Tích Phân: Chương 1 phần 1

CHƢƠNG 1: ĐẠO HÀM - VI PHÂN VÀ ƢD CHƢƠNG 2 : TÍCH PHÂN BỘI CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG CHƢƠNG 4: TÍCH PHÂN MẶT

Môn học : GIẢI TÍCH 2

Tài liệu tham khảo:

1 Giải tích 2 (Nhóm tác giả BM Toán – ĐHBKTpHCM) 2 Calculus – James Stewart (Bản pdf miễn phí trên Bkel)

3 Điểm BT: Làm theo lớp bài tập – 5% tổng điểm môn học 4 Điểm CHK: thi tự luận chung toàn khóa, sau tuần học thứ 15 – 50% tổng điểm môn học

GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN

CHƯƠNG 1: ĐẠO HÀM - VI PHÂN VÀ ƯD CHƯƠNG 2 : TÍCH PHÂN BỘI

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CHƯƠNG 4: TÍCH PHÂN MẶT

CHƯƠNG 5: CHUỖI SỐ - CHUỖI LŨY THỪA

CHƯƠNG 1: ĐẠO HÀM - VI PHÂN VÀ ƯD 1.1 Các khái niệm cơ bản

1.2 Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện 1.3 Đạo hàm cấp cao

1.4 Đạo hàm hàm hợp 1.5 Đạo hàm hàm ẩn

1.6 Đạo hàm theo hướng – Vecto gradient và vecto pháp

1.7 Công thức Taylor – Maclaurint 1.8 Mặt bậc hai

1.9 Cực trị hàm nhiều biến : Cực trị tự do, cực trị có điều kiện, GTLN-GTNN trong miền đóng

1.1 Các khái niệm cơ bản

Miền (Tập) xác định của hàm là tập tất cả các giá trị của

(x,y) làm biểu thức của hàm có nghĩa

Miền (Tập) giá trị của hàm là tập tất cả các giá trị mà hàm có thể nhận đƣợc

Hàm 2 biến f(x,y) là ánh xạ

Định nghĩa hàm 2 biến : Cho D là tập con của

( , )x yf x y( , ) z

f D

Ví dụ : Một công ty du lịch cho thuê xe ô tô các loại với cách

tính tiền theo ngày và số km xe chạy Họ cho thuê xe 7 chỗ với giá 500.000 đồng mỗi ngày và 3.000 đồng mỗi km

1/ Lập hàm doanh thu R theo số ngày và số km xe chạy 2/ Tính R(2,250) và giải thích ý nghĩa của kết quả này

1.1 Các khái niệm cơ bản

Ví dụ : Khi một loại thuốc đƣợc tiêm vào mô, nó sẽ khuếch

tán vào máu Nồng độ của thuốc trong máu tăng cho đến khi đạt đến mức tối đa, và sau đó giảm dần Nồng độ C (tính bằng mg/lít) của thuốc trong máu là hàm theo hai biến: x, lƣợng (mg) thuốc đƣợc tiêm vào và t, thời gian (giờ) kể từ khi tiêm đƣợc cho bởi (5)

( , ) tx ,0 4, 0

Tính và giải thích ý nghĩa của các kết quả f 4, ;t f x,3

Ví dụ : Tìm MXĐ, MGT của hàm 22( , ) 9

1.1 Các khái niệm cơ bản

Ví dụ : Chiều cao của sóng biển ở đại dương h (feet) phụ thuộc vào tốc độ gió v và thời gian mà gió thổi t với tốc độ đó Giá trị của hh v t, được cho ở bảng dưới đây

1/ h(15,10)=? Ý nghĩa của kết quả này?

2/ Ý nghĩa của hàm h(v,15) là gì?

3/ Ý nghĩa của hàm h(20,t) là gì?

 Đồ thị hàm z = f(x, y) là 1 phần mặt cong S, khác với đồ thị hàm 1 biến y = f(x) là 1 phần đường cong

Cho f(x, y) là hàm 2 biến với MXĐ là D Đồ thị của hàm f là tập

tất cả các điểm , với (x,y)D, z= f(x, y)

1.1 Các khái niệm cơ bản

M( , , )x y z

1.1 Các khái niệm cơ bản

1.1 Các khái niệm cơ bản

1/ Ta cho lần lƣợt x=0, y=0 thì đƣợc 2 giao tuyến với 2 mặt

tọa độ Oyz, Oxz là 2 đường Parabola

3/ Cho z=k: k=0, ta đƣợc gốc tọa độ O(0,0,0)

k>0 tùy ý ta đƣợc các đường Ellipse

2/ Các giao tuyến với các mặt phẳng x=k, y=k; k tùy ý cũng

là các đường Parabola

Vẽ đường 2 parabola trên 2 mp Oxz, Oyz

Vẽ thêm đường parabol x2 = z trên mặt phẳng y = 0

Nếu a=b, ta được giao tuyến với mặt z=k là đường tròn; do đó ta còn gọi tên mặt trong trường hợp đặc biệt là

Paraboloid tròn xoay (Mặt được tạo ra khi quay đường parabol quanh trục đối xứng của nó)

Ta gọi tên mặt này theo tên các giao tuyến:

2 parabol, 1 ellipse nên mặt được gọi tên là Paraboloid Elliptic

Các Paraboloid tròn xoay trong thực tế được sử dụng để thu và phản xạ ánh sáng, âm thanh và các tín hiệu vô tuyến và truyền hình

1.1 Các khái niệm cơ bản

1.1 Các khái niệm cơ bản

Các giao tuyến với mặt z=k là các đường Ellipse

Ta nói thêm về các giao tuyến của mặt Paraboloid Elliptic với các mặt phẳng z=k (k>0, tùy ý)

1.1 Các khái niệm cơ bản

Chiếu các giao tuyến này xuống mp Oxy, ta được các đường ellipse đồng tâm

Ta gọi các đường ellipse này là các đường mức của mặt Paraboloid Elliptic

Tổng quát: Để hình dung tương đối trực quan về đồ thị của hàm 2 biến, người ta sẽ vẽ các đường mức của hàm

Đường mức của hàm 2 biến f(x,y) là đường cong f(x,y)=k (k là hằng số tùy ý thuộc tập giá trị của hàm) trong mặt phẳng Oxy

1.1 Các khái niệm cơ bản

Như vậy: trên đồ thị của hàm tập hợp các điểm có cùng độ cao bằng k thỏa pt đường mức f(x,y)=k

Khi có tập hợp các đường mức của hàm 2 biến, hình dung ra chúng được nâng lên ở từng độ cao tương ứng, ta có hình dung về đồ thị của hàm.

Đường mức (x,y)=k là hình chiếu của giao tuyến của đồ thị của hàm với mặt phẳng z=k

1.1 Các khái niệm cơ bản

Ta được các đường hyperbol như hình vẽ

Ví dụ: Cho hàm f x y( , ) y2 x2Cho zky2 x2 k

Hình dung nâng các đường hyperbol lên cao để có đồ thị của hàm

1.1 Các khái niệm cơ bản

Ví dụ:

Ví dụ: Cho bản đồ đường mức của hàm f(x,y) dưới đây

1.1 Các khái niệm cơ bản

a/ Ước tính f(2,3), f(-3,3)

b/ Phác họa mặt cong tương ứng

Ví dụ: Bản đồ đường đẳng nhiệt, bản đồ đường đồng mức trong thực tế

Hình tròn (không tính đường tròn) mở này còn được gọi là một r

- lân cận của điểm M0

Hình tròn mở tâm M0(x0,y0), bán kính r – kí hiệu B(M0,r) là tập

Điểm trong : M1 gọi là điểm trong của D nếu tồn tại ít nhất r1>0 sao cho r1- lân cận của M1 là B(M1,r1) nằm hoàn toàn trong D

Điểm biên : M2 gọi là điểm biên của D nếu với mọi r2 > 0, hình cầu mở B(M2,r2) chứa những điểm thuộc D và những điểm không thuộc D

Cho tập D và 1 điểm M thuộc ℝ2 Ta định nghĩa 2 loại điểm nhƣ sau :

• M1

• M2

1.1 Các khái niệm cơ bản

Tập D được gọi là tập đóng nếu D chứa mọi điểm biên của nó Tập các điểm biên của D gọi là biên của D

Tập D được gọi là tập mở nếu ℝ2\𝐷 là tập đóng, khi đó, mọi điểm thuộc D đều là điểm trong, D không chứa bất kỳ điểm biên nào

Ví dụ: Hình vẽ ở slide trước là tập không đóng, không mở

1.1 Các khái niệm cơ bản

Biên của D là toàn bộ mặt cầu x2 + y2 + z2 = 4, do đó D không chứa bất kỳ điểm biên nào tức là mọi điểm thuộc D đều là điểm trong Vậy D là tập mở

Biên của D là 2 đường tròn x2 + y2=1 và x2+y2 = 4 nằm hoàn toàn trong D nên D là tập đóng

O B

A Biên của D là 3 đoạn OA, OB,

AB Miền D không chứa đoạn AB tức là D không chứa mọi điểm biên nên D không là

Giới hạn hàm : Hàm f(x,y) với miền xác định D đƣợc gọi là có giới hạn bằng L khi M(x,y) dần đến M0(x0,y0), kí hiệu

Định nghĩa này tương tự định nghĩa giới hạn hàm 1

biến: Khoảng cách giữa M và M0 giảm dần thì khoảng cách giữa f(x,y) và L cũng giảm dần

1.1 Các khái niệm cơ bản (Tự đọc)

Ý nghĩa: Khi khoảng cách giữa M và M0 giảm dần thì khoảng cách giữa f(x,y) và L cũng giảm dần

1.1 Các khái niệm cơ bản (Tự đọc)

Hàm liên tục : Hàm f(x,y) được gọi là liên tục tại (x0,y0) nếu f (x0,y0) xác định và

00( , ) lim(,) ( , )(,)

x yx y f x yf x y

Hàm liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc miền D

Tổng, tích, thương của 2 hàm liên tục là hàm liên tục

Các hàm sơ cấp liên tục tại mọi điểm thuộc MXĐ Hợp của 2 hàm liên tục là một hàm liên tục

1.1 Các khái niệm cơ bản (Tự đọc)

Ta có:

Cho hàm 2 biến f(x,y), 1 điểm (x0,y0) thuộc miền xác định của hàm f

1.2 Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện

Tương tự, ta có định nghĩa đhr của hàm f theo biến y

Quy tắc: Khi tính đạo hàm riêng của hàm nhiều biến theo 1 biến nào đó, ta coi các biến khác là hằng số

Các đạo hàm riêng của hàm n biến x1, x2, …, xn (nói chung) lại là các hàm n biến x1, x2, …, xn

Ví dụ: Nhiệt độ (0C) tại một điểm (x,y) trên một tấm kim loại trong mặt phẳng Oxy là:

Giả sử rằng khoảng cách được đo bằng cm Tìm tốc độ

thay đổi nhiệt độ theo khoảng cách nếu chúng ta bắt đầu tại điểm (1, 2) và di chuyển:

(a) Sang bên phải và song song với trục x (b) Hướng lên và song song với trục y

1.2 Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện

Ví dụ: Ở những nơi lạnh giá, người ta sử dụng khái niệm Chỉ số gió lạnh (The Wind Chill Index) Đây là khái niệm rất quan trọng cần biết nếu bạn đang trải qua một khoảng thời gian dài ngoài trời lạnh Nó cũng có thể được gọi là "cảm giác về nhiệt độ“, nó phụ thuộc vào nhiệt độ thực tế và tốc độ gió

13.12 0.6215 0.3965 11.37

Công thức tính chỉ số gió lạnh chuẩn ở Canada là:

Trong đó: T là nhiệt độ tính bằng 0C và v là tốc độ gió tính

bằng km/h

Tính và giải thích ý nghĩa của các kết quả này

20,5 , v 20,5 , T 20,5

1.2 Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện

Ví dụ: Hình bên cho thấy bản đồ đường mức cho nhiệt độ H (0F) trong phòng dưới dạng hàm theo khoảng cách x (feet) từ lò sưởi và thời gian t (phút) sau khi bật lò sưởi

b/ Ước tính các đhr này và giải thích kết quả

1.2 Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện

a/ Xác định dấu của 2 đhr tại M(10,20): HxM H M, t

a/ Điểm M nằm trên đường mức H = 80 Khi x tăng, chúng ta di chuyển về phía đường mức H = 75, do đó H giảm và Hx(M) là âm Điều này có ý nghĩa là khi chúng ta di chuyển ra xa lò sưởi, nhiệt độ giảm xuống

Tương tự, Ht(M) mang dấu dương (thời gian bật lò sưởi tăng thì nhiệt độ phòng tăng

b/ Ƣớc tính 2 đhr tại M

0.36 /14

1.2 Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện

Ví dụ: Trong những ngày nóng, ta sẽ cảm thấy nóng hơn khi độ ẩm trong không khí thấp (khô hanh) và mát mẻ hơn khi độ ẩm trong không khí cao hơn

Người ta đặt ra khái niệm chỉ số nhiệt I (The heat index) để mô tả sự kết hợp giữa nhiệt độ thực tế (T) và độ ẩm trong không khí (H) Vậy I là hàm theo 2 biến T và H :

Dưới đây là bảng các giá trị của chỉ số nhiệt I theo nhiệt độ thực tế T (0F) và độ ẩm không khí H (%)

Lưu ý: Nhiệt độ đóng băng của nước là 00C=320F và quy đổi 10C=1.80F

1.2 Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện (Tự đọc)

T: Nhiệt độ thực tế (0F)

H: Độ ẩm (%)

Cho H=70% cố định, ta xem xét tốc độ thay đổi của chỉ số nhiệt I khi cố định độ ẩm H=70% Lúc này I chỉ còn phụ thuộc vào T

Điều này có nghĩa là khi độ ẩm không khí là 70% và nhiệt độ

thực tế là thì chỉ số nhiệt tăng khoảng 960F35.60C

3,75 F 2.1 C cho mỗi độ tăng thực tế

1.2 Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện (Tự đọc)

Ý nghĩa hình học của đhr của hàm f(x,y) tại (a,b):

Tức là fx’(x0,y0) là tốc độ biến thiên của đường cong C1tại thời điểm x=x0, ta gọi là tốc độ biến thiên (hoặc là hệ số góc) của mặt cong S theo phương Ox tại điểm P(x0,y0,f(x0,y0))

Xét trong mp y=y0: C1 là giao tuyến của mp với mặt S thì pt C1 là z=f(x,y0), T1 là tiếp tuyến của C1 tại P(x0,y0) thì đạo hàm

fx’(x0,y0) là hệ số góc của tiếp tuyến T1

Gọi S là mặt cong z=f(x,y)

1.2 Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện

Ý nghĩa hình học của đhr của hàm f(x,y) tại (a,b):

Xét trong mp x=x0: C2 là giao tuyến của mp với mặt S thì pt C2 là z=f(x0,y0), T2 là tiếp tuyến của C2tại P(x0,y0), thì

đạo hàm fy’(x0,y0) là hệ số góc của tiếp tuyến T2

Tương tự cho dhr theo y:

Tức là fy’(x0,y0) là tốc độ biến thiên của đường cong C2tại thời điểm y=y0, ta gọi là tốc độ biến thiên (hoặc là hệ số góc) của mặt cong S theo phương Oy tại điểm P(x0,y0,f(x0,y0))

1.2 Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện

Tiếp diện của mặt cong:

Cho mặt cong S có pt z=f(x,y) Xét tại điểm P(x0,y0,z0) trên mặt cong: 2 giao tuyến với 2 mặt phẳng x=x0, y=y0 có 2 tiếp tuyến T1, T2; qua 2 tiếp tuyến này có 1 mặt phẳng được gọi là tiếp diện của mặt cong tại P

Pt tiếp diện có dạng: zz0 a xx0 b yy0Giao tuyến của tiếp diện với mp y=y0 là T1, có pt là:

Tương tự: bfyx y0, 0

T1 T2

z0=f(x0,y0)

Vậy pt tiếp diện là: zz0 fxxx0 fyyy0

1.2 Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện

Ví dụ: Tìm pt tiếp diện với mặt cong z=2x2+y2 tại điểm (1,1,3)

Định lý: Nếu hàm f(x,y) có các đhr theo x, y trong lân cận của (x0,y0) và liên tục tại đó thì hàm khả vi tại (x0,y0)

1.2 Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện

Nhắc lại: Với hàm 1 biến y=f(x) khả vi tại x0, ta coi dx như biến độc lập có thể lấy các giá trị thực bất kỳ thì vi phân của hàm được định nghĩa là:

Tương tự: Nếu hàm 2 biến z=f(x,y) khả vi tại (x0,y0) ta cũng coi dx, dy là các biến độc lập và gọi vi phân của hàm là

Ta còn gọi đó là vi phân toàn phần của hàm 2 biến z=f(x,y)

pt tiếp tuyến: y=f(x0)+f’(x0)(x-x0)

Mặt cong z=f(x,y)

Tiếp diện

Ví dụ: Cho hàm f(x,y)=2x2+y2-3xy Cho x biến thiên từ 2 đến 2.03 và y từ 3 đến 2.98, tính và so sánh ∆f với df tại (2,3)

Nhƣ vậy: ∆f xấp xỉ với df nhƣng tính df dễ dàng hơn tính ∆f

1.2 Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện

f(x,y,z)=ln(x+e )

xy

Nếu tính bằng cách thông thường, ta sẽ không tính được đhr tại điểm đặc biệt (0,0) Do đó, ta sẽ tính các đhr trên bằng

Đạo hàm cấp 2: Hàm f(x,y) có các đhr (nói chung) cũng lại là các hàm 2 biến Ta định nghĩa đh cấp 2 là đh của đhr cấp 1 Đạo hàm cấp 2 theo x:

Định lý Schwarz : Nếu hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng f’x, f’y, f”xy, f”yx trong miền mở chứa (x0,y0) và liên tục tại (x0,y0) thì f”xy(x0,y0) = f”yx(x0,y0)

1.3 Đạo hàm cấp cao

Tương tự, ta có các đạo hàm riêng cấp (n+1) là đạo hàm của đạo hàm cấp n

Ví dụ: Tính đhr cấp 1, 2, 3 của hàm: f(x,y)=x2y–3ex+y

Ghi nhớ: Đạo hàm riêng cấp cao hỗn hợp bằng nhau nếu số lần lấy đạo hàm theo các biến bằng nhau (không kể đến thứ tự lấy đạo hàm theo từng biến)

Ví dụ: Cho hàm f(x,y,z) = xcosy – 2ysinz Tính đhr đến cấp 2 3 đạo hàm cấp 1:

Vi phân cấp 2 là vi phân của vi phân cấp 1

33

Ví dụ: Cho hàm f(x,y,z) = xy2 – 2yz2 + ex+y+z Tính df, d2f Giải: Sử dụng công thức vi phân:

Ví dụ: Chiều cao h, chiều dài l và chiều ngang w của 1 cái hộp biến thiên theo thời gian Tại thời điểm t=t0, các chiều là l=1m, h=w=2m; h giảm với tốc độ 3m/s, w và l tăng với tốc độ 2m/s Tại thời điểm t0, tìm tốc độ biến thiên của:

a Thể tích hộp V=h.l.w

Vì h, l, w đều phụ thuộc thời gian nên V cũng vậy a Thể tích hộp

b Độ dài đường chéo hộp c Diện tích toàn phần hộp

Ta đặt h=h(t), l=l(t), w=w(t) thì V(t)=h(t).l(t).w(t)

1.4 Đạo hàm hàm hợp

Tốc độ biến thiên của thể tích tại thời điểm t0 chính là đạo hàm của hàm thể tích V(t) khi t=t0

Đạo hàm riêng cấp 1 của hàm hợp

Khi đó, z là hàm hợp z = z(x(t),y(t)) (là hàm theo 1 biến z=z(t))

cũng khả vi trong khoảng (t1,t2) và đạo hàm của hàm z(t) đƣợc tính bởi công thức:

x=x(t), y=y(t) khả vi trong khoảng (t1,t2)

1.4 Đạo hàm hàm hợp

Định lý :

Cho hàm z = z(x,y) khả vi trong miền D; 2 biến x, y không là biến độc lập mà là 2 hàm theo 1 biến t:

Vậy:

1.4 Đạo hàm hàm hợp (Tự đọc)

1.4 Đạo hàm hàm hợp (Tự đọc)

Ví dụ : Sử dụng công thức vừa chứng minh để tính lại câu c

1.4 Đạo hàm hàm hợp

1.4 Đạo hàm hàm hợp (Tự đọc)

Ví dụ: Cho mạch điện có 2 điện trở R1 và R2 được mắc song song Giả sử rằng cường độ dòng điện là 3A và đang tăng ở mức 10-2 A/s, R1 là 2Ω và đang tăng ở mức 0,4 Ω/s, R2 là 5Ω và đang giảm ở mức 0,7Ω/s Tính tốc độ thay đổi điện áp trong mạch

Tổng quát hơn:

Cho z = z(x,y) và x=x(u,v), y=y(u,v) tức là z là hàm hợp của

2 biến u, v Ta có công thức tương tự:

z zy

Cần tính đạo hàm của z theo biến nào ta đi theo đường đến biến đó

1.4 Đạo hàm hàm hợp

Ví dụ : Cho hàm z = xey, trong đó x=cosu+sinv, y=u2+v2 Tính

1.4 Đạo hàm hàm hợp

Ví dụ: Cho hàm z = y.f(x2-y2) Tính z z zx, y, xyGiải:

Ta đặt t = x2-y2, thì f là hàm theo 1 biến t: z=y.f

Ví dụ: Cho hàm z = f(x+y,2x-3y) Tính các đhr đến cấp 2 của hàm z

1.4 Đạo hàm hàm hợp

Lấy đhr theo v thì nhân với đhr của v theo x

Lấy đhr theo u thì nhân với đhr của u theo x

Tương tự: z”xy = f”uu-f”uv-6f”vv, z”yy = f”uu-6f”uv+9f”vv

1.4 Đạo hàm hàm hợp (Tự đọc)