Một số hàm đánh giá cơ bản
3.2 Một số thuật toán lặp giải bất đẳng thức biến phân
phân
Thuật toán cơ bản dùng hàm D-Gap θab(x):
Data: x0 ∈ Rn,0 < a < b, m2 > 0, p > 0, m1 ∈ (0; 1).
Bước 1: Gán k := 0.
Bước 2: Nếu xk là điểm dừng của θab(x) thì DỪNG.
Bước 3:Tìm nghiệm xk+12 của bài toán VI(K;Fk) với
Fk(x) = F(xk) +J F(xk)(x−xk).
Nếu bài toán trên không tồn tại nghiệm hoặc
dk = xk+12 −xk (3.20) không thỏa mãn điều kiện
5θab(xk)Tdk ≤ −m2 k dk kp (3.21) thì đặt
Trong trường hợp còn lại, ta chuyển qua bước 4.
Bước 4: Tìm số nguyên không âm nhỏ nhất ik thỏa mãn với i = ik,
θab(xk + 2−idk) ≤ θab(xk) +m12−i 5θab(xk)Tdk. (3.22) Đặt
tk = 2−ik.
Bước 5: Đặt xk+1 = xk+tkdk và k ←− k+ 1, trở về bước 2.
Định lí 3.8. (Xem định lý 10.4.15 trong [9], trang 965).
Cho K ⊂ Rn là tập lồi đóng, và F liên tục khả vi cấp 1. Cho 0 < a < b
và {xk} là dãy vô hạn tạo ra từ thuật toán trên. Khi đó:
i) Mọi điểm hội tụ của dãy {xk} đều là điểm dừng của hàm θab(.)
ii) Nếu x∗ là điểm hội tụ của dãy {xk} thỏa mãn (3.19) thì x∗ là nghiệm của bài toán VI(K;F).
Thuật toán cơ bản của hàm đánh giá θc(x):
Data: x0 ∈ K, c > 0, m2 > 0, p > 1, m1 ∈ (0; 1).
Bước 1: Gán k := 0.
Bước 2: Nếu xk là điểm dừng của bài toán (3.1), thì DỪNG.
Bước 3: Tìm một nghiệm xk+12 của bài toán VI(K;Fk) với
Fk(x) = F(xk) + J F(xk)(x−xk), x ∈ Rn
và đặt
dk = xk+12 −xk,
rồi chuyển qua bước 4.
Nếu bài toán VI(K;Fk) không có nghiệm hoặc điều kiện
5θc(xk)Tdk ≤ −m2 k dk kp (3.23) không thỏa mãn, thì đặt
và sang bước 5.
Bước 4: Tìm số nguyên không âm nhỏ nhất ik thỏa mãn với i = ik,
θc(xk + 2−idk) ≤ θc(xk)−min{−m12−i 5θc(xk)Tdk,(1−m1)θc(xk)}.
(3.24) Đặt t = 2−ik và xk+1 = xk +tkdk.
Bước 5: Đặt k ←−k + 1 và trở về Bước 2.
Định lí 3.9. (Xem định lý 10.4.24 trong [9], trang 977).
Cho K ⊂ Rn là tập lồi đóng, và F khả vi cấp 1 trên tập mở Ω ⊃ K. Cho
c > 0 và {xk} là dãy vô hạn tạo bởi quá trình lặp trong thuật toán trên. Khi đó:
i) Mọi điểm tụ của dãy {xk} đều là điểm dừng của hàm θc(.).
ii) Nếux∗ là điểm tụ của dãy {xk}thỏa mãn (3.2) thì x∗ ∈ Sol−V I(K;F).
Phương pháp lặp điểm bất động
Xét bài toán (2.1), với K ⊆Rn là tập lồi đóng và ánh xạ F : K −→ Rn
là liên tục trên K. Giả sử ma trận A ∈ Rn×n là ma trận đối xứng xác định dương.
Ở trong chương II, ta có:
x∗ ∈ SOL−V I(K, F) ⇐⇒ FK,Anat(x∗) = 0 với
FK,Anat(x) =x−PK(x−F(x))
trong đó PK,A là phép chiếu lên K xác định bởi ma trận A đã được định nghĩa trong chương II.
Khi đó ta có kết quả sau:
Điểm bất động của ánh xạ x 7−→ PK,A[x−A−1F(x)]
Khi đó ta có thuật toán chiếu cơ bản như sau:
Data: x0 ∈ K, ma trận A ∈ Rn×n là ma trận đối xứng xác định dương.
Bước 1: Gán k := 0.
Bước 2: Nếu xk = PK,A[xk −A−1F(xk)], thì DỪNG.
Bước 3: Đặt
xk+1 ≡ PK,A[xk−A−1F(xk)] và k ←− k+ 1; trở về bước 2.
Định lí 3.10. (Xem định lý 12.1.2 trong [9], trang 1109).
Cho F : K −→ Rn, với K là tập lồi đóng trong Rn. Giả sử với mọi cặp
x, y thuộc K, L và µ thỏa mãn (F(x)−F(y))T(x−y) ≥µ k x−y k22 (3.25) và k F(x)−F(y) k2≤ L k x−y k2 (3.26) Nếu L2λmax(A) < 2µλ2min(A) (3.27)
thì ánh xạ x 7−→ PK,A[x −A−1F(x)] là ánh xạ co từ K tới K với chuẩn
k .kA.
Hơn nữa, mọi dãy {xk} tạo ra từ phép lặp trên hội tụ tới nghiệm duy nhất của bài toán (2.1).
Nếu A = τ l, thì điều kiện (3.27) trở thánh
τ > L
2
2µ.
Do đó, cho bài toán VI(K,F) với F µ- đơn điệu mạnh và liên tục Lipchitz, thì dãy {xk} xác định bới
xk+1 = PK[xk− 1
τF(x
k), k = 0,1,2, ...
hội tụ tới nghiệm của bài toán VI(K,F) vởi bất kỳ điểm bắt đầu x0 ∈ K.
Phương pháp chiếu với bước lặp biến thiên Data: x0 ∈ K. Bước 1: Gán k := 0. Bước 2: Nếu xk = PK[xk −F(xk)], thì DỪNG. Bước 3: Chọn τk > 0. Đặt xk+1 ≡ PK[xk −τkF(xk)] và k ←− k+ 1; trở về bước 2.
Định lí 3.11. (Xem định lý 12.1.8 trong [9], trang 1114).
Cho K là tập lồi đóng trong Rn và ánh xạ F : K −→ Rn là tự bức trên K với hệ số c. Giả sử rằng SOL−V I(K, F) 6= ∅. Nếu
0 < infkτk ≤ supkτk < 2c
thì thuật toán trên sẽ hội tụ tới nghiệm của bài toán VI(K,F).
Thuật toán đạo hàm tăng cường Data: x0 ∈ K, và τ > 0.
Bước 1: Gán k := 0.
Bước 2: Nếu xk ∈ SOL−V I(K, F), thì DỪNG.
Bước 3: Tính
xk+12 := PK(xk −τ F(xk)), xk+1 := PK(xk−τ F(xk+12); và k ←− k+ 1; trở về bước 2.
Ta có bổ đề sau:
Bổ đề 3.3. (Xem chú ý 12.1.10 trong [9], trang 1117).
Cho K là tập lồi đóng trong Rn và ánh xạ F : K −→ Rn là giả đơn điệu trên SOL - VI(K,F) và liên tục Lipschitz trên K với hằng số Lipschitz
L >0. Cho x∗ là một nghiệm của bài toán VI(K,F). Khi đó ta có, với mọi
k ∈ N:
với k . k=k . k2
Định lí 3.12. (Xem định lý 12.1.11 trong [9], trang 1118).
Cho K là tập lồi đóng trong Rn và ánh xạ F : K −→ Rn là giả đơn điệu trên SOL - VI(K,F) và liên tục Lipschitz trên K với hằng số Lipschitz
L > 0. Nếu τ > L1, thì dãy {xk} được tạo bới phép lặp trên hội tụ tới nghiệm của bài toán VI(K,F).
Phương pháp lặp tổng quát
Giả sử ta có bài toán VI(K,F):
Tìm x∗ ∈ K, K ⊂ Rn sao cho F(x∗)T(x−x∗) ≥ 0,∀x ∈ K (3.28) với F : K −→Rn là hàm liên tục, khả tích vàK ⊂ Rn là tập lồi, compact. Giả sử tồn tại một hàm trơn
g(x, y) : K ×K −→ Rn
có tính chất:
i) g(x, x) = F(x),∀x ∈ K.
ii) Với mọi điểm cố định x, y ∈ K, ma trận 5xg(x, y) là ma trận đối xứng xác định dương.
THUẬT TOÁN 1)Bước khởi tạo
Bắt đầu với x0 ∈ K, gán k := 1. 2) Bước 1: Xây dựng và tính toán
Tính xk bằng cách giải bất đẳng thức biến phân
g(xk, xk−1)T.(x−xk) ≥0,∀x ∈ K (3.29)
3) Bước 2: Kiểm tra sự hội tụ
Nếu |xk −xk−1| ≤ ε, với ε > 0 thì DỪNG. Nếu không, gán k := k+ 1 và quay về bước 1.
Từ giả thiết ma trận 5xg(x, y) là ma trận đối xứng xác định dương, tích phân R g(x, y)dx xác định một hàm f(x, y) : K×K −→ R thỏa mãn
với y ∈ K cố định, f(., y) là hàm lồi chặt và g(x, y) = 5xf(x, y), do đó bài toán bất đẳng thức biến phân (3.29) tương đương với bài toán
M inx∈Kf(x, xk−1) (3.30)
tồn tại nghiệm duy nhất xk.
Có thể dùng phương pháp gần đúng để giải bài toán (3.30).
*Chú ý:Dãy {xk} hội tụ, giả sử xk −→ x∗ khi k −→ ∞, do g(x, y) liên tục nên từ (3.29) ta có
F(x∗)T(x−x∗) = g(x∗, x∗)T(x−x∗) ≥ 0,∀x ∈ K.
Do đó x∗ là nghiệm của VI(K,F).
Định lí 3.13. (Xem định lý 1 trong [6], trang 7).
Giả sử
| k 5xg−12(x1, y1)5y g(x2, y2)5xg−12(x3, y3) k | < 1
với mọi (x1, y1),(x2, y2),(x3, y3) ∈ K.
k .k là chuẩn của ma trận n×n trong Rn.
Khi đó dãy {xk} là dãy Cauchy trong Rn.
Phương pháp chiếu
Trong phương pháp lặp tổng quát, nếu ta chọn hàm
g(x, y) =F(x) + 1
ρG(x, y), ρ > 0
với G là ma trận xác định dương cố định.
Tại mỗi bước k trong phương pháp chiếu, bài toán con (trong phương pháp lặp tổng quát) có thể được giải bằng
M inx∈K{1
2x
T
Định lí 3.14. (Xem định lý 3 trong [6], trang 10).
Giả sử
| kI −ρG−12 5xF(x)G−12 k | < 1,∀x ∈ K
với ρ > 0 cố định. Khi đó dãy {xk} được tạo bởi
M inx∈K{1
2x
TGx+ (ρF(xk−1)−Gxk−1)Tx)}
hội tụ tới nghiệm của VI(K,F).
Phương pháp nới lỏng
Trong phương pháp lặp tổng quát , phương pháp nới lỏng tương ứng với cách chọn hàm
gi(x, y) =Fi(y1, ..., yi−1, xi, yi+1, ..., yn), với i = 1,2, ..., n
với điều kiện hội tụ sau:
Định lí 3.15. (Xem định lý 4 trong [6], trang 11).
Giả sử tồn tại γ > 0 sao cho
∂Fi(x)
∂xi ≥ γ,∀i = 1, ..., n,∀x ∈ K
và
| k 5yg(x, y) k |< λγ,0< λ < 1,∀x, y ∈ K
thì điều kiện hội tụ của định lý (3.13) được thỏa mãn.
Phương pháp chiếu điều chỉnh Bước khởi tạo:
Bắt đầu với x0 ∈ K, k := 1 và chọn ρ : o < ρ ≥ 1
L với L là hằng số Lipschitz của hàm số F trong bất đẳng thức biến phân ban đầu.
Bước 1: Xây dựng và tính toán
Tính x¯k−1 ∈ K là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân con sau: (¯xk−1 + (ρF(xk−1)−xk−1))T(x0 −x¯k−1) ≥ 0,∀x0 ∈ K.
Bước 2:
Tính xk bẳng các giải :
(xk+ (ρF(¯xk−1)−xk−1))T(x0 −xk) ≥ 0,∀x0 ∈ K.
Bước 3: Kiểm tra sự hội tụ.
Nếu |xk −xk−1| ≤, > 0 thì DỪNG. Nếu không, gán k := k+ 1, trở về bước 1.
Phương pháp chiếu điều chỉnh hội tụ tới nghiệm của bài toán VI(K,F) với K 6= ∅ nhưng có thể không cần compact.
Định lí 3.16. (Xem định lý 5 trong [6], trang 14).
Giả sử F là hàm đơn điệu, tức là
(F(x1)−F(x2))T(x1 −x2) ≥ 0,∀x1, x2 ∈ K
và F là hàm Lipschitz liên tục, tức là ∃L ≥0 sao cho
k F(x1)−F(x2) k≤ L k x1 −x2 k,∀x1, x2 ∈ K
Kết luận
Nội dung của luân văn nghiên cứu về bài toán bất đẳng thức biến phân, trong đó tập trung trình bày về tính chất tập nghiệm của bài toán cũng như các phương pháp giải cơ bản của bất đẳng thức biến phân.
Qua 3 chương, luận văn đã hoàn thành được những công việc sau:
1. Tổng hợp các được các định nghĩa, các tính chất cơ bản của hàm lồi và tập lồi, cùng các kiến thức của giải tích hàm có liên quan.
2. Trình bày được chi tiết bài toán bất đẳng thức biến phân, định nghĩa, các ví dụ, các sự tồn tại nghiệm và tính chất của tập nghiệm bài toán.
3. Trình bày được một số các phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân thông qua các hàm đánh giá và các phương pháp lặp.
Do điều kiện thời gian và trình độ nghiên cứu khoa học còn hạn chế, do vậy bản luận văn này chắc chắn sẽ có những thiếu sót, rất mong các thầy, cô, và các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để bản luận văn được hoàn chỉnh hơn.