Toán 12: Các phương pháp tính nguyên hàm

Bên trong file là Các phương pháp tính nguyên hàm mà trong các đề thi học sinh sẽ gặp phải trong quá trình làm bài. Ngoài ra bên trong tài liệu còn có phương pháp giải chi tiết vô cùng thích hợp cho tất cả những học sinh đang học lớp 12 và chuẩn bị thi lên đại học. Chúc các em học tập thật tốt và đạt được kết quả cao.

Hồ Thị Bình – gv Tốn THPT Hàm Rồng ƠN TẬP CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM Câu Cho hàm số F  x  nguyên hàm hàm số f  x  Mệnh sau đúng? A  f  x  dx  2F  x   C B  f  2x  dx  F  2x   C C f  x  dx  F  x   C D  f  x  dx  F  x   C  Câu Họ nguyên hàm hàm số f  x   A ln x   C Câu A I   B  Cho I   x  x2  10 10 u du 2 1  x  1 x 1 C C C x 1 D ln x   C dx Đặt u   x I viết theo u du ta được: C I   u10 du B I  2  u10 du D I  10 u du 2   Tìm nguyên hàm hàm số f  x   cos  3x   6      A  f  x  dx   sin  3x    C B  f  x  dx  6sin  3x    C 6  6      C  f  x  dx  sin  3x    C D  f  x  dx  3sin  3x    C  6 6  x Câu Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x.e Câu  f  x  dx   x  1 e  C C  f  x  dx   xe  C x A x Câu  f  x  dx   x  1 e  C D  f  x  dx  xe  C x B x Tìm nguyên hàm F  x  hàm số f  x   xe x 1  A F  x   e x  x    C B F  x   e2 x  x    C 2  1  C F  x   2e2 x  x    C D F  x   2e x  x    C 2  Câu Cho hàm số f  x  thỏa mãn đồng thời điều kiện f   x   x cos x f    Tìm f  x  A f  x    x sin x  cos x  B f  x   x cos x  sin x  C f  x   x sin x  cos x  D f  x   x sin x  cos x  ln  x  3 cho F  2   F 1  Giá trị x2 10 F  1  F   A ln B ln  ln C D ln  ln 3 6 Câu Hàm số sau nguyên hàm hàm số y  ln x ? A y  x ln x  x B y  C y  x ln x  x D y  ln x x Câu 10 Biết F  x    ax  bx  c  e x nguyên hàm hàm số f  x    x  x   e x Giá trị Câu Giả sử F  x  nguyên hàm f  x   2a  3b  c A B 13 C D 10 Câu 11 Biết F  x  nguyên hàm hàm số f  x   x.e x F    Tính F 1 Hồ Thị Bình – gv Tốn THPT Hàm Rồng e2  A F 1  B F  e   3e 2 Câu 12 Nguyên hàm  x cos xdx D F 1  x2 x2 B sin x  C cosx  C 2 Câu 13 Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x ln x A A   f  x  dx  x  3ln x  1  C B  f  x  dx  x  3ln x    C 3 C 3e2  C x sin x  cos x  C D x sin x  sin x  C f  x  dx  x  3ln x    C D F 1  Câu 14 Cho hàm số F  x    ax  bx  c  hàm hàm số f  x  giá trị a, b, c là: D  f  x  dx  x  3ln x    C x  , với x  Để hàm số F  x  nguyên A a  ; b  ; c  B a  ; b  2 ; c  1 C a  ; b  ; c  1 D a  ; b  2 ; c  Câu 15 Tìm nguyên hàm I   e x dx 1 A I  e x  C B I  2e2 x  C C I  e2 x  C D I  e2 x  C 2 (2  3ln x) Câu 16 Ta có  dx  (2  3ln x)b  C , tích ab bằng: x a 1 A ab  B ab  C ab  D ab  27 Câu 17 Hàm số F  x   e3 x1 x2  24 x  17  C nguyên hàm hàm số đây? 27 x 1 A f  x    x  x  1 e B f  x    x  x  1 e3 x 1  C f  x    x  x  1 e3 x 1  D f  x    x  x  1 e3 x 1 Câu 18 Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x ln x A  f  x  dx  x  3ln x    C B  f  x  dx  x  3ln x    C  f  x  dx  x  3ln x    C 3 C  f  x  dx  x  3ln x  1  C D Câu 19 Tìm nguyên hàm F  x  hàm số f  x   x.e x 1  A F  x   2e x  x    C 2  1  C F  x   e x  x    C  2 B F  x   e2 x  x    C D F  x   2e x  x    C Câu 20 Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x)  x 2e x 1 x3 x3 1 A  f ( x)dx  e  C B  f ( x)dx  3e  C C  f ( x)dx  e  C D  f ( x)dx  e x 1  C 3 s inx cos x Câu 21 Hàm số nguyên hàm hàm số y  2 cos x  s inx x3 1 x3 1  A y  2s inx cos x  C B y  2s inx.2cos x ln  C y  ln 2.2s inx cos x D y   2s inx  cos x C ln Hồ Thị Bình – gv Tốn THPT Hàm Rồng  Câu 22 Tìm nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x)  cos x sin x , biết F ( )  3sin x 3 3sin x 3 A F ( x)  B F ( x)  sin x  sin x  4 4 3sin x  sin x 3 C F ( x)  D F ( x)  sin x  sin x  4 ln Câu 23 Tính I   x dx , kết sai x A x 1 C B 2(2 x  1)  C C 2(2 x  1)  C D x C Câu 24 Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x   tan x 1 x  tan x  ln cos x  C B 1 C  f  x  dx  tan x  tan x  ln cos x  C D Câu 25 Nguyên hàm hàm số f  x   x.e x A  f  x  dx  tan 1  A F  x   e x  x    C  2 C F  x   2e x  x    C Câu 26 Tìm nguyên hàm  1 x  tan x  ln cos x  C 1 f  x  dx  tan x  tan x  ln cos x  C  f  x  dx  tan  1  B F  x   2e x  x    C 2  D F  x   e2 x  x    C ln x dx x3 ln x ln x ln x ln x 1 B  dx     C dx     C x x 2x 4x 2x 4x ln x ln x ln x ln x 1 C  dx    C D  dx    C x x 2x 4x 2x 4x Câu 27 Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? 1 3 2 A  ln x dx   C B   x  1 dx   x  1  C x dx C   x  1 dx   x  1  C D   ln x   C 2x  Câu 28 Một nguyên hàm hàm số y  cos3 x kết sau đây? 1 A sin x  sin x  B 6cos2 x.sin x  C 3cos 2 x  D sin x  cos x Câu 29 Tìm  sin x.e dx A  A  sin x.ecos x dx  cos x.esin x  C B  sin x.ecos x dx   cos x.esin x  C C  sin x.ecos x dx  ecos x  C Câu 30 Tính I   A I   D  sin x.ecos x dx  ecos x  C dx 4x  x x  x C xx B I   2  C C I   C  C D I   x 2 x  2x x x2 Câu 31 Nguyên hàm f  x   x x  là: A t C B x2  C C x C D  x2   C Hồ Thị Bình – gv Tốn THPT Hàm Rồng   Câu 32 Biết F  x  nguyên hàm hàm số f  x   sin x.cos x F     Tính F   2         A F       B F      C F     D F     2 2 2 2 Câu 33 Cho hàm số f  x  xác đinh , f 1  a và f  2   b ̣ \ 0 và thỏa mañ f   x   x  x4 Giá tri ̣của biể u thức f  1  f   bằ ng: A b  a B a  b C a  b D a  b Câu 34 Biết F  x    dx F    ln Giá trị F   x 2 x   A ln B 2ln Câu 35 Một nguyên hàm hàm số f  x   A F  x   1  sin x  cos x B F  x   C F  x   ln  sin x  cos x D F  x   C sin x  sin x   sin D 2ln x  cos x  là:   sin x  cos x  2   sin x  cos x  Câu 36 Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   x.e x F    Tìm F   A F    e4 1 B F    e4 1 C F    e4  D F    Câu 37 Hàm số F  x  nguyên hàm hàm số f  x   e4  2x ? x 1 ln  x  1 3x 2 A F  x   ln  x  1 B F  x   C F  x   D F  x   x ln  x  1 x  3x Câu 38 Cho hàm số y  f  x  đồng biến  0;   , y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương  0;   thỏa mãn f  3   f   x    x  1 f  x  Mệnh đề sau B 2614  f    2165 A 2618  f    2169 D 2613  f  8  2164 C 2616  f    2167 x 4 x2 dx  ln C B  x 4 x2 1 x2 dx  ln C D  x 4 x2 Câu 39 Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x)  x2 dx  ln C 4 x2 1 x2 dx  ln C C  x 4 x2 A x Câu 40 Cho  x  3x   thức 12 A  B A dx  A  3x    B  3x    C với A, B  23 241 B 252 252 C 52 D 9 C  Giá trị biểu   Câu 41 Nguyên hàm F  x  hàm số f  x   sin 2 x.cos3 x thỏa F    4 1 1 1 A F  x   sin x  sin x  B F  x   sin x  sin x  10 15 10 15 Hồ Thị Bình – gv Tốn THPT Hàm Rồng 1 C F  x   sin x  sin x  10 15 1 D F  x   sin x  sin x  10 15 f x 1 x 1  dx   C Nguyên và thỏa mañ  x5 x 1  Câu 42 Cho hàm số f  x  liên tu ̣c hàm của hàm số f  x  tâ ̣p x3 A C  x2  4     là: B x3 C x2  C 2x  C  x  1 D 2x  C  x  1 x2  m n p Câu 43 Biết  dx  ln  x  1  x    x  3 Tính  m  n  p  x  x  11x  A B C D Câu 44 Cho hàm số y  f  x  liên tục không âm thỏa mãn f  x  f   x   x  f  x   f    Giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số y  f  x  đoạn 1;3 A M  11 , m  B M  11 , m  C M  20 , m  D M  20 , m  Câu 45 Cho I n   tan n x.dx với n  Khi I  I1  2( I  I   I8 )  I  I10 10 A  r 1  tan x  r 1 r 1 C 10 B   tan x  r r 1 Câu 46 Cho hàm số f  x  có đạo hàm x r C C  r 1 , thoả mãn  tan x  r r C D   tan x  r 1 r 1 r 1 C x  f   x    f  x  f  x    , biết f    Phương trình f  x   x có nghiệm thực? A B C D x Câu 47 Cho F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x)  e F    Hãy tính F  1 A  15 e B   Câu 48 Biết  1  sin x.cos x  ex dx  a e d  Trong  cos x số tối giản Tính T  abd A T  10 e b C 15  e D 10 e a , b , d số nguyên dương a phân b B T  C T  D T  10  x  a  cos3x  sin 3x  2017 , a , b , c số nguyên Câu 49 Biết   x   sin 3xdx   b c Tính giá trị biểu thức S  ab  c A S  B S  14 C S  10 D S  15 ln x Câu 50 Tìm nguyên hàm  dx x ln x ln x ln x ln x 1 A  dx     C B  dx     C x x 2x 4x 2x 4x ln x ln x ln x ln x C  dx    C D  dx    C x 2x 4x x 2x 4x -Hết - Hồ Thị Bình – gv Tốn THPT Hàm Rồng 1.B 11.A 21.A 31.D 41.D Câu 2.A 12 22.B 32.B 42.D 3.A 13.D 23.D 33.A 43.C BẢNG ĐÁP ÁN 5.B 6.A 15.C 16.D 25.A 26.A 35.A 36.D 45.C 46.D 4.C 14.D 24.C 34.A 44.A 7.D 17.C 27.C 37.A 47.C 8.C 18.D 28.A 38.D 48.A 9.A 19.C 29.D 39.C 49.D 10.B 20.D 30.B 40.D 50.A LỜI GIẢI CHI TIẾT [2D3-1.2-1] (SGD Vĩnh Phúc-L2-2018) Cho hàm số F  x  nguyên hàm hàm số f  x  Mệnh đề sau đúng? f  x  dx  F  x   C A  C  f  2x  dx  F  x   C 1 f  x  dx  F  x   C B  D  f  x  dx  F  x   C Lời giải Chọn B [2D3-1.2-1] (THPT Ba Đinh - Thanh Hóa - lần 3- 2018) Họ nguyên hàm hàm số f  x   Câu A ln x   C B 1  x  1 C C C x 1 x 1 D ln x   C Lời giải Chọn A Ta có  x  1dx  ln x   C Câu   [2D3-1.2-1] (THPT Minh Châu - Hưng Yên - L3 - 2018) Cho I  x  x2  10 dx Đặt u   x I viết theo u du ta được: A I   10 u du 2   10 C I  u du 10 B I  2 u du D I  10 u du 2 Lời giải Chọn A Ta có u   x  du  2 xdx  xdx   Do I   Câu du 10 u du 2 [2D3-1.2-1] (Sở GD&ĐT Đồng Tháp - Diễn tập THPT QG - 2018) Tìm nguyên hàm hàm số   f  x   cos  3x   6    A  f  x  dx   sin  3x    C  6   C  f  x  dx  sin  3x    C D  6 B     f  x  dx  6sin  3x    C   f  x  dx  3sin  3x    C Lời giải Chọn C Câu x [2D3-1.3-1] (THPT Chu Văn An –Hà Nội-L3-2018) Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x.e Hồ Thị Bình – gv Tốn THPT Hàm Rồng A  f  x  dx   x  1 e x  C B  f  x  dx   x  1 e x  C C  f  x  dx   xe x C D  f  x  dx  xe x C Lời giải Chọn B u  x du  dx  Đặt  Áp dụng công thức nguyên hàm phần ta  x x dv  e dx v  e x x x x  f  x  dx   x.e dx  xe   e dx   x  1 e  C Câu [2D3-1.3-2] (HK2 THPT Chuyên Lên Hồng Phong- HCM-2018) Tìm nguyên hàm F  x  hàm số f  x   xe x 1  A F  x   e x  x    C 2  1  C F  x   2e x  x    C 2  B F  x   e2 x  x    C D F  x   2e x  x    C Lời giải Chọn A  du  dx u  x    2x Đặt  2x dv  e v  e 2x  1 2x 2x 1 2x 2x 2x  x e dx = x.e   e dx  x.e  e  C  e  x    C Câu [2D3-1.3-2] (THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An-L3-2018) Cho hàm số f  x  thỏa mãn đồng thời điều kiện f   x   x cos x f    Tìm f  x  A f  x    x sin x  cos x  B f  x   x cos x  sin x  C f  x   x sin x  cos x  D f  x   x sin x  cos x  Lời giải Chọn D f  x    f   x  dx   x cos x dx u  x du  dx  Đặt  dv  cos x dx v  sin x f  x   x.sin x   sin x dx  x.sin x  cos x  C f      C   C   Vậy f  x   x sin x  cos x  Câu [2D3-1.3-2] (THPT Chuyên - ĐH Vinh - Lần - 2018)Giả sử F  x  nguyên hàm ln  x  3 cho F  2   F 1  Giá trị F  1  F   x2 10 A ln B ln  ln C ln  ln 6 Lời giải Chọn C ln  x  3 I  dx  x  3, x   x2 f  x  D Hồ Thị Bình – gv Toán THPT Hàm Rồng u  ln  x  3 du  dx   x3  Đặt  d v  d x v     x2   x 1  x3  x3 I   ln  x  3  ln x  C  ln  x  3   dx    3x  3x   3x    x3 ( x  0)   3x  ln  x  3  ln x  C1     x3  F  x     ln  x  3  ln x  C    3x    x   ln  x  3  ln( x)  C (3  x  0)   3x  10  C1  C2  ln  F  1  F    ln  C1  ln  ln  C2  ln  ln 3 6 Câu [2D3-1.3-2] (SỞ GD&ĐT Vĩnh Phúc-Lần 2- 2018) Hàm số sau nguyên hàm hàm số y  ln x ? A y  x ln x  x B y  x C y  x ln x  x D y  ln x Lời giải Chọn A 1  Ta có: y  x ln x  x  y '   ln x  x    ln x x  Vậy nguyên hàm hàm số y  ln x y  x ln x  x Câu 10   [2D3-1.3-2] (THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội - L3 - 2018) Biết F  x   ax  bx  c e x   nguyên hàm hàm số f  x   x  x  e Giá trị 2a  3b  c x B 13 A C D 10 Lời giải Chọn B Ta có   x  x   e x dx du   x  5 dx  u  x  x   Đặt    x x   dv  e dx v  e x x x   x  5x  5 e dx   x  5x  5 e    x  5 e dx u   x  du  2dx  Đặt  x x  d v   e dx v  e x x x x   x  5 e dx   x  5 e  2 e dx   x  3 e  C x  x   e x dx   x  3x   e x  C a   Suy b   2a  3b  c  13 c   Câu 11 [2D3-1.3-2] (THPT Sào Nam – Quảng Ngãi - 2018) Biết F  x  nguyên hàm hàm số f  x   x.e x F    Tính F 1 A F 1  e2  B F  e   3e D F 1  D F 1  3e2  Hồ Thị Bình – gv Tốn THPT Hàm Rồng Lời giải Chọn A Ta có F  x    x.e x dx u  x  d u  dx  Đặt  2x 2x dv  2e dx v  e 1  Suy F  x   x.e x   e x dx  e x  x    C 2  Do F     C    C  2 1 e2  2x  Vậy F  x   e  x     F 1  2 2  Câu 12 A [2D3-1.3-2] (THPT Hưng Nhân-Sở GD& ĐT Thái Bình) Nguyên hàm x2 sin x  C B  x cos xdx x2 C x sin x  cos x  C D x sin x  sin x  C cosx  C Lời giải Chọn C u  x du  dx  Đặt  dv  cos xdx v  sin x   x cos xdx  x sin x   cos xdx  x sin x  sin x  C Câu 13 [2D3-1.3-2] (THPT Bình Minh-Ninh Bình-L4-2018) Tìm nguyên hàm hàm số f  x   3 A  f  x  dx  x  3ln x    C  f  x  dx  x  3ln x  1  C D  B f  x  dx  x  3ln x    C 3 C x ln x  f  x  dx  x  3ln x    C Lời giải Chọn D   u  x u  ln x  Đặt dv  xdx v  x  3   f  x dx   x ln xdx  x ln x   x dx 3 x 3 2 2  x  ln x    x  C  x  3ln x    C 3  Câu 14  [2D3-2.0-2] Cho hàm số F  x   ax  bx  c nguyên hàm hàm số f  x  giá trị a, b, c là:  x  , với x  Để hàm số F  x  B a  ; b  2 ; c  1 D a  ; b  2 ; c  A a  ; b  ; c  C a  ; b  ; c  1 Lời giải Chọn D  Ta có F   x   f  x    2ax  b  x   ax  bx  c  5ax   6a  3b  x  3b  c  20 x  30 x   20 x  30 x   x 3 2x  Hồ Thị Bình – gv Tốn THPT Hàm Rồng 5a  20 a     6a  3b  30  b  2 3b  c  c      x    k 2  f   x    sin x     , k  x   k 2  Ta lại có: y  f   x   cos x     f     k 2     x    k 2  k    7  7   k 2  k  f    k 2      x    Câu 15  điểm cực tiểu hàm số  điểm cực đại hàm số  [2D3-2.1-2] Tìm nguyên hàm I  e x dx A I  e x  C B I  2e2 x  C C I  e2 x  C D I  e2 x  C Lời giải Cho ̣n C 2x e d  x   e2 x  C  2 (2  3ln x)2 Câu 16 [2D3-2.1-2] Ta có  dx  (2  3ln x)b  C , tích ab bằng: x a 1 A ab  B ab  C ab  D ab  27 Lời giải Chọn D (2  3ln x)2 1 Đặt t   3ln x  dt  dx   dx   t dt  t  C  (2  3ln x)3  C  ab  27 x 9 x Ta có I   e2 x dx  Câu 17 [2D3-2.2-2] Hàm số F  x   đây? A f  x    x  x  1 e3 x 1 C f  x    x  x  1 e3 x 1   x1 e x2  24 x  17  C nguyên hàm hàm số 27 B f  x    x  x  1 e3 x 1 D f  x    x  x  1 e3 x 1 Lời giải Chọn C Ta có: F   x   1 3e3 x1  x  24 x  17   e3 x1 18x  24   e3 x1  27 x  72 x  51  18 x  24    27 27 x1 e  27 x2  54 x  27    x  x  1 e3 x1 27 Câu 18 [2D3-2.2-2] Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x ln x  3 A  f  x  dx  x  3ln x    C B  f  x  dx  x  3ln x    C Hồ Thị Bình – gv Tốn THPT Hàm Rồng C  f  x  dx  x  3ln x  1  C D  f  x  dx  x  3ln x    C Lời giải Chọn D  du  x dx  v  x  3 2 21 32 12 32 2 32  f  x  dx  x ln x   x x dx  x ln x   x dx  x ln x  x  C 3 2  x  ln x    C  x  3ln x    C  3 u  ln x Đặt  ta dv  xdx 2x [2D3-2.2-3] Tìm nguyên hàm F  x  hàm số f  x   x.e Câu 19 1  A F  x   2e x  x    C 2  1  C F  x   e x  x    C  2 B F  x   e2 x  x    C D F  x   2e x  x    C Lời giải Chọn C F  x    x.e x dx du  dx u  x  Đặt    2x 2x v  e dv  e dx    1 1 1  F  x   x.e2 x   e2 x dx  x.e2 x  e2 x  C  e x  x    C 2 2  x 1 [2D3-2.3-2] Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x )  x e Câu 20 A  f ( x)dx  e C  f ( x)dx  x3 1  C x3 x3 1 e  C B D   f ( x)dx  3e x3 1  C f ( x)dx  e x 1  C Lời giải Chọn D Đặt t  x3   dt  3x 2dx  dt  x 2dx 3 1 Khi ta  f  x  dx   x 2e x 1dx   et dt  et  C  e x 1  C 3  [2D3-2.3-2] Hàm số nguyên hàm hàm số y  2s inx.2cos x cos x  s inx Câu 21 A y  2s inx cos x  C B y  2s inx.2cos x ln C y  ln 2.2s inx cos x D y   Lời giải Chọn B    Ta có: y  2s inx.2cos x cos x  s inx  2s inx cos x cos x  s inx  2s inx  cos x C ln  Hồ Thị Bình – gv Tốn THPT Hàm Rồng 2 sin x cos x   cos x  sin x dx   Đặt : s inx  cos x  t  cos x  s inx dx  dt Vậy 2 s inx  cos x 2t 2s inx  cos x 2s inx.2cos x cos x  s inx dx   dt  C  C  C ln ln ln   t [2D3-2.4-2] Tìm nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x)  cos x sin x , biết F ( Câu 22 3sin x 3 sin x  4 3sin x  C F ( x)  sin x  A F ( x)   ) 0 3sin x 3 sin x  4 sin x 3 D F ( x)  sin x  4 Lời giải B F ( x)  Chọn B Đặt t  sin x  t  sin x  3t dt  cos xdx sin xdx   t.3t 2dt  3 t 3dt  t  c Vậy  f ( x)dx   cos x sin xdx  sinx sin x  c    F ( )   sin( ) sin(  )  c   c   2 ln Câu 23 [2D3-2.4-2] Tính I   x dx , kết sai x  f ( x)dx   cos x x 1 A C B 2(2 x  1)  C C 2(2 x  1)  C Lời giải Chọn D Ta có: I   Câu 24 x ln dx  x x 1 ln dx  2 x ln   d x 1   x 1  x 1 [2D3-2.4-3] Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x   tan x 1 x  tan x  ln cos x  C B  f  x  dx  tan x  tan x  ln cos x  C 4 C  f  x  dx  tan x  tan x  ln cos x  C 1 D  f  x  dx  tan x  tan x  ln cos x  C A  f  x  dx  tan Lời giải Chọn C     xdx   tan x   1 dx   tan x   dx   tan xdx 2  cos x   cos x      tan xd  tan x    tan x   1 dx cos x       tan xd  tan x    tan x   dx   tan xdx  cos x   tan C D x C Hồ Thị Bình – gv Tốn THPT Hàm Rồng sin x   tan xd  tan x    tan xd  tan x    dx cos x d  cos x    tan xd  tan x    tan xd  tan x    cos x  tan x  tan x  ln cos x  C [2D3-2.6-2] Nguyên hàm hàm số f  x   x.e x Câu 25 1  A F  x   e x  x    C  2 C F  x   2e x  x    C 1  B F  x   2e x  x    C 2  D F  x   e2 x  x    C Lời giải Chọn A Đặt u  x  du  dx dv  e2 x chọn v  e2 x 1 1 1  Khi  x.e x dx  x.e2 x   e2 x dx  x.e2 x  e2 x  C  e x  x    C  2 2 Câu 26 ln x ln x dx     C x 2x 4x ln x ln x C  dx    C x 2x 4x A ln x dx x3 ln x ln x B  dx     C x 2x 4x ln x ln x D  dx    C x 2x 4x Lời giải [2D3-2.7-2] Tìm nguyên hà m   Chọn A Ta có:  Câu 27 đúng? ln x ln x 1 ln x 1 ln x   dx   ln xd        dx     dx     C x 2x 2x x 2x x x 4x  2x  [2D3-1.2-2] (Sở GD&ĐT Hưng Yên-107-2018) Trong khẳng định sau, khẳng định C x C   x  1 dx   x  1  C A  ln x dx  B D   x  1 3 dx  2  x  1  C dx  2x   ln 2x   C Lời giải Chọn C Câu 28 [2D3-1.2-2] (THPT Nguyễn Huệ - Phú Yên - Lần - 2018) Một nguyên hàm hàm số y  cos3 x kết sau đây? A 1 sin x  sin x  B 6cos 2 x.sin x  C 3cos 2 x  D sin x  Lời giải Chọn A Ta có  cos3 x dx   cos 2 x cos x dx   1  sin 2 x  cos x dx Hồ Thị Bình – gv Tốn THPT Hàm Rồng Đặt t  sin x  dt  2cos xdx 1 3 1 3  cos x dx   1  t  dt   t  t   C  sin x  sin x  C 1 Vậy nguyên hàm chọn sin x  sin x  Cách khác: 1  Có  sin x  sin x    cos x  sin 2 x cos x  cos x  1  cos 2 x  cos x  cos3 2x 2  1 Nên  cos xdx  sin x  sin x  Câu 29 [2D3-1.2-2] (Sở Giáo Dục Đào Tạo Quảng Nam-HKII-2018) Tìm  sin x.ecos x dx A  sin x.ecos x dx  cos x.esin x  C B  sin x.ecos x dx   cos x.esin x  C C  sin x.ecos x dx  ecos x  C D  sin x.ecos x dx  ecos x  C Lời giải Chọn D Ta có  sin x.ecos x dx    ecos x d  cos x   ecos x  C [2D3-1.2-2] (THPT Kim Thanh - Hải Dương - L3 - 2018) Tính I   Câu 30 C xx C I   C x x2 dx 4x  x x  x C x 2 D I   C x  2x A I   B I   Lời giải Chọn B Đặt t  x  x  t  dx  2tdt 2 1 dt   C   C I  2tdt  2 dt  2 2 t2 4t  t  4t 4t  t  x 2 t  2 [2D3-1.2-2] (THPT Lương Bắc Đẳng - Thanh Hóa - L3 - 2018) Nguyên hàm f  x   x x  Câu 31 là: A t C B x 1 C C x C  D x2   C Lời giải Chọn D x x2  dx Đặt t  x x   t  x   tdt  xdx x2  dx   t dt  Câu 32 t  C  x2   C [2D3-1.2-2] (Chuyên Lê Khiết - Quảng Ngãi - Lần - 2018) Biết F  x  nguyên hàm hàm    2   B F      2 số f  x   sin x.cos x F     Tính F        2 A F       2 C F      2 D F  Hồ Thị Bình – gv Toán THPT Hàm Rồng Lời giải Chọn B sin x  C (*) Thay x  vào (*) ta F    C  C   Ta có: F  x    sin x.cos xdx  sin x     F     2 Câu 33 [2D3-1.2-2] (SGD PHÚ THỌ -L2-2018) Cho hàm số f  x  xác đinh ̣ \ 0 và thỏa mañ , f 1  a và f  2   b Giá tri ̣của biể u thức f  1  f   bằ ng: f  x  x  x4 A b  a B a  b C a  b D a  b Vậy F  x   Lời giải Chọn A Ta có  f   x  dx   x 1 dx  f    f 1  x4 Mă ̣t khác Đă ̣t x  t thì 1 1 f   x  dx   dx   dt  f  1  f  2  x x t t 2   f    f 1  f  1  f  2   f    a  f  1  b  f  1  f    b  a [2D3-1.2-2] (THPT tư thục Nguyễn Khuyến - năm học 2017 - 2018) Biết F  x   Câu 34   x 2 x  dx F    ln Giá trị F   A ln B 2ln D 2ln C Lời giải Chọn A Đặt t   x  dt  x dx   dx   dt  2ln t  C  2ln  x  C t x 2 x Suy F  x      Do F    ln  C  Vậy F    ln [2D3-1.2-2] (THPT tư thục Nguyễn Khuyến - năm học 2017 - 2018) Một nguyên hàm hàm số Câu 35 f  x  sin x  sin x   sin x  cos x  A F  x   là: 1  sin x  cos x C F  x   ln  sin x  cos x B F  x   D F  x     sin x  cos x    sin 2 x  cos x  Lời giải Chọn A Đặt t   sin x  cos x  dt  (sin x  sin x)dx dt 1 C Khi  f  x  dx      t t   sin x  cos x  Vậy nguyên hàm hàm số cho F  x   1   sin x  cos x  Hồ Thị Bình – gv Tốn THPT Hàm Rồng [2D3-1.2-2] (THPT Đào Duy Từ –Hà Nội-L3-2018) Cho F  x  nguyên hàm hàm số Câu 36 f  x   x.e x F    Tìm F   A F    e4 1 B F    e4 e4  C F    1 2 Lời giải D F    e4  Chọn D x2 x2 e d x  e  c  F  x    2 2 1 Mà F     c  Do e x   F  x  2 e 1 Vậy F    f  x  dx   x.e x dx  [2D3-1.2-2] Hàm số F  x  nguyên hàm hàm số f  x   Câu 37   ln  x  1  3x B F  x   x  3x A F  x   ln x  C F  x  2 2x ? x 1   D F  x   x ln x  Lời giải Chọn A Ta có x   2x dx   d  x  1  ln  x  1  C Vậy F  x   ln x  1 x 1 [2D3-1.2-3] (Chuyên Thái Bình lần 2018) Cho hàm số y  f  x  đồng biến Câu 38 y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương  0;   thỏa mãn f  3  sau A 2618  f    2169 B 2614  f    2165 C 2616  f    2167 D 2613  f  8  2164  0;   , 2  f   x    x  1 f  x  Mệnh đề Lời giải Chọn D Ta có  f   x    x  1 f  x   f   x   x  f  x  f  x f  x x 1 dx   dx  f  x     x 1   f  x f  x 1  hay f  x    Do f  3  nên C  3 3 Từ suy f    2613, 26 C 2 8  x  1    3 [2D3-1.2-3] (Sở Giáo Dục Đào Tạo Quảng Nam-HKII-2018) Tìm họ nguyên hàm hàm số Câu 39 x 4 x2 dx  ln C A  x 4 x2 1 x2 dx  ln C C  x 4 x2 f ( x)   x  1 x2 dx  ln C 4 x2 1 x2 dx  ln C D  x 4 x2 B x Hồ Thị Bình – gv Tốn THPT Hàm Rồng Lời giải Chọn C 1 x2 1     f ( x)dx  ln x   ln x   C  ln C f ( x)  x2 x 4 x2 x2 [2D3-1.2-3](Sở GD Cần Thơ-KSCL-2018) Cho Câu 40 Giá trị biểu thức 12 A  B A, B  C  23 A 252 B  x  3x   241 252 C dx  A  3x    B  3x    C với 52 D 7 Lời giải Chọn D  x  3x  2 dx Đặt t  3x   dt  3dx x  t2 dt    t  2t  dt  t  t  C 36 63 Thay lại biến x ta được:  x  3x   dx   3x     3x    C 36 63 Suy A  ; B   12 A  B  36 63 Câu 41 [2D3-1.2-3](Sở GD Cần Thơ-KSCL-2018)Nguyên hàm F  x  hàm số f  x   sin x.cos x Ta có:  t  2 t     4 1 A F  x   sin x  sin x  10 15 1 C F  x   sin x  sin x  10 15 thỏa F  1 B F  x   sin x  sin x  10 15 1 D F  x   sin x  sin x  10 15 Lời giải Chọn D F  x    f  x  dx   sin 2x.cos3 2xdx  2  sin x.cos xd  sin x  1 2  sin x 1  sin x  d  sin x     sin x  sin x  d  sin x  2  sin x  sin x  C , 10 1   F     C  0C   15 15 4 1 Suy F  x   sin x  sin x  10 15 Câu 42 [2D3-1.2-3] (SỞ BẮC GIANG-LẦN 1- 2018) Cho hàm số f  x  liên tu ̣c   f  x 1  dx   x 1 x3 C A  x2  4 x 1  x5   C Nguyên ham cua ham số ̉ ̀ B ̀ x3 C x2  Lời giải Chọn D C f  x  tâ ̣p 2x  C  x  1  và thỏa mañ là: D 2x  C  x  1 Hồ Thị Bình – gv Toán THPT Hàm Rồng - Đă ̣t t  x   t  x   dx  2t.dt ,  t   Khi đó Và f    x 1 x 1 x 1  x5  dx   f t  2t.dt  2 f  t  dt t   C   t  3  C t2   t  3 t 3  C   f  t  dt  C t 4 t 4 2x  2x  C   f  x  dx   f  x  d  x   C  4x   x  1  2 f  t  dt  Vâ ̣y 2x  C  1  f  x  dx   x Câu 43 (Sở 2018) Biết [2D3-1.2-4](Sở GD Cần Thơ-KSCL-2018)Cho hàm số y  f  x  liên tục không âm thỏa [2D3-1.2-3] GD&ĐT Ninh Bin ̀ h Lớp - 12 x 1 m n p dx  ln  x  1  x    x  3 Tính  m  n  p   x  11x  A B C x Năm - D Lời giải Chọn C x2  x2  1 5 d x   x3  x2  11x    x  1 x  2 x  3 dx   x 1 dx   x  2dx   x  dx  ln x   5ln x   5ln x   C = ln  x  1 x   5  x  3 C Vậy m  1, n  5 , p    m  n  p   Câu 44 mãn f  x  f   x   x  f  x   f    Giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số y  f  x  đoạn 1;3 B M  11 , m  D M  20 , m  A M  11 , m  C M  20 , m  Lời giải Chọn A - Ta có : f  x  f   x   x    f  x   f  x   f  x 1  f  x f  x   2x     f  x    f  x    x  C Do f     C    x   f  x   x  x (do f  x  không âm     x  ) x3  x  , x  1;3  f  x  đồng biến đoạn 1;3 x4  x2  max f  x   f  3  11 f  x   f 1  - Ta có: f   x   1;3 1;3 Vậy M  11 , m  Câu 45  n [2D3-1.2-4] (Sở GD&ĐT Ninh Bin ̀ h - Lớp 12 - Năm 2018) Cho I n  tan x.dx với n  I  I1  2( I  I   I8 )  I  I10 Khi Hồ Thị Bình – gv Toán THPT Hàm Rồng 10 A   tan x  r 1 r 1 r 1 C 10 B  r 1  tan x  r r C C  r 1  tan x  r r C D  r 1  tan x  r 1 r 1 Lời giải Chọn C Có: I   dx  x  C sin x dx   ln cos x  C cos x tn Tính I n : Đặt t  tan x  I n   dx t 1 t3 t  t2 tan x  I   dt    t   dt   ln  t  1  C   ln cos x  C t 1 2  t 1  t5 t  tan x tan x t4 t2  I   dt    t  t   dt    ln  t  1  C    ln cos x  C t 1 t 1  2  t7 t  t6 t4 t2  I   dt    t  t  t   dt     ln  t  1  C t 1 t 1  2  tan x tan x tan x     ln cos x  C t9 t  t8 t t t  I   dt    t  t  t  t   dt      ln  t  1  C t 1 t 1  2  tan x tan x tan x tan x      ln cos x  C t2  dt  I   dt   1  dt  t    tan x   dx  tan x  x  C t 1 t 1  t 1  t4  tan x  I   dt    t   dt   tan x  x  C t 1 t 1   t6  tan x tan x  I   dt    t  t   dt    tan x  x  C t 1 t 1   t8  tan x tan x tan x  I8   dt    t  t  t   dt     tan x  x  C t 1 t 1   t10  tan x tan x tan x tan x  I10   dt    t  t  t  t   dt      tan x  x  C t 1 t 1   I1   tan x.dx   Vậy ta có: tan x  tan x  2ln cos x  tan x tan x tan x tan x tan x tan x    tan x  2ln cos x      ln cos x  C tan8 x tan x tan x tan x     I1  2I3  2I5  2I  I9   ln cos x  tan x  2ln cos x  C Hồ Thị Bình – gv Tốn THPT Hàm Rồng tan x tan x  tan x  x  3 tan x tan x tan x tan x tan x tan x   tan x  x     tan x  x   9 tan x tan x tan x tan x tan x tan x    tan x  x  C      tan x  C 9 tan k x Vậy I  I1   I  I   I8   I  I10   C x k 1 Câu 46 [2D3-1.2-4] (THPT Xuân Trường - Nam Định L2 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm I  2I  2I  2I  2I8  I10  x  tan x  x  , thoả mãn x  f   x    f  x  f  x    ,  x  biết f    Phương trình f  x   x có nghiệm thực? A B C D Lời giải Chọn D f  x f  x 1 x  f   x    f  x    dx    dx 1 1 f  x 1 f  x  x2 x 1 Xét  dx  x2 x 1  x 1  Ta có ln x  x      x  x  x2   Nên  dx  ln  x  x    C x 1 1  ln 1  f  x   ln  x  x    C    2 Do f    nên    C    Khi ln 1  f  x    ln x  x   f  x   x  x   x     x  x     Xét phương trình f  x   x  x   x      x  3    x    x  12 x     x  Vậy phương trình f  x   x có nghiệm [2D3-1.3-3] (THPT Chuyên ĐHKHTN - Hà Nội - Lần - 2018) Cho F ( x) nguyên hàm Câu 47 hàm số f ( x)  e A  x F    Hãy tính F  1 15 e B  10 e C Lời giải Chọn C Tính F  x    f ( x)dx   e x dx Đặt t  Có e 3 x x  dx  3t dt dx   3t 2et dt   3t det  3t et  3 et dt 15  e D 10 e Hồ Thị Bình – gv Toán THPT Hàm Rồng  3t et  3 2tet dt  3t et  6 tdet  3t et  6tet   et dt  3t 2et  6tet  6et  C Khi đó: F  x   3 x e x  xe x  6e x  C Có F     C  4  F  1  Câu 48   15  e [2D3-1.3-3] (CHUYÊN LÊ 1  sin x.cos x .e x dx  a e d  Trong  cos x T  abd A T  B T  b HỒNG PHONG-NAM ĐỊNH- a , b , d số nguyên dương LẦN 2- 2018) Biết a phân số tối giản Tính b D T  10 Lời giải C T  Chọn A   4   sin x.cos x  e  1 1   sin x  x  x x Tính I   e dx   tan x.e dx  dx   e dx    2  cos x 2 cos x cos x 0     x 4  e x dx cos x Tính I1   u  e x du  e x dx   Đặt   d x v  tan x dv  cos x      4 I1  e x tan x   tan x.e x dx  e   tan x.e x dx 0      4  4  x x  I   2e   tan x.e dx   tan x.e dx   e 0   Vậy a  , b  , d   T  abd  1.2.4  Câu 49 [2D3-1.3-3]   x  2 sin 3xdx   S  ab  c A S  (THPT Lê Hồng Phong - Thanh  x  a  cos3x  sin x  2017 , b c B S  14 Hóa - Lần - 2018) Biết a , b , c số nguyên Tính giá trị biểu thức C S  10 D S  15 Lời giải Chọn D  du  dx u  x   Đặt  ,  v   cos x dv  sin xdx   1 1   x   sin 3xdx    x  2 cos3x   cos3xdx    x  2 cos3x  sin 3x  C  x   cos3x  sin 3x  2017 Mà theo giả thiết có   x   sin xdx   Vậy a  , b  , c   S  ab  c  15 Hồ Thị Bình – gv Tốn THPT Hàm Rồng ln x Câu 50 [2D3-2.7-2] Tìm nguyên hàm  dx x ln x ln x ln x ln x 1 A  dx     C B  dx     C x x 2x 4x 2x 4x ln x ln x ln x ln x 1 C  dx    C D  dx    C x x 2x 4x 2x 4x Lời giải Chọn A ln x ln x 1 ln x 1 ln x   Ta có:  dx   ln xd        dx     dx     C x 2x 2x x 2x x x 4x  2x  ...  Câu 36 Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   x.e x F    Tìm F   A F    e4 1 B F    e4 1 C F    e4  D F    Câu 37 Hàm số F  x  nguyên hàm hàm số f  x   e4  ... x  cos x  Vậy nguyên hàm hàm số cho F  x   1   sin x  cos x  Hồ Thị Bình – gv Tốn THPT Hàm Rồng [2D3-1.2-2] (THPT Đào Duy Từ –Hà Nội-L3-2018) Cho F  x  nguyên hàm hàm số Câu 36 f...Hồ Thị Bình – gv Tốn THPT Hàm Rồng e2  A F 1  B F  e   3e 2 Câu 12 Nguyên hàm  x cos xdx D F 1  x2 x2 B sin x  C cosx  C 2 Câu 13 Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x ln x A A