Tiểu luận lý thuyết đàn hồi - Chương trình đào tạo bậc Cao học

Cơ học vật rắn biến dạng là một ngành học lớn, nghiên cứu sự làm việc của vật rắn về mặt cơ học như trạng thái ứng suất, trạng thái chuyển vị và biến dạng…dưới các tác dụng bên ngoài (tải trọng, sự thay đổi nhiệt độ, sự chuyển vị cưỡng bức…Do các đối tượng nghiên cứu, đều kiện làm việc và mức độ yêu cầu nghiên cứu khác nhau nên trong quá trình phát triển, ngành học lớn này chia thành nhiều môn học riêng như sau: Sức bền vật liệu và cơ học kết cấu: (đàn hồi ứng dụng trong kỹ thuật):Chủ yếu nghiên cứu thanh và hệ thanh. Trong quá trình tính toán đã đưa ra các giả thiết để đơn giản việc nghiên cứu từ đó có những kết quả tiện lợi trong vấn đề tính toán. Lý thuyết đàn hồi : Nghiên cứu các vật rắn đàn hồi có hình dạng bất kỳ. Các lý thuyết khác : Lý thuyết dẻo: Nghiên cứu sự làm việc của vật liệu ở giai đoạn biến dạng dẻo, sự hình thành biến dạng dẻo và các ứng suất tương ứng. Lý thuyết từ biến: Nghiên cứu sự biến đổi theo thời gian của ứng suất và biến dạng của kết cấu dưới tác dụng của ngoại lực ban đầu (kể cả trường hợp ngoại lực không thay đổi theo thời gian). Lý thuyết lưu biến (Nghiên cứu về sự chảy của vật chất): Nghiên cứu những định luật chung về sự phát sinh và phát triển của biến dạng theo thời gian của vật chất do những nguyên nhân khác nhau trong những điều kiện nhiệt động và hóa lý khác nhau.Nhìn chung các môn học này đều có đối tượng và phương pháp nghiên cứu khác nhau nhưng mang tính tương đối. Trong thực tế ranh giới giữa các môn học này nhiều khi bị xóa bỏ và xâm nhập lẫn nhau.Lý Thuyết Đàn Hồi giải các bài toán liên quan đến việc xác định ứng suất và biến dạng, xuất hiện trong vật thể đàn hồi, dưới tác dụng của lực ngoài. Đây cũng chính là vấn đề đã giải quyết trong môn học sức bền vật liệu. Tuy nhiên, trong giáo trình sức bền vật liệu, nhiều giả thiết tính toán cụ thể khác nhau đã được sử dụng, nhằm thu được những lời giải gần đúng cho các bài toán riêng biệt và do đó, chỉ áp dụng được cho chính các bài toán này thôi. Lý Thuyết Đàn Hồi đặt ra mục tiêu là tìm những lời giải chính xác, dựa trên các giả thiết chung về tính chất của vật thể khảo sát mà không phụ thuộc gì vào hình dáng vật thể cũng như tính riêng biệt của tải trọng tác dụng lên vật thể. . . Vật thể khảo sát trong Lý Thuyết Đàn Hồi được giả thiết là có tính liên tục, tức, vật thể khảo sát luôn điền đầy không gian mà nó chiếm chỗ, trước cũng như sau khi bị biến dạng. Ta coi là trong mỗi thể tích bất kỳ, dù nhỏ đến đâu, cũng chứa vô số các phân tử và tác dụng của phần vật thể bị cắt bỏ lên phần khảo sát có thể đánh giá bằng trị số trung bình của sự thay đổi lực tương tác giữa các phần vật thể nằm về hai phía của mặt cắt. Các chuyển vị là những hàm liên tục của toạ độ các điểm. Tính chất liên tục cho phép ứng dụng giải tích các đại lượng vô cùng bé vào việc nghiên cứu biến dạng của vật thể đàn hồi. Sai số liên quan đến việc sử dụng tính chất nói trên là có thể bỏ qua trong các bài toán thực tế, vì nó chỉ đáng kể khi xác định ứng suất trên các diện tích với kích thước cỡ của khoảng cách phân tử và khi xác định các chuyển vị của các điểm mà khoảng cách giữa chúng cũng vào cỡ khoảng cách giữa các phân tử. Ngoài ra, cũng còn phải giả thiết rằng, có thể áp dụng các định luật của của tĩnh học và động lực học cho các phân tố nhỏ tuỳ ý, từ vật thể khảo sát. Các vật thể đàn hồi, là đối tượng nghiên cứu của môn học, còn có nhiều tính chất khác mà ta sẽ đề cập đến sau này khi thiết lập các phương trình cơ bản của Lý thuyết đàn hồi.

Lý thuyết đàn hồi Lời nói đầu Cơ học vật rắn biến dạng ngành học lớn, nghiên cứu làm việc vật rắn mặt học trạng thái ứng suất, trạng thái chuyển vị biến dạng…dưới tác dụng bên (tải trọng, thay đổi nhiệt độ, chuyển vị cưỡng bức… Do đối tượng nghiên cứu, kiện làm việc mức độ yêu cầu nghiên cứu khác nên trình phát triển, ngành học lớn chia thành nhiều môn học riêng sau: * Sức bền vật liệu học kết cấu: (đàn hồi ứng dụng kỹ thuật): Chủ yếu nghiên cứu hệ Trong q trình tính tốn đưa giả thiết để đơn giản việc nghiên cứu từ có kết tiện lợi vấn đề tính toán * Lý thuyết đàn hồi : Nghiên cứu vật rắn đàn hồi có hình dạng * Các lý thuyết khác : - Lý thuyết dẻo: Nghiên cứu làm việc vật liệu giai đoạn biến dạng dẻo, hình thành biến dạng dẻo ứng suất tương ứng - Lý thuyết từ biến: Nghiên cứu biến đổi theo thời gian ứng suất biến dạng kết cấu tác dụng ngoại lực ban đầu (kể trường hợp ngoại lực không thay đổi theo thời gian) - Lý thuyết lưu biến (Nghiên cứu chảy vật chất): Nghiên cứu định luật chung phát sinh phát triển biến dạng theo thời gian vật chất nguyên nhân khác điều kiện nhiệt động hóa lý khác Nhìn chung mơn học có đối tượng phương pháp nghiên cứu khác mang tính tương đối Trong thực tế ranh giới môn học nhiều bị xóa bỏ xâm nhập lẫn Lý Thuyết Đàn Hồi giải toán liên quan đến việc xác định ứng suất biến dạng, xuất vật thể đàn hồi, tác dụng lực Đây HVTH: Nguyễn Ngọc An – K31 - KTXDCTGT Lý thuyết đàn hồi vấn đề giải môn học sức bền vật liệu Tuy nhiên, giáo trình sức bền vật liệu, nhiều giả thiết tính tốn cụ thể khác sử dụng, nhằm thu lời giải gần cho toán riêng biệt đó, áp dụng cho tốn Lý Thuyết Đàn Hồi đặt mục tiêu tìm lời giải xác, dựa giả thiết chung tính chất vật thể khảo sát mà khơng phụ thuộc vào hình dáng vật thể tính riêng biệt tải trọng tác dụng lên vật thể Vật thể khảo sát Lý Thuyết Đàn Hồi giả thiết có tính liên tục, tức, vật thể khảo sát ln điền đầy khơng gian mà chiếm chỗ, trước sau bị biến dạng Ta coi thể tích bất kỳ, dù nhỏ đến đâu, chứa vô số phân tử tác dụng phần vật thể bị cắt bỏ lên phần khảo sát đánh giá trị số trung bình thay đổi lực tương tác phần vật thể nằm hai phía mặt cắt Các chuyển vị hàm liên tục toạ độ điểm Tính chất liên tục cho phép ứng dụng giải tích đại lượng vô bé vào việc nghiên cứu biến dạng vật thể đàn hồi Sai số liên quan đến việc sử dụng tính chất nói bỏ qua tốn thực tế, đáng kể xác định ứng suất diện tích với kích thước cỡ khoảng cách phân tử xác định chuyển vị điểm mà khoảng cách chúng vào cỡ khoảng cách phân tử Ngoài ra, cịn phải giả thiết rằng, áp dụng định luật của tĩnh học động lực học cho phân tố nhỏ tuỳ ý, từ vật thể khảo sát Các vật thể đàn hồi, đối tượng nghiên cứu mơn học, cịn có nhiều tính chất khác mà ta đề cập đến sau thiết lập phương trình Lý thuyết đàn hồi Lý thuyết tổng quát trạng thái ứng suất biến dạng điểm môi trường liên tục HVTH: Nguyễn Ngọc An – K31 - KTXDCTGT Lý thuyết đàn hồi Trong hệ tọa độ Decartes cho vật thể chịu tác dụng ngoại lực, bao gồm: * Lực thể tích: Là lực phân bố không gian vật thể, đặc trưng cường độ f lực đơn vị thể tích, có hình chiếu lên trục tọa độ x, y, z là: fx , fy , fz * Lực diện tích (lực bề mặt): Là lực tác dụng phần hay toàn bề mặt giới hạn vật thể, đặc trưng cường độ f * lực đơn vị diện * tích, có hình chiếu lên ba trục tọa độ x, y, z f *x , f y , f *z Dưới tác dụng này, vật thể nằm trạng thái cân tĩnh động nên phần tử vật chất vật thể nằm trạng thái cân tương ứng Tưởng tượng dùng họ mặt phẳng vng góc với trục toạ độ cách đoạn vi phân dx, dy, dz cắt qua vật thể (hình vẽ 2.1) ta nhận : a y dx dx dy a Phần tử loại dy b b Phần tử loại (Hình 2.1) x M(x,y,z) z * Những phần tử hình hộp có sáu mặt cắt bên vật thể gọi phần tử loại * Những phần tử có mặt bề mặt vật thể gọi phần tử loại 2, trường hợp tổng quát, phần tử loại khối tứ diện Điều kiện cân vật thể đảm bảo thông qua điều kiện cân tất phần tử loại loại * Phương trình vi phânycân :  xy cân bằngP(x,y+dy,z) Trước tiên ta khảo sát phần tử loại 1xylấy điểm M(x,y,z)  xy  dx x x  x  toạ độ :dxf , f , f - Ngoại lực lực thể tích f có hình chiếu lên N(x+dx,y,z) trục  xz  x  Q(x,y,z+dz)   - Nội lực ứng suất mặt phần tử, hàm xz ứng suấtdx dy a Lực tác dụng lên phần tử : x x xz dx HVTH: Nguyễn Ngọc An – K31 - KTXDCTGT z x x y z Lý thuyết đàn hồi số liên tục tọa độ điểm M(x,y,z) (Hình 2.2)  Hai mặt vng góc với trục x: + Mặt qua điểm M(x,y,z) có thành phần ứng suất : x , xy , xz + Mặt qua điểm N(x+dx,y,z): khai triển theo Taylor bỏ qua số hạng vơ bé bậc cao có thành phần ứng suất :   x    dx ;   dx;   dx x x x xy x xy xz xz Tương tự:  Hai mặt vuông góc với trục y: + Mặt qua điểm M(x,y,z) có ứng suất : y , yx , yz + Mặt qua điểm P(x,y+dy,z) có ứng suất : y   y   dy ;  yx  yx dy;  yz  yz dy y y y  Hai mặt vng góc với trục z: + Mặt qua điểm M(x,y,z) có ứng suất z , zx , zy + Mặt qua điểm Q(x,y,z+dz) có ứng suất : z    z  dz ;  zx  zx dz;  zy  zy dz z z z * MẶT CHÍNH - PHƯƠNG CHÍNH - ỨNG SUẤT CHÍNH HVTH: Nguyễn Ngọc An – K31 - KTXDCTGT Lý thuyết đàn hồi * Mặt mặt có ứng suất tiếp khơng; * Phương phương pháp tuyến mặt * Ứng suất ứng suất pháp mặt Ký hiệu  n  Giả sử có phương n với l = cos (n, x) m = cos (n , y) n = cos (n , z) Trên mặt ứng suất tồn phần Pn có phương vng góc với mặt có giá trị Pn  n Do hình chiếu Pnx, Pny, Pnz Pn lên trục x, y, z : Pnx = n.l Pny = n.m (2.9) Pnz = n.n Thay (2.4) (2.9) ta có hệ phương trình: (   x xy  l zx l  n ) l   (    yz m y yx   m   tb ) m ( z  zx     tb n xz 0 n )n   0  0   ( 2.10) Hệ (2.10) có nghiệm tầm thường l = m = n =0 không thỏa mãn điều kiện l2 + m2 + n2 = (2.11) Để hệ (2.10) có nghiệm khơng tầm thường định thức hệ số phải không:  yx  zx  ( x   n )    Det   xy ( y   n )  xz  0   zx  yz ( z   n )    ( 2.12) Khai triển (2.12) ta phương trình bậc ứng suất  n : 3n  I12n  I 2n  I3 0 Trong đó: I1  x (2.13)  y I2  xy I3  x  yz  z   yz  zx   xy  yz  zx   (  xy   yz ( x  yz     z 2 ) xy    zx )   y 2 zx (2.14) Các hệ số I1, I2 , I3 phương trình tìm ứng suất giá trị HVTH: Nguyễn Ngọc An – K31 - KTXDCTGT Lý thuyết đàn hồi không đổi ta xoay trục Chúng gọi bất biến thứ nhất, bất biến thứ hai bất biến thứ ba trạng thái ứng suất điểm - Giải phương trình bậc (2.13) ta nhận ba giá trị ứng suất chính, giá trị thực, kí hiệu  ; ; theo qui ước      - Phương : sau có ứng suất  ; ; ứng với  i sử dụng hệ phương trình (2.10) phương trình (2.11) để tìm cosin phương l i, mi, ni ứng suất  i Kết ta có ba phương tương ứng với ba ứng suất  ; ; Ba phương trực giao với lập thành hệ trục tọa độ, ký hiệu trục 1,2,3 Tenxơ ứng suất viết : T  1    0 0    3   2 Các bất biến trạng thái ứng suất : I1 I  1   2  1  I3  1 3  3   3   1      Tùy theo giá trị ứng suất chính, ta phân loại trạng thái ứng suất thành trạng thái ứng suất đơn; trạng thái ứng suất phẳng trạng thái ứng suất khối * Những bất biến tenxơ ứng suất: I = x + y + z = const 2 II = x y + y z + z x -  xy -  yz - 2zx = const 2 III = x y z + 2xy yz zx - x  yz - y 2zx - z  xy = const * Ứng suất tiếp lớn Ứng suất tiếp lớn tác dụng mặt phân giác góc ứng suất lớn nhỏ max  (1  3 ) HVTH: Nguyễn Ngọc An – K31 - KTXDCTGT Lý thuyết đàn hồi Ứng suất pháp mặt ứng suất tiếp lớn có giá trị:  max  (1  3 ) 1.2 Trạng thái biến dạng * Tenxơ biến dạng nhỏ Biến dạng phân tố hình hộp vơ nhỏ phân tích thành sáu thành phần biến dạng: ba thành phần biến dạng thẳng (sự dãn dài cạnh): x , y , z ba thành phần biến dạng góc : xy , yz , xz Trong trường hợp biến dạng vô bé, tenxơ biến dạng biễu diễn sau:   x  1  yx 1  zx 2 xy  xz    yz    z   y zy Tenxơ biến dạng đối xứng, để đơn giản ta biểu diễn dạng:   x       xy y  xz    yz   z    Tại điểm vật thể tồn ba hướng vng góc với nhau: gọi trục biến dạng, thớ theo hướng thay đổi độ dài (biến dạng góc trượt theo trục không) Đối với vật liệu đẳng hướng, hướng ứng suất biến dạng trùng * Bất biến tenxơ biến dạng: I = x + y + z = const II = x y + y z + z x - ( xy  2yz  zx2 ) = const HVTH: Nguyễn Ngọc An – K31 - KTXDCTGT Lý thuyết đàn hồi 1   z 2xy  = const III = x y z  xy yz zx    x 2yz   y zx 4 1.3 Lý thuyết tổng quát trường ứng suất biến dạng môi trường liên tục 1.3.1 Phương trình tĩnh học Xét chuyển vị điểm M hệ Oxyz, thành phần chuyển vị theo trục x, y, z u, v, w Giả thiết chuyển vị nhỏ, thành phần hình chiếu gia tốc có dạng: 2 u 2 v 2 w ; ; t t t Theo định luật II Newton:  X m 2 u t ;  X m 2 v t ;  X m 2 w t Chiếu lên trục Ox ứng suất pháp ứng suất tiếp song song với trục Ox Khai triển điều kiện cân bằng, ta có:  xy    x     dx dydz   dydz    dy  dxdz   xydxdz  x x xy    x  y   xz  u    dz dydx   dydx  X  dxdydz  dxdydz xz xz   z t Với:  trọng lượng riêng Tương tự, ta khai triển phương trình động học trục Oy, Oz Rút gọn, ta phương trình tĩnh học:  x  xy  xz 2 u     X   x y z t    yx  y  yz 2 v    Y    x  y  z t    zy z 2 w zx    Z   y z t  x 1.3.2 Liên hệ vi phân độ dãn dài tỉ đối () góc trượt tỉ đối () HVTH: Nguyễn Ngọc An – K31 - KTXDCTGT Lý thuyết đàn hồi Phương trình Cơsi: ; xy  u y ; yz  w v  y z u z ; zx  u w  z x y  z  u v  y x u x x  1.3.3 Phương trình liên tục biến dạng  2 x 2 y 2 xy    x xy  y  2  y 2   yz z    y yz  z  2   2  2z  2x   xz z xz  x        yz  zx  xy  2   z  z  x y z  xy     zx  xy  yz  2   x   x  y z x  yz      xy yz zx  2 y       x y  zx  y  z 1.4 Những phương trình lý thuyết đàn hồi Nhiệm vụ chủ yếu lý thyết đàn hồi tìm nghiệm xác nghĩa tìm hàm ứng suất, chuyển vị biến dạng cho điểm vật thể thỏa mãn điều kiện cân bằng; liên tục điểm bên ngồi nội lực cân ngoại lực tác động bề mặt vật thể Để giải toán đàn hồi cần nhóm phương trình sau: a) Các phương trình tĩnh học: HVTH: Nguyễn Ngọc An – K31 - KTXDCTGT Lý thuyết đàn hồi  x  xy  xz 2 u     X  0(hay  )  x  y  z  t  2 v   yx  y  yz     Y  0(hay  )   x  y  z  t    zy z 2 w zx    Z 0(hay  )  y z t  x (A) b) Các phương trình hình học: x  u x ; xy  u v  y x y  u y ; yz  w v  y z z  u z ; zx  u w  z x (B) c) Các phương trình vật lý: x = 2G x +  ; xy = G xy y = 2G y +  ; yz = G yz z = 2G z +  ; zx = G zx (C) Như ta có 15 ẩn với 15 phương trình, mặt tốn học tốn giải Từ hệ (A), (B), (C) ta suy hệ phương trình sau: px = x cos(x,) + xy cos(y,) + xz cos(z,) py = yx cos(x,) + y cos(y,) + yz cos(z,) (D) Pz = zx cos(x,) + zy cos(y,) + z cos(z,) Và: HVTH: Nguyễn Ngọc An – K31 - KTXDCTGT 10 Lý thuyết đàn hồi  2 x 2 y 2 xy    x xy  y  2  y 2   yz z    y yz  z  2   2  2z  2x   xz z xz  x        yz  zx  xy  2   z  z  x y z  xy     zx  xy  yz  2   x   x  y z x  yz      xy yz zx  2 y      2 x y  zx  y  z (E) Nghiệm có nhóm phương trình (A), (B), (C) tìm theo hướng chính:  Lấy chuyển vị làm ẩn số  Lấy ứng suất làm ẩn số  Phương pháp hỗn hợp: ẩn số vừa chuyển vị, vừa ứng suất HVTH: Nguyễn Ngọc An – K31 - KTXDCTGT 11 Lý thuyết đàn hồi GIẢI BÀI TẬP THEO LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Đề bài: Cho Một dầm bê tông cốt thép hình hộp chữ nhật có chiều dài lớn (u z=0, biến dạng phẳng), chiều cao h=0,8m, chiều rộng b=0,3m, vật liệu Bê tơng cốt thép có mơ đun đàn hồi E=27.103kN/m2, hệ số poatxong =0,15 Dưới tác dụng tải trọng phân bố P=100kN/m2 tựa nhẵn ( yx=0), tuyệt đối cứng (ux=0) ,như hình vẽ Hãy xác định trạng thái ứng suất biến dạng Giải toán theo Lý thuyết đàn hồi: Sử dụng phương pháp giải hàm ứng suất- chuyển vị Các thành phần chuyển vị theo phương x phương y xác định theo phương trình: ux  2  ay  b x y  2 2  u y  2(1   )  (1  2 )    ax  c x y   (1) (2) Các thành phần ứng suất xác định theo công thức HVTH: Nguyễn Ngọc An – K31 - KTXDCTGT 12 Lý thuyết đàn hồi E E (1   )   2 2  x  (exx  1.e yy )  (  )  1 (1   ) y   y x (3) E E (1   )  2   2  y  (eyy  1.exx )  (  )  1 (1   ) y y   x (4)  yz  xz  u u E1 E   2 2  ( x  y)  (1   )   )  2(1  1 ) y x (1   ) x  x y  (5) Cho hàm  dạng đa thức bậc ba:  Ax y  By Trong A, B số chưa biết: Theo phương trình (1) đến (5) ta tìm ứng suất chuyển vị: u x 2Ax  ay  b u y 2  2(1   ) A  3(1   ) B  y  ax  c x  E (1   ) 3 ( B  A) (1   )   y  E (1   ) 2  (3B  A) (1   ) 1  xz= yz=0 Điều kiện biên toán: Với x=0 ux = xz = Với x=h x = -P; xz = Với y= b y = yz = Cho thõa mãn điều kiện ta : A (1   ) p B    A ; 3(1   ) 2E Cuối ta có: Chuyển vị theo phương x: HVTH: Nguyễn Ngọc An – K31 - KTXDCTGT 13 Lý thuyết đàn hồi u x  (1   ) p x E Chuyển vị theo phương y: u y   (1   ) p y E Các thành phần ứng suất: x= -p, y = yz = xz = Thay thông số vật liệu : =0,15 ; E=27.103kN/m2 ; p=100kN/m2 ; h= 0,8m ; b=0,3m vào ta có : Chuyển vị : u x  (1   ) p (1  0,152 )100 x  0,8 2,896.10  m 2,896mm E 27.10 u y   (1   ) p 0,15(1  0,152 )100 y  0,3 1,917.10 m 0,192mm E 27.103 Ứng suất: x= p=100kN/m2 Giải toán theo Lý thuyết sức bền vật liệu: Để giải toán theo lý thuyết sức bền vật liệu ngồi giả thiết theo lý thuyết đàn hồi, ta cần tuân thêm giả thuyết sau: - Trong trình biến dạng mặt cắt ngang luôn phẳng vng góc với trục - Trong qua trình biến dạng thớ dọc không ép lên không đẩy lên Với giả thuyết trên mặt cắt ngang tồn ứng suất pháp x ứng suất tiếp Ứng suất pháp z: x  Nx P 100kN / m F HVTH: Nguyễn Ngọc An – K31 - KTXDCTGT 14 Lý thuyết đàn hồi Chuyển vị theo phương x: ux  N x l P.h 100.0,8   2,963.10 m=2,963mm EF E 27.10 Chuyển vị theo phương y: u y .u y  N z l P.b 100.0,3  0,15 1, 666.10  m=0,167mm EF E 27.10 NHẬN XÉT 1)Nguyên nhân sai khác kết phương pháp tính theo lý thuyết đàn hồi sức bền vật liệu là: + Các cơng thức tính sức bền vật liệu dựa vào giả thiết tiết diện phẳng v giả thiết có tính đơn giản hóa + Lý thuyết đàn hồi giải tốn cách chặt chẽ với số lượng giả thiết + Việc tính toán Lý thuyết đàn hồi dựa vào giả thiết hơn, nhờ mà tìm kết xác gần với thực tế; nhiên việc tính tốn có phần phức tạp Sức bền vật liệu nhiều 2)Khi giải toán phẳng, vật thể bị chịu nén dọc truc theo phương thẳng đứng rút nhận xét sau: Chỉ tồn thành phấn ứng suất nén có giá trị độ lớn tải trọng tác dụng lên vật thể ngược chiều Thành phần ứng suất pháp tuyến theo phương trục y trục z không Thành phần ứng suất phương x y không Thành phần chuyển vị theo phương chịu tải trọng lớn chuyển vị phương lại Độ lớn chuyển vị phụ thuộc vào tải trọng tác dụng, mơ đun đàn hồi hệ số nở hông vật liệu HVTH: Nguyễn Ngọc An – K31 - KTXDCTGT 15