D- ˆe’ nghiˆen c´u.u d¯iˆ` u kiˆe.n Perron tru.´o.c hˆe´t ta x´et mˆo.t kˆe´t qua’e bˆo’ tro.. sau d¯ˆay.
D- i.nh ngh˜ıa 1.4 Phu.o.ng tr`ınh thuˆ` n nhˆa a´t
˙
x(t) =Ax(t), x(t)∈Cn (1.51)
Mˆe.nh d¯ˆe` 1.4 Nˆe´u phu.o.ng tr`ınh thuˆ` n nhˆa a´t (1.51) hyperbolic, th`ı tˆ`n ta.i mˆo.t ph´ep chiˆe´uo P : Cn → Cn v`a c´ac h˘a`ng sˆo´ du.o.ng
K, α sao cho
P etAP ≤Ke−αt, ∀t≥0; (I−P)esA(I−P) ≤Keαs, ∀s≤0.
(1.52)
Ch´u.ng minh. Theo D- i.nh l´y ´Anh Xa. Phˆo’ ta thˆa´y σ(eA) khˆong ch´u.a v`ong tr`on d¯o.n vi. v`a do d¯´o nhu. d¯˜a biˆe´t trong D- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh c´o thˆe’ chı’ ra ph´ep chiˆe´uP :Cn→Cn sao choCn=I mP ⊕KerP,
P eA=eAP v`a σ(P eAP) ch´ınh l`a phˆ` n phˆa o’ cu’aeA trong h`ınh tr`on d¯o.n vi. c`onσ((I−P)eA(I−P)) l`a phˆ` n cu’aa σ(eA) n˘a`m ngo`ai v`ong tr`on d¯o.n vi.1.
D- i.nh l´y 1.16 (D- i.nh l´y Perron) D- iˆe` u kiˆe.n cˆa` n v`a d¯u’ d¯ˆe’ phu.o.ng tr`ınh khˆong thuˆ` n nhˆa a´t (1.49) c´o nghiˆe.m duy nhˆa´t gi´o.i nˆo.i trˆen to`an tru. c v´o.i mˆo˜i f gi´o.i nˆo. i cho tru.´o.c l`a iR∩σ(A) =.
Ch´u.ng minh. Cˆ` n: Gia’ su.a ’ xf l`a nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i duy nhˆa´t v´o.i mˆo˜i f gi´o.i nˆo.i cho tru.´o.c. Gia’ su.’f l`a ω tuˆ` n ho`a an. Khi d¯´o ta s˜e ch´u.ng minh nghiˆe.m duy nhˆa´t xf c˜ung ω-tuˆ` n ho`a an. Thˆa.t vˆa.y, d¯˘a.t
y(t) =xf(t+ω). Ta c´o ˙
y(t) = x˙(t+ω)
= Ax(t+ω) +f(t+ω) = Ay(t) +f(t).
Vˆa.y y(t) c˜ung l`a mˆo.t nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i cu’a phu.o.ng tr`ınh khˆong thuˆ` n nhˆa a´t (1.49). Do gia’ thuyˆe´t vˆ` t´ınh duy nhˆe a´t nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i v´o.i f cho tru.´o.c nˆeny(t) =xf(t), hay l`axf(t+ω) =xf(t), ∀t, t´u.c l`axf l`aω-tuˆ` n ho`a an. Vˆa.y th`ı theo D- i.nh l´y trˆen 2πiZ/ω∩σ(A) =. Do ω t`uy ´y nˆen suy raiR∩σ(A) = .
D- u’: V´o.i mˆo˜i h`am f cho tru.´o.c ta lˆa.p h`am Gf nhu. sau:
Gf(t) = t −∞ P e(t−ξ)AP f(ξ)dξ− +∞ t (I−P)e(t−ξ)A(I−P)f(ξ)dξ, t∈R. (1.53)
1Ph´ep chiˆe´u P n`ay c´o thˆe’ nhˆa.n d¯u.o..c nh`o. cˆong th´u.c t´ıch phˆan Riesz sau d¯ˆay:P = 1
2πi
γ(λI−eA)−1dλ, trong d¯´o γ ch´ınh l`a d¯u.`o.ng tr`on d¯o.n v i. d¯i.nh hu.´o.ng du.o.ng. T´ıch phˆan n`ay tu.o.ng ´u.ng v´o.iχ(A) trong d¯´o χ(z) l`a h`am d¯˘a.c tru.ng cu’a h`ınh tr`on d¯o.n v i..
Theo mˆe.nh d¯ˆe` trˆen su.. hˆo.i tu. cu’a t´ıch phˆan trong biˆe’u th´u.c l`a r˜o r`ang. Ngo`ai ra vi phˆan tru.. c tiˆe´p ta c´o Gf(·) l`a mˆo.t nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i. T´ınh duy nhˆa´t c´o thˆe’ ch´u.ng minh d¯u.o..c dˆe˜ d`ang b˘a`ng c´ach chı’ ra phu.o.ng tr`ınh thuˆ` n nhˆa a´t chı’ c´o duy nhˆa´t nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i l`a nghiˆe.m tˆa` m thu.`o.ng.
Nhˆa.n x´et 1.3 Ta c´o c´ac nhˆa. n x´et sau d¯ˆay:
1. To´an tu.’ G ´u.ng mˆo˜i h`am f gi´o.i nˆo. i v´o.i nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i Gf
d¯u.o.. c go. i l`a to´an tu.’ Green.
2. D- ˆo´i v´o.i phu.o.ng tr`ınh c´o hˆe. sˆo´ tuˆa`n ho`an chu k`y τ, ch´ung ta c´o thˆe’ ph´at biˆe’u mˆo. t d¯iˆ` u kiˆe.n tu.o.ng tu.e . cho to´an tu.’ monodromy (t´u.c l`a ´anh xa. tuyˆe´n t´ınh x´ac d¯i.nh bo’ i ma trˆ. a. n Cauchy X(τ,0)). Khi d¯´o d¯iˆ` u kiˆe.n s˜e l`ae σ(X(τ,0))∩ {z ∈C:
|z|= 1}=.
3. C´o thˆe’ chı’ ra pha’n v´ı du. ch´u.ng to’ r˘a`ng d¯ˆo´i v´o.i phu.o.ng tr`ınh c´o hˆe. sˆo´ tuˆa` n ho`an c´ac gi´a tri. riˆeng cu’a ma trˆa.nA(t), ∀t∈R
khˆong d¯´ong vai tr`o g`ı trong su.. tˆ`n ta.i nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i cu’ao phu.o.ng tr`ınh khˆong thuˆ` n nhˆa a´t, c˜ung nhu. t´ınh ˆo’n d¯i.nh cu’a hˆe. thuˆa` n nhˆa´t.