Đang tải... (xem toàn văn)
Lý thuyết chia hết và chia có dư
1 Hà Văn TùngCÁC BÀI TẬPI. QUAN HỆ CHIA HẾT:1. BÀI 1:Chứng minh rằng trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 2.GiảiGọi hai số tự nhiên liên tiếp là : a, a +1Lấy a chia cho 2 ta được: a = 2.q + r với 0 ≤ r < 2.+ Với r = 0 thì a = 2.q 2+ Với r = 1 thì a + 1 = 2.q + 1 + 1 = 2.q + 2 = 2( q + 1) 2Vậy trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 2.2. BÀI 2:Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3.GiảiGọi ba số tự nhiên liên tiếp là : a, a +1 , a +2Lấy a chia cho 3 ta được: a = 2.q + r với 0 ≤ r < 3.+ Với r = 0 thì a = 3.q 3+ Với r = 1 thì a = 3.q + 1 . Khi đó : a + 2 = 3.q + 3 3+ Với r = 2 thì a = 3.q + 2 . Khi đó a + 1 = 3.q + 3 3Vậy trong ba số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3.3. BÀI 3:Chứng minh rằng trong n số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho n.GiảiGọi n số tự nhiên liên tiếp là : a, a +1 , a +2 …a( n-1)Lấy a chia cho n ta được: a = n.q + r với 0 ≤ r < n.+ Với r = 0 thì a = n.q n+ Với r = 1 thì a = n.q + 1 n . Khi đó : a+ (n-1) = n.q + 1 + (n-1) = n.q + n n+ Với r = 2 thì a = n.q + 2 n. Khi đó a + (n-2) = n.q + 2 + (n+-2) = n.q + n n+ Với r = n-1 thì a = n.q + n - 1 n . Khi đó a + 1 = n.q + n-1 +1= n.q + n nVậy trong n số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho n.*Một số phương pháp chứng minh chia hết4. BÀI 4Tính chất 8:CMR tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6GiảiGiả sử ta gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a+1, a + 2Theo đề bài : A = a( a +1) ( a + 2) 6Ta có : 6 = 3x2 mà ( 3, 2) =1- A 2 vì trong A số tự nhiên liên tiếp có một số tự nhiên chia hết cho 2- A 3 vì trong A số tự nhiên liên tiếp có một số tự nhiên chia hết cho 3Vậy A 65. BÀI 5CMR tích của ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 8GiảiGiả sử hai số tự nhiên chẵn liên tiếp là: 2k , 2k + 2. 2 Hà Văn TùngTheo đề bài chứng minh, B = 2k.( 2k + 2) 8 hay B = 4k ( k + 1)Ta có 4 4 và k+1 2 vì trong B có một số chia hết cho 2Vậy B 86. BÀI 6 VD : CMR: 11 a + a 6 ∀ a ∈ NGiải Ta có: 11 a + a = 12 a - a + a = 12 a - ( a - a) = 12 a - a( a - 1) = 12 a - a ( a- 1) ( a+ 1) 12 a 6A = a ( a -1 ) ( a + 1)Nếu a = 0 → A = a( a-1)(a+1) = 0 6Nếu a > 0 → A = a (a-1)( a+1) 6 vì trong A có một số tự nhiên chia hết cho 6 Vậy : 11 a + a 6 Bài 7 Dùng quy nạp CMR tổng các lũy thừa bậc ba của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9.Giải Tổng các lũy thừa bậc 3 của 3 số tự nhiên liên tiếp có dạng: (n-1) + n + (n+1) 9 Ta có : (n-1) + n + (n+1) = n - 3n +3n-1+ n + n +3n +3n +1 = 3n + 6n 9 Giả sử: n = 1, ta có: 3.1 +6.1 = 9 9 Giả sử n = k , ta có: 3k +6.k 9 Ta chứng minh: n = k+1 , ta có: 3(k+1)+6(k+1) = 3(k +3k +3k+1)+6k+6 = 3k +9k +9k+3+6k+6 = 3k +6k + 9k +9k+9Mà 3k +6k 9 và 9k +9k+9 9Vậy: 3n + 6n 9Theo nguyên lý quy nạp thì (n-1) + n + (n+1) 9 Bài 8: : CMR ∀ a ∈ N ta có : a( a+1) ( 2a + 1) 6 Giải a(a+1)( 2a+ 1) 6 Ta có: a(a+1)( 2a+ 1) = a(a+1)( a -1 + a+ 2) = a(a+1)(a-1) + a(a+1)( a+2)Nếu a = 0 thì a(a+1)(2a+1) = 0 6Nếu a > 0 thì a( a+1) (a-1) 6 vì tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 a( a+1)( a+2) 6 vì tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6Do đó : a(a+1( 2a+1) 6 ∀ a ∈ N Bài 9 CMR ∀ a ∈ N ta có :a - a 30Giải 3 Hà Văn Tùng Ta có: a ≡ a (mod 5) a -a ≡ a - a (mod 5) a - a ≡ 0 (mod 5)Vậy a - a 30 Cách 2: a - a = a( a -1) = a[ (a) - 1 ] = a(a -1)(a +1) = a(a-1)(a+1)(a -4+5) = a(a-1)(a+1)[ ( a -2)(a+2)+5] = a(a- 1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1) Nếu a=0 thì a - a = 0 30Nếu a>0 thì a(a- 1)(a+1)(a-2)(a+2) 30 vì tích năm số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 30, ( 5,6)=1 Và : 5a(a-1)(a+1) 30 vì tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6Vậy a - a 30 Bài 10 CMR ∀ a ∈ N ta có :2a ( a - 16) 30Giải Ta có: 2a ( a - 16) = 2a( a+4)(a -4) = 2a( 5+ a -1)( a-2)(a+2) = 2a[5+(a-1)(a+1)](a-2)(a+2) = 10a (a-2)(a+2) + 2a(a-2)(a+2)(a-1)(a+1)Nếu a=0 thì 2a( 5+ a -1)( a-2)(a+2) 30 Nếu a>0 thì 10a (a-2)(a+2) 30 vì tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 30 2a(a-2)(a+2)(a-1)(a+1) 30 vì tích năm số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6.Vậy : 2a ( a - 16) 30Bài 11: Chứng minh rằng: a(a+2) 8 , với a là số chẵn , a ∈ NGiảiVì a chẵn nên a = 2k ; k ∈ NTa có: a(a+2) = 2k(2k+2) = 4k(k+1)+ Nếu k chẵn ⇒ 4k 8+ Nếu k lẻ ⇒ k+1 là số chẵn + Nếu k lẻ ⇒ 4k(k+1) 8Vậy a(a+2) 8 , với a là số chẵn , a ∈ N Bài 12 CMR: n +11n 3 ∀n Giải Ta có: n (n -1 +12) = n(n -1) + 12n = n(n -1)(n+1) +12n 3 Vì n(n-1)(n+1) là tích ba số tụe nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3.Vậy: n +11n 3 ∀n. 4 Hà Văn Tùng Bài 13: CMR : với bất kỳ n ta có : n - n 3 Giải Ta có : n(n -1) = n(n-1)(n+1) 3 ( vì tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3) Vậy: n - n 3 ∀ n. Bài 14 CMR : [ (a +a)(2a+1)] 6 ∀ a ∈ NGiải Ta có: (a +a)(2a+1) = a(a+1)[ (a-1)+(a+2)] = [ a(a+1)(a-1)+a(a+1)(a+2)] 6Vì a(a+1)(a-1) và a(a+1)(a+2) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6.Vậy: [ (a +a)(2a+1)] 6 ∀ a ∈ N. Bài 15 CMR: [ a(a -2)+13a] 6 ∀ a ∈ N. Giải Ta có: a(a -2)+13a = a(a - 1- 1)+13a = a(a -1) - a+13a = a(a -)(a+1) +12a Vì a(a -)(a+1) +12a là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6.Vậy: [ a(a -2)+13a] 6 ∀ a ∈ N.Bài 16 CMR : [ m(m +5) 6 ∀ m∈ NGiải Ta có: m(m +5) = m( m - 1+6) = m(m-1)(m+1) +6m Vì m(m-1)(m+1) +6m là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6.Vậy: [ m(m +5) 6 ∀ m∈ N Bài 17 CMR: ( a +b ) 6 ⇔ (a+b) 6 với a,b ∈ N và a,b ≥ 1.Giải Xét (a +b )-(a+b) = a +b - a-b = a - a + b - b = a( a - 1) + b (b -1) = a(a-1)(a+1) + b(b-1)(b+1) Vì a(a+1)(a-1) và b(b+1)(b-1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6. Vậy: ( a +b ) 6 ⇔ (a+b) 6 với a,b ∈ N và a,b ≥ 1.*DÙNG QUY TẮC KÉO THEO:VD : CMR trong ba số tự nhiên bất kỳ có hiệu hai số chia hết cho 2GiảiGiả sử có ba số tự nhiên bất kỳ là: a,b,c Lấy a,b,c chia cho 2 ta được : a = 2.q + r với 0 ≤ r < 2 b = 2.q + r với 0 ≤ r < 2 c = 2.q + r với 0 ≤ r < 2 Ta nhận thấy : r , r , r đều nhận hai giá trị là 0 và1. Theo nguyên tắc ngăn kéo thì số có 2 số nhận cùng một giá trị . Giả sử r = r = 1 . Khi đó : a - b = 2.q - 2.q 2 (đpcm) . VD : CMR trong bốn số tự nhiên bất kỳ có hiệu hai số chia hết cho 3 (Tự giải) 5 Hà Văn Tùng VD : CMR trong n+1 số tự nhiên bất kỳ có hiệu hai số cia hết cho n.Giải Giả sử n+1 số tự nhiên bất kỳ là: a , a , a … a . Lấy a , a , a … a chia cho n ta được: a = n.q + r với 0≤ r < n a = n.q + r với 0≤ r < n . . a = n. q + r với 0 ≤ r <n Ta nhận thấy r , r ….r nhận n giá trị { 0,1…n+1} theo nguyên tắc kéo theo thì số có hai số nhận cùng giá trị. Giả sử r = r = n-3. Khi đó : a - a = n.q - n.q n (đpcm) * DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC : a - b a-b ; a + b a+b với n lẻ------------------------------------------------II. ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT1. BÀI 1( Tính chất 5)Dùng thuật toán Ơclit tìm ( 895, 195) Giải Ta có: 895 = 195. 4 + 115195 = 115. 1 + 80115 = 80. 1 + 3580 = 35. 2 + 1035 = 10. 3 + 510 = 5.2 + 0Vậy ( 895, 195) = 52. BÀI 2Tìm tất cả các cặp số tự nhiên a, b thõa mãn điều kiện sau:a + b = 432 và ( a, b) = 36giải-Vì vai trò của a và b như nhau nên ta giả sử a ≥ b.- Vì ( a, b) = 36 . Theo tính chất 5. Ta có: = 1 Đặt a = và b = . Khi đó (a ,b) = 1 (1) a ≥ b (2) a + b = + = (a+b) = =12 (3)Từ (1), (2) và (3) ta chọn: ⇒ và ⇒ 252180ab== 6 Hà Văn TùngVậy có các cặp ( 346,36) và (252,180) thõa mãn điều kiện đề bàiBÀI 3Tìm tất cả các cặp số tự nhiên a, b thõa mãn điều kiện sau:a x b = 2700 và (a, b) = 6giải-Vì vai trò của a và b như nhau nên ta giả sử a ≥ b.- Vì ( a, b) = 6 . Theo tính chất 5. Ta có: = 1 Đặt a = và b = . Khi đó ( a ,b ) = 1 (1) a ≥ b (2) a x b = x = a x b = = 75 ( 3)Từ (1), (2) và (3) ta chọn: ⇒ và ⇒ Vậy có các cặp ( 450, 6) và (90, 30) thõa mãn điều kiện đề bài.CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN VỀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤTÁp dụng tính chất 5:Bài 1 : Tìm các cặp số tự nhiên a, b thõa mãn điều kiện sau: a x b = 360 , [a,b] = 60GiảiVì vai trò của a ,b như nhau , ta giả sử a ≥ b Vì [a,b]= 60 . Theo tính chất 5 ⇒ = 1 Đặt a = , b = . Khi đó : ( a, ) = 1 (1) a ≤ b (2) a x b = x = = 10 ( 3)Từ (1) , (2). Ta chọn: ⇒ và ⇒ Vậy có các cặp (60; 10) và (30 ; 12)Bài 2: Tìm các cặp số tự nhiên a, b thõa mãn điều kiện sau: ( a,b) = 15 và [a,b] = 2835 Giải 7 Hà Văn TùngVì vai trò của a ,b như nhau , ta giả sử a ≤ b Vì (a,b) = 15 . Theo tính chất 5 ⇒ = 1 Đặt a = , b = . Khi đó : ( a , ) = 1 (1) a ≤ b (2) a x b = x = [a.b] = = 189 ( 3)Từ (1) , (2) và (3) Ta chọn: ⇒ và ⇒ Vậy có các cặp (15; 2835) và (105 ; 405)Bài 3: Cho n ∈ N , n ≠ 0 , n ≠ 1 Tính : a/ ( n, n+1) , [n, n+1] b/ ( n, 2n + 1) ,[ n, 2n +1],Giảia/ Ta có: n+1 = n.1+1 ( n, n+1) = (n,1) = 1Khi đó: [ n, n+1 ] = n(n+1)b/ Ta có : 2n +1 = n.2 +1 (n, 2n+1) = ( n,n) = 1 [ n, 2n+1] = n( 2n+1)Bài 4Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 2 để khi chia số đó cho 3, 5,7,10 đều có số dư là 2.GiảiGiả sử số tự nhiên cần tìm là : a , theo đề bài ta có:a - 2 3 , a - 2 5, a - 2 7, a - 2 10hay a - 2 = [ 3, 5,7,10]k ( k ∈ N)a - 2 = 210. kvì a nhỏ nhất khác 2 nên k = 1 hay a - 2 = 210.1 = 210 + 2 = 212Bài 5 : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng chia số đó cho 3 dư 2, chia 5 dư 4 , 7 dư 6, chia 10 dư 9.GiảiGiả sử số tự nhiên nhỏ nhất là : a, theo đề bài ta có: a + 1 3; a + 1 5 ; a + 1 7; a + 1 10hay a +1 = [ 3, 5,7,10]k ( k ∈ N)a +1 = 210. kvì a nhỏ nhất khác 2 nên k = 1 hay a +1 = 210.1 = 210 - 1 = 209.Bài 6Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 84 và UCLN của chúng là 6. 8 Hà Văn TùngGiảiGọi 2 số phải tìm là : a, b ( b>a)Theo đè bài ta có: a + b = 84 và UCLN(a,b) = 6Suy ra: a=6.k, b= 6.l (k,l ∈ N) và UCLN(k,l)=1 ⇒ a+b=6.k+6.l=6(k+l) = 84 ⇒ (k+l)= 14.Do đó: k a b1 13 6 753 11 18 665 9 30 54Vậy có các cặp số (6,78), (18, 66), (30,54).* MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH BẬC NHẤT HAI ẨN: VD : Trăm trâu trăm cỏTrâu đứng ăn nămTrâu nằm ăn baLụ khụ trâu giàBa con một bóHỏi bao nhiêu trâu đứng, trâu nằm , trâu già?GiảiGọi x là số trâu đứng x > 0Gọi y là số trâu nằm y >0Trâu già là: 100 - ( x+y) Theo đề bài ta có phương trình:5x + 3y + = 10014x + 8y = 2007x + 4y = 100 (1)Phương trình (1) có một nghiệm riêng ( 0; 25) nên nghiệm của (1) là: t ∈ Z vì x>0, y>0 nên 0< A ≤ 3 VD : 32x - 48y = 112 (1) 3x = 112+ 48y x = = y + 3 + Đặt = t ⇒ 16y +16 = 32t ⇒ y = = 2t -1.Vậy (1) có nghiệm là: A Trâu đứng Trâu nằm Trâu già1 4 18 782 8 11 813 12 4 84 9 Hà Văn Tùng t ∈ ZCÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐBài 1Tìm số các ước của một số tự nhiên, chẳng hạn: 30 , 1960Giải30 = 2.3.5 Ta có công thức chung tìm là: F(a)= (x + 1)(x + 1)…… (x +1) Cụ thể: F(30)= (1+1)(1+1)(1+1)= 2 = 8 → có 8 ước 1960 = 2 .5.7 . Ta có: F(1960)= (3+1)(1+1)(2+1)= 4.2.3= 24 → có 24 ướcBài 2 Tìm UCLN và BCNN của hai số VD: ( 62,35) , [62,35]Giải62= 2.31 = 2. 5 . 7 .3135= 5.7 = 2 . 5. 7. 31(62,35)= 2 . 5 .7 . 31 =1[62,35] = 2 . 5 . 7 . 31 = 62.35 = 2170.CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ THỐNG GHI SỐ VD : 3975 Ta có: 3975= 8.496 + 7 496= 8. 96 + 0 62= 8.7 +6 7 = 8. 0+7 Vậy : (3975) = (7607) (7607) = 7. 8 .6. 8 . 0.8. 7. 8 = 3975. VD : (3456) sang hệ cơ số 8 Ta có: (3456) = 3. 7 .4.7 .5.7.6.7 = 1029+ 196+35+6= 1266(1266) = 8.158 +2158= 8.19+619= 8.2+32= 8.0+2 Vậy: (3456) = (2362) .CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG DƯ THỨC VD : Hãy chứng minh đồng dư theo mod m là quan hệ tương đương trong tập số nguyênGiải- Tính phản xạ: ∀a ∈ Z, ta có: a ≡ a (mod m)Thật vậy: vì a-a=0 m hay a ≡ a (mod m)- Tính đối xứng:∀a, b ∈ Z, nếu a ≡ b(mod m), ta cần chứng minh b ≡ a (mod m) 10 Hà Văn TùngThật vậy: vì a ≡ b(mod m) ⇒ a-b m ⇒ b-a m ( vì a,b ∈ Z)Hay b ≡ a (mod m).- Tính bắc cầu:∀a, b, c ∈ Z nếu a ≡ b(mod m) và b ≡ c(mod m) ta cần chứng minh a ≡ c (mod m)Thậy vậy: vì a ≡ b(mod m) ⇒ a-b m (1) Vì b ≡ c(mod m) ⇒ b-c m (2)Lấy (1) cộng (2) ta được: a- b+b-c m hay a-c m Do đó : a ≡ c (mod m)Vậy có quan hệ tương đương. VD : Tìm số dư trong phép chia có dư : 2945 -3 chia cho 9.GiảiTa có : 2945 = 9. 327+ 2Nên 2945= 2 (mod 9) Do đó : (2945 ) - 3 ≡ 2 - 3 (mod 9) (1) Mà 2 -3 = 29= 9.3+2 Hay 2 - 3 ≡ 2 (mod 9) (2) Khi đó 2945 -3 ≡ 2 (mod 9) Vậy số dư trong phép chia 2945 -3 chia 9 là 2 . VD Tìm số dư trong phép chia có dư : 1532 - 1 chia cho 9. VD : ( 1997 + 1998 + 1999 ) chia cho 111GiảiTa có: 1997= 111.18+(-1) hay 1997 ≡ -1 (mod 111)1998= 111. 18 +0 hay 1998 ≡ 0 (mod 111)1999 = 111. 18+ 1 hay 1999 ≡ 1(mod 111) Khi đó: ( 1997 + 1998 + 1999 ) = (mod 111) Hay ( 1997 + 1998 + 1999 ) = 2 (mod 111) Mà 2 = 1024 = 111.9 +25Nên ( 1997 + 1998 + 1999 ) = 25 (mod 111) Vậy số dư là 25. VD Chứng minh rằng: 3 - 3 chia hết cho 13Giải Ta có : 3 = 27 = 13.3 +1 hay 3 ≡ 1 (mod 13) Mà 3 = 3 = 3. 3 ≡ 3 (mod 13) vì 3. 3 ≡ 3 (mod 13) Suy ra : 3 - 3 ≡ 3-3 (mod 13) hay 3 -3 ≡ 0 (mod 13)Vậy 3 - 3 chia hết cho 13.CÁC BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG VD : R = { (a,b) ∈ NxN / a có cùng chữ số hàng đơn vị với b} ⊆ N Giải [...]... chia 3 dư 2 , chia 2 dư 1. Tìm dư trong phép chia n cho 6. Giải C : Theo định lý phép chia có dư, ta có : n = 6.q + r ( 0 ≤ r< 6) Để n chia 2 dư 1 thì r phải chia 2 dư 1 (1) Để n chia 3 dư 2thì phải chia 3 dư 2 (2) Các giá trị của r thì chỉ có r = 5 thõa mãn (1), (2) C : Theo đề bài ta có: ( n+1) 3 và ( n+1) 2 Mà (3,2) = 1nên (n+1) 6 hay n+1 = 6.q + 6 n = 6.q + 5 Vậy số dư trong phép chia. .. Cho biết n chia 3 dư 1 , chia 5 dư 2. Tìm dư trong phép chia n cho 15. Bài 12: Cho biết n chia 11 dư 7 , chia 5 dư 4. Tìm dư trong phép chia n cho 55. Bài 13:Cho biết n chia 11 dư 10 , chia 3 dư 2. Tìm dư trong phép chia n cho 33. 6 Hà Văn Tùng Vậy có các cặp ( 346,36) và (252,180) thõa mãn điều kiện đề bài BÀI 3 Tìm tất cả các cặp số tự nhiên a, b thõa mãn điều kiện sau: a x b = 2700 và (a, b) =... liên tiếp có một số chia hết cho n. *Một số phương pháp chứng minh chia hết 4. BÀI 4 Tính chất 8: CMR tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 Giải Giả sử ta gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a+1, a + 2 Theo đề bài : A = a( a +1) ( a + 2) 6 Ta có : 6 = 3x2 mà ( 3, 2) =1 - A 2 vì trong A số tự nhiên liên tiếp có một số tự nhiên chia hết cho 2 - A 3 vì trong A số tự nhiên liên tiếp có một... = 10 ( 3) Từ (1) , (2). Ta chọn: ⇒ và ⇒ Vậy có các cặp (60; 10) và (30 ; 12) Bài 2: Tìm các cặp số tự nhiên a, b thõa mãn điều kiện sau: ( a,b) = 15 và [a,b] = 2835 Giải 1 Hà Văn Tùng CÁC BÀI TẬP I. QUAN HỆ CHIA HẾT: 1. BÀI 1: Chứng minh rằng trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 2. Giải Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là : a, a +1 Lấy a chia cho 2 ta được: a = 2.q + r với 0... tiếp có một số chia hết cho 2. 2. BÀI 2: Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3. Giải Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là : a, a +1 , a +2 Lấy a chia cho 3 ta được: a = 2.q + r với 0 ≤ r < 3. + Với r = 0 thì a = 3.q 3 + Với r = 1 thì a = 3.q + 1 . Khi đó : a + 2 = 3.q + 3 3 + Với r = 2 thì a = 3.q + 2 . Khi đó a + 1 = 3.q + 3 3 Vậy trong ba số tự nhiên liên tiếp có. .. 1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1) Nếu a=0 thì a - a = 0 30 Nếu a>0 thì a(a- 1)(a+1)(a-2)(a+2) 30 vì tích năm số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 30, ( 5,6)=1 Và : 5a(a-1)(a+1) 30 vì tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 Vậy a - a 30 Bài 10 CMR ∀ a ∈ N ta có : 2a ( a - 16) 30 Giải Ta có: 2a ( a - 16) = 2a( a+4)(a -4) = 2a( 5+ a -1)( a-2)(a+2) = 2a[5+(a-1)(a+1)](a-2)(a+2) = 10a (a-2)(a+2) + 2a(a-2)(a+2)(a-1)(a+1) Nếu... 432 và ( a, b) = 36 giải -Vì vai trị của a và b như nhau nên ta giả sử a ≥ b. - Vì ( a, b) = 36 . Theo tính chất 5. Ta có: = 1 Đặt a = và b = . Khi đó (a ,b) = 1 (1) a ≥ b (2) a + b = + = (a+b) = =12 (3) Từ (1), (2) và (3) ta chọn: ⇒ và ⇒ 252 180 a b = = 14 Hà Văn Tùng Nên 7 + 3(k+1) -1 9 Vậy theo nghuyên tắc quy nạp 7 + 3n -1 9 với ∀ n ≥ 1 . Bài 8 : CMR: ∀ n ≥ 1, ta có :... nhiên a, b thõa mãn điều kiện sau: a x b = 2700 và (a, b) = 6 giải -Vì vai trị của a và b như nhau nên ta giả sử a ≥ b. - Vì ( a, b) = 6 . Theo tính chất 5. Ta có: = 1 Đặt a = và b = . Khi đó ( a ,b ) = 1 (1) a ≥ b (2) a x b = x = a x b = = 75 ( 3) Từ (1), (2) và (3) ta chọn: ⇒ và ⇒ Vậy có các cặp ( 450, 6) và (90, 30) thõa mãn điều kiện đề bài. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN VỀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT Áp... + 2 = 3.q + 3 3 + Với r = 2 thì a = 3.q + 2 . Khi đó a + 1 = 3.q + 3 3 Vậy trong ba số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3. 3. BÀI 3: Chứng minh rằng trong n số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho n. Giải Gọi n số tự nhiên liên tiếp là : a, a +1 , a +2 …a( n-1) Lấy a chia cho n ta được: a = n.q + r với 0 ≤ r < n. + Với r = 0 thì a = n.q n + Với r = 1 thì a = n.q + 1 n . Khi đó... chẵn , a ∈ N Bài 12 CMR: n +11n 3 ∀n Giải Ta có: n (n -1 +12) = n(n -1) + 12n = n(n -1)(n+1) +12n 3 Vì n(n-1)(n+1) là tích ba số tụe nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3. Vậy: n +11n 3 ∀n. 5 Hà Văn Tùng VD : CMR trong n+1 số tự nhiên bất kỳ có hiệu hai số cia hết cho n. Giải Giả sử n+1 số tự nhiên bất kỳ là: a , a , a … a . Lấy a , a , a … a chia cho n ta được: a = n.q + r với 0≤ r < n . biết n chia 3 dư 2 , chia 2 dư 1. Tìm dư trong phép chia n cho 6.Giải C : Theo định lý phép chia có dư, ta có : n = 6.q + r ( 0 ≤ r< 6)Để n chia 2 dư. Tìm dư trong phép chia n cho 15.Bài 12: Cho biết n chia 11 dư 7 , chia 5 dư 4. Tìm dư trong phép chia n cho 55.Bài 13:Cho biết n chia 11 dư 10 , chia 3 dư