GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO MỘT SỐ DẠNG HỐ THẾ TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Kỹ Thuật - Công Nghệ - Báo cáo khoa học, luận văn tiến sĩ, luận văn thạc sĩ, nghiên cứu - Khoa học tự nhiên UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA LÝ – HÓA – SINH ---------- VƯƠNG THỊ VUI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO MỘT SỐ DẠNG HỐ THẾ TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 5 năm 2015 UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA LÝ – HÓA – SINH ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO MỘT SỐ DẠNG HỐ THẾ TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Sinh viên thực hiện VƯƠNG THỊ VUI MSSV: 2111010265 CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM VẬT LÝ KHÓA: 2011 – 2015 Cán bộ hướng dẫn THS. LÊ THỊ HỒNG THANH MSCB: …………………. Quảng Nam, tháng 5 năm 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệ u và kết quả nghiên cứu trong khóa luận là trung thực và chưa từng công bố trong bấ t kì công trình nào khác. SVTH Vương Thị Vui ii LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến ThS. Lê Thị Hồng Thanh người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện khóa luận. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo, quý thầy, cô giáo Khoa Lý-Hoá-Sinh trường Đại học Quảng Nam đã tạo mọi điều kiện, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã giúp đỡ và động viên tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện đề tài. Quảng Nam, tháng 5 năm 2015 SVTH Vương Thị Vui iii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1.1: Dạng thế năngܷ ሻݔሺ trong trường hợp tổng quát .................................. 7 Hình 1.2: Sơ đồ thế năng bị gián đoạn tại ݔ଴ ......................................................... 9 Hình 2.1: Sơ đồ thế năng của hố thế một chiều sâu vô hạn không đối xứng ....... 10 Hình 2.2: Sơ đồ thế năng của hố thế một chiều sâu vô hạn đối xứng .................. 12 Hình 2.3: Đồ thị hàm sóng߰ ௡ ሻݔሺ và năng lượng ܧ௡ trong hố thế vuông một chiều sâu vô hạn……….. ............................................................................................... 14 Hình 2.4: Sơ đồ thế năng hố thế một chiều sâu hữu hạn đối xứng ...................... 14 Hình 2.5: Hình 2.5: a) Đồ thị biểu diễn tan ߦ ݒà ඥߦ ଴ ଶ ߦ െ ଶ ߦൗ theo ξ…………..16 b) Đồ thị biểu diễn െcot ߦ ݒà ඥߦ ଴ ଶ ߦ െ ଶ ߦൗ theo ξ……….....16 Hình 2.6: Sơ đồ 3 mức hàm sóng và năng lượng trong hố thế một chiều. Đường liền nét ứng với thế hữu hạn, đường đứt nét ứng với thế năng vô hạn ................ 17 Hình 2.7: Sơ đồ thế năng hố thế một chiều sâu hữu hạn không đối xứng ........... 18 Hình 2.8: Sơ đồ thế năng hố thế bậc thang .......................................................... 20 Hình 2.9 : Hàm sóng của hạt qua thế bậc thang khi ܷ൐ ܧ ଴ ............................... 22 Hình 2.10: Hàm sóng của hạt qua thế bậc thang khi ܷ൏ ܧ ଴ .............................. 23 Hình 2.11: Sơ đồ thế năng hàng rào thế ............................................................... 23 Hình 2.12: Hàm sóng trước và sau qua hàng rào thế ........................................... 26 Hình 2.13: Hàng rào thế dạng phức tạp ............................................................... 26 Hình 2.14: Sơ đồ hố thế vuông một chiều vô hạn chịu thêm tác dụng hàm thế delta ...................................................................................................................... 27 Hình 2.15: Sơ đồ thế năng hố thế có dạng hàm delta ......................................... .28 Hình 2.16: Đồ thị biểu diễn đường ݇ൌ ݕ và đường ݕ ൌ ݕ௘ ሾ1 െ expሺെ2݀݇ ሻሿ .. 29 Hình 2.17: Sơ đồ thế năng hố thế bất kỳ .............................................................. 30 Hình 3.1: Đồ thị biểu diễn hàm sóng ở trạng thái cực tiểu của hố thế một chiều sâu vô hạn ............................................................................................................. 40 Hình 3.2: Đồ thị biểu diễn hàm sóng khi chịu thêm tác dụng của hàm delta ...... 43 iv MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................ i LỜI CẢM ƠN .............................................................................................. ii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ................................................................... iii MỤC LỤC ................................................................................................... iv PHẦN 1: MỞ ĐẦU...................................................................................... 1 1.1. Lý do chọn đề tài .................................................................................. 1 1.2. Mục tiêu của đề tài ............................................................................... 1 1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ....................................................... 1 1.3.1. Đối tượng ............................................................................................ 1 1.3.2. Phạm vi nghiên cứu ........................................................................... 2 1.4. Phương pháp nghiên cứu..................................................................... 2 1.5. Lịch sử nghiên cứu ............................................................................... 2 1.6. Đóng góp của đề tài .............................................................................. 2 1.7. Cấu trúc đề tài ...................................................................................... 2 PHẦN 2: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ...................................................... 3 CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER 3 1.1. Phương trình schrodinger phụ thuộc thời gian ................................ 3 1.2. Phương trình schrodinger không phụ thuộc thời gian ..................... 3 1.3. Mật độ xác suất- mật độ dòng xác suất .............................................. 5 1.4. Các tính chất của chuyển động một chiều ......................................... 6 1.5. Một số tính chất nghiệm của phương trình schrodinger một chiều 8 1.5.1. Tính chẵn lẻ của nghiệm ................................................................... 8 1.5.2. Tính liên tục của nghiệm và đạo hàm của nó ................................. 8 Kết luận chương 1 ....................................................................................... 9 CHƯƠNG 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO MỘT SỐ DẠNG HỐ THẾ .................................................................................. 10 2.1.1. Hố thế không đối xứng bề rộng L .................................................. 10 v 2.1.2. Hố thế đối xứng bề rộng L.............................................................. 11 2.2. Hố thế có bề sâu hữu hạn .................................................................. 14 2.2.1. Hố thế đối xứng bề rộng L.............................................................. 14 2.2.2. Hố thế không đối xứng bề rộng a................................................... 17 2.3.Thế bậc thang ...................................................................................... 20 2.4. Hàng rào thế ....................................................................................... 23 2.5. Một số hố thế có hình dạng đặc biệt ................................................. 26 2.5.1. Hố thế vuông một chiều vô hạn chịu thêm tác dụng hàm thế delta ..................................................................................................................... 26 2.5.2. Hố thế chịu tác dụng của hàm delta .............................................. 28 2.5.3. Hố thế dạng bất kỳ .......................................................................... 30 Kết luận chương 2 ..................................................................................... 32 CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG KẾT QUẢ CỦA PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO MỘT SỐ BÀI TOÁN CỤ THỂ ...................... 33 3.1. Bài 1 ..................................................................................................... 33 3.2. Bài 2 ..................................................................................................... 34 3.3. Bài 3 ..................................................................................................... 35 3.4. Bài 4 ..................................................................................................... 36 3.5. Bài 5 ..................................................................................................... 37 3.6. Bài 6 ..................................................................................................... 39 3.7. Bài 7 ..................................................................................................... 39 3.8. Bài 8 ..................................................................................................... 40 3.9. Bài 9 ..................................................................................................... 41 Kết luận chương 3 ..................................................................................... 44 PHẦN 3: PHẦN KẾT LUẬN ................................................................... 45 1. Kết luận .................................................................................................. 45 2. Kiến nghị ................................................................................................ 45 PHẦN 4: TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................... 46 1 PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài Trong cơ học lượng tử, phương trình schrodinger đóng vai trò quan trọng như phương trình định luật II Newton trong cơ học cổ điển. Việc giải phương trình schrodinger cho ta bức tranh tổng thể không chỉ về phổ năng lượng mà còn trạng thái theo thời gian của hệ đang xét. Vì vậy việc giải phương trình schrodinger có ý nghĩa quan trọng trong cơ học lượng tử. Các bài toán về phương trình schrodinger trong không gian một chiều cho ta một số ý niệm đầu tiên về tính chất của hạt theo cơ học lượng tử. Việc giải những bài toán này đơn giản hơn so với bài toán trong không gian hai chiều, ba chiều, tuy vậy nó vẫn cần được giải với những điều kiện thích hợp tương ứng với từng trường hợp cụ thể. Tuy nhiên đối với sinh viên ngành sư phạm vật lý, thời gian học môn cơ học lượng tử còn hạn chế, khối lượng kiến thức còn nhiều nên chỉ mới nghiên cứu các dạng cơ bản mà chưa đi sâu vào giải các bài tập phức tạp cho từng trường hợp. Với mong muốn tìm hiểu sâu về cơ sở lý thuyết và các dạng bài tập về phương trình schrodinger trong không gian một chiều, đặc biệt là bài toán cho các hố thế nên chúng tôi chọn đề tài “ Giải phương trình schrodinger cho một số dạng hố thế trong cơ học lượng tử”. 1.2. Mục tiêu của đề tài Nghiên cứu cơ sở lý thuyết về phương trình schrodinger. Nghiên cứu một số dạng hố thế. Giải được một số bài tập liên quan. 1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1.3.1. Đối tượng Phương trình Schrodinger. Một số dạng hố thế. 2 1.3.2. Phạm vi nghiên cứu Phương trình schrodinger trong chuyển động một chiều. Một số bài tập về các dạng hố thế. 1.4. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý thuyết. 1.5. Lịch sửnghiên cứu Qua tìm hiểu, chúng tôi thấy rằng đã có nhiều bài nghiên cứu liên quan đến phương trình Schrodinger trong các giai đoạn khác nhau. Điển hình như vào năm năm 2009 có bài luận văn thạc sĩ toán học về đề tài “Phương trình sóng Schrodinger phi tuyến” của Phan Thị Vân Huyên - Trường ĐHSP Thái Nguyên. Gần đây nhất vào năm 2013 có công trình nghiên cứu với đề tài “Phương pháp thời gian ảo giải số phương trình schrodinger dừng” của nhóm giảng viên Đỗ Thị Thu Hà, Lê Thị Thanh Thủy,Trần Lan Phương, Nguyễn Ngọc Ty trường ĐHSP TPHCM, đăng trên tạp chí khoa học ĐHSP TPHCM, số 43 năm 2013. Đã có rất nhiều đề tài nghiên cứu về phương trình schrodinger và rất nhiều bài tập về phương trình schrodinger. Tuy nhiên, chúng tôi muốn tập trung về một số dạng hố thế và một số dạng bài tập liên quan. 1.6. Đóng góp của đề tài Nếu nghiên cứu thành công đề tài này thì nó sẽ góp phần trong việc cung cấp tài liệu về giải phương trình schrodinger cho một số dạng hố thế đến các sinh viên ngành sư phạm vật lý khoá học sau ở trường đại học Quảng Nam. 1.7. Cấu trúc đề tài Chương 1: Tổng quan về phương trình schrodinger. Chương 2: Giải phương trình schrodinger cho một số dạng hố thế. Chương 3: Ứng dụng kết quả của phương trình schrodinger cho một số bài toán cụ thể. 3 PHẦN 2: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER 1.1. Phương trình schrodinger phụ thuộc thời gian Tiên đề V trong cơ học lượng tử đưa ra một phương trình tổng quát diễn tả sự thay đổi của hàm trạng thái theo thời gian, phương trình đó gọi là phương trình schrodinger phụ thuộc thời gian ݅ ħ డటሺ௥ Ԧ,௧ሻ డ௧ ܪ ൌ߰෡ ݎሺԦ, ݐሻ, (1.1) trong đó ܪ෡ là Hamiltonian của hệ được định nghĩa như sau ܪ෡ ൌ ܶ෠ ൅ ܷ෡ ൌ െ ħ మ ଶ௠ ׏ଶ ܷ൅ ݎሺԦ, ݐሻ, (1.2) ߰ ݎሺԦ, ݐሻ là hàm mô tả trạng thái của hệ. Phương trình (1.1) là một phương trình vi phân hạng nhất theo thời gian và hạng hai theo không gian. Về nguyên tắc, để tìm nghiệm của phương trình này ta phải biết được hàm sóng tạo thời điểm ban đầu t 0 (điều kiện đầu) và biết được hàm sóng tại hai vị trí toạ độ (điều kiện biên). Điều kiện đầu cho phương trình schrodinger phụ thuộc thời gian là hàm trạng thái߰ ݎሺԦ, ݐሻ tại thời điểm ݐ ൌ ݐ଴ . Điều kiện biên chính là điều kiện liên tục của hàm sóng và đạo hàm (theo toạ độ không gian của nó tại các điểm biên - điểm có thế năng gián đoạn). Nhìn chung điều kiện biên phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể ta sẽ giải chi tiết ở chương 2. 1.2. Phương trình schrodinger không phụ thuộc thời gian Ta khảo sát trường hợp khi không có trường ngoài biến thiên thì toán tử Hamilton không phụ thuộc tường minh vào thời gian và trùng với toán tử năng lượng. Khi đó, ta sẽ giải phương trình (1.1) bằng phương pháp phân ly biến số ߰ ݎሺԦ, ݐሻ ൌ߮ ݎሺ݂.Ԧሻ .ሻݐሺ (1.3) Thay (1.3) vào (1.1) ta được ݅ ħ డ௙ሺ௧ሻ ߮డ௧ ݎሺԦሻ ൌ ܪ߮෡ ݎሺԦሻ ݂ሺݐሻ. Hay݅ ħ ങ೑ሺ೟ሻ ങ೟ ௙ሺ௧ሻ ൌ ு෡ఝሺ௥ Ԧሻ ఝሺ௥Ԧሻ .ݐݏ݊݋ ܿൌ ܽൌ (1.4) Từ (1.4) ta được hai phương trình 4 ݅ ħ డ௙ሺ௧ሻ డ௧ ݂ܽൌ ,ሻݐሺ(1.5) ܪ߮෡ ݎሺ߮ܽൌ Ԧሻ ݎሺԦሻ. (1.6) Phương trình (1.6) chính là phương trình cho hàm riêng và trị riêng của toán tử năng lượng. Vì vậyܽ ,ܧ ൌ với ܧ là trị riêng của toán tử năng lượng ܪ෡ . Phương trình (1.5) ta có thể viết lại là ݅ ħ డ௙ሺ௧ሻ ௙ሺ௧ሻడ௧ ,ܧ ൌ  డ௙ሺ௧ሻ ௙ሺ௧ሻ ൌି ௜ ħ ,ݐ߲ܧ  ݂ln ሺݐሻ ൌି ௜ ħ ,ݐܧ  fሺtሻ ൌ e ష೔ ħ ா௧ . Giả sử năng lượng của hệ có giá trị gián đoạn, lúc đó ta có thể viết lại (1.6) như sau ܪ߮෡ ௡ ݎሺԦሻ ൌ ܧ߮௡ ௡ ݎሺԦሻ. (1.7) Như vậy nghiệm của phương trình (1.3) được viết dưới dạng ߰ ௡ ݎሺԦ, ݐሻ ൌ߮ ௡ ି݁ሻݔሺ ௜ ಶ೙ ħ ௧. (1.8) Hàm sóng (1.8) ứng với một trạng thái giá trị năng lượng xác định được gọi là trạng thái dừng. Phương trình (1.7) được gọi là phương trình schrodinger cho trạng thái dừng (phương trình schrodinger không phụ thuộc thời gian). Do tính chất tuyến tính của phương trình (1.1) nên nghiệm tổng quát của nó có dạng khác nhau tuỳ theo phổ trị riêng gián đoạn hay liên tục. Khi ܪ෡ có phổ trị riêng gián đoạn thì ߰ ݎሺԦ, ݐሻ ൌ ∑ܿ ߮௡ ି݁௡ ௜ ಶ೙ ħ ௧ ௡ ߮∑ ൌ ௡ ݎሺܿԦሻ ௡ ሻݐሺ௡ . (1.9) Khi ܪ෡ có phổ trị riêng liên tục thì ߰ ݎሺܿ׬ ൌ ሻݐԦ, ߮ா ି݁ா ௜ ಶ೙ ħ ௧ ா ݀଴ ൌ ܧ ܿ׬ ா ߮ሻݐሺ ா ݎሺܿԦሻ ௡ , ா ଴ (1.10) trong đó các hệ sốܿ ௡ vàܿ ா được xác định từ các điều kiện ban đầu. Chẳng hạn từ (1.9), ta thấy khi ݐൌ 0 thì ߰ ݎሺԦ, ݐሻ ൌ߰ ݎሺԦ, 0ሻ ൌ ∑ܿ ߮௡ ௡ ݎሺԦሻ,௡ từ đó ta thu được 5 ܿ ௡ ߮׬ ൌ ௡ ∗ ߰ሻݔሺ ݎሺԦ, 0ሻܸ݀ . (1.11) Tương tự hệ sốܿ ா có thể tính theo công thức ܿ ா ߮׬ ൌ ா ∗ ߰ሻݔሺ ݎሺԦ, 0ሻܸ݀ . (1.12) Phương trình ܪ߰ܧ ൌ ߰෡ cho nghiệm với mọi ܧ , nhưng không phải giá trị nào của ܧ cũng ứng với một trạng thái vật lý, mà chỉ có những trạng thái thỏa mãn các điều kiện tiêu chuẩn của hàm sóng đó là phải đơn trị, liên tục và hữu hạn mới ứng với một trạng thái vật lý. 1.3. Mật độ xác suất- mật độ dòng xác suất Trạng thái của các hạt có sự thay đổi trong không gian và thời gian. Tuy nhiên sự biến đổi đó không phải là tùy ý mà phải tuân theo một số định luật. Một trong những định luật quan trọng đó là định luật bảo toàn số hạt được rút ra từ phương trình schrodinger và được biểu thị bằng phương trình liên tục డఘሺ௥ Ԧ,௧ሻ డ௧ ଔݒ ݅݀൅ ݎԦሺԦ, ݐሻ ൌ 0, (1.13) trong đó ݎሺߩԦ, ݐሻ ൌ ߰ ݎሺԦ, ݐሻ ଶlà mật độ xác suất tìm thấy hạt tại điểm ݎԦ và thời điểm ݐ, ଔԦ là mật độ dòng xác suất. Để chứng minh hệ thức (1.13) ta dùng (1.1) cùng với phương trình liên hợp phức của nó ħ݅െ డట ∗ ሺ௥ Ԧ,௧ሻ డ௧ ܪ ൌ෡ ߰∗ ∗ ݎሺԦ, ݐሻ. (1.14) Nhân (1.1) cho߰ ∗ ݎሺԦ, ݐሻ và (1.14) cho߰ ሺ ݎԦ, ݐሻ về bên trái ta được ݅ ߰ħ ∗ ݎሺԦ, ݐሻ డటሺ௥ Ԧ,௧ሻ డ௧ ߰ൌ ∗ ݎሺܪሻݐԦ, ߰෡ ݎሺԦ, ݐሻ, (1.15) ݎሺ߰ħ݅െ Ԧ, ݐሻ డట ∗ ሺ௥ Ԧ,௧ሻ డ௧ ܪሻݐԦ, ݎሺ ߰ൌ෡ ߰∗ ∗ ݎሺԦ, ݐሻ. (1.16) Lấy (1.16) trừ (1.15) vế theo vế ta được ݅ ߰ቈ ħ ∗ ݎሺ߲߰ሻݐԦ, ݎሺ ߲ሻݐԦ, ݐ ߰൅ ݎሺ ߲߰ሻݐԦ, ∗ ݎሺ ߲ሻݐԦ, ݐ ቉ ߰ൌ ∗ ݎሺܪሻݐԦ, ߰෡ ݎሺԦ, ݐሻ െ߰ ݎሺܪሻݐԦ, ෡ ߰∗ ∗ ݎሺԦ, ݐሻ. Hay ݅ ߲߲ħݐ ߰ሾ ∗ ݎሺԦ, ݐሻ.߰ ݎሺԦ, ݐሻሿ ൌ ݅ħ߲ ݎሺ ߩ ߲ሻݐԦ, ݐ ߰ൌ ∗ ݎሺܪሻݐԦ, ߰෡ ݎሺԦ, ݐሻ െ߰ ݎሺܪሻݐԦ, ෡ ߰∗ ∗ ݎሺԦ, ݐሻ. 6 Thay dạng của Hamilton ܪ෡ ở (1.2) vào ta được డఘሺ௥ Ԧ,௧ሻ డ௧ ൌ ௜ħ ݅݀ଶ௠ ݒ ߰ሾ ∗ ݎሺ߰׏ሻݐԦ, ݎሺԦ, ݐሻ െ߰ ݎሺ߰׏ሻݐԦ, ∗ ݎሺԦ, ݐሻሿ (1.17) Nếu đặt ଔԦ ൌ ௜ħ ݅݀ଶ௠ ݒ ߰ሾ ݎሺ߰׏ሻݐԦ, ∗ ݎሺԦ, ݐሻ െ߰ ∗ ݎሺ߰׏ሻݐԦ, ݎሺԦ, ݐሻሿ (1.18) thì (1.17) có thể viết lại như sau డఘሺ௥ Ԧ,௧ሻ డ௧ ଔݒ ݅݀൅ ݎԦሺԦ, ݐሻ ൌ 0. (1.19) Từ phương trình (1.19) ta có thể suy ra định luật bảo toàn số hạt, biểu thị bằng biểu thức డ డ௧ ׬ .0 ൌ ܸ݀ߩ ௏ ଴ (1.20) Thật vậy, lấy tích phân (1.19) theo thể tích hữu hạnܸ rồi áp dụng định lý Gauss, ta được డ డ௧ ׬ ߩ ௏ ଴ dܸ ൌ െ ݅݀׬ ଔݒ Ԧ ൌ െ ∮݆ ݀௡ ݏ ௦ ଴ . ௏ ଴ (1.21) Nếu lấy tích phân trong toàn bộ không gian (ܸ → ∞ ) và chú ý rằng hàm sóng (߰ → 0 ) ở xa vô cùng, nghĩa là (ଔԦ → 0 ), ta nhận được phương trình (1.20). Phương trình này có ý nghĩa là xác suất tìm hạt trong toàn bộ không gian không phụ thuộc thời gian, điều đó có nghĩa là số hạt được bảo toàn (hạt không tự sinh ta cũng không tự biến mất). 1.4. Các tính chất của chuyển động một chiều Phương trình schrodinger trong trường hợp chuyển động một chiều theo trục x có dạng െ ħ మ ଶ௠ ௗ మ ట ಶ ሺ௫ሻ ௗ௫ మ ߰ሻݔሺ ܷ൅ ா ߰ܧ ൌ ሻݔሺ ா ሻݔሺ , (1.22) trong đóܷ ሻݔሺ là thế năng không phụ thuộc thời gian. Trạng thái và năng lượng của hạt tìm được bằng cách giải phương trình (1.22) có dạng phụ thuộc vào dạng của thế năngܷ ሻݔሺ . Ta khảo sát trường hợp khi thế năng có dạng tổng quát như hình 1.1. 7 Hình 1.1: Dạng thế năngܷ ሻݔሺ trong trường hợp tổng quát Trạng thái liên kết là trạng thái mà khi hạt bị giam giữ trong một miền nào đó thì chuyển của hạt bị giới hạn về cả hai phía, ví dụ trên (hình 1.1) chuyển động của hạt có năng lượng ܷ൏ ܧ ଵ bị giới hạn trong miền ݔଵ ൑ ݔ൑ ݔଶ . Sử dụng điều kiện liên tục của hàm sóng và đạo hàm theo tọa độ của nó tại các điểm biên trong lúc giải phương trình schrodinger, ta nhận được phổ trị riêng của năng lượng là gián đoạn. Trạng thái liên tục (trạng thái không liên kết) là trạng thái mà khi hạt chuyển động không bị giới hạn (chuyển động tự do). Trên sơ đồ thế năng ở (hình 1.1) có hai miền ứng với chuyển động tự do của hạt. Trường hợp hạt có năng lượng ở trong khoảngܷ ଵ ܷ൏ ܧ ൏ ଶ, chuyển động của hạt là vô hạn về phía ൌ ݔ െ∞. Điều đó có nghĩa là hạt có thể chuyển động giữa ݔ ൌ ݔଷ ݒà ݔൌ െ∞ . Phổ năng lượng trong chuyển động này là liên tục và không suy biến ứng với hàm sóng mô tả chuyển động tự do theo chiều âm của trục ݔ. Trường hợp ܷ൐ ܧ ଶ ,hạt chuyển động ra xa vô hạn về cả hai phía ( ݔൌ േ∞ሻ . Phổ năng lượng của hạt là liên tục và suy biến bậc hai. Điều này ứng với nghiệm của phương trình (1.22) có hai nghiệm, một ứng với chuyển động tự do của hạt theo chiều dương, một theo chiều âm của trục ݔ . Trường hợp thế năng đối xứng là trường hợp thế năng là một hàm chẵn đối với tọa độ thì Hamiltonien cũng là hàm chẵn, lúc đó hạt ở trạng thái liên kết và nghiệm của phương trình schrodinger (1.22) được phân thành hai lớp gồm lớp nghiệm chẵn (߰ ሺݔሻ ൌ߰ ሺെݔሻሻ và lớp nghiệm lẻ (߰ ሺݔሻ ൌ െ߰ ሺെݔሻሻ. 8 1.5. Một số tính chất nghiệm của phương trình schrodinger một chiều 1.5.1. Tính chẵn lẻ của nghiệm Nếu thế năngܷ ሻݔሺ là một hàm chẵn của tọa độ tức là nếuܷ ሺݔሻ ൌܷ ሺെݔሻ thì nghiệm của phương trình là một hàm hoặc chẵn hoặc lẻ của tọa độ. Thật vậy, khi ta thay ݔെ ൌ ݔ thì phương trình (1.22) trở thành ି ħ మ ଶ௠ ௗ మ ట ಶ ሺି௫ሻ ௗ௫ మ ܷ൅ ߰ሻݔሺെ ா ߰ܧ ൌ ሻݔሺെ ா ሻݔሺെ, (1.23) ta viết lại phương trình vớiܷ ሺݔሻ ൌܷ ሺെݔሻ ି ħ మ ଶ௠ ௗ మ ట ಶ ሺି௫ሻ ௗ௫ మ ܷ൅ ߰ሻݔሺ ா ߰ܧ ൌ ሻݔሺെ ா ሺെݔሻ. (1.24) Ta thấy߰ ா ߰àݒሻݔሺ ா ሻݔሺെ trong các phương trình (1.23) và (1.24) là cùng biểu diễn một trạng thái ứng với trị riêng E, do đó chúng chỉ khác nhau một hằng số. Nghĩa là ߰ ா ߰݇ൌ ሻݔሺ ா ሻݔሺെ . Bây giờ ta lại thay ݔ ൌ ݔെ phương trình (1.24) thì ta lại thu được (1.23) và suy ra ߰ ா ߰݇ൌ ሻݔሺെ ா .ሻݔሺ Từ đó ta suy ra ݇ ଶ ൌ 1 hay݇ ൌ േ1. Vậy߰ ா ሺݔሻ ൌ േ߰ ா ሺെݔሻ, nghĩa là߰ ா ሻݔሺ hàm hoặc chẵn hoặc lẻ của tọa độ ݔ. 1.5.2. Tính liên tục của nghiệm và đạo hàm của nó Theo đòi hỏi về vật lí, nghiệm của phương trình và đạo hàm của nó theo tọa độ phải đảm bảo liên tục thì xác suất tìm thấy hạt mới liên tục. Như vậy, tại những điểm mà thế năng gián đoạn, nghiệm và đạo hàm theo tọa độ của nó phải liên tục. Bây giờ ta sẽ chứng minh tính liên tục của đạo hàm. Giả sử thế năng bị gián đoạn tại ݔ଴ như hình vẽ. Tức là khi ݔ → ݔ଴ି ở bên trái và ݔ → ݔ ଴ ା bên phải thì thế năng không liên tục, hai giá trị khác nhau một lượng hữu hạn như hình vẽ. 9 Hình 1.2: Sơ đồ thế năng bị gián đoạn tại ݔ଴ Phương trình Schrodinger cho ta ି ħ మ ଶ௠ ௗ మ ௗ௫ ߰మ ா ൅ ሺ ܷെ ܧ ߰ሻ ா ൌ 0, ି ħ మ ଶ௠ ௗ ߰ௗ ா ᇱ ൅ ሺ ܷെ ܧ ߰ሻ ா ൌ 0 . Lấy tích phân từ (ݔ଴ െ ߝሻ đế ݊ሺݔ଴ ሻߝ൅ theo ݔ với ߝ vô cùng bé ta được ି ħ మ ଶ௠ ߰ሾ ா ᇱ ݔሺ଴ ൅ ߝሻ െ߰ ா ᇱ ݔሺ଴ െ ߝሻሿ ൅ ׬ ܧ െ ܷሺ ߰ሻ ݀ா ݔൌ 0 ௫బ ାఌ ௫బି ఌ . Tích phân dần tới 0 khi ߝ→ 0. Vậy lim ఌ→଴ ߰ሾ ா ᇱ ݔሺ଴ ൅ ߝሻ െ߰ ா ᇱ ݔሺ଴ െ ߝሻሿ ൌ 0. Tức là߰ ா ᇱ ሻݔሺ là một hàm liên tục tại điểm ݔ଴. Kết luận chương 1 Qua việc tìm hiểu cơ sở lý thuyết, trong chương đầu tiên chúng tôi đã trình bày tổng quan về phương trình Schrodinger bao gồm một số vấn đề như cách giải phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian; cách xác định hàm sóng, năng lượng trong phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian, mật độ xác suất, mật độ dòng xác suất. Đồng thời đưa ra các tính chất của chuyển động một chiều từ đó đi đến một số tính chất nghiệm cụ thể của phương trình Schrodinger một chiều. Đây sẽ là cơ sở cho việc giải phương trình Schrodinger cho một số dạng hố thế ở chương tiếp theo. 10 CHƯƠNG 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHOMỘT SỐ DẠNG HỐ THẾ 2.1. Hố thế có bề sâu vô hạn 2.1.1. Hố thế không đối xứng bề rộng L Xét trường hợp một hạt chuyển động tự do trong giếng thế một chiều có bề rộng L. Lúc đó hạt hoàn toàn bị nhốt trong giếng. Thế năng đang xét có dạng như ở hình 2.1. Hình 2.1: Sơ đồ thế năng của giếng thế một chiều sâu vô hạn Dạng giải tích của thế năng là ܷ ሺݔሻ ൌ 0 , 0 ݄݅݇൑ ݔ൑ ܮ, ܷ ሺݔሻ ൌ ∞0 ൏ ݔ ݄݅݇, và .ܮ ൐ ݔ Ta thấy rằng ngoài giếng thếܷ ሺݔሻ ൌ ∞ hàm sóng߰ ሺݔሻ ൌ 0 , hạt không tồn tại ở ngoài giếng. Như vậy ta chỉ xét hạt ở trong giếng (0൑ ݔ൑ ܮሻ . Phương trình schrodinger cho trạng thái dừng có dạng ௗ మ టሺ௫ሻ ௗ௫ మ ݇൅ ߰ଶ ሺݔሻ ൌ 0, với݇ ଶ ܧ݉2 ൌ ħ ଶ ⁄ . Nghiệm của phương trình có dạng ߰ ሺݔሻ ൌ ܣ sin ݔ ݇൅ ܤ cos݇ ݔ . Áp dụng điều kiện liên tục của hàm sóng tại các điểm biênta được ߰൜ (0)=0߰ (L)=0. Suy ra ቄ ܤൌ 0, ܣ് 0 ܣ sin ܮ ݇൅ ܤ cos ܮ ݇ൌ 0,  ܣ sin ܮ ݇ൌ 0 , 11  sin ܮ ݇ൌ 0 , ݇ ൌ ௡గ ௅ , suy ra߰ ሺݔሻ ൌ ܣ ௡గ௫ ௅ . Áp dụng điều kiện chuẩn hóa ta có ሻݔሺ߰ ׬ ݀ଶ ݔൌ 1 ௅ ଴ ,  ܣଶ ׬ ሺsin ௡గ௫ ௅ ሻ ݀ଶ ݔൌ 1 ௅ ଴ ,  ஺ మ ଶ ׬ ሺ1 െ cos ଶ௡గ௫ ௅ ሻ ݔ݀ൌ 1 ௅ ଴ ,  ஺ మ ଶ ܮൌ 1,  ܣൌ ට ଶ ௅ . Vậy hàm sóng ở trạng thái dừng ứng với hạt có năng lượng ܧ௡ là ߰ ௡ ሺݔሻ ൌ ට ଶ ௅ sin ௡గ ௅ ݊,ݔ ൌ 1,2,3 … Vì݇ ଶ ܧ݉2 ൌ ħ ଶ ⁄ nên ta có biểu thức năng lượng của hạt trong hố thế là ܧ௡ ൌ గ మħ మ ଶ௠௅ ݊మ ଶ ݊ൌ ଶ ܧ଴ , trong đó ܧ଴ ൌ గ మħ మ ଶ௠௅మ là năng lượng ứng với n=1 và được gọi là năng lượng của hạt ở trạng thái cơ bản. Như vậy, hạt ở trong giếng có thể được tìm thấy với một trong các giá trị năng lượng ܧ଴ ܧ4 ,଴ ܧ9 ,଴ , 16ܧ଴ … 2.1.2. Hố thế đối xứng bề rộng L Xét một hạt chuyển động trên đường thẳng, nếu thế năngܷ ሻݔሺ có dạng ܷ ሺݔሻ ൌ 0, ݄݅݇െ 2 ܮ൏ ݔ൏ 2 ܮ ⁄ ,⁄ ܷ ሺݔሻ ൌ ∞݄݅݇, ݔ൒ ܮ 2⁄ . Sơ đồ thế năng có dạng như hình 2.2. 12 Hình 2.2: Sơ đồ thế năng của giếng thế đối xứng một chiều Trong khoảng từ2 ܮെ đ2 ܮ ݊ế⁄⁄ hạt chuyển động tự do, muốn cho hạt ra ngoài khoảng này thì phải tốn một năng lượng bằng ∞. Như vậy tức là ở điểm ݒ 2 ܮെà 2 ܮ⁄⁄ hạt bị chặn lại. Phương trình schrodinger của hạt chuyển động có dạng ௗ మ టሺ௫ሻ ௗ௫ మ ݇൅ ߰ଶ ሺݔሻ ൌ 0, với݇ ଶ ܧ݉2 ൌ ħ ଶ ⁄ . Nghiệm của phương trình có dạng ߰ ሺݔሻ ൌ ܣ sin ݔ ݇൅ ܤ cosݔ ݇. Vì thế năng là hàm chẵn của tọa độ nên nghiệm của phương trình được phân thành hai lớp nghiệm lẻ và nghiệm chẵn. Đối với lớp nghiệm chẵn ߰ ߰ൌ ሻݔሺ ሺെݔሻ, ta được ߰ ሺݔሻ ൌ ܤ cosݔ ݇. Áp dụng điều kiện biên߰ ( 2 ܮ⁄ )=0, ta được cos ௞௅ ଶ ൌ 0, ݇ ൌ ௡గ ௅ ݊, ൌ 1,3,5 … Tương tự đối với lớp nghiệm lẻ ߰ ሺݔሻ ൌ െ߰ ሺെݔሻ, ta được ߰ ሺݔሻ ൌ ܣ sinݔ ݇. Áp dụng điều kiện biên߰ ( 2 ܮെ⁄ )=0, ta được 13 ܣ sin ݔ ݇ൌ 0, ݇ ൌ ௡గ ௅ ݊, ൌ 2,4,6 … Áp dụng điều kiện chuẩn hóa ta có න ߰ሺݔሻ ݀ଶ ݔൌ 1 ௅ ଶ ⁄ି ௅ ଶ ⁄ , ܤ ଶ න ሺcos݊ ݔߨ ܮ ሻ ݀ଶ ݔൌ 1, ௅ ଶ ⁄ି ௅ ଶ⁄  ܤ ଶ 2 නሺ1 ൅ cos ݔߨ݊2 ܮ ሻ ݔ݀ൌ 1 ௅ ଴ ,  ܤ ଶ 2 ܮൌ 1,  ܤൌ ට ଶ ௅ . Giải tương tự ta được: ܣൌ ට ଶ ௅ . Vậy nghiệm của phương trình là ߰ ௡ ሺݔሻ ൌ ට ଶ ௅ sin ௡గ ௅ ݊ ݔế ݊ ݑൌ 2, 4, 6 … ߰ ௡ ሺݔሻ ൌ ඨ 2 ܮcos݊ ߨ ܮ ݊ ݔế ݊ ݑൌ 1, 3, 5 … Ta thấy trong cả hai lớp nghiệm ta đều có݇ ൌ ௡గ ௅ do đó năng lượng của hạt được tính theo hệ thức ܧ௡ ൌ గ మħ మ ଶ௠௅ ݊మ ଶ . Ta có thể đưa ra một số nhận xét về bài toán giếng thế một chiều vuông góc sâu vô hạn như năng lượng ܧ௡ của hạt trong giếng bị lượng tử hóa (điều này xảy ra là do chuyển động của hạt mặc dầu tự do nhưng bị giới hạn). Hàm sóng ߰ ௡ là hàm chẵn (khi n lẻ) và hàm lẻ (khi n chẵn) đối với tâm của giếng. Hàm sóng߰ ௡ có n-1 nút (mode). 14 Hình 2.3: Đồ thị hàm sóng߰ ௡ ሻݔሺ và năng lượng ܧ௡ trong giếng thế vuông một chiều sâu vô hạn 2.2. Hố thế có bề sâu hữu hạn 2.2.1. Hố thế đối xứng bề rộng L Xét trường hợp giếng thế hình chữ nhật có chiều cao hữu hạn với thế năng có dạng ܷ ሺݔሻ ൌ 0, ݄݅݇െ 2 ܮ൏ ݔ൏ 2 ܮ ⁄⁄ , ܷ ܷൌ ሻݔሺ ଴ ݄݅݇, ݔ൒ ܮ 2⁄ . Sơ đồ thế năng được cho ở hình 2.4. Hình 2.4: Sơ đồ thế năng giếng thế một chiều sâu hữu hạn đối xứng Có thể thấy rằng khi năng lượng ܷ൐ ܧ ଴ thì hạt tự do không bị liên kết, năng lượng ܧ là liên tục. Ngược lại,khi ܷ൏ ܧ ଴ hạt bị nhốt trong giếng năng lượng của hạt bị lượng tử hóa. Ta sẽ giải phương trình schrodinger cho từng miền thế năng để tìm năng lượng và hàm sóng ứng với các trạng thái khác nhau của hạt. 15 Ta có phương trình schrodinger dừng một chiều Trường hợp ܷ൏ ܧ ଴ , ݔ൑ ܮ 2⁄ . ߰ ூூ " ݇൅ ሻݔሺ ߰ଶ ூூ ሺݔሻ ൌ 0 , với݇ ଶ ܧ݉2 ൌ ħ ଶ ⁄ . Nghiệm của phương trình có dạng ߰ ሺݔሻ ൌ ܣ cos ݔ ݇൅ ܤ sin݇ ݔ . Trường hợp ܷ൐ ܧ ଴ , ݔ൒ ܮ 2⁄ . ߰ " ሺݔሻ െ ܭ ߰ଶ ሺݔሻ ൌ 0 , với ܭ ଶ ܷሺ݉2 ൌ ଴ ሻܧെ ħ ଶ ⁄ . Nghiệm của phương trình có dạng ߰ ݁.ܥ ൌ ሻݔሺ ௄௫ ି݁.ܦ ൅ ௄௫ . Áp dụng điều kiện biên߰ (→ ݔ ∞ሻ ൌ 0  ܥൌ 0 ߰ ூூூ ି݁.ܦ ൌ ௄௫ , ߰ ሺ ݔ→ െ∞ሻ ൌ 0  ܦൌ 0 ߰ ூ ݁.ܥ ൌ ௄௫ Áp dụng các điều kiện liên tục của hàm sóng tại các điểm biên ta được ەۖ ۔ۖ ۓ߰ ூ ሺെ ܮ 2ሻ ൌ߰ ூூ ሺെܮ 2ሻ⁄ ߰⁄ ூூ ሺܮ 2ሻ ൌ߰ ூூூ ሺܮ 2ሻ⁄ ߰⁄ ூ ′ ሺെ ܮ 2ሻ ൌ߰ ூூ ′ ሺെܮ 2ሻ⁄ ߰⁄ ூூ ′ ሺܮ 2ሻ ൌ߰ ூூூ ′ ሺܮ 2ሻ.⁄⁄ ەۖۖ ۔ۖۖ ۓ ି಼݁.ܥ ಽ మ ൌ ܣ cos ௞௅ ଶ െ ܤ sin ௞௅ ଶ ܣ cos ௞௅ ଶ ൅ ܤ sin ௞௅ ଶ ൌ ܦ.݁ି಼ ಽ మ ି಼݁.ܥ .ܭ ಽ మ ൌܣ ݇ sin ௞௅ ଶ ൅ܤ ݇ cos ௞௅ ଶ െܣ݇ sin ௞௅ ଶ ൅ܤ ݇ cos ௞௅ ଶ ି಼݁.ܦܭെ ൌ ಽ మ . Ta được ݇ቐ tan ቀ ௞௅ ଶ ቁ ൌ ܭ đối với lớp nghiệm chẵ ݇,n cot ቀ ௞௅ ଶ ቁ ൌ െܭ đối với lớp nghiệm lẻ. Hay ቐ ଶ௠ா ħమ ሾtanሺ ௞௅ ଶ ሻሿ ଶ ൌ ଶ௠ሺ௎బି ாሻ ħమ , ଶ௠ா ħమ ሾcotሺ ௞௅ ଶ ሻሿ ଶ ൌ ଶ௠ሺாି௎ బ ሻ ħమ . 16 Đặtቊߦ ଶ ܮ ݉ൌ ଶ ܧ௡ ሺ2ħ ଶ ⁄ ሻ, ߦ ଴ ଶ ܮ ݉ൌ ܷଶ ଴ ሺ2ħ ଶ ⁄ ሻ. Thay vào hai phương trình trên ta được ቊ ߦ tan ߦൌ ඥߦ ଴ ଶ ߦ െ ଶ , െߦ cot ߦൌ ඥߦ ଴ ଶ ߦ െ ଶ . Hai phương trình siêu việt trên xác định các giá trị năng lượng cho phép của hạt trong giếng thế hữu hạn. Giá trị năng lượng chứa trong số hạng ݇ൌ ߦ 2 ܮ ൌ 2ħ ܧ݉ඥ ଶ⁄⁄ .ܮ Các phương trình này không thể giải bằng phương pháp giải tích mà chỉ có thể giải bằng phương pháp tích số hoặc đồ thị. Ở đây ta sẽ giải bằng phương pháp đồ thị. Hình 2.5a biểu biễn đồ thị của tan ߦ ݒà ඥߦ ଴ ଶ ߦ െ ଶ ߦൗ theo ξ. Hình 2.5b biểu biễn đồ thị của െcot ߦ ݒà ඥߦ ଴ ଶ ߦ െ ଶ ߦൗ theo ξ với các giá trị ߦ଴ khác nhau, nghĩa làܷ ଴ ܮ àݒ khác nhau. Giao điểm của các đường cong này xác định các giá trị cho phép ứng với các giá trị nhất định của ߦ଴ . Đối với trường hợp trạng thái chẵn, khi ߦ଴ bé chỉ có một giao điểm, nghĩa là có một giá trị năng lượng cho phép. Khi ߦ଴ tăng số giá trị năng lượng cho phép tăng lên. Trong trường hợp trạng thái lẻ vì െ cot ߦ൏ 0nên khi ߦ଴ ൌ ߨ 2⁄ sẽ không có giao điểm nào xuất hiện, nghĩa là không có giá trị năng lượng cho phép. Hình 2.5: a) Đồ thị của tan ߦ ݒà ඥߦ ଴ ଶ ߦ െ ଶ ߦൗ theo ξ. b) Đồ thị của െcot ߦ ݒà ඥߦ ଴ ଶ ߦ െ ଶ ߦൗ theo ξ Một cách tổng quát giá trị của bề rộng giếng thế mà tại đó có n trạng thái liên kết, nghĩa là có n giá trị năng lượng được cho bởi 17 ߦ଴ ൌ ௡గ ݄ ଶ ܷ ܿặ݋ ଴ ൌ ሺ గ ଶ ሻଶ . ଶħ మ ௠௅ ݊మ ଶ . Như vậy, phổ năng lượng bao gồm các trạng thái chẵn và lẻ xen kẻ nhau, trong đó trạng thái cơ bản là trạng thái chẵn. Trường hợp giới hạn khiܷ ଴ ߦ ì݄ݐ ∞ → ଴ → ∞ thì hàm ߦඥ ଴ ଶ ߦ െ ଶ ߦൗ sẽ cắt tan ߦ ݒà െ cot ߦ tại các điểm tiệm cận 2 ߨ ݊ൌ ߦ⁄ vì khiܷ ଴ → ∞ cả tan ߦ ݒà cot ߦ đều tiến tới vô cùng ቊtan ߦ→ ∞  ൌ ߦ ଶ௡ାଵ ଶ ݊,ߨൌ 1,2,3 … cot ߦ→ ∞  ߦൌ ݊,ߨ ݊ൌ 1,2,3 … Kết hợp cả hai điều kiện này ta được ൌ ߦ ௡గ ଶ ݊, ൌ 1,2,3 … Vì ߦ ଶ ܮ ݉ൌ ଶ ܧ௡ ሺ2ħ ଶ⁄ ሻ nên ta nhận được biểu thức của năng lượng cho trường thế vô hạn ൌ ߦ ௡గ ଶ  ܧ௡ ൌ గ మ ħ మ ଶ௠௅ ݊మ ଶ. Hình 2.6: Sơ đồ 3 mức hàm sóng và năng lượng trong giếng thế một chiều. Đường liền nét ứng với thế hữu hạn, đường đứt nét ứng với thế năng vô hạn Từ đồ thị cho thấy rằng các hàm sóng “lan tỏa” qua miền ܷ൏ ܧ ଴ . Điều này có nghĩa là xác suất tìm hạt ሻݔሺ߰ ଶ ở miền I và miền II khác không, nghĩa là hạt có thể có mặt ở bên ng...

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA LÝ – HÓA – SINH

- -

VƯƠNG THỊ VUI

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO MỘT SỐ DẠNG HỐ THẾ

TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 5 năm 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA LÝ – HÓA – SINH

TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Sinh viên thực hiện

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận là trung thực và chưa từng công bố trong bất kì công trình nào khác

Vương Thị Vui

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến ThS Lê Thị Hồng Thanh người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện khóa

luận

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo, quý thầy, cô giáo Khoa Lý-Hoá-Sinh trường Đại học Quảng Nam đã tạo mọi điều kiện, giúp đỡ tôi

trong suốt quá trình học tập

Cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã giúp đỡ và động viên tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện đề tài

Quảng Nam, tháng 5 năm 2015

SVTH

Vương Thị Vui

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 1.1: Dạng thế năng trong trường hợp tổng quát 7

Hình 1.2: Sơ đồ thế năng bị gián đoạn tại 9

Hình 2.1: Sơ đồ thế năng của hố thế một chiều sâu vô hạn không đối xứng 10

Hình 2.2: Sơ đồ thế năng của hố thế một chiều sâu vô hạn đối xứng 12

Hình 2.3: Đồ thị hàm sóng và năng lượng trong hố thế vuông một chiều sâu vô hạn……… 14

Hình 2.4: Sơ đồ thế năng hố thế một chiều sâu hữu hạn đối xứng 14

Hình 2.5: Hình 2.5: a) Đồ thị biểu diễn tan à theo ξ………… 16

b) Đồ thị biểu diễn cot à theo ξ……… 16

Hình 2.6: Sơ đồ 3 mức hàm sóng và năng lượng trong hố thế một chiều Đường liền nét ứng với thế hữu hạn, đường đứt nét ứng với thế năng vô hạn 17

Hình 2.7: Sơ đồ thế năng hố thế một chiều sâu hữu hạn không đối xứng 18

Hình 2.8: Sơ đồ thế năng hố thế bậc thang 20

Hình 2.9 : Hàm sóng của hạt qua thế bậc thang khi 22

Hình 2.10: Hàm sóng của hạt qua thế bậc thang khi 23

Hình 2.11: Sơ đồ thế năng hàng rào thế 23

Hình 2.12: Hàm sóng trước và sau qua hàng rào thế 26

Hình 2.13: Hàng rào thế dạng phức tạp 26

Hình 2.14: Sơ đồ hố thế vuông một chiều vô hạn chịu thêm tác dụng hàm thế delta 27

Hình 2.15: Sơ đồ thế năng hố thế có dạng hàm delta 28

Hình 2.16: Đồ thị biểu diễn đường và đường 1 exp 2 29

1.2 Mục tiêu của đề tài 1 

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1 

PHẦN 2: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 3 

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER 3  1.1 Phương trình schrodinger phụ thuộc thời gian 3 

1.2 Phương trình schrodinger không phụ thuộc thời gian 3 

1.3 Mật độ xác suất- mật độ dòng xác suất 5 

1.4 Các tính chất của chuyển động một chiều 6 

1.5 Một số tính chất nghiệm của phương trình schrodinger một chiều 8 

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG KẾT QUẢ CỦA PHƯƠNG TRÌNH

SCHRODINGER CHO MỘT SỐ BÀI TOÁN CỤ THỂ 33 

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong cơ học lượng tử, phương trình schrodinger đóng vai trò quan trọng như phương trình định luật II Newton trong cơ học cổ điển Việc giải phương trình schrodinger cho ta bức tranh tổng thể không chỉ về phổ năng lượng mà còn trạng thái theo thời gian của hệ đang xét Vì vậy việc giải phương trình schrodinger có ý nghĩa quan trọng trong cơ học lượng tử

Các bài toán về phương trình schrodinger trong không gian một chiều cho ta một số ý niệm đầu tiên về tính chất của hạt theo cơ học lượng tử Việc giải những bài toán này đơn giản hơn so với bài toán trong không gian hai chiều, ba chiều, tuy vậy nó vẫn cần được giải với những điều kiện thích hợp tương ứng với từng trường hợp cụ thể Tuy nhiên đối với sinh viên ngành sư phạm vật lý, thời gian học môn cơ học lượng tử còn hạn chế, khối lượng kiến thức còn nhiều nên chỉ mới nghiên cứu các dạng cơ bản mà chưa đi sâu vào giải các bài tập phức tạp cho từng trường hợp

Với mong muốn tìm hiểu sâu về cơ sở lý thuyết và các dạng bài tập về phương trình schrodinger trong không gian một chiều, đặc biệt là bài toán cho

các hố thế nên chúng tôi chọn đề tài “Giải phương trình schrodinger cho một

số dạng hố thế trong cơ học lượng tử” 1.2 Mục tiêu của đề tài

Nghiên cứu cơ sở lý thuyết về phương trình schrodinger

Nghiên cứu một số dạng hố thế Giải được một số bài tập liên quan

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1.3.1 Đối tượng

Phương trình Schrodinger Một số dạng hố thế

1.3.2 Phạm vi nghiên cứu

Phương trình schrodinger trong chuyển động một chiều

Một số bài tập về các dạng hố thế

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

1.5 Lịch sửnghiên cứu

Qua tìm hiểu, chúng tôi thấy rằng đã có nhiều bài nghiên cứu liên quan đến phương trình Schrodinger trong các giai đoạn khác nhau Điển hình như vào năm năm 2009 có bài luận văn thạc sĩ toán học về đề tài “Phương trình sóng Schrodinger phi tuyến” của Phan Thị Vân Huyên - Trường ĐHSP Thái Nguyên Gần đây nhất vào năm 2013 có công trình nghiên cứu với đề tài “Phương pháp thời gian ảo giải số phương trình schrodinger dừng” của nhóm giảng viên Đỗ Thị Thu Hà, Lê Thị Thanh Thủy,Trần Lan Phương, Nguyễn Ngọc Ty trường ĐHSP TPHCM, đăng trên tạp chí khoa học ĐHSP TPHCM, số 43 năm 2013 Đã có rất nhiều đề tài nghiên cứu về phương trình schrodinger và rất nhiều bài tập về phương trình schrodinger Tuy nhiên, chúng tôi muốn tập trung về một số dạng hố thế và một số dạng bài tập liên quan

1.6 Đóng góp của đề tài

Nếu nghiên cứu thành công đề tài này thì nó sẽ góp phần trong việc cung cấp tài liệu về giải phương trình schrodinger cho một số dạng hố thế đến các sinh viên ngành sư phạm vật lý khoá học sau ở trường đại học Quảng Nam

1.7 Cấu trúc đề tài

Chương 1: Tổng quan về phương trình schrodinger

Chương 2: Giải phương trình schrodinger cho một số dạng hố thế

Chương 3: Ứng dụng kết quả của phương trình schrodinger cho một số bài toán cụ thể

PHẦN 2: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER

1.1 Phương trình schrodinger phụ thuộc thời gian

Tiên đề V trong cơ học lượng tử đưa ra một phương trình tổng quát diễn tả sự thay đổi của hàm trạng thái theo thời gian, phương trình đó gọi là phương trình schrodinger phụ thuộc thời gian

trong đó là Hamiltonian của hệ được định nghĩa như sau

, là hàm mô tả trạng thái của hệ

Phương trình (1.1) là một phương trình vi phân hạng nhất theo thời gian và hạng hai theo không gian Về nguyên tắc, để tìm nghiệm của phương trình này ta phải biết được hàm sóng tạo thời điểm ban đầu t0(điều kiện đầu) và biết được hàm sóng tại hai vị trí toạ độ (điều kiện biên)

Điều kiện đầu cho phương trình schrodinger phụ thuộc thời gian là hàm trạng thái , tại thời điểm Điều kiện biên chính là điều kiện liên tục của hàm sóng và đạo hàm (theo toạ độ không gian của nó tại các điểm biên - điểm có thế năng gián đoạn) Nhìn chung điều kiện biên phụ thuộc vào từng bài

toán cụ thể ta sẽ giải chi tiết ở chương 2

1.2 Phương trình schrodinger không phụ thuộc thời gian

Ta khảo sát trường hợp khi không có trường ngoài biến thiên thì toán tử Hamilton không phụ thuộc tường minh vào thời gian và trùng với toán tử năng lượng Khi đó, ta sẽ giải phương trình (1.1) bằng phương pháp phân ly biến số

Thay (1.3) vào (1.1) ta được

ħ ,(1.5)

Phương trình (1.6) chính là phương trình cho hàm riêng và trị riêng của toán tử năng lượng Vì vậy , với là trị riêng của toán tử năng lượng

Phương trình (1.5) ta có thể viết lại là

Hàm sóng (1.8) ứng với một trạng thái giá trị năng lượng xác định được gọi là trạng thái dừng Phương trình (1.7) được gọi là phương trình schrodinger cho trạng thái dừng (phương trình schrodinger không phụ thuộc thời gian)

Do tính chất tuyến tính của phương trình (1.1) nên nghiệm tổng quát của nó có dạng khác nhau tuỳ theo phổ trị riêng gián đoạn hay liên tục

Khi có phổ trị riêng gián đoạn thì

∗ , 0 (1.11) Tương tự hệ số có thể tính theo công thức

Phương trình cho nghiệm với mọi , nhưng không phải giá trị nào của cũng ứng với một trạng thái vật lý, mà chỉ có những trạng thái thỏa mãn các điều kiện tiêu chuẩn của hàm sóng đó là phải đơn trị, liên tục và hữu hạn mới ứng với một trạng thái vật lý

1.3 Mật độ xác suất- mật độ dòng xác suất

Trạng thái của các hạt có sự thay đổi trong không gian và thời gian Tuy nhiên sự biến đổi đó không phải là tùy ý mà phải tuân theo một số định luật Một trong những định luật quan trọng đó là định luật bảo toàn số hạt được rút ra từ phương trình schrodinger và được biểu thị bằng phương trình liên tục

Thay dạng của Hamilton ở (1.2) vào ta được

Nếu lấy tích phân trong toàn bộ không gian ( → ∞) và chú ý rằng hàm sóng ( → 0) ở xa vô cùng, nghĩa là ( → 0), ta nhận được phương trình (1.20) Phương trình này có ý nghĩa là xác suất tìm hạt trong toàn bộ không gian không phụ thuộc thời gian, điều đó có nghĩa là số hạt được bảo toàn (hạt không tự sinh ta cũng không tự biến mất)

1.4 Các tính chất của chuyển động một chiều

Phương trình schrodinger trong trường hợp chuyển động một chiều theo trục x có dạng

, (1.22)

trong đó là thế năng không phụ thuộc thời gian Trạng thái và năng lượng của hạt tìm được bằng cách giải phương trình (1.22) có dạng phụ thuộc vào dạng của thế năng Ta khảo sát trường hợp khi thế năng có dạng tổng quát như hình 1.1

Hình 1.1: Dạng thế năng trong trường hợp tổng quát

Trạng thái liên kết là trạng thái mà khi hạt bị giam giữ trong một miền nào đó thì chuyển của hạt bị giới hạn về cả hai phía, ví dụ trên (hình 1.1) chuyển động của hạt có năng lượng bị giới hạn trong miền Sử dụng điều kiện liên tục của hàm sóng và đạo hàm theo tọa độ của nó tại các điểm biên trong lúc giải phương trình schrodinger, ta nhận được phổ trị riêng của năng lượng là gián đoạn

Trạng thái liên tục (trạng thái không liên kết) là trạng thái mà khi hạt chuyển động không bị giới hạn (chuyển động tự do) Trên sơ đồ thế năng ở (hình 1.1) có hai miền ứng với chuyển động tự do của hạt Trường hợp hạt có năng lượng ở trong khoảng , chuyển động của hạt là vô hạn về phía

∞ Điều đó có nghĩa là hạt có thể chuyển động giữa à ∞ Phổ năng lượng trong chuyển động này là liên tục và không suy biến ứng với hàm sóng mô tả chuyển động tự do theo chiều âm của trục Trường hợp ,hạt chuyển động ra xa vô hạn về cả hai phía ( ∞ Phổ năng lượng của hạt là

liên tục và suy biến bậc hai Điều này ứng với nghiệm của phương trình (1.22) có hai nghiệm, một ứng với chuyển động tự do của hạt theo chiều dương, một theo chiều âm của trục

Trường hợp thế năng đối xứng là trường hợp thế năng là một hàm chẵn đối với tọa độ thì Hamiltonien cũng là hàm chẵn, lúc đó hạt ở trạng thái liên kết và nghiệm của phương trình schrodinger (1.22) được phân thành hai lớp gồm lớp

1.5 Một số tính chất nghiệm của phương trình schrodinger một chiều 1.5.1 Tính chẵn lẻ của nghiệm

Nếu thế năng là một hàm chẵn của tọa độ tức là nếu thì nghiệm của phương trình là một hàm hoặc chẵn hoặc lẻ của tọa độ Thật vậy, khi ta thay thì phương trình (1.22) trở thành

Ta thấy à trong các phương trình (1.23) và (1.24) là cùng biểu diễn một trạng thái ứng với trị riêng E, do đó chúng chỉ khác nhau một hằng số

nghĩa là hàm hoặc chẵn hoặc lẻ của tọa độ

1.5.2 Tính liên tục của nghiệm và đạo hàm của nó

Theo đòi hỏi về vật lí, nghiệm của phương trình và đạo hàm của nó theo tọa độ phải đảm bảo liên tục thì xác suất tìm thấy hạt mới liên tục Như vậy, tại những điểm mà thế năng gián đoạn, nghiệm và đạo hàm theo tọa độ của nó phải liên tục

Bây giờ ta sẽ chứng minh tính liên tục của đạo hàm

Giả sử thế năng bị gián đoạn tại như hình vẽ Tức là khi → ở bên trái và → bên phải thì thế năng không liên tục, hai giá trị khác nhau một lượng hữu hạn như hình vẽ

Hình 1.2: Sơ đồ thế năng bị gián đoạn tại Phương trình Schrodinger cho ta

Qua việc tìm hiểu cơ sở lý thuyết, trong chương đầu tiên chúng tôi đã trình bày tổng quan về phương trình Schrodinger bao gồm một số vấn đề như cách giải phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian; cách xác định hàm sóng, năng lượng trong phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian, mật độ xác suất, mật độ dòng xác suất Đồng thời đưa ra các tính chất của chuyển động một chiều từ đó đi đến một số tính chất nghiệm cụ thể của phương trình Schrodinger một chiều Đây sẽ là cơ sở cho việc giải phương trình Schrodinger cho một số dạng hố thế ở chương tiếp theo

CHƯƠNG 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHOMỘT SỐ DẠNG HỐ THẾ

2.1 Hố thế có bề sâu vô hạn

2.1.1 Hố thế không đối xứng bề rộng L

Xét trường hợp một hạt chuyển động tự do trong giếng thế một chiều có bề rộng L Lúc đó hạt hoàn toàn bị nhốt trong giếng Thế năng đang xét có dạng như ở hình 2.1

Hình 2.1: Sơ đồ thế năng của giếng thế một chiều sâu vô hạn Dạng giải tích của thế năng là

Ta thấy rằng ngoài giếng thế ∞ hàm sóng 0, hạt không tồn tại ở ngoài giếng Như vậy ta chỉ xét hạt ở trong giếng (0

Phương trình schrodinger cho trạng thái dừng có dạng

trong đó ħ là năng lượng ứng với n=1 và được gọi là năng lượng của hạt ở trạng thái cơ bản Như vậy, hạt ở trong giếng có thể được tìm thấy với một trong các giá trị năng lượng , 4 , 9 , 16 …

Hình 2.2: Sơ đồ thế năng của giếng thế đối xứng một chiều

Trong khoảng từ ⁄2 đế ⁄2 hạt chuyển động tự do, muốn cho hạt ra

ngoài khoảng này thì phải tốn một năng lượng bằng ∞ Như vậy tức là ở điểm

Vì thế năng là hàm chẵn của tọa độ nên nghiệm của phương trình được phân thành hai lớp nghiệm lẻ và nghiệm chẵn

Đối với lớp nghiệm chẵn

Giải tương tự ta được:

Vậy nghiệm của phương trình là

Ta có thể đưa ra một số nhận xét về bài toán giếng thế một chiều vuông góc sâu vô hạn như năng lượng của hạt trong giếng bị lượng tử hóa (điều này xảy ra là do chuyển động của hạt mặc dầu tự do nhưng bị giới hạn) Hàm sóng là hàm chẵn (khi n lẻ) và hàm lẻ (khi n chẵn) đối với tâm của giếng Hàm sóng có n-1 nút (mode)

Hình 2.3: Đồ thị hàm sóng và năng lượng trong giếng thế vuông một chiều sâu vô hạn Sơ đồ thế năng được cho ở hình 2.4

Hình 2.4: Sơ đồ thế năng giếng thế một chiều sâu hữu hạn đối xứng

Có thể thấy rằng khi năng lượng thì hạt tự do không bị liên kết, năng lượng là liên tục Ngược lại,khi hạt bị nhốt trong giếng năng lượng của hạt bị lượng tử hóa Ta sẽ giải phương trình schrodinger cho từng miền thế năng để tìm năng lượng và hàm sóng ứng với các trạng thái khác nhau của

Ta có phương trình schrodinger dừng một chiều

Hai phương trình siêu việt trên xác định các giá trị năng lượng cho phép của hạt trong giếng thế hữu hạn Giá trị năng lượng chứa trong số hạng

⁄ Các phương trình này không thể giải bằng phương pháp giải tích mà chỉ có thể giải bằng phương pháp tích số hoặc đồ thị Ở đây ta sẽ giải bằng phương pháp đồ thị

Hình 2.5a biểu biễn đồ thị của tan à theo ξ Hình 2.5b biểu biễn đồ thị của cot à theo ξ với các giá trị khác nhau, nghĩa là à khác nhau Giao điểm của các đường cong này xác định các giá trị cho phép ứng với các giá trị nhất định của Đối với trường hợp trạng thái chẵn, khi bé chỉ có một giao điểm, nghĩa là có một giá trị năng lượng cho phép Khi tăng số giá trị năng lượng cho phép tăng lên Trong trường hợp trạng thái lẻ vì cot 0nên khi ⁄ sẽ không có giao điểm nào xuất hiện, nghĩa là 2 không có giá trị năng lượng cho phép

Hình 2.5: a) Đồ thị của tan à theo ξ

b) Đồ thị của cot à theo ξ

ặ ħ

Như vậy, phổ năng lượng bao gồm các trạng thái chẵn và lẻ xen kẻ nhau, trong đó trạng thái cơ bản là trạng thái chẵn

Trường hợp giới hạn khi → ∞ ì → ∞ thì hàm sẽ cắt tan à cot tại các điểm tiệm cận ⁄ vì khi 2 → ∞ cả tan à cot đều tiến tới vô cùng

Hình 2.6: Sơ đồ 3 mức hàm sóng và năng lượng trong giếng thế một chiều Đường liền nét ứng với thế hữu hạn, đường đứt nét ứng với thế năng vô hạn

Từ đồ thị cho thấy rằng các hàm sóng “lan tỏa” qua miền Điều này có nghĩa là xác suất tìm hạt | | ở miền I và miền II khác không, nghĩa là hạt có thể có mặt ở bên ngoài giếng

2.2.2 Hố thế không đối xứng bề rộng a

Hạt có khối lượng m chuyển động trong trường thế có dạng 0 ,

Sơ đồ thế năng như hình 2.7 Xác định hàm sóng của hạt

Tìm hệ số phản xạ và hệ số truyền qua của hạt

Hình 2.7: Sơ đồ thế năng giếng thế một chiều sâu hữu hạn không đối xứng Các phương trình schrodinger trong các vùng I, II và III có dạng

Trong vùng III không có sóng phản xạ nên ta đặt 0

Từ điều kiện liên tục của à tại các điểm 0 à ta được

| | ,

Dễ dàng thấy rằng 1

2.3.Thế bậc thang

Xét hạt chuyển động trong trường thế có dạng hình 2.8

Hình 2.8: Sơ đồ thế năng hố thế bậc thang Thế năng có dạng

0, 0, , 0

Theo cơ học cổ điển hạt có năng lượng từ miền I đi qua miền II sẽ có động năng Trong trường hợp khi thì hạt có thể đi qua được miền II mà không bị cản trở Trong khi đó thì ở miền II động năng của hạt sẽ có giá trị âm Đây là điều không thể chấp nhận trong cơ học cổ điển, miền II được gọi là miền cấm cổ điển và hạt không thể đi vào miền này

Bây giờ ta sẽ khảo sát chuyển động của hạt theo quan điểm của cơ học lượng tử và tìm ra một số tính chất đặc thù của hạt vi mô

Ta có phương trình schrodinger cho từng miền