Sự tương quan giữa các đối tượng trong hệ sinh AXĐ

Bên cạnh các phương pháp biểu diễn cơ sở và phản cơ sở đã trình bày ở trên, phần sau đây trong luận án sẽ trình bày thêm một số kết quả khi nghiên cứu về mối tương quan giữa các đối tượng trong hệ sinh AXĐ.

Bổ đề sau đây sẽ phát biểu về sự tương đương giữa hai tập luật sinh trên cùng một tập phần tử,

Bổ đề 3.2

Cho hai tập luật sinh F và G trên tập U hữu hạn. Khi đó F và G được nói là tương đương khi và chỉ khi XU: XF* = XG*

Chứng minh

Giả sử F G và XU. Vì F G nên theo định nghĩa F*= G*. Theo tính chất ảnh của tập các phần tử A XF*  XAF*  XAG*  A  XG*. Vậy

XF*= XG*.

Đảo lại, X  Uthỏa XF*= XG* . Khi đó, cũng tương tự trên, ta có,

XYF*YXF*YXG*XYG*. Vậy F* = G*. Do đó, FG ■

Thí dụ 3.10

Cho U = ABCDEH và các tập luật sinh F = { A  BC, A  D, CD  E},

G ={ A  BCE, A  BD, CD  E}. Ta nhận thấy như sau,

Do A*G = ABCDE, suy ra các luật sinh A  BC, A  D thuộc về G*. Mặt khác, luật sinh CD  E cũng thuộc G*. Suy ra, mọi luật sinh trong F đều thuộc về

G*. Mặt khác, do A*F = ABCDE, nên các luật sinh A  BCE, A  BD thuộc về F*.

Ngoài ra, do CD  E cũng thuộc F*. Vậy mọi luật sinh trong G đều thuộc về F*. Áp dụng khái niệm tương đương giữa các tập luật sinh, ta kết luận FG.

Xét tập X bất kỳ, chẳng hạn X = CD. Ta thu được,

88

Một nhận xét nữa với các hệ sinh AXĐ khác nhau nếu có cùng tập cơ sở thì sẽ có cùng tập phản cơ sở và ngược lại. Nhận xét này được phát biểu và chứng minh qua định lý sau đây,

Định lý 3.6

Cho hai hệ sinh = U, F và = U, G. Khi đó:

Base=Base  AntiBase=AntiBase

Chứng minh

() Giả sử Base()=Base() và P AntiBase(). Nếu P*G = U thì P là siêu cơ sở của hệ sinh , do đó P phải chứa một cơ sở K nào đó của . Do Base() = Base() nên K cũng là cơ sở của hệ sinh , điều này mâu thuẫn với tính chất của phản cơ sở. Vậy P*G  U. Giả sử A U\P. Vì P là phản cơ sở của hệ sinh  nên KBase() thỏa PA  K. Vì Base()=Base() nên ta có KBase() thỏa PA  K. Theo định nghĩa của phản cơ sở, ta suy ra PAntiBase(). Vậy AntiBase()  AntiBase(). Đổi vai trò của  và  ta chứng minh được AntiBase() AntiBase() để thu được

AntiBase() = AntiBase().

() Đảo lại, nếu AntiBase()=AntiBase() và KBase(), ta chứng minh

KBase(). Thật vậy, giả sử K*G  U. Gọi M là tập con chứa K lớn nhất trong U

thỏa tính chất M*G  U. Theo định nghĩa phản cơ sở, M là phản cơ sở của hệ sinh  và do đó là phản cơ sở của hệ sinh  vì hai hệ sinh có cùng tập phản cơ sở. Nhưng khi đó, trong hệ sinh , phản cơ sở M chứa cơ sở K là điều vô lý. Vậy ta phải có

K*G= U, tức là K là siêu cơ sở của . Khi đó, gọi M là cơ sở của hệ sinh  chứa trong siêu cơ sở K. Nếu M*F U, ta tìm tập con P chứa M lớn nhất của U thỏa

P*F U. Theo định nghĩa phản cơ sở, P là phản cơ sở của hệ sinh  và do đó là phản cơ sở của hệ sinh  vì hai hệ sinh có cùng tập phản cơ sở. Trong hệ sinh  lúc này ta có, P là phản cơ sở chứa cơ sở M là điều vô lý, và do đó ta phải có M*F= U, tức là M là siêu cơ sở của . Do M là tập con trong cơ sở K của  nên M = K. Như

89

vậy K là cơ sở của . Suy ra Base() Base(). Hoán đổi vai trò của  và , ta sẽ chứng minh được Base() Base() và được Base() = Base().

Định lý chứng minh xong ■

Thí dụ 3.11

Cho các hệ sinh  = U, Fvà  = U, Gvới U = ABCDE và các tập luật sinh

F= { AB C, AD B, BD}, G = { ABECD, ADEBC}. Ta có,

Base()=Base()={ABE, ADE}, AntiBase()=AntiBase()={ABCD, BCDE} Ngoài ra, một kết quả khác của luận án trình bày trong phần này cũng chỉ ra nếu các hệ sinh trên cùng tập nền U có các tập luật sinh tương đương thì các hệ sinh đó sẽ có cùng tập cơ sở và tập phản cơ sở. Kết quả này được phát biểu và chứng minh qua bổ đề sau đây,

Bổ đề 3.3

Cho hai tập luật sinh F và G trên U. Nếu F và G tương đương thì hai hệ sinh AXĐ = U,F và = U,G có cùng tập cơ sở và do đó có cùng tập phản cơ sở,

Base = Base, AntiBase = AntiBase.

Chứng minh

Giả sử ta có  = (U,F) và  = (U,G) và F  G. Khi đó, vận dụng bổ đề 3.2 về tương đương của các tập luật sinh cùng với định nghĩa cơ sở ta có,

KBase() (KF*=U)(AK:(K\A)F* U)

(KG*=U)(A  K:(K\A)G* U )

 K Base()

Vậy Base() = Base(). Theo định lý 3.6, ta có AntiBase() = AntiBase() ■

Thí dụ 3.12

Trong thí dụ này minh họa cho trường hợp hai hệ sinh  = (U,F) và  = (U,G) có cùng tập cơ sở , do đó cùng tập phản cơ sở nhưng hai tập luật sinh F,G lại không tương đương với nhau.

90

Cho U = ABC, các tập luật sinh F = {A  B}, G = { AC  B}. Ta thu được

Base() = Base() = {AC}, AntiBase() = AntiBase() = {AB, BC}. Mặt khác, ta lại có, AG* = A AB = AF*. Suy ra F và G không tương đương.