1. Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn đỉnh A, AB a 2= . Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Hỡnh chiếu vuụng gúc H của S lờn mặt phẳng (ABC) thỏa món IAuur = -2IHuur
. Gúc giữa SC và mặt đỏy (ABC) bằng 600. Hóy tớnh thể tớch khối chúp S.ABC và khoảng cỏch từ trung điểm K của SB đến mặt phẳng (SAH).
2. Cho lăng trụ tam giỏc đều ABC.A 'B'C ' cú cạnh đỏy là a và khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng (A’BC) bằng a
2. Tớnh theo a thể tớch khối lăng trụ ABC.A 'B'C '.
3. Cho hỡnh chúp S.ABCcú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại Ccạnh huyền bằng 3a. Gọi G là trọng tõm tam giỏc ABC, SG^(ABC), SB a 14
2
= . Tớnh thể tớch khối chúp S.ABC và khoảng cỏch từ B đến mặt phẳng (SAC).
4. Cho hỡnh lập phương ABCD.A’B’C’D’ cú cạnh bằng a , gọi M là trung điểm của cạnh B’C’, N là điểm thuộc cạnh BB’ sao cho BN=3NB’.Tớnh thể tớch tứ diện ANMD’ 5. ABC là tam giỏc đều cạnh a. Trờn đường thẳng d vuụng gúc với mặt phẳng (ABC) tại
A ta lấy điểm M khỏc A. Gọi O là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC và H là trực tõm tam giỏc MBC. Đường thẳng OH cắt d tại N. Xỏc định vị trớ của M trờn d sao cho tứ diện BCMN cú thể tớch nhỏ nhất.
6. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, mặt bờn SAB là một tam giỏc đều và nằm trờn mặt phẳng vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD). Tớnh diện tớch mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp S.ABCD.
7. Cho khối chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, hai mặt bờn (SAB) và (SAD) cựng vuụng gúc với đỏy và gúc giữa mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đỏy là 450. Gọi (P) là mặt phẳng vuụng gúc với AB tại trung điểm M của AB. Mặt phẳng (P) chia khối chúp S.ABCD thành hai phần, phần chứa điểm A cú thể tớch V1, phần cũn lại cú thể tớch là V2. Tớnh tỷ số 1
2 V V
8. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú cạnh SA = x, cũn tất cả cỏc cạnh cũn lại đều cú độ dài bằng 1. Tỡm điều kiện của x để bài toỏn cú nghĩa, từ đú tớnh theo x thể tớch của khối chúp S.ABCD và xỏc định x thể tớch ấy lớn nhất.
9. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng , AB = AC = a, cạnh bờn AA’ = a. Gọi E là trung điểm của AB, F là hỡnh chiếu vuụng gúc của E trờn BC. 10. Mặt phẳng (C’EF) chia lăng trụ thành hai phần, tớnh tỷ số thể tớch hai phần ấy.
11. Tớnh gúc giữa hai mặt phẳng (C’EF) và (ABC).
12. Cho hỡnh chúp đều S.ABC, đỏy ABC cú cạnh bằng a, mặt bờn tạo với đỏy một gúc 300. Tớnh thể tớch khối chúp S.ABC và khoảng cỏch từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC)
13. Cho hỡnh hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ cú AB = AD = 2a và BAD 60ã = 0. Gọi M là trung điểm của A’B’. Tớnh thể tớch khối tứ diện ABC’M, biết rằng AC’ vuụng gúc với BM.
14. Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA vuụng gúc mặt phẳng ( BC), mặt phẳng (SBC) vuụng gúc mặt phẳng (SAB), SB = a 2, BCS 45ã= 0 và ASBã = a(00 < a <900. Tớnh theo a và a thể tớch khối chúp S.ABC? Xỏc định a để thể tớch này lớn nhất?
15. Cho tứ diện SABC với SA = SB = SC = a, ASB 120 , BSC 60 , CSA 90ã = 0 ã= 0 ã = 0. Tớnh theo a thể tớch khối tứ diện SABC.
16. Cho tứ diện ABCD cú tam giỏc ABC đều và tam giỏc BCD cõn tại D. Cho biết AB = a, CD= a 5, gúc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng 300. Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AD và BC theo a.
17. Cho hỡnh chúp S.ABC, đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn đỉnh A, BC = 2a, SB = SC, SA = 2a và SA tạo với đỏy một gúc 600. Tớnh theo a khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng (SBC).
18. Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc cõn AB = AC = a, gúc éBAC = a, cạnh bờn SA = SB = SC và khoẳng cỏch từ A đến mặt phẳng (SBC) bẳng
3a
4 . Tớnh thể tớch của khối chúp S.ABC
19. Cho hỡnh lăng trụ ABC.A B C' ' ' cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a. Hỡnh chiếu vuụng gúc của A’ lờnmặt phẳng (ABC) trựng với tõm O của tam giỏc ABC. Mặt phẳng (P) chứa BC và vuụng gúc với AA’ cắt lăng trụ theo một thiết diện cú diện tớch bằng a2 3
8 . Tớnh thể tớch khối lăng trụ ABC.A B C' ' ' theo a.
20. Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA^(ABC ,) tam giỏc ABC vuụng cõn tại C và SC = a. Tớnh gúc agiữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) để thể tớch khối chúp S.ABC lớn nhất.
21. Cõu V (1 điểm)
22. Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC cú cạnh AB bằng a. Cỏc cạnh bờn SA, SB, SC tạo với đỏy một gúc 600. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuụng gúc với SA. Tớnh thể tớch của khối chúp S.DBC theo a.
23. Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD, đỏy là hỡnh vuụng cạnh a, cạnh bờn tạo với đỏy một gúc 600. Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tớnh thể tớch khối chúp S.AEMF theo a.
24. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật, AB = a, AD = 2a, cạnh bờn SA vuụng gúc với mp(ABCD) và đường thẳng SB tạo với mặt phẳng (ABCD) một gúc 600. Trờn cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =a 3
25. Cho lăng trụ tam giỏc ABC.A/B/C/ cú đỏy ABC là tam giỏc đều, hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm C/ trờn mặt phẳng (ABC) là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC, gúc giữa cạnh bờn và mặt phẳng đỏy bằng 600, khoảng cỏch giữa AB và CC/ bằng a. Tớnh thể tớch khối lăng trụ ABC. A/B/C/.
26. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật, AB SC a, BC SA a 3= = = = , mặt phẳng (SAC) vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD). Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD và cosin của gúc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD).
27. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh a. Hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm A’ lờn mặt phẳng (ABC) trựng với tõm O của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC, OA’ = h. Tớnh theo a và h diện tớch xung quanh của lăng trụ ABC.A’B’C’. 28. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật cạnh AB 3a, BC 2a= = . Hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm S lờn mặt phẳng (ABCD) trựng với trọng tõm của tam giỏc BCD, gúc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi M là trung điểm SC và E là giao điểm giữa đường thẳng AM với mặt phẳng (SBD). Tớnh thể tớch khối tứ diện ABCE.
29. Cho hỡnh chúp đều S.ABCD cú gúc giữa cạnh bờn với mặt phẳng đỏy bằng 600 và khoảng cỏch từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng a. Tớnh theo a thể tớch khối nún ngoại tiếp hỡnh chúp S.ABCD.
30. Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA vuụng gúc với mặt phẳng (ABC), mặt phẳng (SBC) vuụng gúc với mặt phẳng (SAB), SA =a 3, SB = BC = 2a. Tớnh theo a thể tớch khối chúp S.ABC.
31. Cho lăng trụ tam giỏc ABC.A’B’C’ cú đỏy ABC là tam giỏc cõn tại A, BAC 30ã= 0. Cạnh bờn AA’ hợp với mặt phẳng (ABC) một gúc 600 và A’A = A’B = A’C = a. Gọi D là trung điểm cạnh CC’. Chứng minh tứ giỏc BCC’B’ là hỡnh chữ nhật và tớnh thể tớch khối tứ diện ABCD.
32. Cho hỡnh chúp S.ABC cú mặt phẳng (SAC) vuụng gúc với mặt phẳng (ABC), SA AB a, AC 2a= = = và ASC ABC 90ã ã= = 0 Tớnh thể tớch khối chúp S.ABC và cosin của gúc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SBC).
33. Cho hỡnh chúp S.ABC cú tam giỏc ABC vuụng tại B, AB = a, BC = a 3 , SA vuụng gúc với đỏy, gúc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng 600. Gọi H, K lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn SB và SC. Tớnh thể tớch khối chúp S.ABC
34. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tớnh thể tớch khối chúp S.BMDN.
35. Cho khối chúp đều S.ABCD cú khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2a (a > 0) và thể tớch V 8a3 2
3
= . Tớnh gúc giữa mặt phẳng chứa mặt bờn với mặt phẳng đỏy của hỡnh chúp
36. Cho hỡnh lăng trụ ABC.A B CÂ Â Â cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a, hỡnh chiếu vuụng gúc của AÂ trờn mặt phẳng (ABC) trựng với tõm O của tam giỏc ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuụng gúc với AAÂ, cắt lăng trụ theo một thiết diện cú diện tớch bằng
2
a 3
8 . Tớnh thể tớch khối lăng trụ ABC.A B CÂ Â Â.
37. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh thang vuụng tại A và B với BC là đỏy nhỏ. Biết rằng tam giỏc SAB là tam giỏc đều cú cạnh với độ dài bằng 2a và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với mặt đỏy, SC a 5= và khoảng cỏch từ D tới mặt phẳng
(SHC) bằng 2a 2 (ở đõy H là trung điểm AB). Hóy tớnh thể tớch khối chúp theo a. 38. Cho hỡnh hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ cú AB AD a= = , AA ' a 3
2
= , gúc BAD bằng 0
60 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh AC’ vuụng gúc với mặt phẳng (BDMN) và tớnh thể tớch khối đa diện AA’BDMN theo a. 39. Cho hỡnh chúp S.ABC cú mặt phẳng (SAC) vuụng gúc với mặt phẳng (ABC),
40. SA AB a, AC 2a= = = và ASC ABC 90 .ã ã= = 0 Tớnh thể tớch khối chúp S.ABC và cosin của gúc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SBC).
41. Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC đỉnh S cú độ dài cạnh đỏy bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh SB và SC. Tớnh theo a diện tớch DAMN biết rằng mặt phẳng (AMN) vuụng gúc mặt phẳng (SBC).
42. Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn với AB = AC = a, SA = a, SA vuụng gúc với đỏy. M là một điểm trờn cạnh SB, N trờn cạnh SC sao cho MN song song với BC và AN vuụng gúc với CM. Tỡm tỷ số MS
MB.
43. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật với AB = a, AD = a 2, SA = a và SA vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng: mặt phẳng (SAC) vuụng gúc với mặt phẳng (SMB). Tớnh thể tớch của khối tứ diện ANIB
44. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh thang, ABCˆ = BADˆ = 900 , BA = BC = a, AD = 2a. cạnh bờn SA vuụng gúc với đỏy và SA = a 2. Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn SB. Chứng minh tam giỏc SCD vuụng và tỡnh theo a khoảng cỏch từ H đến mặt phẳng (SCD)
45. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, SA vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tớnh theo a khoảng cỏch từ điểm S đến đường thẳng BE.
46. Cho tam giỏc vuụng cõn ABC cú cạnh huyền BC = a. Trờn đường thẳng vuụng gúc với mặt phẳng (ABC) tại điểm A lấy điểm S sao cho gúc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) bằng 600. Tớnh độ dài đoạn thẳng SA theo a.
47. Cho lăng trụ đứng ABC. A'B'C' cú đỏy ABC là tam giỏc cõn với AB = AC = a và gúc BAC = 1200, cạnh bờn BB' = a. Gọi I là trung điểm CC'. Chứng minh rằng DAB'I vuụng ở A. Tớnh cosin của gúc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I).
48. Cho hỡnh chúp đều S.ABC, đỏy ABC cú cạnh bằng a, mặt bờn tạo với đỏy một gúc bằng j (0 < j < 900). Tớnh thể tớch khối chúp S.ABC và khoảng cỏch từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC).
49. Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuụng gúc với đỏy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh rằng DAMB cõn tại M và tớnh diện tớch DAMB theo a.
50. Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú cạnh đỏy AB = a, đường cao SH = a 6 2 . mặt phẳng (P) đi qua A vuụng gúc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B'C'D'. Tớnh diện tớch tứ giỏc AB'C'D' theo a.
51. Cho khối chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú cỏc cạnh bờn và cạnh đỏy đều bằng a. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AD, BC và SC. Mặt phẳng (MNP) cắt SD tại Q. Chứng minh rằng MNPQ là hỡnh thang cõn và tớnh diện tớch của nú.
52. Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại B, cạnh SA vuụng gúc với đỏy, ACBã= 600, BC= a, SA = a 3. Gọi M là trung điểm cạnh SB. Chứng minh (SAB) ^ (SBC). Tớnh thể tớch khối tứ diện MABC.
53. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật; SA ^ (ABCD); AB = SA = 1; AD= 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Tớnh thể tớch khối tứ diện ANIB.
54. Cho hỡnh chúp S.ABC, đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại B cú AB = a, BC = a 3, SA vuụng gúc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm A trờn cỏc cạnh SB và SC. Tớnh thể tớch của khối chúp A.BCNM. 55. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là một hỡnh vuụng tõm O. Cỏc mặt bờn (SAB)
và (SAD) vuụng gúc với đỏy (ABCD). Cho AB = a, SA = a 2. Gọi H, K lần lượt là hỡnh chiếu của A trờn SB, SD .Tớnh thể tớch khối chúp O.AHK.
56. Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 cú AB = a, AC = 2a, AA1 =2a 5 và BAC 120ã= o. Gọi M là trung điểm của cạnh CC1. Chứng minh MB ^ MA1 và tớnh khoảng cỏch d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM).
57. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh chữ nhật, AB =2a, BC= a, cỏc cạnh bờn của hỡnh chúp bằng nhau và bằng a 2. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của cỏc cạnh AB, CD; K là điểm trờn cạnh AD sao choAK a
3
= . Hóy tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng MN và SK theo a.
58. Cho hỡnh chúp S.ABC cú gúc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ACB) bằng 600, ABC và SBC là cỏc tam giỏc đều cạnh a. Tớnh khoảng cỏch từ B đến mp(SAC).
59. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi với A 120à = 0, BD = a >0. Cạnh bờn SA vuụng gúc với đỏy. Gúc giữa mặt phẳng (SBC) và đỏy bằng 600. Một mặt phẳng (α) đi qua BD và vuụng gúc với cạnh SC. Tớnh tỉ số thể tớch giữa hai phần của hỡnh chúp do mặt phẳng (α) tạo ra khi cắt hỡnh chúp.
60. Cho hỡnh hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ cú cỏc cạnh AB=AD = a, AA’ = a 3
2 và gúc BAD = 600 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng AC’ vuụng gúc với mặt phẳng (BDMN). Tớnh thể tớch khối chúp A.BDMN.
61. Cho lăng trụ tam giỏc ABC.A1B1C1 cú tất cả cỏc cạnh bằng a, gúc tạo bởi cạnh bờn và mặt phẳng đỏy bằng 300. Hỡnh chiếu H của điểm A trờn mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đường thẳng B1C1. Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AA1 và B1C1 theo a
62. Cho hỡnh lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a và điểm M trờn cạnh AB sao cho AM = x, (0 < x < a). Mặt phẳng (MA'C') cắt BC tại N. Tớnh x theo a để thể tớch khối đa diện MBNC'A'B' bằng 1
3thể tớch khối lập phương ABCD.A'B'C'D'.
63. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a. SA^(ABCD) và SA = a.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD, SC. Tớnh thể tớch tứ diện BDMN và khoảng cỏch từ D đến mp(BMN).
64. Cho hỡnh lăng trụ ABC.A’B’C’ cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a, hỡnh chiếu vuụng gúc của A’ lờn mặt phẳng (ABC) trựng với tõm O của tam giỏc ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuụng gúc với AA’, cắt lăng trụ theo một thiết diện cú diện tớch bằng
2
a 3
8 . Tớnh thể tớch khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
65. Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là DABC vuụng cõn tại A, AB = AC = a. Mặt bờn qua cạnh huyền BC vuụng gúc với mặt đỏy, hai mặt bờn cũn lại đều hợp với mặt đỏy cỏc gúc 600. Tớnh thể tớch của khối chúp S.ABC
66. Cho hỡnh chúp tứ giỏc S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thang vuụng tai A và D. Biết AD = AB = a, CD = 2a, cạnh bờn SD vuụng gúc với mặt phẳng đỏy và SD = a. Tớnh