Đang tải... (xem toàn văn)
Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số CUC CHẤT
WWW.VNMATH.COM M t s phương pháp gi i h phương trình hai n s _ M CL C Trang • I- Phương pháp th • II- Phương pháp 03 t n ph 11 • III- Phương pháp s d ng tính ơn i u c a hàm s 21 • IV- Phương pháp ánh giá 25 • V- Phương pháp c ng 27 is • VI- Bài t p t luy n 29 Giáo viên: Nguy n Trung Nghĩa - Trư ng THPT chuyên Qu c H c - Hu WWW.VNMATH.COM M t s phương pháp gi i h phương trình hai n s _ I- PHƯƠNG PHÁP TH • M c ích: ưa vi c gi i h phương trình hai n v gi i phương trình m t n • Dư i ây m t s h phương trình mà có kh gi i c b ng phương pháp th H phương trình có m t phương trình phương trình b c nh t v i n x (ho c y) • Phương pháp: Tính x theo y (ho c y theo x) r i th vào phương trình cịn l i • M t s ví d : Ví d 1: x + 2y = Gi i h phương trình: 2 x + y − xy = (1) (2) Gi i: y = (1) ⇔ x = − y , thay vào (2), ta c: (2) ⇔ 10 y2 − 30 y + 20 = ⇔ y = • V i y = ta c x = • V i y = ta c x = V yh ã cho có hai nghi m: x = 3, y = x = 1, y = Ví d 2: ( thi i h c kh i A năm 2008) x + x y + x y = x + (1) Gi i h phương trình: (2) x + xy = x + (I) Gi i: Cách 1: Nh n xét x = không th a mãn h phương trình −x2 + 6x + Xét x ≠ , ta có ( ) ⇔ y = th vào phương trình (1), ta c: 2x −x2 + 6x + −x2 + 6x + 1) ⇔ x + x ( + x = 2x + 2x 2x x = (lo¹i) ⇔ x + 12 x + 48 x + 64 x = ⇔ x ( x + ) = ⇔ x = −4 • x = −4 ⇒ y = − 17 17 V y h phương trình ã cho có m t nghi m ( x; y ) = −4; − 4 Giáo viên: Nguy n Trung Nghĩa - Trư ng THPT chuyên Qu c H c - Hu WWW.VNMATH.COM M t s phương pháp gi i h phương trình hai n s _ x + xy = x + (1) Cách 2: (I) ⇔ x2 xy = x + − (2) ( ) Thay xy = 3x + − x2 vào (1), ta c phương trình: 2 x = x2 x + 3x + − = x + ⇔ x + 12 x + 48 x + 64 x = ⇔ x ( x + ) = ⇔ x = −4 • x = khơng th a mãn (2) • x = −4 ⇒ y = − 17 17 V y h phương trình ã cho có m t nghi m ( x; y ) = −4; − 4 H phương trình có m t phương trình ưa v c phương trình tích • Phương pháp: Phân tích m t phương trình c a h v phương trình tích, sau ó tính c x theo y (ho c y theo x) r i th vào phương trình cịn l i • M t s ví d : Ví d 1: ( thi i h c kh i A năm 2003) 1 x − = y − Gi i h phương trình: x y 2 y = x3 + (1) (2) Gi i: Cách 1: (Rút th ) i u ki n xác (2) ⇔ y = nh: x ≠ 0; y ≠ x3 + , th vào (1) ta c: (1) ⇔ x − x + x + x − x − x + = ( ) ⇔ ( x − 1) x + x − x + x + x + x − = x = ⇔ x + x − x + x + 3x + x − = • V i x = ta c y = (*) Giáo viên: Nguy n Trung Nghĩa - Trư ng THPT chuyên Qu c H c - Hu WWW.VNMATH.COM M t s phương pháp gi i h phương trình hai n s _ • Gi i phương trình (*): (*) ⇔ x x + x − + x x + x − + x + x − = ( ) ( ( )( ) ( ) ) ⇔ x2 + x − x4 + x + = x2 + x − = ⇔ x4 + x + = • x2 + x − = ⇔ x = −1 ± 2 1 1 • x + x + = ⇔ x − + x + + = (phương trình vơ nghi m) 2 2 V y h phương trình ã chó có nghi m là: −1 + −1 + −1 − −1 − (x ; y) = (1;1), ( x; y) = ; , ( x; y ) = ; 2 Cách 2: (Phân tích m t phương trình c a h v phương trình tích) nh: x ≠ 0; y ≠ y = x (1) ⇔ ( x − y) + = ⇔ y = − xy x i u ki n xác x = • V i y = x , th vào (2), ta c: (2) ⇔ x − x + = ⇔ x = −1 ± • V i y = − , th vào (2), ta c: x 2 1 1 (2) ⇔ x + x + = ⇔ x − + x + + = (phương trình vơ nghi m) 2 2 V y h phương trình ã chó có nghi m là: −1 + −1 + −1 − −1 − (x ; y) = (1;1), ( x; y) = ; , ( x; y ) = ; Ví d 2: ( thi i h c kh i D năm 2008) xy + x + y = x − y Gi i h phương trình: x 2y − y x −1 = 2x − 2y (1) (2) Giáo viên: Nguy n Trung Nghĩa - Trư ng THPT chuyên Qu c H c - Hu WWW.VNMATH.COM M t s phương pháp gi i h phương trình hai n s _ y ≥ nh: x ≥ Gi i: i u ki n xác (1) ⇔ ( x + y) ( x − y − 1) = ⇔ x = y + (vì x + y > i u ki n xác nh) Thay x = y + vào (2) ta c (2) ⇔ ( y + 1) y = 2( y + 1) ⇔ y = (vì y + > ) • V i y = ta c x = V y h có m t nghi m ( x; y) = (5;2) Chú ý: Ta có th phân tích (1) thành phương trình tích b ng cách sau: (1) ⇔ x − ( y + 1) x − y − y = Xem ây phương trình b c hai theo n x, ta tính c ∆ = ( y + 1) ( y + 1) + (3 y + 1) x = x = 2y + Do ó: (1) ⇔ ⇔ x = −y x = ( y + 1) − (3 y + 1) Ví d 3: ( thi i h c kh i A năm 2011) 5 x y − xy + y − ( x + y ) = (1) Gi i h phương trình: 2 (2) xy x + y + = ( x + y ) ( ) Gi i: Nh n xét x = y = không ph i nghi m c a h xy = ( ) ⇔ xy ( x + y2 ) + = x + y2 + xy ⇔ ( xy − 1) ( x + y2 − ) = ⇔ 2 x + y = • xy = ⇔ x = thay vào (1), ta c: (1) ⇔ y − y + = ⇔ y = ±1 y Trong trư ng h p này, h có hai nghi m ( x; y ) = (1;1) ho c ( x; y ) = ( −1; −1) • x + y = thay vào (1), ta c: (1) ⇔ 5x y − xy2 + 3y3 − ( x + y ) ( x + y ) = ⇔ y3 − xy + x y − x = (phơng trình đẳng cấp bậc đối víi x vµ y) y y y ⇔ − + − = x x x Giáo viên: Nguy n Trung Nghĩa - Trư ng THPT chuyên Qu c H c - Hu WWW.VNMATH.COM M t s phương pháp gi i h phương trình hai n s _ y x =1 x = y ⇔ ⇔ x = 2y y = x • V i x = y , ta gi i c ( x; y ) = (1;1) ho c ( x; y ) = ( −1; −1) • V i x = y , thay vào (2), ta c: (2) ⇔ y = ⇔ y = ± 2 , suy x = ±2 5 Tóm l i, h 2 2 ã cho có t p nghi m: S = (1;1) , ( −1; −1) , ;2 , − ; −2 5 Ví d 4: ( thi i h c kh i D năm 2012) 2 x − x y + x + y − xy − y = Gi i h phương trình: xy + x − = (1) (2) Gi i: Cách 1: (Rút th ) Nh n xét x = không th a mãn (2) nên (2) ⇔ y = 2−x , thay vào (1), ta c: x 2−x 2−x (1) ⇔ x − x ( − x ) + x + − ( − x ) − x = ⇔ x + x − x − 3x + = x x = ⇔ ( x − 1) x + x + x + x − = ⇔ x + x + x + x − = (*) ( ) • V i x = , ta c y = 1 35 t x = t − , (*) tr thành: t + t − =0⇔t =± 2 16 Gi i (*): •V i t= 5 −1 , ta c x = y = 2 • V i t=− − −1 , ta c x = y = − 2 V y h phương trình ã cho có nghi m: −1 − −1 ; , ( x; y ) = ;− (x ; y) = (1;1), ( x; y) = Giáo viên: Nguy n Trung Nghĩa - Trư ng THPT chuyên Qu c H c - Hu WWW.VNMATH.COM M t s phương pháp gi i h phương trình hai n s _ Chú ý: • th hàm s f ( x ) = x + x + x + x − có tr c i x ng ng th ng x = − nghi m chung c a phương trình f ' ( x ) = f ''' ( x ) = ) Do ó ta x = t − phương trình (*) s ưa v c phương trình trùng phương (x =− t • Có th phân tích f ( x ) = x + x + x + x − thành tích hai tam th c b c hai b ng cách s d ng máy tính Casio 570ES sau: + S d ng ch c SOLVE ta tìm c m t nghi m x1 ≈ 0,6180339887 → A (gán cho bi n nh A) + S d ng ch c SOLVE ta tìm c m t nghi m n a x2 ≈ −1,618033989 → B (gán cho bi n nh B) + Tính c A + B = −1; A.B = −1 , suy x1 ; x2 nghi m c a phương trình x + x − = + Th c hi n phép chia x + x + x + x − cho x + x − , ta c: ( )( x + x3 + x2 + x − = x2 + x − x2 + x + ) Cách 2: (Phân tích m t phương trình c a h v phương trình tích) y = 2x + (2) ⇔ ( x − y + 1) x − y = ⇔ y = x −1 ± • V i y = x + , thay vào (1) ta c (1) ⇔ x + x − = ⇔ x = −1 − −1 Do ó ta c nghi m ( x; y) = ; , ( x; y) = ;− • V i y = x , thay vào (1) ta c (1) ⇔ x + x − = ⇔ x = Do ó ta c nghi m (x ; y) = (1;1) ( V yh ) ã cho có ba nghi m: −1 − −1 (x ; y) = (1;1), ( x; y) = ; , ( x; y ) = ;− H phương trình có m t phương trình ưa v y sau rút th • Phương trình ng c p b c n c phương trình ng c p iv ix i v i x y phương trình có d ng: a0 x n + a1 x n−1 y + a2 x n −2 y + + an−1 xy n −1 + an y n = (1) v i a0 ≠ • Phương pháp gi i (1): Giáo viên: Nguy n Trung Nghĩa - Trư ng THPT chuyên Qu c H c - Hu WWW.VNMATH.COM M t s phương pháp gi i h phương trình hai n s _ Xét y = 0; x = có ph i nghi m c a (1) hay không Xét y ≠ , chia hai v c a (1) cho y n , ta c: n x x (1) ⇔ a0 + a1 y y n −1 + + an −1 x + an = (2) y t t= x (2) tr thành: y a0t n + a1t n−1 + + an −1t + an = (3) Gi i phương trình (3) ta tìm c t, có t ta tính c x theo y Sau ó dùng phương pháp th gi i h phương trình ã cho • M t s ví d minh h a: Ví d 1: ( thi i h c d b kh i A năm 2006) x − x = y3 + y Gi i h phương trình: 2 x − = y +1 ( ) (I) Gi i: 3 x − y3 = ( x + y ) 3 x − y = ( x + y ) (1) (I) ⇔ ⇔ 2 x − 3y = (2) x − 3y2 = ( ) Th x − 3y = vào (1), ta c: (1) ⇔ ( x − y3 ) = ( x − 3y2 ) ( x + y ) ⇔ x + x y − 12 xy2 = Ta th y (*) m t phương trình x = (*) ⇔ x = y x = −4 y ng c p b c (*) i v i x y • x = th vào (2) ta c −3y2 = (vơ nghi m) • x = 3y th vào (2) ta c y2 = ⇔ y = ±1 • x = −4 y th vào (2) ta c y2 = V yh 6 ⇔y=± 13 13 ã cho có nghi m là: ( x; y ) = ( 3;1) , ( x; y ) = ( −3; −1) , ( x; y ) = Ví d 2: ( thi th 6 6 ;− ; , ( x; y ) = −4 13 13 13 13 i h c l n kh i A trư ng THPT chuyên Vĩnh Phúc năm 2013) x + y = y3 + 16 x (1) Gi i h phương trình: 2 (2) 1 + y = + x ( ) Giáo viên: Nguy n Trung Nghĩa - Trư ng THPT chuyên Qu c H c - Hu WWW.VNMATH.COM M t s phương pháp gi i h phương trình hai n s _ Gi i: (1) ⇔ x + ( y − x ) − y3 = (2) ⇔ y − 5x = th vào (1) ta c: ( (1) ⇔ x + y − 5x )( y − 4x ) − y = ⇔ 21x − x y − xy = ⇔ x = hc x = −1 y x = y ã x = th vào (2) ta c y = ⇔ y = ±2 • x= −1 y th vào (2) ta c y = ⇔ y = ±3 • x= 31 y th vào (2) ta c − y = (vô nghi m) 49 V yh ã cho có nghi m là: ( x; y ) = ( 0;2 ) , ( x; y ) = ( 0; −2 ) , ( x; y ) = (1; −3) , ( x; y ) = ( −1;3) 10 Giáo viên: Nguy n Trung Nghĩa - Trư ng THPT chuyên Qu c H c - Hu WWW.VNMATH.COM M t s phương pháp gi i h phương trình hai n s _ II- PHƯƠNG PHÁP T N PH • M c ích: ưa h phương trình ã cho v h phương trình ơn gi n có th gi i c b ng phương pháp rút th • Phương pháp chung: t a = f ( x, y) b = g ( x; y) r i tìm i u ki n c a a b (n u có) Sau ó ưa h ã cho v h phương trình hai n a b mà có th gi i c b ng phương pháp th • Các k thu t hay dùng: + S d ng h ng ng th c nhóm s h ng + Chia hai v cho m t bi u th c khác • Chú ý: Mu n t c n ph ta ph i quan sát, phân tích, tìm m i liên h gi a bi u th c, s h ng m i phương trình Do ó, ph i làm nhi u t p, t ó m i tích lũy c kinh nghi m, s linh ho t phép t n ph Ví d 1: ( thi i h c kh i B năm 2002) 3 x − y = Gi i h phương trình: x + y = x− y (1) x+ y+2 (2) Gi i: Cách 1: (Phương pháp th ) x − y ≥ Khi ó nh: x + y + ≥ x − y = x = y (1) ⇔ ( x − y)2 = ( x − y)3 ⇔ ⇔ x − y = x = y +1 i u ki n xác • V i x = y , th vào (2), ta c: y ≥ y ≥ (2) ⇔ y = y + ⇔ ⇔ ⇔ y =1 y = 1∨ y = − 4 y − y − = • V i x = y + , th vào (2), ta c: y ≥ − 2y + ≥ (2) ⇔ y + = y + ⇔ ⇔ ⇔y= 4 y + y − = y = −1 ∨ y = V y h có hai nghi m x = 1, y = x = , y = 2 Cách 2: (Phương pháp t n ph ) t u = x − y v = x + y + ( i u ki n u ≥ v ≥ ) H ã cho tr thành: 11 Giáo viên: Nguy n Trung Nghĩa - Trư ng THPT chuyên Qu c H c - Hu WWW.VNMATH.COM M t s phương pháp gi i h phương trình hai n s _ t a = x + y + b = x + y v i i u ki n a ≥ b ≥ h ã cho tr thành: a2 + b2 = b2 + b − = a = 2; b = ⇔ ⇔ a = −1; b = −2 (lo¹i) a − b = a = + b 2x + y + = 2 x + y = x = • V i a = 2; b = ta có h ⇔ ⇔ x + y =1 x + y = y = −1 V y h có nghi m ( x; y ) = ( 2; −1) Ví d 8: ( thi i h c d b kh i B năm 2005) x + y2 + x + y = Gi i h phương trình: x ( x + y + 1) + y ( y + 1) = Gi i: t a = x + y b = xy h ã cho tr thành: a + a − 2b = a + a = a = a = −1 hc ⇔ ⇔ b = −2 b = −2 b = −2 b = −2 x = x = − x + y = ã xy = y = − y = 2 x + y = −1 x = x = ã xy = −2 y = −2 y = V y h ã cho có nghi m là: ( x; y ) = (1; −2 ) ; ( x; y ) = ( −2;1) ; ( x; y ) = ( − Ví d 9: ( thi ) 2; ; ( x; y ) = ( ) 2; − i h c d b kh i B năm 2005) x + y2 Gi i h phương trình: 2 x −y ( ( ) ( x − y ) = 13 ) ( x + y ) = 25 (1) (2) (I) Gi i: Cách 1: (Phương pháp th ) 25 x + y ( x − y ) = 13.25 (* ) (I) ⇔ 2 x − y ( x + y ) = 25 Th x − y ( x + y ) = 25 vào (*), ta có: ( ) ( ( ) ) (* ) ⇔ 25 ( x + y2 ) ( x − y ) = 13 ( x − y2 ) ( x + y ) 17 Giáo viên: Nguy n Trung Nghĩa - Trư ng THPT chuyên Qu c H c - Hu WWW.VNMATH.COM M t s phương pháp gi i h phương trình hai n s _ x − y = 3y 2y ho c x = ⇔ ⇔ x = y ho c x = 2 25 x + y = 13 ( x + y ) • V i x = y h vơ nghi m 3y (1) ⇔ y3 = ⇔ y = , suy x = • V i x= 2y (1) ⇔ y3 = −27 ⇔ y = −3 , suy x = −2 • V i x= V y h ã cho có hai nghi m là: ( x; y ) = ( 3;2 ) ( x; y ) = ( −2; −3) Cách 2: (Phương pháp t n ph ) ( x − y )2 + xy ( x − y ) = 13 (I) ⇔ ( x − y ) ( x − y ) + xy = 25 a = a + b a = 13 a + 2ab = 13 t a = x − y b = xy , h tr thành: ⇔ ⇔ a a + 4b = 25 a + ab = 25 b = x − y = x = 3; y = ⇔ • xy = x = −2; y = −3 ( ) ( ) ( ) V y h ã cho có hai nghi m là: ( x; y ) = ( 3;2 ) ( x; y ) = ( −2; −3) Cách 3: (Phương pháp t n ph ) • Nh n xét v i y = h (I) vơ nghi m • Xét y ≠ , t x = ty (I) tr thành: t + ( t − 1) = 13 (3) y t + ( t − 1) = 13 (*) ⇔ 2 y t − ( t + 1) = 25 t − ( t + 1) = 25 (4) Nh n xét t = không ph i nghi m c a (*) nên l y (4) chia (3), v theo v ta c: ( t + 1)( t + 1) = 25 ⇔ 6t − 13t + = ⇔ t = ∨ t = 13 t2 + 3y • V i t = hay x = (1) ⇔ y3 = ⇔ y = , suy x = 2 2y (1) ⇔ y3 = −27 ⇔ y = −3 , suy x = −2 • V i t = hay x = 3 V y h ã cho có hai nghi m là: ( x; y ) = ( 3;2 ) ( x; y ) = ( −2; −3) Chú ý: H (I) ví d m t trư ng h p c bi t c a h sau ây (h ng c p): n n −1 n −1 n m m −1 m −1 a0 x + a1 x y + + an−1 xy + an y = b0 x + b1 x y + + bm −1 xy + bm y m (*) p p −1 p −1 p q q −1 q −1 q c0 x + c1 x y + + c p −1 xy + c p y = d0 x + d1 x y + + dq −1 xy + dq y Trong ó m, n, p, q ∈ » n + q = m + p ( ( ) ) ( ( ) ) 18 Giáo viên: Nguy n Trung Nghĩa - Trư ng THPT chuyên Qu c H c - Hu WWW.VNMATH.COM M t s phương pháp gi i h phương trình hai n s _ gi i h (*) ta h a Ví d 10: ( t x = ty , r i tìm t Có t ta s tính c x; y Sau ây m t ví d minh thi th i h c l n trư ng Hà N i - Amsterdam năm 2013 - kh i A) 5x − 3y = x − xy (*) Gi i h phương trình: 2 x − x = y − 3y Gi i: 5 x + xy = x + y (H ng v i n = 2; m = 1; p = 3; q = ) (*) ⇔ 3 2 x + 3y = x + y 5 x = x • V i y = (*) ⇔ ⇔ x =0 x = x • V i y ≠ , t t x = ty (*) tr thành: y 5t + 3t = y ( t + 3) y 5t + 3t = t + (1) ⇔ 3 2 y t + = y t + y t + = t + (2) Vì t = −3 không th a (2) nên t + ≠ L y (2) chia (1), v theo v ta c phương trình: 5t + 3t t + = ⇔ 4t + 5t − = ⇔ t = ±1 t +3 t +1 1 • V i t = (1) ⇔ y = x = y nên suy x = 2 • V i t = −1 (1) ⇔ y = x = − y nên suy x = −1 1 1 V y h phương trình (*) có nghi m ( x; y ) = ( 0;0 ) , ( x; y ) = ; , ( x; y ) = ( −1;1) 2 2 ( ( Ví d 11: ( thi ) ) ( ) ( ( ) ) i h c d b kh i A năm 2007) x − x y + x y2 = Gi i h phương trình: (I) x y − x + xy = Gi i: Cách 1: t a = x ( a ≥ ) b = xy h tr thành: ( a − b )2 = b − a a − ab + b = a − ab + b = ab − a + b a = b = ⇔ ⇔ ⇔ a = 0; b = ab − a + b = ab − a + b = ab − a + b = • V i a = b = , ta có ( x; y ) = (1;1) ho c ( x; y ) = ( −1; −1) • V i a = 0; b = khơng có x, y th a mãn V y h ã cho có hai nghi m là: ( x; y ) = (1;1) ( x; y ) = ( −1; −1) 19 Giáo viên: Nguy n Trung Nghĩa - Trư ng THPT chuyên Qu c H c - Hu WWW.VNMATH.COM M t s phương pháp gi i h phương trình hai n s _ Cách 2: − x + xy + x y = (I) ⇔ − x + xy + x y = t a = − x + xy; b = x y h tr thành: ( ( ) ) a2 + b = a = 0; b = ⇔ a = 1; b = a + b = x = y = − x + xy = • V i a = 0; b = ta có h : ⇔ x y = x = y = −1 − x + xy = (vơ nghi m) • V i a = 1; b = ta có h : x y = V yh ã cho có hai nghi m là: ( x; y ) = (1;1) ( x; y ) = ( −1; −1) 20 Giáo viên: Nguy n Trung Nghĩa - Trư ng THPT chuyên Qu c H c - Hu WWW.VNMATH.COM M t s phương pháp gi i h phương trình hai n s _ III- PHƯƠNG PHÁP S D NG TÍNH ƠN I U C A HÀM S • Phương pháp: S d ng phép bi n i tương ương ưa m t hai phương trình c a h v d ng f ( u( x ) ) = f ( v( y) ) v i y = f ( t ) m t hàm s ơn i u t p D (d a vào phương trình c a h ta tìm D) T ó suy u( x ) = v( y) , suy m i liên h gi a hai n x y • Chú ý: Phương pháp hàm s thư ng dùng cho h phương trình mà m t hai phương trình c a h có th ưa v m t phương trình mà có c i m v trái ch ch a n x, v ph i ch ch a n y (ho c ngư c l i) • M t s ví d : Ví d 1: ( thi i h c kh i A năm 2010) 4( x + 1) x + ( y − 3) − y = (1) Gi i h phương trình: 2 (2) 4 x + y + − x = Gi i: i u ki n: x ≤ ; y ≤ (1) ⇔ x + x = ( − y + 1) − y (*) ( ) Nh n xét (*) có d ng f ( x ) = f ( ) ( f (t ) ng bi n » ) − 2y , v i f (t ) = t2 + t Ta có f ' ( t ) = 3t + > suy hàm s x ≥ Do ó: (* ) ⇔ x = − y ⇔ − x , th vào phương trình (2) ta c: y= ( ) ⇔ x + − x + − x − = (3) 2 Nh n xét x = x = không ph i nghi m c a (3) 2 5 3 Xét hàm s g ( x ) = x + − x + − x − kho ng 0; 2 4 4 5 g ' ( x ) = 8x − 8x − x2 − = 4x 4x2 − − < , suy hàm s g ( x ) − 4x − 4x 2 3 ngh ch bi n kho ng 0; 4 1 M t khác g = nên phương trình (3) có m t nghi m nh t x = , suy y = 2 1 V y h ã cho có nghi m là: ( x; y ) = ;2 2 ( ) 21 Giáo viên: Nguy n Trung Nghĩa - Trư ng THPT chuyên Qu c H c - Hu WWW.VNMATH.COM M t s phương pháp gi i h phương trình hai n s _ Ví d 2: ( thi i h c kh i A năm 2012) x − x − x + 22 = y3 + y − y Gi i h phương trình: 2 x + y − x + y = Gi i: Cách 1: ( t n ph ) t t = − x h t + y3 + 3t + y − 9t − y = 22 ã cho tr thành: t + y2 + t + y = t S = t + y; P = ty h tr thành: S − 3PS + S − P − S = 22 2 S + S + 45S + 82 = S = −2 ⇔ ⇔ 1 1 P = S2 + S − P= S − 2P + S = 2 2 ( ) − x + y = −2 x = ; y = − • ⇔ x = ; y = − − x y = 2 3 1 1 3 ã cho có hai nghi m là: ( x; y ) = ; − , ( x; y ) = ; − 2 2 2 2 Cách 2: (S d ng tính ơn i u c a hàm s ) V yh H ( x − 1)3 − 12 ( x − 1) = ( y + 1)3 − 12 ( y + 1) 2 ã cho tương ương v i: 1 1 x − + y + = 2 2 (1) (2) 1 T (2) suy − ≤ x − ≤ − ≤ y − ≤ 2 2 Xét hàm s 3 f ( t ) = t − 12t o n − ; 2 3 Ta có f ' ( t ) = 3t − 12 < 0, ∀t ∈ − ; suy hàm s 2 3 f ( t ) ngh ch bi n − ; 2 Do ó (1) ⇔ x − = y + ⇔ y = x − , thay vào (2) ta c: 2 1 3 x − + x − = ⇔ x − x + = ⇔ x = ho c x = 22 Giáo viên: Nguy n Trung Nghĩa - Trư ng THPT chuyên Qu c H c - Hu WWW.VNMATH.COM M t s phương pháp gi i h phương trình hai n s _ V yh 3 1 1 3 ã cho có hai nghi m là: ( x; y ) = ; − , ( x; y ) = ; − 2 2 2 2 Ví d 3: ( thi i h c d b kh i D năm 2006) ln ( x + 1) − ln ( y + 1) = x − y (1) Gi i h phương trình: 2 (2) x − 12 xy + 20 y = Gi i: i u ki n: x > −1; y > −1 (1) ⇔ ln (1 + x ) − x = ln (1 + y ) − y (*) Nh n xét (*) có d ng f ( x ) = f ( y ) , v i f ( t ) = ln (1 + t ) − t t ∈ ( −1; +∞ ) 1 −1 = − < nên hàm s f ( t ) ng bi n ( −1; +∞ ) t +1 t +1 Do ó: (* ) ⇔ x = y th vào phương trình (2) ta c: Ta có f ' ( t ) = ( ) ⇔ x − 12 x x + 20 x = ⇔ x = suy y = V y h ã cho có m t nghi m là: ( x; y ) = ( 0;0 ) Ví d 4: ( thi i h c d b kh i A năm 2007) x + x − x + = y −1 + Gi i h phương trình: x −1 y + y − 2y + = +1 Gi i: t a = x − b = y − h a + a + = 3b (1) ã cho tr thành: b + b + = 3a (2) L y (1) tr (2) v theo v , ta c phương trình: a + a2 + + 3a = b + b2 + + 3b (3) Nh n xét (*) có d ng f ( a ) = f ( b ) , v i f ( t ) = t + t + + 3t Ta có f ' ( t ) = + 2 t t +1 t + ln = t2 + + t t +1 + 3t ln Vì t + > t ≥ −t nên t + + t > , ó f ' ( t ) > 0, ∀t ∈ » Suy hàm s bi n » Do ó (* ) ⇔ a = b , th vào phương trình (1) ta c: (1) ⇔ a + ( f (t ) ng ) a + = 3a ⇔ ln a + a + − a ln = (4) 23 Giáo viên: Nguy n Trung Nghĩa - Trư ng THPT chuyên Qu c H c - Hu WWW.VNMATH.COM M t s phương pháp gi i h phương trình hai n s _ ( ) Xét hàm s g ( a ) = ln a + a2 + − a ln v i a ∈ » − ln < − ln < 0, ∀a ∈ » Suy hàm s g ( a ) ngh ch bi n » a +1 M t khác g (1) = nên phương trình (4) có m t nghi m nh t a = , suy b = Ta có g ' ( a ) = T ã cho có m t nghi m là: ( x; y ) = (1;1) ó ta có h Ví d 5: ( thi i h c d b kh i B năm 2008) x − − y = − x (1) Gi i h phương trình: ( x − 1) = y Gi i: i u ki n: x ≥ 1; y ≥ Th y = ( x − 1) vào phương trình (1), ta c: (1) ⇔ x − − ( x − 1) + x − = (2) Nh n xét x = không ph i nghi m c a (2) Xét hàm s f ( x ) = x − − ( x − 1) + x − kho ng (1;+∞ ) + x − x + > 0, ∀x ∈ (1; +∞ ) x −1 Suy hàm s f ( x ) ng bi n kho ng (1;+∞ ) M t khác f ( ) = nên phương trình (2) có m t nghi m nh t x = , suy y = V y h ã cho có m t nghi m nh t ( x; y ) = ( 2;1) Ta có f ' ( x ) = 24 Giáo viên: Nguy n Trung Nghĩa - Trư ng THPT chuyên Qu c H c - Hu WWW.VNMATH.COM M t s phương pháp gi i h phương trình hai n s _ IV- PHƯƠNG PHÁP ÁNH GIÁ • Phương pháp chung: S d ng b t ng th c Cauchy, b t ng th c Bunhiacopxki, b t ng th c vectơ ánh giá t ng v c a phương trình h • Chú ý: Phương pháp ánh giá thư ng s d ng cho h phương trình mà phương pháp th , phương pháp t n ph ,… khó có th gi i c • Ví d 1: ( thi i h c d b kh i B năm 2007) xy x+ = x2 + y x − 2x + Gi i h phương trình: xy y + = y2 + x y − 2y + Gi i: C ng v theo v hai phương trình c a h ta c phương trình sau: xy xy + = x + y (*) 3 x − 2x + y − 2y + Ta có: x2 − x + = xy Tương t y2 − y + ( x − 1) +8 ≥ ⇒ ≤ xy Suy xy ≤ xy ≤ xy = xy x2 − 2x + x2 − 2x + xy xy + ≤ xy x − x + y2 − y + x = y = M t khác x + y ≥ xy Do ó (* ) ⇔ x = y = V y h ã cho có hai nghi m là: ( x; y ) = (1;1) ( x; y ) = ( 0;0 ) Ví d 2: ( thi th i h c l n trư ng THPT chuyên Vĩnh Phúc - Kh i B năm 2011) 3x + 3y = Gi i h phương trình: x + 16 + y + 16 = 10 Gi i: Cách 1: ( t n ph rút th ) t a = x ; b = 3y v i a ≥ 0; b ≥ H phương trình ã cho tr thành: (1) a + b = b = − a ⇔ 2 2 a + 16 + b + 16 = 10 a + 16 + a − 12a + 52 = 10 (2) ( ) ⇔ 2a2 − 12a + 68 + ⇔ (a )( (a )( ) + 16 a2 − 12 a + 52 = 100 ) + 16 a2 − 12a + 52 = −a2 + a + 16 25 Giáo viên: Nguy n Trung Nghĩa - Trư ng THPT chuyên Qu c H c - Hu WWW.VNMATH.COM M t s phương pháp gi i h phương trình hai n s _ ⇒ a − 12 a3 + 68a2 − 192 a + 832 = a − 12 a3 + a + 192 a + 256 ⇒ a2 − 6a + = ⇒a=3 Th l i th y th a mãn Do ó ta c a = , suy b = − a = − = x = 3x = • ⇔ y = 3y = V y h ã cho có m t nghi m nh t ( x; y ) = ( 3;3) Cách 2: ( ánh giá) t a= ( ) 3x ;4 , b = ( ) 3x ;4 , a + b = ( 6;8 ) a = x + 16; b = y + 16; a + b = 10 Ta có a + b ≥ a + b ⇔ 3x + 16 + 3y + 16 ≥ 10 D u “=” x y ⇔ a , b hư ng ⇔ x = y = Th l i th y úng V y h ã cho có m t nghi m nh t ( x; y ) = ( 3;3) 26 Giáo viên: Nguy n Trung Nghĩa - Trư ng THPT chuyên Qu c H c - Hu WWW.VNMATH.COM M t s phương pháp gi i h phương trình hai n s _ V- PHƯƠNG PHÁP C NG IS • M c ích: Tìm m t h th c liên h gi a hai n x y mà t ó ta có th tính c y theo x (ho c x theo y) r i s d ng phương pháp rút th gi i h phương trình ã cho • M t s ví d minh h a: Ví d 1: ( thi th i h c báo Toán h c tu i tr - S 400 (tháng 10 năm 2010) y2 + 3y = x2 Gi i h phương trình: 3 x = x + y2 (1) (*) (2) Gi i: Nh n xét: T (1) ta suy y > t (2) suy x > yx = y + (3) (*) ⇔ 2 xy = x + (4) x = y L y (3) tr (4) v theo v ta c: 3xy ( x − y ) = ( y − x )( y + x ) ⇔ 3xy = −( x + y) • V i x = y ( 3) ⇔ x − x − = ⇔ x = , suy y = • V i 3xy = −( x + y) Ta có xy > − ( x + y ) < nên trư ng h p h vơ nghi m V y h phương trình ã cho có nghi m ( x; y ) = (1;1) f ( x; y ) = (1) • Chú ý: H phương trình có d ng v i f ( x; y ) = g ( y; x ) c g i h g ( x; y ) = (2) i x ng lo i II gi i h ta l y (1) tr (2) v theo v Ví d 2: ( thi th i h c báo Toán h c tu i tr - S 400 (tháng 10 năm 2010) x − y3 = (1) (*) Gi i h phương trình: 2 x + y = x − y (2) Gi i: Cách 1: ( t n ph ) ( (2) ⇔ ( x − y ) = x + y ) (3) Nh n xét y = khơng th a mãn h phương trình (*) Xét y ≠ , t x = ty t (1) (3) ta có h phương trình: y3 t − = y3 ( t − ) = y6 t + ( ) ( (4) ) (5) 27 Giáo viên: Nguy n Trung Nghĩa - Trư ng THPT chuyên Qu c H c - Hu WWW.VNMATH.COM M t s phương pháp gi i h phương trình hai n s _ Vì t = khơng th a (5) nên l y (4) nhân (5) v theo v ta c phương trình: 3 3 2 t = − t − ( t − ) = t + ⇔ ( 2t + 1) ( t + ) t − 2t + = ⇔ t = −2 ( ) • t=− ( ) ( ) ta c y = −2 x thay vào (1) ta c (1) ⇔ x = ⇔ x = nên y = −2 • t = −2 ta c x = −2 y thay vào (1) ta c (1) ⇔ −9 y3 = ⇔ y = −1 nên x = V y h phương trình ã cho có hai nghi m ( x; y ) = ( 2; −1) ( x; y ) = (1; −2 ) Cách 2: (Phương pháp c ng is ) Nhân hai v c a phương trình (2) v i −3 r i c ng v i phương trình (1), ta c: 3 x − x + 3x = y3 + y + 12 y + ⇔ ( x − 1) = ( y + ) ⇔ x − = y + ⇔ x = y + , th vào y = −1 phương trình (2), ta c ( ) ⇔ y + 3y + = ⇔ y = −2 V y h phương trình ã cho có hai nghi m ( x; y ) = ( 2; −1) ( x; y ) = (1; −2 ) Nh n xét: L i gi i cách ng n g n khơng t nhiên Ví d 3: ( thi th i h c l n trư ng THPT chuyên Qu c H c Hu - Kh i B) x + y = (1) Gi i h phương trình: 4 x − y = x − y (2) Gi i: x ( x + y )3 = x (3) (1) ⇔ ( x + y ) = ⇒ y ( x + y ) = y (4) L y (3) tr (2) v theo v , l y (4) c ng (2) v theo v , ta có: 2 2 4 x ( x + y ) − x + y = 3( x + y ) x ( x + y ) 3x + y = ( x + y ) x x + y = (6) ⇔ ⇔ 2 2 4 y ( x + y) + x − y = ( x + y) x ( x + y ) x + 3y = ( x + y ) x x + y = (5) ( ( L y ( ) tr ( 5) v ) ) ( ( ) ) theo v , ta có ( x − y ) = ⇔ x − y = (7) 3 +1 −1 ;y = Th l i th a (2) 2 3 +1 −1 ã cho có m t nghi m là: x = ;y = 2 T (1) (7) ta có x = V yh 28 Giáo viên: Nguy n Trung Nghĩa - Trư ng THPT chuyên Qu c H c - Hu WWW.VNMATH.COM M t s phương pháp gi i h phương trình hai n s _ VI- BÀI T P T LUY N Sau ây nh ng t p c trích t thi th tồn qu c NĂM 2011 i h c c a m t s trư ng THPT x + y = 12 • Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa: Gi i h phương trình x + xy + 12 y = áp s : ( x; y ) = ( 2; −1) , ( x; y ) = ( −2;1) xy 2 x + y + x + y = • Chun Lê Q ơn - N ng: Gi i h phương trình x + y = x2 − y áp s : ( x; y ) = (1;0 ) , ( x; y ) = ( −2;3) x + y = • Chu Văn An - Hà N i: Gi i h phương trình 2 x + + y + = 10 áp s : ( x; y ) = ( 4;4 ) 2 x − x ( y − 1) + y = y • Chuyên Phan B i Châu - Ngh An: Gi i h phương trình 2 x + xy − y = x − y áp s : ( x; y ) = ( 0;0 ) , ( x; y ) = (1;1) , ( x; y ) = ( −1;1) , ( x; y ) = ; 43 43 x + x + y2 − y = • Chuyên i h c Vinh: Gi i h phương trình 2 x y + x + y = 23 áp s : ( x; y ) = (1;3) , ( x; y ) = ( −1;3) • Chuyên Lê H ng Phong - TP H Chí Minh: x + y − xy + y + = Gi i h phương trình 2 y 7 − ( x − y) = 2( x + 1) áp s : ( x; y ) = (1; −2 ) , ( x; y ) = ( −2; −5) 8 x + 18 y + 36 xy − 5(2 x + y) xy = • Chuyên Hà Tĩnh: Gi i h phương trình 2 2 x + y = 30 áp s : ( x; y ) = ( 3;2 ) 29 Giáo viên: Nguy n Trung Nghĩa - Trư ng THPT chuyên Qu c H c - Hu WWW.VNMATH.COM M t s phương pháp gi i h phương trình hai n s _ NĂM 2012 x + xy − x + y = • Chuyên H Long - Qu ng Ninh: Gi i h phương trình 2 x + 3x y − 5x + y = áp s : ( x; y ) = (1;1) , ( x; y ) = ( 0;0 ) x ( x + y) + y = x − • Chuyên H Long - Qu ng Ninh: Gi i h phương trình 2 x ( x + y) − y = x + áp s : ( x; y ) = ( 2;1) , ( x; y ) = ( 5; −2 ) x − − y − = 27 − x • Chuyên Vĩnh Phúc: Gi i h phương trình ( x − 2) + = y áp s : ( x; y ) = ( 3;2 ) 2 8( x + y ) + xy + ( x + y)2 = 13 • Chuyên Vĩnh Phúc: Gi i h phương trình 2 x + = x+y áp s : ( x; y ) = ( 0;1) x3 − xy = 216 y • Chun Lê Q ơn - Qu ng Tr : Gi i h phương trình y3 xy − x = 24 áp s : ( x; y ) = ( 9;3) , ( x; y ) = ( −9; −3) • Chuyên Nguy n Quang Diêu - ng Tháp: 2 x − y + = Gi i h phương trình 4 y + 8( x − 2) x + = −7 7 áp s : ( x; y ) = 2; − 4 • Chun Tr n Phú - H i Phịng: x (4 y + 1) + 2( x + 1) x = Gi i h phương trình 2 x y + 4y + = x + x + 1 áp s : ( x; y ) = 1; 2 ( ) 30 Giáo viên: Nguy n Trung Nghĩa - Trư ng THPT chuyên Qu c H c - Hu WWW.VNMATH.COM M t s phương pháp gi i h phương trình hai n s _ NĂM 2013 ( − x ) x + y = x + y • T p chí tốn h c tu i tr : Gi i h phương trình 2 ( − y ) x + y = x − y áp s : ( x; y ) = ( 0;0 ) , ( x; y ) = ( 2;1) , ( x; y ) = ( 4;2 ) ( ( ) ) x y − y4 = • T p chí toán h c tu i tr : Gi i h phương trình 2 x y + xy + y = áp s : ( x; y ) = ( 2;1) ( x + 1)2 + ( x + 1) y + + y = • T p chí tốn h c tu i tr : Gi i h phương trình x + (2 + x ) y + = áp s : ( x; y ) = ( 0;3) , ( x; y ) = (1;0 ) x − x − y −1 = • Chuyên H Long - Qu ng Ninh: Gi i h phương trình 2 y + x + 2y x − y x = áp s : ( x; y ) = ( 4;2 ) x + y + x − y = 12 • Chun Lê Q ơn - N ng: Gi i h phương trình y x − y = 12 áp s : ( x; y ) = ( 5;3) , ( x; y ) = ( 5;4 ) • Chuyên i h c Khoa h c t nhiên - i h c Qu c gia Hà N i: x + y − ( x + y )2 + = Gi i h phương trình ( x − 3)( x + y ) + = 5 1 áp s : ( x; y ) = ; − , ( x; y ) = ( 2; −1) 2 2 x + xy + x + = • Chuyên i h c Vinh: Gi i h phương trình 2 ( x + 1) + ( y + 1) + xy − x y + y = áp s : ( x; y ) = ( −1;3) ( ) ( ) H T 31 Giáo viên: Nguy n Trung Nghĩa - Trư ng THPT chuyên Qu c H c - Hu ... V y h phương trình ã cho có m t nghi m ( x; y ) = −4; − 4 H phương trình có m t phương trình ưa v c phương trình tích • Phương pháp: Phân tích m t phương trình c a h v phương trình tích,... phương trình mà có kh gi i c b ng phương pháp th H phương trình có m t phương trình phương trình b c nh t v i n x (ho c y) • Phương pháp: Tính x theo y (ho c y theo x) r i th vào phương trình. .. s phương pháp gi i h phương trình hai n s _ I- PHƯƠNG PHÁP TH • M c ích: ưa vi c gi i h phương trình hai n v gi i phương trình m t n • Dư i ây m t s h phương