3. Các công thức tính tích phân
1.1 Đ-ờng cong
Ta khảo sát đ-ờng cong trong R3, gọi là đ-ờng cong không gian. Việc khảo sát đ-ờng cong trongR2, gọi là đ-ờng cong phẳng, cũng t-ơng tự bằng cách thay tọa độ thứ ba bằng không.
1.1.1 Đ-ờng cong tham số hóa
Định nghĩa 1. Đ-ờng cong tham số hóa trong R3 là cặp C = (ϕ,[a, b]), trong đó [a, b] là một đoạn trong R3 và ϕ: [a, b] −→ R3, ϕ(t) = x(t), y(t), z(t)
, là ánh xạ liên tục.
ϕ(a), ϕ(b) theo thứ tự gọi là điểm đầu và điểm cuối của C. Nếu ϕ(a) =ϕ(b), thì ta nói C là kín. ảnhϕ([a, b]) ={ϕ(t)| t∈[a, b]}gọi là vết của đ-ờng cong tham số hóa C.
Nói rằng điểm X nằm trên đ-ờng cong tham số hoá C = (ϕ,[a, b]), nếu tồn tại
t0 ∈[a, b]sao cho X =ϕ(t0). Hai điểm khác nhau của đ-ờng cong tham số hoá có thể t-ơng ứng với một điểm trong R3, cụ thể, nếu ϕ(t1) =ϕ(t2), với t1 6=t2, thì điểm X1 = ϕ(t1) và X2 = ϕ(t2) là hai điểm khác nhau của C nh-ng lại là những điểm trùng nhau trongR3. Những điểm nh- thế gọi làđiểm bộihoặc điểm tự cắt (ở đây ta không xem sự trùng nhau của điểm đầu và điểm cuối là điểm bội). Một đ-ờng cong không có điểm bội gọi là đơn.
Một đ-ờng cong tham số hoá không chỉ đ-ợc đặc tr-ng bởi vết của nó mà còn đ-ợc đặc tr-ng bởi sự chuyển động của điểm ở trên vết. Chẳng hạn, đ-ờng cong ϕ(t) = (cost,sint), t ∈ [0,2π] và ψ(t) = (cost,−sint), t ∈ [0,2π] là hai đ-ờng cong tham số hoá khác nhau nh-ng có chung một vết, chính là đ-ờng tròn
{(x, y)∈ R2 | x2+y2 = 1}. Khi tăng tham số, điểm ϕ(t) chạy trên đ-ờng tròn theo chiều ng-ợc kim đồng hồ, còn ψ(t) thì đi theo h-ớng ng-ợc lạị
Đ-ờng cong tham số hóa C = (ϕ,[a, b])gọi là thuộc lớp C1 nếu tồn tại đạo hàm
ϕ0(t) = (x0(t), y0(t), z0(t))( tại các mút a, b đ-ợc hiểu là đạo hàm một phía) liên tục trên [a, b].
Đ-ờng cong tham số hóa C = (ϕ,[a, b])gọi làthuộc lớp C1 từng khúc nếu tồn tại một phân hoạch
a=t0 < t1 < . . . < tn =b
của đoạn [a, b]sao cho Ci = (ϕi,[ti−1, ti]), i= 1,2, . . . n là các đ-ờng cong tham số hóa thuộc lớp C1, trong đóϕi là hạn chế của ϕ trên đoạn[ti−1, ti]. ( Đạo hàm trái và phải của ϕtại mỗi điểmti tồn tại nh-ng không nhất thiết phải bằng nhau).
Chú ý. Từ đây trở về sau, nếu không giải thích gì thêm, khi nói đ-ờng cong tham số hoá ta hiểu đó là đ-ờng cong tham số hoá từng khúc thuộc lớp C1.
Ví dụ. 1) Cho ϕ(t) = (acost, bsint), t ∈ [0,2π]. Đây là đ-ờng cong tham số hoá có vết là ellip (E) : x
2
a2 + y
2
b2 = 1.
2) Cho ϕ(t) = (R(t−sint), R(1−cost), t ∈[a, b]. Đây là đ-ờng cong tham số hoá có vết là một phần của cycloid, qũi tích của điểm P cố định trên đ-ờng tròn bán kính R khi đ-ờng tròn này lăn trên trục Ox.
1.1.2 Đ-ờng cong tham số hóa t-ơng đ-ơng − Đ-ờng cong
Định nghĩa 2. Ta nói rằng đ-ờng cong tham số hoá (ϕ,[a, b]) t-ơng đ-ơng với đ-ờng cong tham số hoá(ψ,[a, b])nếu tồn tại phép đổi tham sốh: [a, b]−→[c, d]
sao cho
a) h là song ánh và đơn điệu tăng, b) h vàh−1 thuộc lớp C1 từng khúc, c) ϕ(t) =ψ(t), với mọi t∈[a, b].
Ví dụ. 1) Hai đ-ờng cong tham số hóa trongR2
ϕ(t) = (−t,
√
1−t2), t ∈[−1,1] và ψ(t) = (cost,sint), t∈[0, π]
là t-ơng đ-ơng. Phép đổi tham số là h: [0, π]−→[−1,1], h(t) =−cost. 2) Hai đ-ờng cong tham số hóa trong R2
ϕ(t) = (t,0), t∈[0,1] và ψ(t) = (sinπt,0), t∈[0,1]
không t-ơng đ-ơng. Thật vậy, giả sử tồn tại phép đổi tham số h: [0,1]−→[0,1], sao cho ψ(t) =ϕ(h(t)). Suy ra h(t) = sinπt. Nh-ng khi đó h không song ánh.
Mệnh đề 1. Quan hệ đ-ợc định nghĩa ở trên là một quan hệ t-ơng đ-ơng trên tập các đ-ờng cong tham số hóa trong R3.
Chứng minh. Để chỉ ra tính phản xạ chỉ cần lấy phép đổi tham số là ánh xạ đồng nhất. Nếu ϕt-ơng đ-ơng với ψ qua h, thì ψ t-ơng đ-ơng với ϕ qua h−1. Từ đó có tính đối xứng. Nếu ϕ t-ơng đ-ơng với ψ qua h và ψ t-ơng đ-ơng với θ qua
k, thìϕ t-ơng đ-ơng với θ qua k◦h. Suy ra tính bắc cầụ 2
Định nghĩa 3. Ta gọi đ-ờng cong(thuộc lớp C1 từng khúc) là một lớp t-ơng đ-ơng của một đ-ờng cong tham số hoá thuộc lớp C1 từng khúc.
Nếu đ-ờng cong(C)là lớp t-ơng đ-ơng của đ-ờng cong tham số hóa(ϕ(t),[a, b]), thì ϕ(t) gọi là biểu diễn tham số của (C).
Nhận xét. 1) Đối với các đoạn [a, b], [c, d] bất kỳ, luôn tôn tại tồn tại phép đổi tham số từ đoạn này đến đoạn kia, chẳng hạn t 7−→ c−d
b−a(t−a) +d. Vì vậy,
ta có thể chọn miền biến thiên của tham số t theo ý muốn để mô tả đ-ờng cong
(C).
2) Đôi khi cũng cần sự giải thích hình học của đ-ờng cong (C), nếu điều đó không gây sự nhầm lẫn, ta hiểu đ-ờng cong là tập hợp những điểm trong R3, có thể t-ởng t-ợng nh- vết của một đ-ờng cong tham số hoá nào đó đại diện cho
(C).
3) Đ-ờng cong (C)với biểu diễn tham số (ϕ,[a, b]), còn gọi làđ-ờng cong định h-ớng, tức là nó không đơn thuần là tập hợp các điểm ảnhϕ(t), mà trên tập điểm này còn đ-ợc sắp thứ tự. Ta hiểu h-ớng của đ-ờng cong (C) là h-ớng chuyển động của điểm ϕ(t)khi tham số t tăng.
4) Cho (C) là đ-ờng cong có biểu diễn tham số (ϕ,[a, b]). Ta ký hiệu (C−) là đ-ờng cong có biểu diễn tham số(ψ,[a, b]), vớiψ(t) = ϕ(a+b−t). Nếu(ϕ1,[c, d])
t-ơng đ-ơng với(ϕ,[a, b]), thì dễ kiểm tra rằng(ψ1,[c, d]), vớiψ1(t) =ϕ1(c+d−t)
là t-ơng đ-ơng với (ψ,[a, b]). Vậy, (C−) chỉ phụ thộc vào (C) mà không phụ thuộc vào biểu diễn tham số của (C). Khi đó ta nói (C−) thu đ-ợc từ (C) bằng cách lấy 00 h-ớng ng-ợc lại00.
5) Cho(C1),(C2)là hai đ-ờng cong có biểu diễn tham số lần l-ợt là(ϕ1,[a, b])và
(ϕ2,[b, c])sao cho điểm cuối của(C1)là điểm đầu của(C2), tức làϕ1(b) = ϕ2(b). Xét ánh xạ
ϕ: [a, c]−→R3, t7−→ (
ϕ1(t) nếu t∈[a, b],
ϕ2(t) nếu t∈[b, c].
Đây là ánh xạ thuộc lớp C1 từng khúc, do đó xác định một đ-ờng cong (C). Ta chú ý rằng, (C) không phụ thuộc vào biểu diễn tham số của (C1), (C2) mà chỉ
phụ thuộc vào (C1), (C2). Ta nói đ-ờng cong (C) là 00 nối liên tiép00 của (C1),
(C2), và viết (C) = (C1) + (C2).