loạt mô 140 Số lần mô đảm bảo hội tụ kết tiết kiệm thời gian mô Trong báo này, đại lượng X phân tích bao gồm ứng suất dọc trục theo phương kéo ứng suất tiếp mặt trượt (thông qua hệ số Schmid) SCIENCE TECHNOLOGY CÁC THƠNG SỐ CỦA BÀI TỐN 3.1 Các số vật liệu Ứng suất đàn hồi tuyến tính 316L mơ tả thơng qua ba số độc lập C11, C12 C44 ma trận độ cứng (các giá trị xác định Bảng 1): 11 C11 C 22 12 33 C12 = 23 31 12 C12 C12 0 C11 C12 0 C12 C11 0 0 C 44 0 0 C 44 0 C 44 giá trị hệ số Schmid µ mơ đun đàn hồi Et hướng tinh thể biểu diễn tam giác chuẩn hình 11 22 33 2 23 2 31 212 Bảng Các số độc lập vật liệu [4] C11 (GPa) C12 (GPa) C44 (GPa) 198 125 122 Hình Định luật Schmid trường hợp đơn tinh thể chịu kéo đơn giản [5] Mô đun đàn hồi Et đơn tinh thể chịu kéo nén đơn giản theo phương t tính theo cơng thức: E t Sijkl ti t j tk tl Các thành phần Sijkl ten xơ độ mềm tính tốn từ số CIJ cho bảng 3.2 Hệ số Schmid danh nghĩa Đối với thép khơng gỉ 316L có kiểu mạng tinh thể CFC, chế biến dạng dẻo chủ yếu trượt khuyết tật 12 hệ trượt {111} (hình 2) a) Hình Minh họa hệ trượt kiểu mạng CFC Sự xuất biến dạng dẻo dự đoán nhờ vào định luật Schmid, theo khơng có biến dạng dẻo (hay trượt) hệ trượt α giá trị ứng suất tiếp mặt τα nhỏ giá trị ứng suất tiếp tới hạn τc Trong trường hợp đơn tinh thể chịu kéo đơn giản (hình 3), hệ số Schmid định nghĩa mặt trượt α tỷ số ứng suất tiếp ứng suất kéo (giá trị gọi hệ số Schmid danh nghĩa để phân biệt với hệ số Schmid hiệu dụng định nghĩa phần sau): (t i ni )(t j sj ) cos cos Trong đó, σ ứng suất kéo với hướng xác định véc tơ đơn vị t ( ij ti t j ) Hệ số Schmid µ giá trị lớn số 12 hệ trượt: max Các đường đẳng b) Hình Đường đẳng trị tam giác chuẩn a) hệ số Schmid; b) mô đun đàn hồi (GPa) 3.3 Hệ số Schmid hiệu dụng Trong trường hợp đơn tinh thể trình bày trên, việc tính tốn hệ số Schmid dựa giả thiết ứng suất kéo đơn tinh thể đồng Tuy nhiên, đa tinh thể, định hướng khác tinh thể nên ứng suất khác tinh thể Trong trường hợp này, hệ số Schmid tinh thể định nghĩa tỷ số ứng suất tiếp mặt trượt ứng suất kéo tổng thể xác định toàn khối đa tinh thể Giá trị gọi hệ số Schmid hiệu dụng: Số 43.2017 ● Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 55 KHOA HỌC CÔNG NGHỆ eff 11 V 3.4 Hướng tinh thể hạt trung tâm Trong nghiên cứu này, số hướng tinh thể đặc biệt lựa chọn Chúng thể chấm đỏ tam giác chuẩn (hình 5) Ba hướng nằm đỉnh tam giác chuẩn tương ứng với hướng tinh thể [100], [110] [111] Hướng [B.O.] hướng có hệ số Schmid danh nghĩa lớn (µ = 0,5) Nói cách khác, đơn tinh thể có định hướng [B.O.] dễ xảy trượt [R.] hướng có tỷ số hệ số Schmid danh nghĩa lớn thứ lớn (trong số 12 hệ số Schmid 12 hệ trượt xét) đạt giá trị nhỏ [Q.] hướng chọn vùng tam giác chuẩn Với hai hướng tinh thể [B.O.] [R.], ta phân biệt hướng tinh thể loại A loại B (hình 6) Một hướng tinh thể gọi loại A (type A) xảy trượt, dải trượt không trồi lên bề mặt Khi phương trượt tạo với pháp tuyến mặt tự góc 45 độ, ta gọi hướng tinh thể loại B (type B) 3.5 Các dạng đa tinh thể sử dụng Để tập trung vào nghiên cứu ảnh hưởng hướng tinh thể, hình dạng hạt đa tinh thể đơn giản hóa Hình 7minh họa kiểu đa tinh thể sử dụng nghiên cứu này: Khối đa tinh thể với hạt lăng trụ lục giác xếp thẳng (HA) Khối đa tinh thể với hạt lăng trụ lục giác xếp lệch (HD) Khối đa tinh thể với hạt bát diện bị cắt đỉnh hạt trung tâm nửa khối bát diện bị cắt đỉnh (GO) Khối đa tinh thể với hạt bát diện bị cắt đỉnh hạt trung tâm tồn khối bát diện bị cắt đỉnh (GF) Tỷ số diện tích bề mặt chia chiều sâu trường hợp hạt HA GO xấp xỉ (khoảng 35) Tỷ số 2,5 hạt GF a) Hình Các dạng đa tinh thể sử dụng b) Hình Các hướng tinh thể nghiên cứu thể tam giác chuẩn với đường đẳng trị a) hệ số Schmid; b) mô đun đàn hồi (GPa) 3.6 Điều kiện biên Khối đa tinh thể dùng tính tốn nghiên cứu phần thể tích bề mặt mẫu vật liệu chịu kéo nên điều kiện biên áp đặt vào mơ hình cho ta thu mặt tự mơ hình (mặt Z1 với hạt trung tâm hạt tô đậm) trạng thái ứng suất tổng thể trạng thái kéo dọc trục theo phương X (hình 8) Tải đặt vào mặt X1 tương ứng với biến dạng 0,1% theo phương X Tải trọng tương ứng với đáp ứng miền đàn hồi mơ hình Hình Kí hiệu mặt để đặt điều kiện biên Hình Hệ trượt loại A (type A) loại B (type B) 56 Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ● Số 43.2017 SCIENCE TECHNOLOGY KẾT QUẢ Các kết phân tích thu từ 32 loạt mô (8 hướng tinh thể dạng mơ hình đa tinh thể), loạt mô gồm 140 mô tương ứng với 140 vi cấu trúc khác hạt trung tâm (hướng tinh thể hạt trung tâm không đổi) Giá trị đại lượng (ứng suất dọc trục hệ số Schmid) phân tích thống kê giá trị trung bình thu từ 140 “mẫu” (140 vi cấu trúc) 4.1 Ứng suất dọc trục Giá trị trung bình 11 sai lệch tổng thể ứng Vg suất dọc trục hạt trung tâm với hướng tinh thể kiểu hạt thể biểu đồ hình Biểu đồ cho ta thấy định hướng tinh thể ảnh hưởng mạnh tới ứng suất dọc trục hạt trung tâm Ảnh hưởng kiểu hạt không đáng kể Ngoài ra, ta thấy độ lệch chuẩn gần không phụ thuộc vào phương tinh thể kiểu hạt Ứng suất dọc trục trung bình 11 Vg 4.2 Hệ số Schmid Hình 10 thể giá trị hệ số Schmid hiệu dụng µeff (cột màu nhạt) độ lệch chuẩn tổng thể tương ứng Tương tự với kết ứng suất dọc trục, hệ số Schmid hiệu dụng phụ thuộc chủ yếu vào định hướng tinh thể, phụ thuộc vào kiểu hạt Đối với hướng tinh thể [100], giá trị µeff nhỏ ứng suất dọc trục thu trường hợp nhỏ Đây hướng có giảm nhiều hệ số Schmid so với hệ số Schmid danh nghĩa Ngược lại, hướng tinh thể [111] có tăng hệ số Schmid Ảnh hưởng kiểu hạt tới giá trị trung bình hệ số Schmid hiệu dụng độ lệch không đáng kể thay đổi từ 140 MPa hướng [100] đến 230 MPa hướng [111] Độ lệch hai giá trị 45% ứng suất dọc trục khối đa tinh thể 11 V , điều cho thấy thay đổi lớn ứng suất hạt trung tâm có hướng tinh thể khác Giá trị ứng suất thu tỷ lệ với mô đun đàn hồi Et hạt tinh thể với định hướng tương ứng Mô đun đàn hồi tinh thể thể gián tiếp thơng qua cột màu xanh hình Việc phân tích giá trị độ lệch cho thấy độ lệch nội hạt lớn độ lệch liên hạt Thật vậy, độ lệch nội hạt thay đổi khoảng từ 11-13% ứng suất dọc trục trung bình độ lệch liên hạt từ 8-10% Hình 10 Hệ số Schmid quy ước (cột màu đậm), Hệ số Schmid hiệu dụng (cột màu nhạt) độ lệch chuẩn tổng thể (đoạn thẳng màu đậm) hướng tinh thể dạng mơ hình đa tinh thể Ta thấy rằng, hướng nằm vùng tâm tam giác chuẩn: [B.O.], [R.] [Q.], khoảng biến thiên hệ số Schmid hiệu dụng (trong khoảng tử 0,426 đến 0,44 ngoại trừ hướng [B.O.A.]) nhỏ so với khoảng biến thiên hệ số Schmid danh nghĩa (trong khoảng tử 0,456 đến 0,5) Điều có nghĩa có đồng hóa ứng suất gây trượt hướng tinh thể Dựa vào giá trị hệ số Schmid hiệu dụng, trình tự xảy trượt sau (từ sớm đến muộn): [Q] → [R] → [BO] → [110] → [111] → [100] µeff ~0,44 Hình Ứng suất trung bình 11 Vg (cột màu nhạt) độ lệch chuẩn tổng thể SDVg ( 11 ) (đoạn thẳng màu đậm) (MPa) tính 140 hạt trung tâm 32 loạt mô (8 hướng tinh thể dạng mơ hình đa tinh thể) Độ dài đoạn thẳng màu đậm tương ứng với lần độ lệch chuẩn tổng thể µeff ~0,43 µeff µeff µeff µeff ~0,4~0,4 ~0,34 ~0,27 0,43 Trình tự khác hồn tồn với trình tự xảy trượt đơn tinh thể dự đoán dựa hệ số Schmid quy ước Để so sánh, bảng nhắc lại kết thu Sauzay [6] Ta thấy có tương đồng kết thu nhiên giá trị nhận khơng hồn tồn giống Sự khác biệt đến từ khác Số 43.2017 ● Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ 57 KHOA HỌC CƠNG NGHỆ thơng số sử dụng tính tốn: khác số mơ với hướng tinh thể, khác mô hình sử dụng mơ Bảng So sánh với kết nghiên cứu công bố Hướng tinh thể [100] [110] [111] [B.O.A.] [B.O.B.] μeff 0,274 0,396 0,340 0,399 0,426 Μeff – M Sauzay 0,27 0,36 0,31 0,43 0,43 KẾT LUẬN Việc áp dụng quy trình tính tốn trình bày phần vào vật liệu có kiểu mạng CFC cho phép ta xác định phân bố ứng suất khối đa tinh thể hạt trung tâm phân bố ứng suất tiếp hệ trượt hạt trung tâm Một cách khái quát, ta thấy giá trị ứng suất hệ số Schmid hiệu dụng chịu ảnh hưởng dạng hình học hạt trung tâm Chúng chịu ảnh hưởng chủ yếu định hướng tinh thể hạt Các kết thu nghiên cứu sở quan trọng để tiếp tục nghiên cứu đáp ứng vật liệu tính đến xuất biến dạng dẻo xa việc giải tốn với tải trọng chu kì TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M Sauzay et T Jourdan, 2006 Polycrystalline microstructure, cubic elasticity, and nucleation of high-cycle fatigue cracks International Journal Fracture, vol 141, p 431-446 [2] R Brenner, R A Lebensohn, and O Castelnau, 2009 Elastic anisotropy and yield surface estimates of polycrystals International Journal of Solids and Structures, vol 46, p 3018-3026 [3] Y Guilhem, S Basseville, F Curtit, J.-M Stéphan, et G Cailletaud, 2010 Investigation of the effect of grain clusters on fatigue crack initiation in polycrystals International Journal of Fatigue, vol 32, p 1748-1763 [4] H.B Huntington, 1958 The elastic constants of crystals Solid State Physics, vol 7, p 214-351 [5] F Dunne, N Petrinic, 2005 Introduction to Computational Plasticity OUP Oxford [6] M Sauzay, 2007 Cubic elasticity and stress distribution at the free surface of polycrystals Acta Materialia, vol 55, p 1193-1202 58 Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ● Số 43.2017