Hàm số lƣợng giác

- Phát triển tư duy sáng tạo trong quá trình giải bài tập vận dụng công

2.5.4. Hàm số lƣợng giác

2.5.4.1. Phân tích nội dung dạy học

Khi phân tích sách giáo khoa GV thấy những ý sau:

+ Các hàm số ysin ,x ycosx: Thấy được mối liên hệ giữa mỗi số thực x với điểm cuối của cung, (góc) lượng giác có số đo bằng x (rad), mỗi điểm cuối đó xác định tọa độ theo thứ tự theo sinx và cosx định nghĩa

các hàm số y sin ,x ycos .x

+ Với hai số thực đối nhau thì côsin của chúng bằng nhau, sin của chúng đối nhau từ đó suy ra tính chẵn - lẻ của hàm số.

+ Các số thực có dạng xk2 , k cho cùng một điểm cuồi cùng trên đường tròn lượng giác  định nghĩa hàm số tuần hoàn và chu kì.

+ Sự biến thiên và đồ thị của hàm số ysinx: Do hàm tuần hoàn với chu kì 2 nên bảng biến thiên và đồ thị tương ứng được lập lại sau 2 lần. Do đó ta xét bảng biến thiên trên đoạn 2 . Từ đó vẽ đồ thị của hàm số

sin ,

y x trên đoạn  ; , sau đó tịnh tiến liên tiếp sang trái theo 2i và sang phải theo 2i.

+ Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y cos :x Làm tương tự như hàm số y sin ,x hoặc do cos sin

2

x x 

 

  nên đồ thị của hàm số y cosx

được suy ra từ đồ thị của hàm số y sin ,x bằng cách tịnh tiến đồ thị của hàm số theo véc tơ 2 .i

+ Phần lý thuyết đã học gồm các nội dung:

- Định nghĩa các hàm số lượng giácysin ,x ycos ,x ytan ,x

cot .

y x

- Sự biến thiên và đồ thị của các hàm số lượng giác ysin ,x y cos ,x

tan ,

y x ycot .x

Sau khi nghiên cứu ta thấy rằng:

+ Định nghĩa, sự biến thiên và đồ thị của các hàm số lượng giác sin , cos ,

y x y  x ytan ,x ycotx là kiến thức cơ bản trọng tâm.

+ Tìm tập xác định, tập giá trị; xét tính chẵn, lẻ; tính tuần hoàn; chu kì; khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số dạng y sin ,x ycos ,x

tan ,

y x ycotx là kiến thức cơ bản về thực hành.

Căn cứ vào thực tế của việc dạy học trên lớp GV đánh giá việc nắm kiến thức kĩ năng của HS từ đó có hướng lựa chọn cho việc thiết kế và tổ chức tập luyện các hoạt động học toán. Chẳng hạn trên lớp việc HS học tập cho thấy:

+ Về kiến thức: Đa số HS có hiểu chưa sâu các định nghĩa hàm số lượng giácysin ,x y cos ,x ytan ,x y cot ,x với x là số thực và là rađian (không phải số đo độ) của góc (cung) lượng giác; hiểu chưa sâu tính chẵn - lẻ, tính tuần hoàn và chu kì của các hàm số lượng giác ysin ,x

cos ,

y x ytan ,x ycot ;x biết tập xác định và tập giá trị của các hàm số đó.

+ Về kĩ năng: Đa số học sinh chưa thành thạo trong việc xác định được:

tập xác định, tập giá trị; tính chẵn, lẻ; tính tuần hoàn; chu kì; khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm sốysin ,x y cos ,x ytan ,x y cot ;x Chưa vẽ được thành thạo đồ thi của các hàm số y sin ,x ycos ,x ytan ,x ycot .x

+ Về tư duy: HS tư duy hàm còn chưa nhanh khi giải bài tập về hàm số

lượng giác.

2.5.4.2. Mục đích yêu cầu dạy học

Căn cứ vào việc phân tích nội dung dạy học, việc học tập của HS nêu trên và các quy định về chuẩn kiến thức kĩ năng do Bộ giáo dục và đào tạo ban hành GV xác định mục đích yêu cầu dạy học, chẳng hạn:

* Về kiến thức:

+ Cơ bản.

+ Hiểu kĩ hơn các định nghĩa hàm số lượng giácy sin ,x ycos ,x tan , cot ,

y x y x với x là số thực và là rađian (không phải số đo độ) của góc (cung) lượng giác; Hiểu kĩ hơn được tính chẵn - lẻ, tính tuần hoàn và chu

kì của các hàm số lượng giácysin ,x y cos ,x ytan ,x ycotx; biết tập xác định và tập giá trị của các hàm số đó.

+ Nâng cao.

- Hiểu thêm về phép biến đổi đồ thị như phép co, giãn đồ thị.

* Về kĩ năng

+ Cơ bản.

- Xác định được: Tập xác định, tập giá trị; tính chẵn, lẻ; tính tuần hoàn; chu kì; khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số có dạng y sin ,x

cos , tan , cot .

y x y x y x

- Vẽ được đồ thi của các hàm sốy sin ,x ycos ,x ytan ,x ycot .x

+ Nâng cao.

- Vẽ đồ thị của hàm số được suy ra từ đồ thị của hàm số có liên quan. - Chứng minh hàm số tuần hoàn.

* Về tƣ duy

- Phát triển tư duy logích, tư duy hàm trong quá trình giải bài tập về hàm số lượng giác.

2.5.4.3. Lựa chọn một số HĐ gắn với mục đích và nội dung kiến thức

Căn cứ vào việc xác định mục đích yêu cầu dạy học như tình hình trên GV có thể lựa chọn một số hoạt động:

+ Tìm tập xác định; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; xét tính chẵn, lẻ tính tuần hoàn; chu kì; khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số có dạng

sin , cos , tan , cot .

y x y x y x y x

+ Vẽ đồ thi của hàm số có dạng y sin ,x ycos ,x ytan ,x ycot .x

2.5.4.4. Câu hỏi và bài tập

Theo mục tiêu về kỹ năng ở trên, GV lựa chọn nội dung sau để tập luyện các hoạt động:

1) Tìm tập xác định; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; xét tính chẵn lẻ tính tuần hoàn; chu kì; khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

?1. Nêu định nghĩa tập xác định của một hàm số?

?2. Nêu cách tìm tập xác định của một hàm số?

?3. Nêu tập xác định của các hàm số: ysin ,x ycos ,x ytan ,x ycotx?

Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số: 1 cos y x  , 1 sin y x  . Bài 2. Tìm tập xác định của các hàm số: a) 1 cos ; sin x y x   b) 1 cos ; 1 cos x y x    c) tan ; 3 y  x      d) y cot x 6 .         

?4. Nêu tập giá trị của các hàm sốysin ,x ycos ,x ytan ,x ycotx?

?5. Cho biết giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm sốy sin ,x ycosx?

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số

a) y2 cos2x1; b) y  3 2sin 2 .x

Bài 4. Hãy xác định giá trị của x trên đoạn  

    3 ; 2 để hàm số ytanx a) Nhận giá trị bằng 0; b) Nhận giá trị bằng 1; c) Nhận giá trị dương; d) Nhận giá trị âm.

?6. Thế nào là hàm số chẵn, hàm số lẻ? ?7. Nêu cách xác định hàm số chẵn, hàm số lẻ? Bài 5. Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số a) y xcos3 ;x b) 1 cos ; 1 cos x y x    c) yx3sin 2 ;x d) 3 sinx . cos2 x x 

(Đáp số a). lẻ; b). chẵn; c). chẵn; d). lẻ).

Bài 6. Lập bảng biến thiên của các hàm số a) Hàm số 2sin( ) 3 y x    trên đoạn 4 ; 2 3 3        ; b) Hàm số cos(2 ) 3 y   x trên đoạn 2 ; 3 3        . Bài 7. (HS khá giỏi) a) Biết hàm số yAsinxB ( ,A B,  , là những hằng số, , 0

A   ) là một hàm số tuần hoàn với chu kì 2 ;

 ( ,A B,  , là những

hằng số, ,A  0) là một hàm số tuần hoàn với chu kì 2 .

 Chứng minh rằng

các hàm số sau đây là hàm số tuần hoàn, tìm chu kì và xét tính chẵn lẻ của mỗi hàm số:

a) ysin 22 x1; b) ycos2xsin2x; c) ycos2xsin2x. (Hướng dẫn: a) 2 1 cos 4 3 1 sin 2 1 1 cos 4 . 2 2 2 x y x      x Do đó hàm số này tuần hoàn với chu kì .

2



Đó là một hàm số chẵn.

b) ycos2 xsin2xcos 2 ,x đó là một hàm số tuần hoàn với chu kì  và là một hàm số chẵn.

c) ycos2xsin2 x1, với mọi x nên y là một hàm hằng, dó đó với mọi số

T ta có 2  2 

cos x T sin x T  2 2

cos xsin x với mọi x đó là một hàm số tuần hoàn nhưng không có chu kì vì trong các số dương T không có số T

2) Vẽ đồ thi của hàm số.

?8. Nêu cách vẽ đồ thi của các hàm sốy sin ,x ycos ,x ytan ,x ycotx?

Bài 8. Dựa vào đồ thị của hàm số ysin ,x hãy vẽ đồ thị của hàm số sin

y x?

Bài 9.

a) Chứng minh rằng cos (1 4 ) cos

2 2

x

x k  với mọi số nguyên k từ đó vẽ đồ thị hàm số cos .

2

x y

b) Dựa vào đồ thi hàm số cos 2

x

y  , hãy vẽ đồ thi hàm số cos . 2

x y

Bài 10. (HS khá giỏi)

Từ đồ thị của hàm số ytanx hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau: a) y 2 tan ;x b) y tan 2 ;x c) tan . 2 x y  Vẽ đồ thị của các hàm số đó. Hướng dẫn:

a) Đồ thị của hàm số y2 tanx có được từ đồ thị của hàm số ytanx

bằng phép biến đổi, biến mỗi điểm x y;  thành điểm có tọa độ x; 2y. b) Đồ thị của hàm số ytan 2x có được từ đồ thị của hàm số ytanx

bằng phép biến đổi, biến mỗi điểm x y;  thành điểm có tọa độ ; . 2 x y       c) Đồ thị của hàm số 2 tan 2 x

y  có được từ đồ thị của hàm số ytanx

bằng phép biến đổi, biến mỗi điểm x y;  thành điểm có tọa độ 2 ;x y.