1.4 Quy hoạch DC và giải thuật DCA
1.4.1 Bài toỏn tối ưu tổng quỏt (Optimization Problems)
Dạng tổng quỏt của một bài toỏn tối ưu được biểu diễn như sau [66]: ( ) ( ) ( ) * 0 argmin s.t. 0, 1, 2, , 0, 1, 2, , . i j f f i m h j n = = = = w w w w w (P) Trong đú:
- Vộc tơ w = [w1,w2,…,wk]T được gọi là biến tối ưu; w* được gọi là nghiệm tối ưu, tại đú hàm mục tiờu đạt giỏ trị tối ưu;
44 - Cỏc hàm fi và hj với i= 1,2, …m, j = 1,2,…n là cỏc hàm ràng buộc hoặc cỏc ràng buộc (constrains), nếu m = n = 0 thỡ (P) trở thành bài toỏn khụng ràng buộc (unconstrained optimization problem);
Tập cỏc điểm w thoả món cỏc ràng buộc được gọi là tập chấp nhận được
(feasible set), mỗi điểm trong tập chấp nhận được gọi là điểm chấp nhận được, cỏc điểm khụng thuộc tập chấp nhận được gọi là điểm khụng chấp nhận được (infeasible point). Nếu tập chấp nhận được là tập rỗng thỡ bài toỏn trở thành khụng khả thi (infeasible optimization problem).
Giỏ trị tối ưu (Optimal value):
p* = inf {f0(w) | fi(w) ≤ 0, i =1,2,…,m; hj(w) = 0, j = 1,2,…,n} Trong đú inf là ký hiệu của hàm infimum.
Nếu w* là nghiệm tối ưu hay điểm tối ưu (optimal point) thỡ p* = f0(w*); p* = +∞ nếu bài toỏn là infeasible và p* = -∞ nếu hàm mục tiờu khụng bị chặn dưới.
Phần lớn cỏc lớp bài toỏn tối ưu khụng lồi là chưa cú cỏch giải tổng quỏt, thậm chớ cú nhiều bài chưa cú lời giải. Đa phần cỏc phương phỏp giải chưa chứng minh được nghiệm tỡm được cú phải là nghiệm tối ưu toàn cục hay khụng. Thay vào đú, nghiệm tỡm được thường là nghiệm cận tối ưu, tức là cỏc điểm tới hạn (critical points). Trong thực tế, nhiều nghiệm cận tối ưu đối với cỏc bài khú đó được chấp nhận và đưa vào sử dụng.