tài liệu xstk 022019 nguyenvantien0405

.. Tìm xác suất để xạ thủ được ít nhất 9 điểm... Mỗi câu có 4 phần để lựa chọn trả lời, trong đó chỉ có 1 phần đúng. Giả sử sinh viên làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên các phần của [r]

(1)

CHƯƠNG

(2)

1.1 Phép thử biến cố

• Phép thử

• Biến cố (kết quả, kết cục) • Khơng gian mẫu

• Ký hiệu:

• Phân loại biến cố

•

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

(3)

Biến cố ngẫu nhiên

• Biến cố sơ cấp wi

• Biến cố (ngẫu nhiên)

• Ký hiệu: A, B, C, A1, A2 …

• Biến cố ngẫu nhiên chứa vài biến cố sơ cấp

(4)

Biểu diễn

• Khơng gian mẫu: chứa tất kết phép

thử

• Biến cố: tập khơng gian mẫu, chứa

vài kết phép thử

 A B biến cố

không gian mẫu

 B chứa nhiều kết A  Các kết nằm A

đều nằm B nguyenvantien0405.wordpress.com



(5)

1.2 Quan hệ biến cố

• Kéo theo

• Tương đương

• Tổng (Hợp) • Đối lập

(6)

Quan hệ kéo theo

• Định nghĩa. Biến cố A gọi kéo theo biến cố B

nếu A xảy B xảy

• Ký hiệu: AB,

• Ta nói A biến cố thuận lợi cho B • Biểu diễn:

nguyenvantien0405.wordpress.com



(7)

Ví dụ 1

• Theo dõi bệnh nhân điều trị. • Gọi Ai: có i bệnh nhân khỏi bệnh (i=0,1,2,3) • B: có nhiều bệnh nhân khỏi bệnh.

• Xét quan hệ kéo theo cặp biến cố sau: • A2 B

(8)

Quan hệ tương đương

• Định nghĩa Biến cố A tương đương với biến cố B

A xảy B xảy ngược lại

• Kí hiệu: A=B

• Ví dụ Mua ngẫu nhiên bóng đèn • A: bóng hỏng

• B: nhiều bóng tốt • A B có tương đương?

(9)

Biến cố tổng

• Định nghĩa. Biến cố C gọi tổng (union)

của hai biến cố A B C xảy có hai biến cố A B xảy

• Kí hiệu C=A B hay ∪ C=A+B

• Biến cố C xảy A hoặc B xuất

(10)

Ví dụ 3

• Mua ngẫu nhiên bóng đèn. • A: biến cố bóng hỏng

• B: biến cố bóng hỏng • Hãy mơ tả biến cố A+B?

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 10

(11)

Biến cố đối lập

• Biến cố đối lập biến cố A, kí hiệu biến cố xảy

ra A không xảy

• Ta có: \

•

A

(12)

Ví dụ 4

• Khi gieo xúc sắc

• Gọi A: bc số chấm chẵn bc số chấm lẻ

•

 

   

1,2,3,4,5,6

2,4,6 1,3,5 \

A A A

 

(13)

Biến cố tích

• Định nghĩa Biến cố C gọi tích hai biến cố A

và B nến C xảy hai biến cố A B đồng thời xảy

(14)

Ví dụ 5

Sinh viên thi mơn Tốn Cao cấp Nguyên lý Cho biến cố sau

• A: sinh viên đậu Tốn Cao cấp • B: sinh viên đậu Nguyên lý 2

a) A.B biến cố nào?

b) Biểu diễn biến cố sau theo A, B

i C: Sinh viên không đậu hai môn

ii D: Sinh viên đậu mơn Tốn Cao cấp

(15)

Quan hệ xung khắc

• Định nghĩa Hai biến cố A, B gọi xung khắc

với A B đồng thời xảy phép thử

• Ngược lại hai biến cố gọi khơng xung khắc • Nếu hai biến cố A, B xung khắc thì:

  0

AB

P AB

(16)

Xung khắc đơi

• Định nghĩa Các biến cố A1, A2,…,An gọi xung

khắc đôi hai biến cố n biến cố xung khắc với

• Ví dụ Tổ có sinh viên, nhóm biến

cố xung khắc đôi số biến cố sau

• A1: có nam A2: có nam

• A3: tất nam A4: có nam • A5: có nam nữ

(17)

Biến cố hiệu

• Định nghĩa Biến cố xuất biến cố A

không xuất biến cố B gọi biến cố hiệu A B, ký hiệu A\B

• Ta có:

• Nghĩa là:

A\B

\ .

A B A B

B A

(18)

Ví dụ 7

• Sinh viên thi mơn Tốn Cao cấp Ngun lý 2 • A: sinh viên đậu Tốn Cao cấp

• B: sinh viên đậu Nguyên lý 2 • Mơ tả biến cố:

• A\B; A+B • B\A; ;

• Nhận xét về:

•

(19)

Tính chất           ) ) ) ) ) ) )                                   

i A A A A A A

A A A A A A

ii A B B A A B B A iii A B C AB AC

iv A B C A B A C

v A A

vi A B A B A B A B

(20)

Ví dụ 8

• Có xạ thủ bắn vào mục tiêu

• A, B, C bc xạ thủ 1,2,3 bắn trúng

Biểu diễn biến cố sau theo A, B, C phép tốn (các quan hệ)

a) Có xạ thủ bắn trúng

b) Có nhiều xạ thủ bắn trúng c) Có xạ thủ bắn trúng

(21)

Ví dụ 9

a) Xác định biến cố X từ đẳng thức sau:

b) Cho sản phẩm Gọi A bc sp tốt B bc có phế phẩm Cho biết ý nghĩa bc sau:

X  A X  A B

, , , ,

A B A B AB AB

AB A B A B A B A B



(22)

1.3 Xác suất biến cố

• Khái niệm

• Các định nghĩa

(23)

Khái niệm

• Xác suất biến cố số đặc

trưng cho khả xuất biến cố phép thử

• Kí hiệu xác suất: P(A)

• Tính chất:

 

   

)

) 0,

i P A

ii P P

 

(24)

Định nghĩa cổ điển

• Xác suất xuất biến cố A tỷ số số biến

cố thuận lợi cho A tổng số biến cố đồng khả xảy

(25)

Ví dụ 10

Cơ quan có 50 người, có 25 người học đại học kinh tế, 20 người học kỹ thuật, 10 người học hai, lại khơng học đại học

Tìm xác suất chọn ngẫu nhiên người người đó: a) Chỉ học ĐH ngành

b) Học ĐH ngành

(26)

QUI TẮC ĐẾM

• Quy tắc cộng • Quy tắc nhân

• Tổ hợp chập k n phần tử

• Chỉnh hợp chập k n phần tử • Hoán vị n phần tử

(27)

Ví dụ 11

• Một khách hàng chọn mua hộp gồm 12 sản

phẩm Ông ta chọn ngẫu nhiên sản phẩm hộp để kiểm tra, khơng có phế phẩm mua hộp sản phẩm

• Tính xác suất người mua hộp sản phẩm biết

(28)

Ví dụ 12

Một nhóm gồm n người Tìm xác suất để nhóm có người có ngày sinh (cùng ngày tháng)

(29)

Định nghĩa hình học

• Nếu phép thử có không gian mẫu  biểu

diễn miền hình học  biến cố A biểu

diễn miền hình học A:

   

 

Độ đo miền A Độ đo miền

 

 

s A P A

(30)

Ví dụ 13

• https://brilliant.org/wiki/1-dimensional-geometric-probability/

• Your bus is coming at a random time between 12 pm and pm If you show up at 12:30 pm, how likely are you to catch the bus?

(31)

Ví dụ 14

(32)

Ví dụ 15

• Hai người hẹn gặp địa điểm

đó từ 19h đến 20h Mỗi người đến (chắc chắn đến) điểm hẹn độc lập nhau, chờ khoảng 20 phút; không thấy người đến bỏ Tìm xác suất để người gặp

(33)

Ví dụ 16

• Ta có: x, y thời điểm đến

mỗi người

• A: bc hai người gặp Như

vậy:

• Biểu diễn:

1 x y 

 

 

 

, :19 20;19 20

1 , :19 20;19 20;

3

x y x y

A x y x y x y

     

 

       

 

 

(34)

Định nghĩa thống kê

• Tần suất xuất biến cố trong n phép thử tỷ

số số phép thử biến cố xuất tổng số phép thử thực

  n A 

f A

n

(35)

Định nghĩa thống kê

• Xác suất xuất biến cố A phép thử

một số p không đổi mà tần suất f xuất biến cố n phép thử dao động xung quanh số phép thử tăng lên vơ hạn

  lim  

n

n A P A

n

  

(36)

Ví dụ 17

• Nghiên cứu khả xuất mặt sấp gieo

đồng xu cân đối, đồng chất

• Tần suất dần tới 0.5

• https://seeing-theory.brown.edu/basic-probability/index.html#section2 nguyenvantien0405.wordpress.com Người tung Số lần tung Số lần sấp Tần suất

Buyffon 4040 2048 0,5069

Pearson 12000 6019 0,5016

(37)

Nguyên lý xác suất nhỏ - lớn

• Nguyên lý xác suất nhỏ (nguyên lý biến cố hiếm): Nếu biến cố có xác suất gần thực tế xem phép thử biến cố khơng xảy

(38)

Ví dụ 18

• Lớp có 50 sinh viên Giáo viên gọi ngẫu nhiên

sinh viên sinh viên khơng làm tập

• Hãy ước lượng số sinh viên không làm

lớp? (sử dụng nguyên lý xác suất nhỏ)

(39)

1.4 Các cơng thức tính xác suất

• Xác suất điều kiện • Cơng thức nhân • Cơng thức cộng

• Cơng thức Bernoulli

(40)

Xác suất điều kiện

• Định nghĩa Xác suất biến cố A tính với điều kiện biến cố B xảy gọi xác suất có điều kiện A hay xác suất A điều kiện B

• Kí hiệu: P(A|B)

(41)

Tính độc lập

• Định nghĩa Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không làm thay đổi xác suất xảy biến cố ngược lại

• Nếu hai biến cố A, B độc lập thì:

                P P B A B

A P B P B A P

P A P P A

B

A B

 

(42)

Độc lập đơi độc lập tồn phần

• Các biến cố A1, A2,…,An gọi độc lập đôi

(pairwise independence) cặp hai biến cố n biến cố độc lập với

• Các biến cố A1, A2,…,An gọi độc lập toàn phần

(mutual independence) biến cố độc lập với tổ hợp biến cố lại

(43)

Cơng thức nhân xác suất

• Hai biến cố bất kỳ

• Hai biến cố độc lập

         

P A B P A P B A P B P A B

     .

(44)

Cơng thức nhân mở rộng

• Các biến cố bất kỳ

• Các biến cố độc lập tồn phần

 .2 n   1    n .2 n 

P A A A P A P A A P A A A A 

 1 .2 n    1   n 

(45)

Công thức xác suất điều kiện

• Cơng thức:

   

  ( )

P AB

P A B neu P B

P B

(46)

Ví dụ 19

• Xác suất chuyến bay khởi hành

0,83

• Xác suất chuyến bay đến 0,82

• Xác suất chuyến bay vừa khởi hành

vừa đến 0,78

• a) XS chuyến bay đến biết khởi

hành

• b) Khởi hành biết đến khơng

giờ

(47)

(48)

Công thức cộng xác suất

• Hai biến cố bất kỳ

• Hai biến cố xung khắc

       . 

P A B P A  P B  P A B

     

(49)

Ví dụ 20

(50)

Ví dụ 21

• Sinh viên A tốt nghiệp Sau tham gia hội

chợ việc làm trường, công ty vấn đánh sau:

• Xs cơng ty A chọn 0,8. • Xs cơng ty B chọn 0,6.

• Xs cơng ty chọn 0,5.

• Tính xác suất chọn cơng

ty?

(51)

Công thức cộng mở rộng

• Các biến cố xung khắc đơi

• Các biến cố tùy ý

    n    1       n 

P A A A P A P A P A

    n  ???

(52)

Công thức cộng mở rộng

• Cho biến cố:

• Cho n biến cố:

 

       

1 3

1 2 3 1

( ) ( ) ( )

P A

P A A A P A

A P A A P A

P A P A

P A A A

A                    1

( ) n i n i j

i i j n

n

i j k n

j k

n

i

P A P A A

P A A A

P A A

(53)

Tính chất xác suất điều kiện

• Khi cố định điều kiện A với P(A)>0 Ta có:

   

       

   

) 0,

) 1,

)

i P B A P A A

ii P A P A

iii P B C A P B A P C A P BC A

iv P B A P B A

 

   

   

(54)

Ví dụ 22

• Trong đợt đấu giải tennis, A gặp B sau A

sẽ gặp C Xác suất A thắng B 0,6 xác suất A thắng C 0,7

• Nếu A thắng B xác suất A thắng C 0,85. • Tính xác suất:

• a) A thắng B lẫn C.

• b) A thắng hai người • c) A thắng người

(55)

Ví dụ 23

• Hộp có bóng trắng bóng đen • Hộp có 10 trắng đen

• Lấy ngẫu nhiên bóng từ hộp bỏ vào hộp

(khơng nhìn bóng lúc bỏ)

• Tính xác suất lấy ngẫu nhiên bóng từ hộp ta

(56)

Ví dụ 24

• Một người bán hàng nơi độc lập, xác suất

bán nơi 0,8 Tính xác suất người đó:

• A) Bán nơi • B) Bán nơi • C) Bán nơi

(57)

Dãy phép thử Bernoulli

• i) Các phép thử độc lập

• ii) Chỉ quan tâm biến cố A

• iii) Xác suất xuất biến cố A phép

thử •

   

(58)

Công thức Bernoulli

Xác suất để biến cố A xuất k lần dãy n phép thử Bernoulli là:

  k k n k

n n

P k C p q 

(59)

Ví dụ 25

• Một sinh viên thi trắc nghiệm mơn Ngoại Ngữ gồm

có 10 câu hỏi Mỗi câu có phần để lựa chọn trả lời, có phần Giả sử sinh viên làm cách chọn ngẫu nhiên phần câu hỏi Tính xác suất trường hợp sau:

(60)

Công thức xác suất đầy đủ

• Hệ biến cố đầy đủ

• “ln có biến cố hệ xảy thực

hiện phép thử”

1

) , )

  

   

i j

n

i A A i j

(61)

Cơng thức xác suất đầy đủ

• Biến cố A phụ thuộc vào hệ biến cố đầy đủ Hi • Xác suất biến cố A:

     

1

n

i i i

P A P H P A H



(62)

Công thức Bayes

nguyenvantien0405.wordpress.com https://www.bayestheorem.net/           i i i n i i i

P H P A H P H A

P H P A H

 



     

 

P B A P A

P A B

(63)

Ví dụ 26

• Lấy ngẫu nhiên hộp từ lấy ngẫu nhiên

ra sản phẩm Tính xác suất để lấy phẩm phế phẩm?

6 phẩm phế phẩm

HỘP 1

HỘP 3

(64)

Ví dụ 27

• Cơng ty có máy sản xuất sản phẩm Tương

ứng máy B1, B2, B3 sản xuất 30%; 45% 25% sản phẩm cơng ty Theo đánh giá có 2%; 3% 1% sản phẩm máy tương ứng chất lượng

• Chọn ngẫu nhiên sản phẩm Xác suất sản phẩm

này chất lượng bao nhiêu?

• Giả sử sp chọn sp tốt Khả cao sp

này máy sx ra?

(65)

Tính xác suất biến cố

• 1 Gọi tên biến cố, xác định rõ phép thử dẫn đến

biến cố

• 2 Biểu diễn biến cố thông qua quan hệ để đơn

giản hóa

• 3 Xác định cơng thức tính (cần ý điều kiện

(66)

Bài tập chương 1

• 1.1; 1.3; 1.8;1.9; 1.17

• 1.19;1.22;1.23;1.24;1.27;1.29;1.30; 1.33;1.37

• 1.38;1.39;1.42; 1.46; 1.48;1.49;1.50

• 1.51;1.52;1.56;1.59;1.61;1.63

(67)

(68)

Bài tập 26,27,28,29

(69)

(70)

Bài 46-49

(71)

(72)

Bài 57-59