Chứng minh được chia làm hai loại là chứng minh trực tiếp và chứng minh gián tiếp .
3.1. Chứng minh trực tiếp
Chứng minh trực tiếp là loại chứng minh trong đó sử dụng các luận cứ để trực tiếp rút ra tính chân thực của luận đề.
Ví dụ: Để chứng minh cho luận điểm “Trái đất quay xung quanh Mặt Trời” người ta sử dụng các luận cứ chân thực là “tất cả các hành tinh đều quay xung quanh mặt trời” và “Trái Đất là hành tinh” . Bằng luận chứng suy diễn dưới dạng luận ba đoạn, ta suy ra được tính chân thực của luận đề “Trái Đất quay xung quanh Mặt Trời”.
Viết gọn lại:
Tất cả các hành tinh đều quay xung quanh Mặt Trời.(1) Trái Đất là hành tinh.(2)
__________________________________ Do đó, Trái đất quay xung quanh Mặt Trời.(3)
Theo cách chứng minh ở trên, luận đề “Trái Đất quay xung quanh Mặt Trời” được rút ra trực tiếp từ việc sử dụng các luận cứ (1) và (2)
Nếu ta thấy ký hiệu luận đề của chứng minh là A, các luận cứ là b, c, d và các luận cứ phát sinh từ các luận cứ đó là e, g, h làm xuất hiện A, thì chứng minh trực tiếp được thể hiện qua sơ đồ:
b, c, d → e, g, h → A
Sơ đồ trên đòi hỏi các luận cứ b, c, d và các luận đề phát sinh e,g,h phải chân thực. Đó là điều kiện cơ bản để rút ra tính chân thực của luận đề chứng minh A. Còn số lượng các luận cứ bao nhiêu để đủ rút ra luận đề A là tùy thuộc vào mỗi loại chứng minh trực tiếp cụ thể.
Chứng minh gián tiếp là loại chứng minh trong đó tính chân thực của luận đề được rút ra trên cơ sở luận chứng tính giả dối của phản luận đề hoặc từ các khả năng khác.
Chứng minh gián tiếp thường được sử dụng trong các trường hợp khơng tìm được các luận cứ để trực tiếp rút ra luận đề. Khi đó, việc chứng minh phải chuyển hướng từ việc đi tìm các luận cứ trực tiếp để rút ra tính chân thực của luận đề sang việc tìm các luận cứ để xác định phản luận đề của luận đề chứng minh là giả dối. Rồi từ đó suy ra luận đề là chân thực hoặc tìm cách loại trừ các khả năng khác ngoài một khả năng duy nhất là luận đề.
Căn cứ vào kết cấu của phản luận đề, người ta chia chứng minh gián tiếp ra làm hai loại là chứng minh phản chứng và chứng minh bằng phương pháp loại trừ.
Chứng minh phản chứng là loại chứng minh gián tiếp trong đó luận chứng tính giả dối của phản luận đề để rút ra tính chân thực của phản luận đề.
Nghĩa là từ luận đề cần phải chứng minh (A) ta xây dựng phản luận đề (7A), rồi đi tìm các luận cứ b, c, d… e, g, h để xác định (7A) là giả dối. Trên cơ sở đó, sử dụng quy luật loại trừ cái thứ ba để rút ra tính chân thực của luận đề (A) Sơ đồ chứng minh phản chứng được diễn tả:
b, c, d → e, g, h →7Ai → Hu
Ví dụ: Chứng minh luận điểm của hình học phẳng nói rằng, “từ một điểm ở ngoài đường thẳng OX bao giờ cũng chỉ kẻ được một đường thẳng vng góc với đường thẳng đó”.
Ta chứng minh phản chứng. Trước hết xây dựng phản luận đề “từ một điểm A ở ngoài đường thẳng ta kẻ được nhiều đường thẳng (AB và CD…) vng góc với OX.
Tìm các luận cứ để xác định phản luận đề đó là giả dối.
Khi kẻ AB và CD vng góc với OX ta được tam giác ABC. TRong đó tổng các góc trong ( A+B+C) lớn hơn 180 độ. Điều này trái với một định lý đã được chứng
minh rẳng “tổng các góc trong của một tam giác bằng 180 độ”. Như vây, phản luận đề là giả dối. Theo quy luật loại trừ cái thứ ba suy ra từ một điểm ở ngoài đường thẳng bao giờ cũng chỉ kẻ được một đường thẳng vng góc với đường thẳng đó. Luận đề đã được chứng minh.
Phương pháp chứng minh bằng phản chứng được sử dụng rộng rãi trong các khoa học. Ví dụ: Trong logic học, chúng ta sử dụng nó để chứng minh quy tắc 1và
quy tắc 2 của loại hình 1trong luận ba đoạn đơn …Tuy nhiên, phương pháp chứng minh bằng phản chứng thường được sử dụng ở trong hình học.
Chứng minh bằng phương pháp loại trừ (chứng minh phân liệt) là loại chứng minh trong đó lần lượt loại bỏ các khả năng khác chỉ còn một khả năng duy nhất là luận đề chứng minh.
Ví dụ:
Trong bốn đối tượng có khả năng gây án A, B, C, D. Bằng những chứng cứ thu thập được trong quá trình điều tra ta biết được một cách chắc chắn A, B, C là ngoại phạm. Chỉ còn một đối tượng duy nhất là D, vậy D có thể là kẻ gây án.
Chứng minh bằng phương pháp loại trừ được diễn đạt dưới dạng sơ đồ sau: A V B V C V D
7A ᴧ 7B ᴧ 7C D
Viết dưới dạng công thức: ((A V B V C V D) ᴧ 7A ᴧ 7B ᴧ 7C)) →D.
Trong quá trình sử dụng phương pháp loại trừ, điều đặc biệt lưu ý là phải nghiên cứu hết mọi khả năng, đồng thời các khả năng đó và khả năng duy nhất cịn lại phải loại trừ nhau. Có như vậy phương pháp này mới tránh được sai lầm trong q trình rút ra tính chân thực của luận đề.