1.2 Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính
1.2.4 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính liên hợp
Giả sử H là khơng gian Hilbert khả ly, với tích trong là h., .i. Từ phần này trở đi, ta sẽ gọi tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính từ H vào H là tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính trên H.
Định nghĩa 1.2.20. Cho A, B là các tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính trên
H. Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính B được gọi là liên hợp của A nếu với mọi x, y ∈ H ta có
hAx, yi = hx, Byi h.c.c..
Đặt A∗ = B, trong phần sau của luận án, ta sẽ sử dụng ký hiệu A∗ là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính liên hợp của tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính A
nếu tồn tại.
Trong trường hợp tổng qt, tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính khơng nhất thiết phải có liên hợp (xem [39]). Dễ dàng chỉ ra rằng, liên hợp của một
tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính nếu tồn tại là duy nhất.
Kết quả trình bày tiếp theo chỉ ra điều kiện cần và đủ để toán tử ngẫu nhiên tuyến tính có liên hợp.
Định lý 1.2.21. ([39], Định lý 3.5). Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính A có liên hợp khi và chỉ khi với mỗi cơ sở (en) trong H ta có
∞ X
n=1
Ví dụ 1.2.22. Xét (ξn) là dãy các biến ngẫu nhiên phức độc lập cùng phân bố thỏa mãn Eξn = 0, E|ξn|2 = 1. Với mỗi x ∈ H ta có
∞ X k=1 E|hx, ekiξk|2 = ∞ X k=1 |hx, eki|2 = kxk2 < ∞. Vì vậy chuỗi P∞
k=1hx, ekiξk hội tụ hầu chắc chắn. Lấy a ∈ H sao cho a 6= 0. Xét ánh xạ A: H → LH 0 (Ω) xác định như sau Ax = a ∞ X k=1 hx, ekiξk.
Khi đó A là tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính. Ta có
hAek, e1i = haξk, e1i = ξkha, e1i. Tồn tại em thỏa mãn ha, emi 6= 0
∞ X n=1 |hAen, emi|2 = |ha, emi|2 ∞ X n=1 |ξn|2 = ∞ h.c.c.
Theo Định lý 1.2.21, thì tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính A khơng có liên hợp.
Ví dụ 1.2.23. Xét (Tn) là dãy các tốn tử tuyến tính liên tục tất định trên
H và (ξn) là dãy các biến ngẫu nhiên Gauss độc lập cùng phân bố với kỳ vọng 0 và phương sai 1. Giả sử với mỗi x ∈ H ta có
∞ X
n=1
kTnxk2 < ∞. Khi đó với mỗi x ∈ H thì chuỗi
∞ X n=1 ξnTnx hội tụ trong LH0 (Ω). Theo Định lý Banach-Steinhaus, thì ánh xạ A : H → LH 0 (Ω) xác định như sau Ax = P∞
tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính. A có liên hợp khi và chỉ khi với mỗi x ∈ H thì chuỗi ∞ X n=1 kTn∗xk2 < ∞.
Bổ đề 1.2.24. Giả sử tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính A bị chặn. Khi đó A có liên hợp A∗. Hơn nữa A∗ bị chặn và thỏa mãn
1.
TA∗(ω) =TA(ω)∗ h.c.c., (1.18)
2. Với mỗi u, v ∈ LH
0 (Ω) ta có
hAu(ω), v(ω)i = hu(ω), A∗v(ω)i h.c.c.
Định nghĩa 1.2.25. Giả sử Alà toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trên khơng gian Hilbert khả ly H.
• A được gọi là tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Hermit nếu nó bị chặn và
A = A∗.
• A được gọi là tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính chuẩn tắc nếu nó bị chặn và AA∗ = A∗A.