HÀM NHIỀU BIẾN

1. Định nghĩa hàm nhiều biến ➢ 2. Đạo hàm riêng hàm nhiều biến ➢ 3. Vi phân hàm nhiều biến ➢ 4. Đạo hàm theo hướng – vector gradient ➢ 5. Đạo hàm riêng hàm hợp ➢ 6. Đạo hàm hàm ẩn ➢ 7. Công thức Taylor

NỘI DUNG:

➢ 1 Định nghĩa hàm nhiều biến ➢ 2 Đạo hàm riêng hàm nhiều biến➢ 3 Vi phân hàm nhiều biến

➢ 4 Đạo hàm theo hướng – vector gradient➢ 5 Đạo hàm riêng hàm hợp

➢ 6 Đạo hàm hàm ẩn➢ 7 Công thức Taylor➢ 8 Cực trị tự do

➢ 9 Giá trị lớn nhất – Giá trị bé nhất trên miền bị đóng và bị chặn

3 ( , )

14.( , )

−

Ví dụ 1:

Các cách biểu diễn hàm nhiều biến

1 Bằng lời ( bằng cách mô tả bằng lời)2 Bằng số ( bằng bảng các giá trị)

3 Mô tả công thức tường minh

4 Bằng thị giác (bằng đồ thị hay các đường mức)

Ví dụ 1

Ở vùng có thời tiết mùa đông khắc nghiệt, chỉ sốlạnh do gió (wind-chill index) thường được sử dụng đểmô tả độ khắc nghiệt của cái lạnh, ký hiệu W, chỉ số W

này là nhiệt độ chủ quan phụ thuộc vào nhiệt độ thực

tế T và tốc độ gió v và ta có thể viết W=f(T,v) Bảngsau ghi các giá trị W được thu thập bởi trung tâm khí

tượng quốc gia Mỹ và Canada.

Bảng số liệu 1

Nếu nhiệt độ là -5 độ và tốc độ 50 km/h thì một ta cảm thấy lạnh như khoảng -15 độ:

f(-5,50)=-15

Ví dụ : Mô hình hóa sự tăng trưởng kinh tế Mỹ

Vào năm 1928, Charles Cobb và Paul Douglas đã đưa ra một nghiên cứu về sự tăng trưởng của nền kinh tế Mỹ 1899-1922 Họ đã xét quan điểm kinh tế được đơn giản hóa mà trong đó sản lượng P được quyết định bởi lượng

công nhân L và lượng vốn đầu tư K Mặc dù có nhiều yếu

tố khác ảnh hưởng đến hiệu quả kinh tế nhưng mô hình

của họ đã chứng tỏ là rất chính xác Hàm số mà họ sử sụng để mô hình hóa có dạng

P: giá trị quy ra tiền của hàng hóa trong nămL: tổng số giờ lv của công dân trong năm

K: giá trị máy móc, thiết bị

( , )

P K L=bL K −

Bảng số liệu

Cobb và Douglas đã sử dụng dữ

liệu kinh tế được phát hành bởi

chính phủ để có bảng số liệu bên.

Dùng pp bình phương bé nhất để là bảng dữ liệu phù hợp với hàm số

( , ) 1.01

BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA HÀM 2 BIẾN

Hàm số z = f (x, y) biểu diễn một mặt cong trong không gian.

Biểu diễn hàm hai biến qua đường mức

Đường mức của hàm hai biến f là các đường cong có

pt: f(x,y)=k, trong đó k là

hằng số.

Tập hợp các đườngmức được gọi là bảnđồ mức (các đườngmức tương ứng vớitừng độ cao)

Dựa vào bản đồ mức cho ta biết độ dốc của vật thể: Nếukhoảng cách của 2 đường mức liên tiếp trên bản đồ mứcngày càng hẹp dần thì độ dốc tăng dần.

Link tham khảo

https://www.youtube.com/watch?v=604maRE7uw0

Đường Mức

Ví dụ 4: Bảng đồ đường

mức của Hình 4 để ước tính các giá trị của f(1,3)73, f(4,5)56

Hình 4

Vẽ một vài đường mức của hàm

−−

Vẽ đường mức của hàm Cobb-Douglas ở VD 3

Ví dụ về đồ thị và đường mức của hàm số

HÀM SỐ LIÊN TỤC VÀ TÍNH CHẤT

00lim ( , ) ( , )

f x yf x y

f (x, y) liên tục tại (x0, y0)  D nếu :

• Các hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định,

• f liên tục trên tập A đóng và bị chận thì f đạt giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất trên A.

Những tính chất quan trọng của hàm số liên tục

Lưu ý: mọi phát biểu trên không gian n chiều cũng tương tự trên không gian 2 chiều.

Vì D = R2 và (xn, yn) → (x0, y0)

 f (xn, yn) = xn → x0,  (xn, yn) xn → x0, yn → y0

Vậy

Ví dụ

→→

• Các phép toán và tính chất của giới hạn hàm 1 biến vẫn còn đúng cho hàm nhiều biến(tổng, hiệu, tích , thương, giới hạn kẹp,…)

• Thay tương đương VCB, VCL, khai triển Taylor, qtắc L’Hospitale chỉ áp dụng nếu chuyển được sang hàm 1 biến.

• Để ý dạng vô định khi tính giới hạn.

Một số lưu ý trong tính giới hạn

3 / lim

00   

x yf x y

f x y

→