Toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính

1.2 Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính

1.2.5 Toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính

Khái niệm tốn tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính được GS. Đặng Hùng Thắng và TS. Nguyễn Thịnh đưa ra và chứng minh định lý phổ cho toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính chuẩn tắc và tốn tử ngẫu nhiên tuyến suy rộng tuyến tính tự liên hợp trong bài báo [47].

Định nghĩa 1.2.26. ([47], Định nghĩa 2.1). 1. Tập con M của LH

0 (Ω) được gọi là khơng gian tuyến tính ngẫu nhiên nếu u1, u2 ∈ M, ξ1, ξ2 ∈ L0(Ω) thì ξ1u1 +ξ2u2 ∈ M.

2. Giả sử M là khơng gian tuyến tính ngẫu nhiên. Ánh xạ Φ : M → LH

0 (Ω) được gọi là ánh xạ ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính nếu với mỗi

u1, u2 ∈ M, ξ1, ξ2 ∈ L0(Ω) ta có

Φ(ξ1u1 +ξ2u2) =ξ1Φ(u1) +ξ2Φ(u2) h.c.c.

3. Ánh xạ ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Φ : M → LH

0 (Ω) với miền xác định trù mật được gọi là tốn tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính. Miền

xác định M của Φ sẽ được ký hiệu là D(Φ).

Nhận xét 1.2.27. Giả sử A là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính. Khi đó A có thể thác triển thành tốn tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính. Thật vậy, xét [H] là tập các biến ngẫu nhiên u nhận giá trị trong H có dạng

u =

n

X

i=1

ξixi,

với ξi ∈ L0, xi ∈ H. Dễ thấy [H] là khơng gian ngẫu nhiên tuyến tính. Xác định tốn tử ΦA : [H] → LH 0 (Ω) như sau ΦAu = n X i=1 ξiAxi.

Ta có ΦA là tốn tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính và ΦA là một thác triển của tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính A.

Giả sử Φ : D(Φ)→ LH

0 (Ω) là tốn tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính với miền xác định trù mật D(Φ). Xét M∗ là tập hợp các phần tử v ∈ LH

0 (Ω), tồn tại g ∈ LH

0 (Ω) sao cho với mọi u ∈ D(Φ) có hΦu, vi = hu, gi.

Ta có biến ngẫu nhiên g xác định duy nhất với mỗi v. Đặtg = Φ∗v. Ta thu

được ánh xạ Φ∗ : M∗ → LH

0 (Ω), với miền xác định M∗, ký hiệu là D(Φ∗). Ta có D(Φ∗) là khơng gian tuyến tính ngẫu nhiên và Φ∗ là tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng.

Định nghĩa 1.2.28.Tốn tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Φ∗ : D(Φ∗) −→ LH

0 (Ω) được gọi là liên hợp của Φ nếu thỏa mãn quan hệ sau

hΦu, vi = hu,Φ∗vi (1.19)

với mọi u ∈ D(Φ), v ∈ D(Φ∗).

Định nghĩa 1.2.29. 1. Tốn tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Φ được gọi là liên tục nếu nó liên tục ngẫu nhiên, tức là, với mỗi dãy (un) ⊂

D(Φ) sao cho limnun = u ∈ D(Φ) thì ta có limnΦun = Φu.

2. Tốn tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Φ được gọi là bị chặn nếu tồn tại biến ngẫu nhiên không âm k(ω) sao cho với mỗi u ∈ D(Φ) ta có

kΦu(ω)k 6 k(ω)ku(ω)k h.c.c.

3. Tốn tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Φ với miền xác định trù mật

D(Φ) được gọi là đối xứng nếu Φ ⊂Φ∗, nghĩa là hΦu, vi = hu,Φvi ∀u, v ∈ D(Φ).

4. Toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Φ được gọi là chuẩn tắc nếu nó bị chặn và ΦΦ∗ = Φ∗Φ.

5. Tốn tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Φ với miền xác định trù mật

D(Φ) được gọi là tự liên hợp nếu Φ = Φ∗.

Ví dụ 1.2.30. Giả sử tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính A đối xứng. Khi đó tốn tử mở rộng ΦA : [H]→ LH

0 (Ω) của A cũng đối xứng.

Đối với tốn tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính thì cũng có các kết quả tương tự như tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính. Kết quả dưới đấy được trích dẫn trong bài báo [47].

Định lý 1.2.31. ([47], Định lý 2.5).

1. Giả sử Φ : D(Φ) → LH

0 (Ω) là toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính bị chặn. Khi đó Φ có thể thác triển duy nhất thành một tốn tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính liên tục bị chặn Φ :ˆ LH

0 (Ω) → LH

0 (Ω). Vì

vậy khơng giảm tính tổng qt, giả sử miền xác định của tốn tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính bị chặn là tồn bộ khơng gian LH

0 (Ω).

2. Nếu Φ : LH

0 (Ω)→ LH

0 (Ω) là tốn tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính bị chặn thì tồn tại duy nhất (h.c.c.) ánh xạ T : Ω → L(H) thỏa mãn

Φu(ω) = T(ω)u(ω) h.c.c. (1.20)

3. Ngược lại, giả sử T : Ω → L(H) là ánh xạ thỏa mãn với mỗi x ∈ H thì T(ω)x là biến ngẫu nhiên H−giá trị. Khi đó, ánh xạ Φ : LH

0 (Ω)→ LH

0 (Ω) xác định bởi (1.20) là tốn tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính bị chặn.

4. Nếu Φ : LH

0 (Ω) → LH

0 (Ω) là toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính bị chặn thì Φ∗ : LH

0 (Ω) → LH

0 (Ω) cũng là toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính bị chặn và thỏa mãn đẳng thức sau

Chương 2

Độ đo phổ ngẫu nhiên và định lý phổ cho tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính

Trong Chương 2, chúng tơi sẽ trình bày phiên bản ngẫu nhiên của định lý biểu diễn phổ. Trong Mục 2.1 trình bày về độ đo phổ ngẫu nhiên, định lý biểu diễn phổ cho toán tử ngẫu nhiên tuyến tính chuẩn tắc và tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Hermit.

Định lý 2.1.2 chỉ ra được rằng giới hạn của tích phân của hàm đo được bị chặn ứng với độ đo phổ ngẫu nhiên là tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính. Tiếp theo chúng tơi đưa ra khái niệm độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng. Định lý 2.2.8 là phiên bản ngẫu nhiên hóa định lý hội tụ bị chặn đối với độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng.

Trong Mục 2.2, Định lý 2.2.9 chỉ ra mọi độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng trên C,B(C) có bản sao là độ đo phổ ngẫu nhiên.

Các kết quả trình bày trong chương này được đã được đăng trong các bài báo "Định lý phổ cho toán tử ngẫu nhiên" (đã được nhận đăng ở tạp

chí "Southeast Asia Bulletin for Mathematics" 2014) và "Độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng" (đã đăng trên tạp chí "Journal of Theoretical Probability", 2014). Kết quả chính ở chương này tập trung trong bài báo thứ hai.

2.1 Định lý phổ cho tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính chuẩn tắc và tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Hermit

Định nghĩa 2.1.1. Cho H là không gian Hilbert, (S,A) là không gian đo được và (Ω,F, P) là không gian xác suất đầy đủ. Một họ U = {U(ω), ω ∈ Ω}các độ đo phổ tất định với tập chỉ số là Ω thỏa mãn với mỗix ∈ H, M ∈ A ánh xạ ω 7→U(ω)(M)x là biến ngẫu nhiên H−giá trị được gọi là độ đo phổ ngẫu nhiên U trên (S,A, H).

Tương tự như định lý phổ cho tốn tử tuyến tính chuẩn tắc và tốn tử Hermit trong trường hợp tất định, chúng tôi chứng minh được kết quả tương ứng trong trường hợp ngẫu nhiên như sau.

Định lý 2.1.2. 1. Giả sử A = {A(ω), ω ∈ Ω} là tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính chuẩn tắc. Khi đó tồn tại độ đo phổ ngẫu nhiên U = {U(ω), ω ∈ Ω} xác định trên (C,B(C), H) sao cho với mỗi x ∈ H ta có

A(ω)x = limn→∞

Z

Bn zU(ω)(dz)x h.c.c. (2.1)

với Bn = {z ∈ C : |z| 6 n}.

2. Giả sử A = {A(ω), ω ∈ Ω} là tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Hermit. Khi đó, tồn tại độ đo phổ ngẫu nhiên U = {U(ω), ω ∈ Ω} xác định

trên (R,B(R), H) sao cho với mỗi x ∈ H ta có A(ω)x = lim

n→∞

Z n

−nλU(ω)(dλ)x h.c.c. (2.2)

Chứng minh. 1. Với mỗiω, theo Định lý 1.1.13 thì tồn tại độ đo phổU(ω) xác định trên các tập con Borel của tập phổ σ(A(ω)) của toán tử A(ω)

sao cho

A(ω)x=

Z

σ(A(ω))zU(ω)(dz)x. Trước tiên ta sẽ chứng minh bổ đề sau.

Bổ đề 2.1.3. Với mỗi M ∈ B(C), x ∈ H, ánh xạ ω 7→ U(ω)(M)x đo được.

Chứng minh Bổ đề 2.1.3. Với mỗin, đặtDn = {ω : kA(ω)k < n}, Bn = {z ∈ C : |z| 6 n}. Từ bất đẳng thức r(A(ω)) 6 kA(ω)k, với r(A(ω))

là bán kính phổ của tốn tử A(ω) và ω ∈ Dn ta có σ(A(ω)) ⊂ Bn. Do đó với mỗi ω ∈ Dn ta có A(ω)x = Z σ(A(ω))zU(ω)(dz)x = Z Bn zU(ω)(dz)x Bước 1. Giả sử P(z) =P kakzk là đa thức. Đặt P(A(ω)) = Z σ(A(ω))P(z)U(ω)(dz),

khi đó ánh xạ ω 7→ P(A(ω))x từ Dn vào H đo được. Thật vậy,

P(A(ω))x = Z

σ(A(ω))P(z)U(ω)(dz)x = X

k

akA(ω)kx.

Với mỗi biến ngẫu nhiên u giá trị trong H, thì ánh xạ ω 7→ A(ω)u(ω)

đo được. Bằng cách quy nạp với mỗi k thì ω 7→ A(ω)kx đo được. Vì vậy ánh xạ ω 7→ P(A(ω))x từ Dn vào H đo được.

Bước 2. Nếu f(z) là hàm liên tục xác định trên Bn thì ánh xạ ω 7→

f(A(ω))x từ Dn vào H là đo được.

Thật vậy, theo định lý Weierstrass, tồn tại dãy đa thức Pk(z) hội tụ đều tới f(z) trên Bn. Do đó |Pk(z)| bị chặn đều. Vì σ(A(ω)) ⊂Bn với

ω ∈ Dn theo Hệ quả 8 trong tài liệu ([18], trang 899), ta có lim

k→∞Pk(A(ω))x = f(A(ω))x

với mọi ω ∈ Dn. Vì vậy, từ Bước 1 ta có điều phải chứng minh.

Bước 3. Với mỗi tập đóng M của C và x ∈ H, ánh xạ ω 7→ E(ω)(M)x từ Ω vào H đo được.

Thực vậy, với mỗi số tự nhiên n đặt Mn = {s : d(s, M) ≥ 1/n} khi đó Mn là tập đóng và M ∩Mn = ∅. Theo bổ đề Urysohn tồn tại hàm liên tục fn thỏa mãn fn(z) = 1 với z ∈ M và fn(z) = 0 với z ∈ Mn và 06 fn(z) 6 1 ∀z.

Nếu z /∈ M thì tồn tại n0 sao cho d(z, M) > 1/n0 > 1/n với n ≥ n0.

Vì vậy fn(z) = 0 với n > n0. Do đó limn→∞fn(z) = 1M(z). Vì ánh xạ

M → E(ω)(M)x là biến ngẫu nhiên H−giá trị, theo Định lý 1 trong tài tiệu ([16], trang 56) ta có, với mọi ω ∈ Dn thì

lim n→∞ Z σ(A(ω))fn(z)U(ω)(dz)x = Z σ(A(ω))1M(s)U(ω)(dz)x

nghĩa là limn→∞fn(A(ω))x = U(ω)(M)x ∀ω ∈ Dn. Từ Bước 2 suy ra ánh xạ ω 7→ U(ω)(M)x từ Dn vào H là đo được. Nhưng Dn đo được và Ω = ∪nDn vì vậy ánh xạ ω 7→E(ω)(M)x từ Ω vào H là đo được.

Bước cuối. Giả sử M là lớp các tập Borel M sao cho ánh xạ ω 7→

Thực vậy, theo định nghĩa độ đo phổ, với mỗi ω ta có U(ω)(M ∩N)x = U(ω)(M)[U(ω)(N)x]; U(ω)(M ∪N)x = U(ω)(M)x+U(ω)(N)x−U(M ∩N)(ω)x; U(ω)\Anx = lim n→∞U(ω)(An)x nếu (An) ↓; U(ω)[Anx = lim n→∞U(ω)(An)x nếu (An) ↑ .

Từ điều kiện trên, thì M đóng với phép tốn giao, hợp và nó là một lớp đơn điệu. Vì vậy M là một σ-đại số.

Từ Bước 3, thì M chứa các tập đóng. Vậy M đồng nhất với lớp tất cả các tập Borel. Do đó, với mọi x ∈ H, M ∈ B, ánh xạ ω 7→ U(ω)(M)x là đo được.

Tiếp theo, sử dụng Bổ đề 2.1.3 ta sẽ chứng minh khẳng định thứ nhất trong đẳng thức (2.1) của định lý. Thật vậy, cố định ω ∈ Ω. Bởi vì

Dn ↑ Ω nên tồn tạin0(ω) sao choω ∈ Dn với mọi số tự nhiênn > n0(ω). Do đó, nếu n > n0(ω) thì σ(A(ω)) ⊂ Bn điều này suy ra

A(ω)x = Z σ(A(ω))zU(ω)(dz)x = Z Bn zU(ω)(dz)x, nghĩa là A(ω)x = lim n→∞ Z BnzU(ω)(dz)x

2. Theo Định lý 1.1.13 tồn tại độ đo phổ U(ω) xác định trên tập tất các tập con Borel của tập phổ σ(A(ω)) ⊂R của A(ω). Chứng minh tương