CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Phương pháp đặặặ t nhân tưử chung AB+ AC−AD =A ( B+C−D) Phương pháp dùng hặằ ng đặẳ ng thưức 2 2 1) a +2 ab+b =( a+ b ) 3) a2−b2=(a+b)( a−b) 2) a −2ab +b = ( a−b ) 4) ( a+b )3=a3 +3 a b+ a b2 +b3 6) a3 +b 3=( a+b)(a 2−ab+ b2) 5) ( a−b )3=a3−3 a b+3 a b2−b 3 n n n−1 7) a −b =(a−b)(a + ab+b ) 9) an −bn=(a−b)(a n−1+ aa−2 b+a a−3 b 2+ …+a2 bn−3 +a b n−2+ bn−1) 8) a +b =(a+b)(a −a a−2 a−3 b+ a 2 n−3 b −…+a b n−2 −a b 10) ( a+b +c )2=a2 +b 2+ c 2+2( ab+bc +ac ) 12) a3 +b 3+ c 3=( a+ b+c ) ( a2 +b2 +c 2−ab−bc−ac ) +3 abc 11) n−1 +b ) với n lẻ ( a+b +c )3=a3 + b3 +c +3(a+ b)(b+c )(c +a) Ví dụ: ( x+ y )2−( x− y )2=( x + y + x− y ) ( x + y −x+ y )=2 x y =4 xy Phương pháp nhóm hặặ ng tưử AC − AD+ BC −BD= A ( C−D ) +B ( C−D ) =( A+ B)(C−D) Ví dụ: 12 x +4 x −27 x−9 ¿ x ( x +1 )−9(3 x+1) ¿ ( x 2−9 ) ( x +1 ) ¿(2 x−3)(2 x+3)(3 x +1) Phương pháp tách hặặ ng tưử a x 2+ bx+ c Cho đa thức 1) Tách hạng tử bậc - Tìm ac - Phân tích ac tích hai số nguyên ac=a c 1=a2 c2=…=an c n - Chọn hai thừa số có tổng Ví dụ: b(b=a j +c j) x 2−8 x +3=( x2 −2 x )− ( x −3 )=( x−3 ) ( x−1 ) 2) Tách hạng tử bậc không để trở thành đẳng thức số Ví dụ : 2 x −8 x +3=4 x −8 x + 4−1=( x −2 ) −1=(2 x −1)(2 x−3) 3) Với đa thức có bậc ba trở lên tùy theo đặc điểm hệ số mà có cách tách riêng Ví dụ: A=x +5 x 2+3 x−9 2 ¿ x −x +6 x −6 x +9 x−9 ¿ x ( x−1 ) +6 x ( x−1 ) + ( x−1 ) ¿(x−1)( x 2+ x+ 9) 4) Dạng đối xứng vòng quanh ab ( a+ b )−2 bc ( b−2 c )−2 ca ( a−2 c )−4 abc ¿ ab ( a+ b )−2 bc ( b−2 c )−2 ca ( a−2 c )−2 abc−2 abc ¿ ab ( a+ b )−2 bc ( b−2 c +a ) −2 ca ( a−2 c +b ) ¿ ab ( a+ b )−( a+ b−2c ) ( bc+2 ac ) ¿ ab ( a+ b )−2 c ( a+b ) ( a+b−2 c) ¿ ( a+b ) ( ab−2 ac−2 bc +4 c 2) ¿ ( a+b ) [ a ( b−2 c )−2 c ( b−2 c ) ] ¿ ( a+b )( a−2 c )( b−2 c ) Phương pháp thêm bơứt mộộặ t sộố hặặ ng A +B 1) Dạng 2 A + B2= A2 +2 AB−B 2−2 AB= ( A +B )2−( √ AB ) =( A+ B−√ AB ) ( A +B + √ AB ) Ví dụ: 2)Dạng Ví dụ: 1, 11 A=4 x + y 4=4 x +4 x2 y 2+ y 4−4 x y 2 ¿ ( x + y ) −( xy )2=( x 2+ y 2−2 xy ) ( x 2+ y 2+2 xy ) ax m+2 +b x 11 m+1 ta biến đổi giảm dần số mũ đa thức để xuất nhân tử 6 5 4 x + x +1=x + x + x −x + x −x + x −x +1 x ± x+1 ¿ ( x 11−x ) + ( x 7−x )+ ( x 6+ x5 + x ) −( x 6−1 ) ¿ x5 ( x 6−1 ) + x ( x 3−1 ) + x ( x + x +1 )−(x 6−1) ¿ x5 ( x +1 ) ( x3 −1 ) + x ( x3 −1 ) + x ( x 2+ x +1 ) −(x 3−1)(x 3+1) ¿ ( x 3−1 ) ( x 8+ x + x −x3 −1 ) + x ( x 2+ x +1 ) ¿( x + x+ 1)(x−1) ( x8 + x + x 4−x −1 )+ x ( x2 + x +1 ) ¿( x + x+ 1)( x + x 6+ x5 −x 4−x−x −x5 −x + x 3+1+ x ) ¿( x + x+ 1)( x 9−x + x 6−x + x 3−x +1) 2, x +2003 x +2002 x+ 2003 ¿ ( x 4−x ) + ( 2003 x +2003 x+2003 ) ¿ x ( x−1 ) ( x 2+ x +1 ) +2003( x2 + x +1) ¿( x + x+ 1)( x 2−x +2003) 3) Dạng đối xứng vòng quanh ab ( a 2−b2 ) +bc ( b2 −c ) +ca ( c 2−a2 ) ¿ ab ( a 2−b2 ) −bc ( c2 −b2 ) +ca ( c2 −a2 ) 2 2 2 2 ¿ ab ( a −b ) −bc [ ( c −a ) + ( a −b ) ]+ ca( c −a ) ¿[ab ( a2−b2 ) −bc ( a2−b ) ]−[bc ( c 2−a2 )−ca ( c 2−a2 ) ] ¿ ( ab−bc )( a−b )( a+ b )−( bc −ac )( a+ c )( c −a ) ¿ b ( a−c )( a−b )( a+ b )−c ( b−a )(a+c )(c−a) ¿ b ( a−c )( a−b )( a+ b )−c (a−b)(a+c )(a−c) ¿ ( a+b )( a−b )( a−c ) (b−c ) 6.Phương pháp độổ i biếố n ( đặặặ t biếố n phụặ ) 1) Đặt biến phụ dạng đa thức Đặt ẩn phụ để đưa đa thức phức tạp dạng tam thức bậc hai sử dụng phương pháp khác để tiếp tục phân tích Ví dụ: 1, P ( x )=6 x 4+ 19 x +15 Đặt x = y , ta có P ( x )=6 y 2+19 y +15=6 y 2+ y+ 10 y +15 ¿ y ( y +3 ) +5 ( y +3 )=( y +5 ) ( y +3 ) ¿ ( x2 +5 )( y +3 ) 2, Q ( x )= ( x 2−x−1 ) ( x 2−x−4 ) −10 Đặt 2 x −x −4=t , ta có: Q ( x )= ( t+3 ) t−10=t +3 t−10= (t−2 )( t+ )=(2 x 2−x−6)(2 x 2−x +1) 2) Đa thức dạng P ( x )= ( x +a )( x +b )( x +c )( x +d ) +e với a+ b=c+ d → Đặt biến phụ Ví dụ: x + ( a +b) x+ab ¿ y= y= x + ( c+d ) x+cd ¿ ¿ P ( x )= ( x +1 ) ( x+2 )( x +3 ) ( x + ) −15 ¿ ( x+1 ) ( x+ )( x +2 ) ( x+3 )−15 ¿ ( x 2+5 x +4 ) ( x 2+5 x +6 ) −15 Đặt x 2+5 x +4= y , ta có: P ( x )= y ( y +2 )−15= y +2 y−15=( y+ )( y −3 )=(x 2+5 x +9)( x 2+ x +1) 3) Đa thức dạng Đặt Ví dụ: P ( x )=a x +b x 3+ c x 2+ kbx +a với k ∈ {−1; } 2 y=x +k biến đổi P( x) dạng chứa hạng tử a y +bxy P ( x )=2 x +3 x 3−9 x 2−3 x +2 Bài giải : Đặt 2 y=x −1 → y =x −2 x +1 Ta có : P ( x )=( x −4 x +2 ) + ( x 3−3 x )−5 x ↔ P ( x )=2 ( x 4−2 x 2+ ) +3 x ( x 2−1 ) −5 x ↔ P ( x )=2 y 2+ xy −5 x 2=2 y 2−2 xy +5 xy−5 x ↔ P ( x )=( y−x ) ( y +5 x ) ↔ P ( x )=( x 2−x−1 ) (2 x +5 x−2) 4) Đa thức dạng P ( x )=x + b x + c x + dx+ e với e = y=x Đặt biến phụ + d b biến đổi Ví dụ: P ( x )=x 4−x 3−10 x 2+ x +4 Ta có: P ( x )=x −x −10 x + x +4 d b P ( x ) dạng chứa hạng tử y=x 2−2 → y =x 4−4 x 2+ Bài giải: Đặt ¿( x −4 x +4 )−( x3 −2 x )−6 x ¿ y 2−xy−6 x 2= y −3 xy +2 xy−6 x 2= ( y +2 x )( y −3 x ) ¿ ( x 2+2 x−2 ) ( x 2−3 x +2 ) P ( x )= ( x +a )4 + ( x +b )4 + c 5) Đa thức dạng y=x + Đặt biến phụ a+b 4 P ( x ) dạng m x + n x + p đổi P ( x )= ( x −3 ) + ( x−1 ) −16 Ví dụ: y=x−2 , ta có: Bài giải: Đặt 4 P ( x )= ( y−1 ) + ( y +1 ) −16 4 ¿ y −4 y +6 y −4 y +1+ y + y +6 y +4 y+ 1−16 4 2 ¿ y +12 y −14=2 y −2 y +14 y −14 y + bxy ¿ y ( y 2−1 ) +14 ( y 2−1 )=2( y 2+7)( y+1)( y−1) 6) Đặt biến phụ dạng hồi quy Ví dụ: 1, P ( x )=x + x +11 x +6 x+ ¿ Xét x ≠ 0, tacó : ( x +6 x+ 11+ 6x + x1 )=x [( x + x1 )+ 6( x + 1x )+11 ] 2 2 1 2 Đặt x + =t → x + =t −2 x x → P ( x )=x ( t 2−2+6 t +11 ) =x ( t 2+ t+ )=x (t +3 ) = ( xt +3 x ) [( ) ] 2 → P ( x )= x 1+ +3 x =( x 2+3 x +1 ) x ¿ Xét x=0, ta có : P ( x )=1=( x 2+ x +1 ) Vậy 2, P ( x )= ( x2 +3 x +1 ) 2 Q ( x )=x 4+ x3 +7 x – x+ ¿ Xét x ≠ 0, ta có : ( Q ( x )=x x +6 x+ – x + ) [( 1 =x x2 + + x− +7 x x x ) ( ) 1 2 Đặt x − = y → x + = y +2 x x →Q ( x )=x ( y2 +2+6 y +7 )=x ( y +3 ) =( xy +3 x ) [( ) ] →Q ( x )= x x− +3 x =( x +3 x −1 ) x ¿ Xét x=0, ta có Q ( x )=1=( x + x−1 ) 2 ] 2 Q ( x )= ( x +3 x−1 ) Vậy Phương pháp đoán nghiếộặ m - Nếu f ( x) có nghiệm nguyên nghiệm phải ước hệ số tự - Nếu f ( x ) có nghiệm hữu tỉ nghiệm có dạng p q hệ số tự do, q ước dương hệ số bậc cao ; ( p , q )=1 p ước Phương pháp độồ ng nhặố t hếộặ sộố ( hếộặ sộố bặố t địặnh ) Ví dụ: 1, P ( x )=x 4−6 x +12 x 2−14 x +3 Nhận xét: Các số ±1, ±3 không nghiệm đa thức, đa thức nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỉ Nên đa thức phân tích thành nhân tử phải có dạng 2 (x + ax+ b)( x +cx + d) 2 Bài giải: P ( x ) ≡( x +ax +b)(x +cx +d )≡ x + ( a+ c ) x + ( ac+ b+d ) x + ( ad +bc ) x+ bd { a+c=−6 ac+b +d=12 → → ad +bc=−14 bd=3 { a=−2 b=3 c=−8 d=1 Vậy P ( x ) =( x 2−2 x+ 3)( x 2−8 x +1) Phương pháp sưử dụặ ng địặnh lý Bê-du ( Bézout ) (Khơng biết có nên cho vào ko) Trên phần trích dẫn 10 trang đầu tài liệu hiển thị lỗi font, bạn muốn xem đầy đủ tài liệu gốc ấn vào nút Tải phía