BÀI 2 NHỊ THỨC NIU tơn

BÀI NHỊ THỨC NIU-TƠN MỤC TIÊU Kiến thức - Biết công thức khai triển nhị thức Niu-tơn - Biết tính chất số hạng Kỹ - Thành thạo khai triển nhị thức Niu-tơn, tim Số hạng, hệ số chứa x khai triển - Tính tổng dựa vào khai triển nhị thức Niu-tơn I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn Với số thực a, b n  ta có n (a  b)n   Cnk a nk bk k 0  Cn0an  Cn1an1b  Cnk ank bk  Cn bn Quy ước: a  b0  Tính chất a) Sổ số hạng khai triển n  b) Số hạng tử có số mũ a giảm dần từ n đến 0, số mũ b tăng dần từ đến n Tổng số mũ a b số hạng n c) Số hạng tổng quát thứ k  có dạng: Tk 1  Cnk ank bk với k  0,1, 2,, n d) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: Cnk  Cnnk e) Cnk đạt giá trị lớn k  k n 1 n 1 hay k  với n lẻ; 2 n với n chẵn f) Cn0  Cnn  1, Cnk 1  Cnk  Cnk1 Tam giác Pascal Hệ quả: Với a  b  , ta có 2n  Cn0  Cn1  Cnn Với a  1; b  1 , ta có  Cn0  Cn1  (1)k Cnk  (1)n Cnn Các dạng khai triển nhị thức Niu-tơn thường gặp ( x  1)n  Cn0 xn  Cn1 xn1  Cnn1x  Cnn Trang (1  x)n  Cn0  Cn1 x  Cnn1xn1  Cnn xn ( x 1)n  Cn0  Cn1 x  (1)n Cnn xn n 2n  (1  1)n   Cnk  Cn0  Cn1  Cnn1  Cnn k 0 n  (1  1)n   Cnk (1)k  Cn0  Cn1  (1)n Cnn k 0 Tam giác Pascal thiết lập theo quy luật: - Đỉnh ghi số Tiếp theo hàng thứ ghi hai số - Nếu biết hàng thứ n  n  1 hàng thứ n  thiết lập cách cộng hai số liên tiếp hàng thứ n viết kết xuống hàng vị trí hai số Sau viết Số đầu cuối hàng - Các số hàng thứ n tam giác Pascal dãy gồm  n 1 số Cn0 , Cn1 , Cn2 ,, Cnn1, Cnn II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Xác định hệ số, số hạng khai triển nhị thức Niu-tơn Bài tốn 1: Tìm hệ số số hạng chứa x m khai triển  ax p  bx q  n ► Phương pháp giải Xét khai triển:  ax p  bx q    Cnk  ax p  n n nk k 0   bx q  k n   Cnk a nk  bk xm t qt k 0 Số hạng chứa x m ứng với giá trị k thỏa mãn m  np np  pk  qk  m  k  q p Vậy hệ số số hạng chứa x m Cnk ank  bk với giá trị k  m  np q p Nếu kkhơng ngun k  n khai triển không chứa x m , hệ số phải tìm Lưu ý: Tìm số hạng khơng chứa x ta tìm giá k thỏa np  pk  qk  Ví dụ: Cho khai triển (2x  1)10 a) Tìm hệ số x khai triển Hướng dẫn giải 10 10 k 0 k 0 Ta có (2 x  1)10   C10k  (2 x)k   2k C10k  x k Số hạng chứa x ứng với k  Hệ số cần tìm C105  25  8064 b) Tìm hệ số số hạng không chứa x khai triển Hướng dẫn giải Số hạng không chứa x ứng với k  Hệ số cần tìm C100  20  ► Ví dụ mẫu Trang 2  Ví dụ Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức Niu-tơn  x   x   Hướng dẫn giải 21  x  0 k  2 k 213k Ta có số hạng tổng quát Tk 1  C a b  C x      (2)k C21 x x   Số hạng không chứa x ứng với 21– 3k   k  k n nk k 2 k 21 k Vậy hệ số cần tìm 27 C27r Chú ý: x  m n  x mn ; xm xm  xmn ; xm  x mn ; n x n m n x x m Ví dụ Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển x3 (1  x)8 Hướng dẫn giải Số hạng tổng quát khai triển x3  C8k ( x)k  C8k (1)k xk 3 Số hạng chứa x k    k  Vậy hệ số cần tìm C83 (1)3  56 Chú ý: Phân biệt hệ số số hạng n Với P( x)   ak x g ( k ) ; số hạng chứa x tương ứng với g (k )   giải trình ta tìm k k 0 * Nếu k  ; k  n hệ số phải tìm ak số hạng phải tìm ak  xk * Nếu k  k  n khai triển khơng có số hạng chứa x , hệ số phải tìm   Ví dụ Tìm số hạng không chứa x khai triển  x  , x  x  Hướng dẫn giải 10 1      3 Ta có  x      x  3 x  x     Số hạng tổng quát khai triển 10 10 k k 10 k 205 k k    13   k k 10 k k k k 10k k 2 C   x    3x   (1) C10    x  x  (1) C10    x     Số hạng không chứa x ứng với 20  5k   k  Vậy số hạng không chứa x khai triển (1)4 C104  26 34  210.64.811088640 k 10 Bài tốn 2: Tìm hệ số số hạng khai triển P( x)   axt  bx p  cx q  n ► Phương pháp giải Ta có khai triển: P( x)   axt  bx p  cx q    Cnk  axt  n n k 0 n k bx p  cx q  k Trang  bx p  cxq    Cki bx p  k k i 0 n k i cx   C b k q i i k i 0 k k j i n c x p (k 1)qi k Suy P( x)   Cnk a nk xt ( nk )Cki bk i ci x p ( k i )qi   Cnk Cki a nk bk i ci X t ( nk ) p ( k i )qi k 0 i 0 k 0 i 0 Suy số hạng tổng quát khai triển C C a k n i k nk k i i t ( n k ) p ( k i )qi b cx Từ số hạng tổng quát khai triển trên, ta tính hệ số x m - Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển P( x)   x  x  1 10 Hướng dẫn giải Với  q  p  10 số hạng tổng quát khai triển P( x)   x  x  1 10 Tp  C10  C pq   x  10  p  x p q 1q  C10  C pq  x p q  20 p Theo đề p  q  20  p   p  q  18 Do  q  p  10 nên ( p; q) {(9;9);(10;8)} Vậy hệ số x khai triển P( x)   x  x  1 10 10 C109  C99  C10  C108  55 Ví dụ Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển Hướng dẫn giải Ta có 1  x  2015 x 2016  2016 x 2017  2017 x 2018   (1  x)  x2016  2015  2016 x  2017 x2  60 60  C60 (1  x)60  C60 (1  x)59  x 2016  2015  2016 x  2017 x    C6060  x2016  2015  2016 x  2017 x2  60 Ta thấy có số hạng cao C60 (1  2x)60 chứa x nên hệ số số hạng chứa x 3 C60 C60 (2)3  8C60 Bài tốn 3: Tìm hệ số lớn khai triển nhị thức Niu-tơn ► Phương pháp giải Bước 1: Tính hệ số ak theo k n Giả sử sau khai triển ta đa thức: P( x)  a0  a1x  a2 x2  an xn  ak  ak 1 Bước 2: Giả sử ak hệ số lớn hệ số a0 , a1 ,, an Khi ta có   ak  ak 1 Giải hệ bất phương trình với ẩn số k Ví dụ: Tìm hệ số lớn khai triển đa thức P( x)  ( x 1)10 Hướng dẫn giải 10 Ta có ( x  1)10   C10k x k k 0 Ta có hệ số số hạng tổng quát sau khai triển nhị thức ( x 1)10 ak  C10k Suy ak 1  C10k 1, k  1;2;3;;10 Trang  ak  ak 1 Giả sử ak hệ số lớn hệ số a0 , a1,, a10 Khi ta có   ak  ak 1 C k  C k 1 11   10k 1 10k   k   k  2 C10  C10 Từ ta có hệ số lớn khai triển nhị thức a5  C105  252 ► Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm hệ số lớn khai triển đa thức P( x)  (2x  1)13  a0 x13  a1x12  a13 Hướng dẫn giải Ta có hệ số số hạng tổng quát sau khai triển nhị thức (2x  1)13 ak  C13k  213k với k  1; 2;3;;13 Giả sử ak hệ số lớn hệ số a0 , a1,, a13    11 k k 13 k k 1 12  k a  a  C13   C13   k k 1 Khi ta có    k 1 14k  k 4 k 13 k  C13  ak  ak 1 C13  k  14    Từ ta có hệ số Có giá trị lớn khai triển nhị thức a4  C134  29  366080 Ví dụ Cho khai triển biểu thức (  2)9 Tìm số hạng ngun có giá trị lớn Hướng dẫn giải Số hạng tổng quát khai triển Tk  C9k ( 3)9k ( 2)k Vì bậc thức hai số nguyên tố nên để Tk số nguyên k  0  k   k   T3  C93 ( 3)6 ( 2)3  4536     9  k   T9  C9 ( 3) ( 2)  (9  k ) k Dễ thấy 4536  nên khai triển số hạng nguyên có giá trị lớn T3  4536 ► Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Hệ số x5 khai triển P( x)  ( x 1)6  ( x 1)7  ( x 1)12 A 1715 B 1711 C 1287 D 1716   Câu 2: Trong khai triển  x   , hệ số x với x  x  A 60 B 80 C 160 Câu 3: Hệ số x khai triển   2x  15 A C157 3827 B C157 37 28 D 240 C C157 3827 D C157 37 28 Câu 4: Hệ số x triển khai thành đa thức (2x  3)8 A C85  25  33 B C83  25  33 C C83  23  35 D C85  22  36 Câu 5: Trong khai triển biểu thức ( x  y)20 hệ số số hạng chứa x12 y8 A 77520 B 125970 C 125970 D 77520 Trang Câu 6: Hệ số x khai triển x(1  2x)5  x2 (1  3x)10 A 61204 B 3160 C 3320 D 61268 Câu 7: Hệ số số hạng chứa x khai triển P( x)   3x  x  1 10 A 1695 B 1485 C 405 D 360 Câu 8: Khai triển (  7) Có số hạng hữu tỉ khai triển trên? A 30 B 31 C 32 D 33 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1-A 2-A 3-C 4-B 5-C 6-C 7-A 8-C 124 Câu Xét khai triển ( x  1)6 thấy số hạng chứa xo có hệ số C61 Tương tự khai triển cịn lại ta có hệ số x C72 , C83 ,, C127 Do hệ số cần tìm C61  C72  C127  1715 Câu k Số hạng tổng quát khai triển: Tk 1  C x k 6 k 6 k   k k   C x   x Số hạng chứa x ứng với  k   k  2 Vậy hệ số x C62 22  60 Câu Công thức số hạng tổng quát khai triển nhị thức Niu-tơn (3  2x)15 Tk 1  C15k 315k.(2x)k  (1)k C15k 315k 2k xk Để số hạng chứa x k  Vậy hệ số số hạng chứa x C157 3827 Câu Ta có khai triển (2 x  3)8   C8k 28k.x8k (3)k k 0 Số hạng chứa x ứng với  k   k  Hệ số cần tìm C83.283.(3)3  C83.25.33 Câu 20 k 20 k k Ta có khai triển ( x  y)20   C20 x y (1)k k 0 20  k  12  k  Ứng với số hạng chứa x12 y8  k  8 Vậy hệ số số hạng chứa x12 y8 (1)8 C20  125970 Câu Hệ số x khai triển x(1  2x)5 (2)4 C54 Hệ số x khai triển x2 (1  3x)10 33.C103 Vậy hệ số x khai triển x(1  2x)5  x2 (1  3x)10 (2)4 C54  33.C103  3320 Trang Câu Với  q  p  10 số hạng tổng quát khai triển P( x)   3x  x  1 10 Tp  C10 C pq  3x  10  p x p  q 1q  C10p C pq 310 p.x p q  20 p Theo đề ta có p  q  20  p   p  q  16 Do  q  p  10 nên ( p; q) {(8;8);(9;7);(10;6)} Vậy hệ số x khai triển P( x)   3x  x  1 10 10 C108 C88 3108  C109 C97 3109  C10 C106 31010  1695 Câu Ta có (  7) 124 124 124  k   C (1) k 0 k 124 k k 124  k   Số hạng hữu tỉ khai triển tương ứng với  k   124    32 Vậy số giá trị k  k  {0; 4;8;12;;124} Dạng Xác định điều kiện số hạng thỏa mãn yêu cầu cho trước ► Phương pháp giải - Xác định số hạng tổng quát khai triển Tk 1  Cnk ank bk (số hạng thứ k  ) - Kết hợp với yêu cầu toán, ta thiết lập phương trình biến k - Giải phương trình để tìm kết ► Ví dụ mẫu 12 1  Ví dụ Cho x số thực dương Khai triển Niu-tơn biểu thức  x   x  hạng chứa x m 495 Tìm tất giá trị m Hướng dẫn giải Số hạng thứ k  khai triển ta có hệ số số k 1 C  x      C12k  x 242 k  x  k  C12k x 243k  x k  12!  495   Hệ số số hạng x m 495 nên C12k  495  k !(12  k )! k  Khi m  24 – 3k có giá trị m  m  12 k 12 12  k Ví dụ Tìm số nguyên dương bé n cho khai triển 1  x  có hai hệ số liên tiếp có tỉ số n 15 Hướng dẫn giải Ta có: (1  x)n  Cn0  Cn1 x  Cnk xk  Cnk 1xk 1  Cnn xn Cnk n! (k  1)!(n  k  1)! k 1       k 1 Cn 15 k !(n  k )! n! 15 n  k 15 Trang  15(k  1)  7(n  k )  7n  15  22k  7n  7(3k  2)  k  Vì k ; n  nên ta có k 1  kmin   nmin  21 k 1:  kmin   nmin  21 ► Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Tìm tất số a cho khai triển (1 ax)(1 x)4 có chứa số hạng 22x3 A a  B a  3 C a  D a  n 1  Câu 2: Biết hệ số x n  khai triển  x   31 Tìm n 4  A n  32 B n  30 C n  31 Câu 3: Xét khai triển (1  3x)  a0  a1x  a2 x  an x với n  n A 1053 B 243 n C 324 * D n  33 , n  Giả sử a1  27 , a2 D 351 n 1  Câu 4: Số hạng không chứa x khai triển  x   biết An2  Cn2  105 x  A 3003 B 5005 C 5005 D 3003 2 Câu 5: Cho n số nguyên dương thỏa mãn An  Cn  Cn  4n  Hệ số số hạng chứa x khai n 3  triểnbiểu thức P( x)   x   , x  x  A 18564 B 64152 C 192456 D 194265 n1 Câu 6: Cho n số dương thỏa mãn 5Cn  Cn Số hạng chứa x khai triển nhị thức Niu-tơn n  nx  P   với x   14 x  35 16 A  B  16 35 C  35 x 16 D  16 x 35 n   Câu 7: Số hạng không chứa x khai triển  x x   với x  biết Cn2  Cn1  44 x   A 165 B 238 C 485 D 525 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1-C 2-A 3-C 4-D 5-C 6-C 7-A Câu Ta có (1  ax)(1  x)4  (1  x)4  ax.(1  x)4 Xét khai triển ( x 1)4  x4  4x3  6x2  4x 1 Suy số hạng chứa x x Xét khai triển ax( x  1)4  ax  x  x3  x  x  1  ax5  4ax  6ax3  4ax  ax Suy số hạng chứa x 6ax3 Suy số hạng chứa x khai triển (6a  4) x3 Theo đề ra, ta có đa 6a   22  a  Câu Trang n k n 1   1 Áp dụng cơng thức nhị thức Niu-tơn, ta có  x     Cnk x n k     k 0   4 Hệ số x n  nên ta có x n2  x nk  k  2  1 Ta có Cn2     31  Cn2  496  n  32  4 Vậy n  32 Câu n! n! Ta có: An2  Cn2  105    105 (n  2)! 2!(n  2)! Theo giả thiết a1  27  Cn1 31  27  Cn1   n  Suy a2  C92 32  324 Câu Ta có: An2  Cn2  105   n! n!   105 (n  2)! 2!(n  2)!  n  15 n(n  1)  105  n2  n  210     n  15  n  14 Suy số hạng tổng quát khai triển Tk 1  C  x k 15  15 k k  1     C15k (1)k x303k  x Số hạng không chứa x ứng với 30  3k   k  10 10 Vậy hệ số số hạng không chứa x khai triển C15 (1)10  3003 Câu Với n  2, ta có: An2  Cn2  Cn1  4n   n(n  1)  n(n  1)  n  4n   n  1  n2  11n  12     n  12  n  12 với n  12 ta có khai triển: P( x)   C  x 12 k 0 k 12  12  k k 12 3     C12k 3k x 24 3k  x  k 0 Số hạng chứa xo ứng với 24  3k   k  5 Vậy hệ số cần tìm C12  192456 Câu Điều kiện: n  , n  5.n! n!    1!.(n  1)! 3!.(n  3)! (n  3)!(n  2)(n 1) 6.(n  3)! n   n2  3n  28     n   n  4 Ta có 5Cnn1  Cn3   x2  Với n  , ta có P      x Số hạng thứ k  khai triển Tk 1  (1)k k 143k C7 x 27k Trang Số hạng chứa x ứng với 14  3k   k  (1)3 35 Vậy số hạng chứa x khai triển C7 x   x5 16 Câu  n  11 n(n  1)  n  44    n  11 Với n  ta có: Cn2  Cn1  44   n  8 3311k 11 11   k 11 k   k Với n  11 ta có khai trên:  x x     C11 ( x x )     C11.x x    x  k 0 k 0 33  11k   k  Số hạng không chứa x ứng với Vậy số hạng không chứa x khai triển cho C113  165 11 k Dạng Tính tổng dựa vào nhị thức Niu-tơn ► Phương pháp giải Các dạng khai triển nhị thức Niu-tơn thường gặp: ( x 1)n  Cn0 xn  Cn1 xn1  Cn2 xn2  Cnk xnk  Cnn1x  Cnn (1  x)n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x2  Cnk xk  Cnn1xn1  Cnn xn ( x 1)n  Cn0 xn  Cn1 xn1  Cn2 xn2  (1)k Cnk xnk  Cnn1x(1)n1  Cnn (1)n n 2n  (1  1)n   Cnk  Cn0  Cn1   Cnn1  Cnn k 0 n  (1  1)n   Cnk (1)k  Cn0  Cn1  Cn2  (1)n Cnn k 0 Một số kết thường sử dụng: Cnk  Cnnk ; Cnk  Cnk 1  Cnk11, n  1; kCnk  nCnk11; 1 Cnk  Cnk11 ; k 1 n 1 (k 1)kCnk  (n 1)nCnk11 k 2Cnk  (n 1)nCnk22  nCnk11 ; Cn0  Cn1  Cnn  2n n n  C22nk   C22nn1  k 0 k 0 2n k  C2n ; k 0 n  (1) C k k 0 n C a k 0 k n k k n 0  (1  a)n ► Ví dụ mẫu 2020 Ví dụ Tính tổng S  C2020  C2020  C2020  C2020 Hướng dẫn giải Xét khai triển (1  x)n  Cn0  x  Cn1  x2  Cn2  xn  Cnn 2020 Thay x  1; n  2020 vào * ta được: 22020  C2020  C2020  C2020  C2020 2020 Thay x  1; n  2020 vào * ta được:  C2020  C2020  C2020  C2020 1  2 Cộng theo vế 1  2 ta được: 2S  22020  S  22019 Ví dụ Cho khai triển nhị thức Niu-tơn (2  3x)2n biết n số nguyên dương thỏa mãn C21n1  C23n1  C25n1  C22nn11  1024 Tìm hệ số x khai triển Trang 10 Hướng dẫn giải Ta có khai triển: (1  x)2n1  C20n1  C21n1x  C22n1x2  C22nn11x2n1 Thay x  vào * ta được: 22n1  C20n1  C21n1  C22n1  C22nn11 Thay x  1 vào * ta được:  C20n1  C21n1  C22n1  C22nn11  * 1  2 Trừ vế theo vế 1 cho  2 , ta được: C21n1  C23n1  C25n1  C22nn11  22n Từ giả thiết ta có: 1024  22 n  n  10 Suy (2  3x)10   C10k  (3)k  210k  x k k 0 Hệ số xỉ khai triển C107  (3)7  23  8.37  C107 ► Bài tập tự luyện dạng 2007 Câu 1: Đặt S  C2017 Khi giá trị S  C2017  C2017 A 22018 B 22017 C 22017  10 Câu 2: Tính tổng S  C100   C10  22  C102  210  C10 D 22016 A S  210 B S  410 10 15 Câu 3: Cho S  C158  C159  C15 Tính S  C15 D S  311 C S  310 A S  215 B S  214 C S  213 Câu 4: Cho A  Cn0  5Cn1  52 Cn2  5n Cnn Khi A A  7n B  5n Câu 5: Cho khai triển: 1  x  x  1009 C A  6n D A  4n  a0  a1 x  a2 x  a2018 x 2018 Khi A 31009 B 31008 C 32018 1 2017 Câu 6: Giá trị tổng S  C2017  C2017  C2017  C2017 2018 22017  A 2017 D S  212 22018  B 2018 22018  C 2017 a0  a1  a2  a2018 D 32016 22017  D 2018 Câu 7: Cho n số nguyên dương thỏa mãn 3n Cn0  3n1Cn1  3n2 Cn2  (1)n Cnn  2048 Hệ số x10 khai triển  x   A 11264 B 22 C 220 D 24 80 80 Câu 8: Cho khai triển ( x  2)  a0  a1x  a2 x  a80 x Tổng S  1 a1   a2  3 a3  80  a80 có giá trị A 70 B 80 Câu 9: Hệ số số hạng chứa x C 70 26 D 80   khai triển nhị thức Niu-tơn   x  x  C21n1  C22n1  C2nn1  220 1 A 210 B 213 C 414 2008 Câu 10: Đặt S  C2018  C2018  C2018  C2018  C2018 Khi đó: A S  B S  22018  C S  1 D 213 D S  22018  Trang 11 n biết HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1-C 2-C 3-B 4-C 5-A 6-B 7-B 8-D 9-A 10-A Câu 1 k 2017 2017 Ta Có khai triển (1  x)2017  C2017  C2017 x  C2017 x2  C2017 xk  C2017 x k 20177 Thay x  ta 22017  C2017  C2017  C2017  C2017  C2017 Suy 22017   S  S  22017  Ghi chú: Trong trắc nghiệm ta khai triển (1  1)2017 k 2017 22017  C2017  C2017  C2017  C2017  C2017 Suy S  22017  Câu 10 Xét khai triển nhị thức ( x  2)10   C10k x10k 2k  C100 x10  2C10 x  22 C102 x8  210 C1010 k 0 10 Cho x  ,ta 310  (1  2)10  C100  2C10  22 C102 x8  210 C10 Câu Sử dụng đẳng thức Cnk  Cnnk ta được: 10 15 S  C158  C159  C15  C15  C157  C156  C155  C150  2S   C158  C159  C1510  C1515    C157  C156  C155  C150    C15k  215 15 k 0 S 2 14 10 15 Vậy S   C158  C159  C15  C15   214 Câu Xét khai triển (a  b)n  Cn0 a0 bn  Cn1.a1.bn1  Cnn an b0 Với a  5, b  ta có: (5 1)n  Cn0 50.1n  Cn1.51 1n1  Cnn  5n 10  Cn0  5Cn1  5n Cnn  A, hay A  6n Câu Xét khai triển 1  x  x  1009  a0  a1 x  a2 x  a2018 x 2018 1 Thay x  vào (1) ta được: a0  a1  a2018  (1   1)1009  31009 Câu k C2017 , ta có: k 1 1 2017! 2018! k k 1 k 1 C2017  C2018      C2018  k 1 2018  k k !(2017  k )! 2018 (k  1)!(2017  k )! 2018 Xét số hạng tổng quát k C2017 k 1 S  C0 1 2018 22018 1 2016 C2018   2018   C2018  C2018  C2018   2018 2018 2018 2018 2018 Trang 12 Câu Ta có (3 1)n  3n Cn0  3n1Cn1  3n2 Cn2  (1)n Cnn  2n  2048  2n  211  n  11 11 Xét khai triển ( x  2)11   C11k x11k 2k k 0 Tìm hệ số x tương ứng với tìm k  (k  11) thỏa mãn 11  k  10  k  Vậy hệ số x khai triển ( x  2)11 C11  22 10 10 Câu Xét khai triển: ( x  2)80  a0  a1 x  a2 x2  a80 x80 1 Lấy đạo hàm theo biến x hai vế (1) ta được: 80( x  2)79  a1  2a2 x  3a3 x2  80a80 x79  2 Thay x  vào (2) ta được: S  80(1  2)79  80 Câu Do C2kn1  C22nn11k k  0,1, 2,, 2n  nên C20n1  C21n1  C2nn1  C2nn11  C2nn21  C22nn11 Mặt khác: C21n1  C22n1  C22nn11  22n1 Suy  C20n1  C21n1  C22n1  C2nn1   22 n1  C21n1  C22n1  C2nn1  22 n  C20n1  22 n   22 n   220   n  10 10 10 10 10 10  k   Khi đó:   x    x 4  x    C10k  x 4  x k   C10k x11k 40 x  k 0 k 0 Hệ số chứa x 26 ứng với giá trị ki k.11k  40  26  k  Vậy hệ số chứa x 26 C106  210 Câu 10 Xét khai triển (1  x)n  Cn0  x.Cn1  x2 Cn2  xn Cnn * 20018 Thay x  1; n  2018 vào * ta được:  C2018  C2018  C2018  C2018 Vậy S  Trang 13 ... C2 020 20 20 Thay x  1; n  20 20 vào * ta được:  C2 020  C2 020  C2 020  C2 020 1  2? ?? Cộng theo vế 1  2? ?? ta được: 2S  22 020  S  22 019 Ví dụ Cho khai triển nhị thức Niu- tơn (2  3x)2n... C2 020  C2 020  C2 020  C2 020 Hướng dẫn giải Xét khai triển (1  x)n  Cn0  x  Cn1  x2  Cn2  xn  Cnn 20 20 Thay x  1; n  20 20 vào * ta được: 22 020  C2 020  C2 020  C2 020  C2 020 ... 31008 C 320 18 1 20 17 Câu 6: Giá trị tổng S  C2017  C2017  C2017  C2017 20 18 22 017  A 20 17 D S  21 2 22 018  B 20 18 22 018  C 20 17 a0  a1  a2  a2018 D 320 16 22 017  D 20 18 Câu