PHƢƠNG TIỆM CẬN, ĐƢỜNG TIỆM CẬN

Nhƣ trên đã thấy: Độ cong pháp tuyến tại một điểm trên mặt phụ thuộc vào phƣơng của vectơ tiếp xúc trên mặt. Bây giờ chúng ta muốn tìm ra những phƣơng h mà nó có kn h 0

I. ĐỊNH NGHĨA

Cho S là một mặt định hƣớng, pS, vectơ h T S p( ), h0 đƣợc gọi là phƣơng tiệm cận nếu độ cong pháp tuyến theo phƣơng này triệt tiêu hay 2 h h, 0.

II. ĐƢỜNG TIỆM CẬN

Một đƣờng tiệm cận trên mặt là một đƣờng cong trên mặt mà các vectơ tiếp xúc của đƣờng cong này đều là phƣơng tiệm cận.

III. ĐỊNH LÝ

Cho pS là điểm của mặt định hƣớng S. Khi đó tại điểm này ta có các phƣơng tiệm cận khi và chỉ khi dạng toàn phƣơng kết hợp với dạng cơ bản thứ hai của S tại p là xác định âm.

Nếu ta chọn một tham số địa phƣơng  U r, của S sao cho pr u v 0, 0 với u v0, 0U thì điều kiện xác định âm nghĩa là

    2 

0, 0 . 0, 0 0, 0 0

L u v N u v M u v 

IV. MỆNH ĐỀ

Mọi đƣờng thẳng nằm trên một mặt đều là đƣờng tiệm cận của mặt đó. V. ĐỊNH LÝ

Cho S là một mặt định hƣớng và :I S là một đƣờng cong trên mặt. Giả sử  U r, là tham số địa phƣơng của S sao cho ( )I r U( ) và phƣơng trình địa phƣơng của đƣờng cong là

( ), ( )

uu t vv t .

Khi đó  là đƣờng tiệm cận khi và chỉ khi

  2     2

( ), ( ) '( ) 2 ( ), ( ) '( ). '( ) ( ), ( ) '( ) 0

L u t v t u t  M u t v t u t v t N u t v t v t  (*)

Nhận xét

Nếu các đƣờng u-tham số và v-tham số là các đƣờng tiệm cận thì ( ', ')u v (1,0) và

( ', ')u v (0,1) phải thỏa phƣơng trình (*). Suy ra: LN0. Ngƣợc lại, các đƣờng u-tham số và

v-tham số là các đƣờng tiệm cận tại một điểm khi và chỉ khi LN0.