Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc E, có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.. Viết phương trình mặt phẳng OAB, biết điểm B thuộc S và tam giác OAB đều..[r]
(1)ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 Môn thi : TOÁN I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) x 1 y 2x Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Chứng minh với m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A và B Gọi k1, k2 là hệ số góc các tiếp tuyến với (C) A và B Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn Câu II (2,0 điểm) sin x cos x sin x sin x cot x Giải phương trình 5 x y xy y 2( x y ) 0 xy ( x y ) ( x y ) 2 Giải hệ phương trình (x, y R) x sin x ( x 1) cos x dx x sin x cos x Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B, AB=BC=2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) 60 Tính thể tích khối chóp S BCNM và khoảng cách hai đường thẳng AB và SN theo a Câu V (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x y, x z Tìm giá x y z trị nhỏ biểu thức P = x y y z z x PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : x + y + = và đường tròn (C): x2 + y2 – 4x – 2y = Gọi I là tâm (C), M là điểm thuộc Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (2; 0; 1), B (0; -2; 3) và mặt phẳng (P): 2x – y – z + = Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MA = MB = z z Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm tất các số phức z, biết z = B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) x2 y 1 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) : Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E), có hoành độ dương cho tam giác OAB cân O và có diện tích lớn Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2–4x–4y– 4z=0 và điểm A (4; 4; 0) Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB Câu VII.b (1,0 điểm) Tính môđun số phức z, biết: (2z – 1)(1 + i) + ( z +1)(1 – i) = – 2i (2) BÀI GIẢI PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH 1 1 D \ ; y/ 0, x D 2 x 1 Câu I lim y , lim y 1 1 lim y x x x 2 TCĐ: x= vì ; TCN: y = vì 1 Hàm số nghịch biến trên (; ) và ( ; +) Hàm số không có cực trị X -∞ +∞ y’ Y -2 +∞ -∞ -2 y O x -1 Phương trình hoành độ giao điểm (C) và đường thẳng d : y = x +m x 1 x m 2x (2x – 1) (x + m) = -x + (Vì x = không là nghiệm) 2x + 2mx – (m + 1) = (1) 2 Phương trình (1) có m 2m (m 1) 0, m R Phương trình (1) luôn có nghiệm nên d luôn cắt (C) hai điểm A, B Hoành độ tiếp điểm A, B là x1, x2 là nghiệm phương trình (1) m 1 x1 + x2 = - m và x1.x2 = 4( x12 x22 ) 4( x1 x2 ) 1 k1 k2 x1 x2 2( x1 x2 ) 1 (2 x1 1) (2 x2 1) = Ta có: 2 = (4m 8m 6) 4(m 1) k1 + k2 đạt giá trị lớn -2 m = -1 (3) Câu II: s in2x cos x 2.sin x.s in2x cot x 2 sin x(1 s in2x cos x) 2 sin x cos x (ĐK : sinx ≠ 0) sin x cos x 2 cos x cos x 2sin x cos x 2 cos x 0 cos x(cos x sin x 2) 0 cosx = hay cosx + sinx = sin x 1 4 cosx = hay k k 2 x= hay x = (k Z) 5 x y xy y 2( x y ) 0 (1) 2 (2) xy ( x y ) ( x y ) (2) xy ( x y ) x y xy ( x y )( xy 1) 2( xy 1) 0 ( xy 1)( x y 2) 0 xy 1 2 x y 2 5 x y xy y 2( x y ) 0 TH1: xy 1 x 1 x v y 1 y 5 x y xy y 2( x y ) 0 TH2 : 2 x y 2 5 x y xy y ( x y )( x y ) 0 2 x y 2 y x v y x 2 x y 2 2 x x 1 x v y 1 y y Câu III : 2 x y x sin x ( x 1) cos x x cos x x sin x cos x dx 4 dx x sin x cos x x sin x cos x x sin x cos x (4) x sin x cos x ' 2 dx x ln x sin x cos x ln( ) x sin x cos x = Câu IV Ta có : SBA = 600 và SBA là ½ tam giác S M A I B N C 4a 2a nên SA = 1 a ( a 2a ) 2a 3 V(SMNCB) = =a Kẻ NI // AB để có AMNI là hình vuông, khoảng cách AB đến SN chính là đường cao SAI, gọi h là chiều cao đó, ta có: 1 a 12 2 h (2a 3) a h = 13 x y z Câu V P = x y y z z x 0 Lấy đạo hàm theo z ta có : P’ (z) = + Nếu x = y thì P = ( x y )( z xy ) y x ( y z )2 ( z x)2 = ( y z ) ( z x) 2 y x 2x 3y xy y x + Ta xét x > y thì P P( )= xy Khảo sát hàm P theo z, ta có P nhỏ z = x t2 Đặt t = y P thành f(t) = 2t t (t (1; 2]) 2[4t (t 1) 3(2t t 3)] (2t 3) (t 1) f’(t) = <0 34 Vậy P f(t) f(2) = 33 Dấu “=” xảy x = 4, y = 1, z = 34 Vậy P = 33 Câu VI.a AM AM 2 và MI2 = IA2 + AM2 = 25 Diện tích MAI=5 = M M(m; -m – 2) Vậy MI (2 m; m 3) nên ta có phương trình: m2 4m m2 6m 25 m2 + m – = m = hay m = -3 M (2; -4) và M (-3; 1) Pt mp (Q) trung trực đoạn AB qua trung điểm I (1;-1;2) AB có VTPT IA =(1;1;-1) là : x + y – z + = a Giao tuyến d (P) và (Q) qua J (0; 1; 3) có VTCP = (2; 1; 3) (5) x 2t y 1 t z 3 3t pt d : MA = MB, M (P) M d M (2t; + t; + 3t) MA = (2 – 2t)2 + (-1 – t)2 + (-2 – 3t)2 = 12 ; ; t = hay t = Vậy M (0; 1; 3) hay M 7 Câu VII.a Giả sử z = a + bi (a, b R) z z z (a ib)2 a b a ib a b 2abi a b a bi a 2b a b a a b b 2ab b 0 v a 4b 1 a 0 b 0 a 1 a a a 0 b 0 b b 2 Vậy có số phức thỏa ĐK là : 1 1 z 0, z i , z i 2 2 B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b Do xA, xB > và OAB cân O nên A, B đối xứng qua Ox và xA = xB > 0, yB = - yA x A2 y A2 1 Do A (E) nên 1 AB.d (O, AB) y A x A x A y A SOAB = x A2 y A2 x2 2 A y A2 x A y A SOAB Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : = x A2 xA y2 y A A 2 S lớn và : Vậy : A Cách khác : ( 2; 2 2 ) ( 2; ) ( 2; ) ( 2; ) ;B hay A ;B Gọi OH là đường cao ta có OH x A , x A v AH y A SOAB xA y A (6) A( 2; Mà ta có : y y A2 A 1 và S 1 y A A( 2; 2 ), B( 2; ) S OAB y A y A2 2 2 xA 2 2 2 ), B( 2; ) B( 2; ), A( 2; ) 2 2 xB2 yB2 zB2 xB yB z B 0 2 OA OB OA2 AB 2 B (S) và OAB nên xB2 yB2 zB2 4( xB yB z B ) xB yB zB 8 2 2 32 xB yB z B xB yB zB 32 32 (4 xB ) (4 yB ) zB2 x yB2 zB2 8( xB yB ) 0 B xB yB zB 8 z B 4 2 2 xB yB zB 32 ( xB yB ) xB yB z B 32 x y 4 x y 4 B B B B xB 0 xB 4 yB 4 yB 0 z 4 z 4 B hay B OA, OB (16; 16;16) OA (4; 4;0) OB (0; 4; 4) Trường hợp 1: ; Pt (OAB) : x – y + z = OA, OB (16; 16; 16) OA (4; 4;0) OB (4;0; 4) Trường hợp 2: ; Pt (OAB) : x – y – z = Câu VII.b Giả sử z = x + yix, y R Ta có : (2z – 1)(1 + i) + ( z +1)(1 – i) = – 2i 2(1 + iz) + (1 – i) z = 2(1 + i)(x + yi) + (1 – i)(x – yi) = x 3x y 2 1 y z x y 9 3x – 3y + (x + y)i = Trần Văn Toàn (Trường THPT Vĩnh Viễn – TP.HCM) (7)