Đồ thị (graph) là một công cụ rất hữu hiệu trong giải Toán trò chơi. Ở đây chỉ đưa ra một vài ví dụ có tính chất minh họa và gợi ý. Có thể tham khảo thêm tài liệu [6].
Định nghĩa 2.1 Đồ thị (graph) hữu hạn là một bộ hai tập hợp hữu hạn: Tập hợp
các đỉnh và tập hợp các cạnh nối hai đỉnh với nhau. Cạnh có định hướng được gọi là cung.
Hai đỉnh khác nhau của một graph được gọi là hai đỉnh kề hay hai đỉnh láng giềng nếu chúng được nối với nhau bởi một cạnh hoặc một cung.
Hai cạnh của một graph có chung một đỉnh được gọi là hai cạnh kề.
Bài 2.16 Trên mỗi đỉnh của 2012 - giác đều đặt một viên bi. Hai người chơi trò
ba viên bi. Họ chơi cho đến khi còn lại 2 viên bi. Nếu hai viên bi này nằm trên hai đỉnh kề nhau của 2012 - giác đều thì B thắng. Ngược lại A thắng. Hỏi ai thắng và thắng bằng cách nào.
Giải Xây dựng một đồ thị với tập đỉnh là tập tất cả 2012 đỉnh của 2012 - giác đều và cạnh của đồ thị gồm 1006 cạnh của đa giác đôi một không kề nhau (đánh số các đỉnh từ 1 đến 2012. Nối đỉnh số 2k1 với đỉnh số 2k, k1,...,1006). Tô màu đỏ các cạnh này. B thắng nếu thực hiện chiến thuật sau:
1) Nếu A lấy ba viên bi ở ba cạnh đỏ khác nhau, thì B lấy nốt ba viên bi ở ba đỉnh còn lại của các cạnh này.
2) Nếu A lấy hai viên bi ở một cạnh đỏ và 1 viên ở cạnh khác thì B lấy nốt viên còn lại ở cạnh ấy và hai viên ở một cùng cạnh khác.
Như vậy, lúc nào cũng còn tất cả các cạnh nguyên vẹn (còn đủ hai viên bi). Sau 2012 : 3 670 lượt đi (mỗi người 335 lượt, B đi lượt cuối) và còn lẻ lại 2 viên trên cùng một cạnh (hai đỉnh kề). Vậy B thắng.
Định nghĩa 2.2 Tập N các đỉnh của đồ thị được gọi là tập ổn định trong, nếu hai
đỉnh tùy ý thuộc N đều không kề nhau (không có cạnh hoặc cung nối nhau). Tập con M các đỉnh của đồ thị được gọi là tập ổn định ngoài, nếu mỗi đỉnh x nằm ngoài tập M (xM ) đều có ít nhất một đỉnh y thuộc tập M (yM ) để hoặc
x và y được nối bởi một cạnh hoặc có một cung đi từ x vào y.
Tập con S các đỉnh của đồ thị G được gọi là nhân của đồ thị G, nếu S vừa là tập ổn định trong, vừa là tập ổn định ngoài của G.
Trò chơi chọn đỉnh đồ thị
Hai đấu thủ , A B thực hiện trò chơi chọn đỉnh đồ thị theo nguyên tắc sau: 1) Người đi đầu xác định ngẫu nhiên.
Người đi sau phải căn cứ vào đỉnh mà người đi trước vừa chọn và chỉ được chọn một trong các đỉnh, mà mỗi đỉnh này hoặc có cạnh nối với đỉnh của người đi trước vừa chọn hoặc từ đỉnh mà người đi trước vừa chọn có cung đi tới nó.
3) Người đến lượt mà không chọn được đỉnh là thua cuộc.
Định lí (xem [6]) Nếu đồ thị G có nhân mà đấu thủ nào đến lượt chọn được đỉnh
thuộc nhân, thì bảo đảm đấu thủ đó thắng hoặc hòa.
Bài 2.17 Trên bàn gồm 14 viên bi. Hai em A và B chơi trò chơi như sau. Mỗi người lần lượt bốc số bi ít nhất một viên và không quá ba viên. Ai đến lượt mà hết bi để bốc là thua cuộc. Hỏi ai thắng và chiến lược để thắng.
Cách giải 1 (Đồ thị) Xây dựng đồ thị G có 15 đỉnh tương ứng với 15 khả năng
(0, 1, 2,…, 14) số bi trên bàn.
Vì mỗi người đến lượt phải bốc ít nhất một viên bi và nhiều nhất ba viên nên: +) Tại đỉnh u (3 u 14) xuất phát đúng 3 cung được dán nhãn 1, 2, 3 để đi tới các đỉnh tương ứng u1, u2, u3.
+) Tại đỉnh 2 xuất phát 2 cung với nhãn 1, 2 để đi tới các đỉnh tương ứng 1 và 0. +) Tại đỉnh 1 xuất phát cung duy nhất với nhãn 1 để đi tới đỉnh 0.
Đồ thị G có nhân N gồm các đỉnh 0, 4, 8, 12. Thật vậy, dễ dàng thấy rằng N là tập ổn định trong, vì các đỉnh này không có cạnh hoặc cung nối. Hơn nữa, N là tập ổn định ngoài, vì các đỉnh không thuộc N đều có cạnh hoặc cung nối với các điểm trong N. Vậy N 0, 4, 8, 12 là nhân của đồ thị. A (đi đầu) chọn được đỉnh thuộc nhân nên theo định lí trên A thắng. Chiến lược của A (đi đầu) để thắng cụ thể như sau:
Bước 1: A xuất phát từ đỉnh 14 đi theo cung nhãn 2 để đạt được đỉnh 12 thuộc
Bước 2: B xuất phát từ đỉnh 12 buộc phải đi theo một trong các cung có nhãn 1, 2, 3. Khi ấy B đi đến một trong các đỉnh 11, 10, 9. Tức là B bốc 1, 2 hoặc ba viên bi, để lại trên bàn 11, 10 hoặc 9 viên.
Bước 3: Tùy theo B đã chọn cung nào, A sẽ xuất phát từ đỉnh tương ứng. Cụ thể,
A xuất phát từ đỉnh 11 đi theo cung nhãn 3, xuất phát từ đỉnh 10 đi theo cung nhãn 2 hoặc xuất phát từ đỉnh 9 đi theo cung nhãn 1 để đến đỉnh 8. Tức là trên bàn còn 8 viên bi.
Bước 4: B xuất phát từ đỉnh 8 buộc phải đi theo một trong các cung có nhãn 1, 2,
3 và đến một trong các đỉnh 7, 6, 5. Tức là B bốc 1, 2 hoặc ba viên bi, để lại trên bàn 7, 6 hoặc 5 viên bi.
Bước 5: A xuất phát từ đỉnh 7 đi theo cung nhãn 3, xuất phát từ đỉnh 6 đi theo
cung nhãn 2 hoặc xuất phát từ đỉnh 5 đi theo cung nhãn 1 để đến đỉnh 4.
Bước 6: B xuất phát từ đỉnh 4 buộc phải đi theo một trong các cung có nhãn 1, 2,
3 và đến một trong các đỉnh 3, 2, 1. Tức là B bốc 1, 2 hoặc ba viên bi, để lại trên bàn 3, 2 hoặc 1 viên.
Bước 7: A xuất phát từ đỉnh 3 đi theo cung nhãn 3, xuất phát từ đỉnh 2 đi theo
cung nhãn 2 hoặc xuất phát từ đỉnh 1 đi theo cung nhãn 1 để đến đỉnh 0.
Vì đỉnh 0 không có cung nào nên đến lượt B không có đỉnh để chọn, tức là không có bi để bốc nên thua cuộc. Vậy A là người chiến thắng.
Cách giải 2 (đồng dư) Chiến lược của A (đi trước) là đưa B về trạng thái thua
bằng cách lấy số bi dư của 14 theo mod 4. Cụ thể: Bước 1: A bốc 2 viên bi, còn lại trên bàn 12 viên.
Bước 2: B buộc phải bốc 1, 2 hoặc ba viên bi, để lại trên bàn 11, 10 hoặc 9 viên. Bước 3: A bốc 3, 2, hoặc 1 viên, để lại trên bàn 8 viên bi.
Bước 4: B buộc phải bốc 1, 2 hoặc ba viên bi, để lại trên bàn 7, 6 hoặc 5 viên. Bước 5: A bốc 3, 2, hoặc 1 viên, để lại trên bàn 4 viên bi.
Bước 6: 1, 2 hoặc ba viên bi, để lại trên bàn 3, 2 hoặc 1 viên. Bước 7: A bốc nốt và thắng cuộc.
Lời bình Khá nhiều bài toán trò chơi giải được bằng kĩ thuật đồng dư thì cũng giải được bằng phương pháp đồ thị.
Định nghĩa 2.3 Đường đi của một graph là một dãy kế tiếp các cạnh trong đồ thị
nếu chúng không đi qua đỉnh nào của graph quá một lần.
Đường đi khép kin (chu trình Hamilton) của một graph là một dãy các cạnh kế tiếp khép kín sao cho mỗi đỉnh của graph được đi qua không quá một lần.
Bài toán tìm chu trình Hamilton là bài toán quan trọng trong lí thuyết đồ thị.
Bài 2.18 (Đường đi của con mã) Hai người chơi một trò chơi trên bàn cờ 8 8
như sau. A đặt quân mã lên ô bất kì của bàn cờ. Sau đó B dẫn con mã đi một bước trên bàn cờ theo qui tắc bước nhảy thông thường của con mã. Mỗi ô trên bàn cờ chỉ được đến một lần. Hỏi ai sẽ thắng và thắng bằng cách nào?
Giải Xây dựng một đồ thị với các đỉnh là 64 ô trên bàn cờ, còn hai ô được nối với nhau bởi một cạnh nếu con mã có thể nhảy từ ô này tới ô kia. Do số đỉnh (bằng 32) là chẵn, nên ta có thể tìm được một bộ 32 cạnh đôi một không liền kề. Rõ ràng B có thể thắng A nếu bằng cách luôn dẫn con mã theo các cạnh của tập hợp 32 cạnh được đánh dấu này. Đồ thị này có một chu trình Hamilton. Người cuối cùng không có bước đi là A. Vậy B đi trước thắng.
Lời bình Đây là một cách phát biểu khác của bài toán con mã đi tuần (trò chơi
một người): Tìm đường đi của con mã trên bàn cờ sao cho nó có thể nhảy qua tất cả các ô, mỗi ô đúng một lần. Nếu sau đó con mã lại trở về vị trí xuất phát thì ta gọi đó là đường đi đóng, nếu không thì ta gọi là đường đi mở.
Bài toán con mã đi tuần có lịch sử ít nhất là hơn 1000 năm. Nhà toán học Abraham de Moivre đã tìm được đường đi mở đầu tiên của con mã đi tuần.
Đường đi đóng đầu tiên do nhà toán học người Pháp Adrien - Marie Legendre (1752 - 1833) tìm ra.