tượng tuyến tính trên khơng gian Hilbert xác suất
Cho khơng gian Hilbert xác suất H. Xét Φ : D(Φ) → H là tốn tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính với miền D(Φ) xác định trù mật H. Giả sử V là tập các phần tử v ∈ H sao cho với mỗi g ∈ H và với mọi u ∈ D(Φ) ta có
hΦu, vi = hu, gi.
Vì D(Φ) trù mật, nên g xác định duy nhất. Đặt g = Φ∗v ta thu được ánh xạ Φ∗ : D(Φ∗) → H. Dễ dàng kiểm tra được rằng D(Φ∗) là khơng gian tuyến tính xác suất và Φ∗ là tốn tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính. Ta có định nghĩa tốn tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính liên hợp như sau.
Định nghĩa 3.3.1. Tốn tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính Φ∗ : D(Φ∗) → H được gọi là liên hợp của Φ nếu thỏa mãn hΦu, vi = hu,Φ∗vi với mọi
Ví dụ dưới đây chỉ ra rằng miền xác định của Φ∗ không nhất thiết là trù mật trong H.
Ví dụ 3.3.2.Giả sử (ξn) là dãy các biến ngẫu nhiên thực độc lập cùng phân bố thỏa mãn Eξn = 0, E|ξn|2 = 1. Xét V là tập các phần tử u ∈ LH
0 (Ω) thỏa mãn chuỗi P∞n=1hu, eniξn hội tụ theo xác suất. Với u ∈ V đặt
T u = ∞ X n=1 hu, eniξn. Lấy a ∈ H, a 6= 0. Định nghĩa ánh xạ Φ : V → LH 0 (Ω) xác định như sau Φu = aT u. Như chứng minh của Ví dụ 3 trong [47], thì Φ là tốn
tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính với miền xác định trù mật D(Φ) và
D(Φ∗) = LH10 (Ω) với H1 = [a]⊥. Vì a 6= 0, D(Φ∗) khơng trù mật trong LH
0 (Ω).
Định lý 3.3.3. Nếu Φ : H → H là tốn tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính bị chặn thì D(Φ∗) = H và Φ∗ : H → H cũng là tốn tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính bị chặn.
Chứng minh. Cố định v ∈ H. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng, tồn tại g ∈ H sao cho với mọi u∈ H ta có
hΦu, vi = hu, gi.
Thực vậy, xét Γ : H → L0(Ω) xác định bởi Γu = hΦu, vi. Chúng ta thu được ánh xạ Γ là toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính bị chặn. Thực
vậy, vì Φ bị chặn, tồn tại biến ngẫu nhiên khơng âmk sao chokΦuk 6 kkuk.
Vì vậy, từ
|Γu| = |hΦu, vi| 6kΦukkvk6 kkvkkuk ∀u ∈ H suy ra Γ bị chặn. Theo Định lý 3.2.6 tồn tại g ∈ H thõa mãn
Do đó D(Φ∗) = H và Φ∗(v) = g. Ngồi ra, ta có
|hu, gi| = |hΦu, vi| 6 kkvkkuk ∀u, v ∈ H. Với u = g ta thu được kgk2
6 kkvkkgk dẫn tới kgk 6 kkvk và kΦ∗(v)k 6
kkvk, do vậy Φ∗ : H → H bị chặn.
Định nghĩa 3.3.4. Giả sử Φ : D(Φ) → H là toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính với miền xác định D(Φ) trù mật H. Khi đó
(1.) Φ được gọi là đối xứng nếu hΦu, vi = hu,Φvi ∀u, v ∈ D(Φ), nghĩa là,
D(Φ)⊂ D(Φ∗) và Φu = Φ∗u ∀u ∈ D(Φ).
(2.) Φ được gọi là tự liên hợp nếu Φ = Φ∗, nghĩa là, D(Φ) = D(Φ∗) và Φu = Φ∗u ∀u ∈ D(Φ).
(3.) Φ được gọi là chuẩn tắc nếu D(Φ) = H, Φ bị chặn và ΦΦ∗ = Φ∗Φ. Chú ý rằng nếu Φ đối xứng thì hΦu, ui là biến ngẫu nhiên thực vì hΦu, ui = hu,Φui = hΦu, ui.
Định nghĩa 3.3.5. Giả sử Φ : D(Φ) → H là toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính đối xứng.
1. Φ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại biến ngẫu nhiên thực m sao cho
với mỗi u ∈ D(Φ) ta có hΦu, ui >mkuk2.
2. Φ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại biến ngẫu nhiên thực M sao cho với mỗi u ∈ D(Φ) ta có hΦu, ui 6Mkuk2.
3. Φ được gọi là nửa bị chặn nếu Φ bị chặn trên hoặc bị chặn dưới.
Định lý 3.3.6. Giả sử tốn tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính Φ :
D(Φ) → H nửa bị chặn. Khi đó tồn tại tốn tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính tự liên hợp Φ˜ là mở rộng của Φ.
Chứng minh. Vì Φ bị chặn trên khi và chỉ khi −Φ bị chặn dưới, nên ta giả sử Φ bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại biến ngẫu nhiên thực m sao cho với mỗi u ∈ D(Φ) ta có hΦu, ui > mkuk2. Khơng giảm tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử m = 1. Thật vậy, đặt Ψ = Φ −aI với a = m −1 khi đó Ψ là tốn tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính đối xứng thỏa mãn
D(Φ) = D(Ψ),D(Φ∗) = D(Ψ∗) và
hΨu, ui = hΦu, ui −ahu, ui > mkuk2 −mku2k+kuk2 = kuk2
Xét M= D(Φ). Xác định tích trong ngẫu nhiên hu, viM xác định trên M như sau
hu, viM = hΦu, vi.
Từ giả thiết, ta có kuk 6 kukM. Làm đầy M với metric xác định ở (3.1) sinh bởi chuẩnkukM ta có khơng gian Hilbert xác suất ˜M.VìkukM > kuk, với mỗi dãy Cauchy (un) trong M hội tụ trong H do đó ta có thể đồng nhất ˜M với tập con các dãy hội tụ trong H, nghĩa là, ˜M là tập con của H.
Đặt N = D(Φ∗)∩ M. Vì Φ đối xứng, ta có˜ M ⊂ D(Φ∗) vì vậy M ⊂ N ⊂D(Φ∗). Xét ˜Φ : N → H là một hạn chế của Φ∗ trên N. Ta cần chỉ ra được ˜Φ tự liên hợp. Thật vậy,
• Φ˜ đối xứng: Giả sử u, v ∈ N. Vì N ⊂M˜ nên tồn tại dãy (un),(vn) các phần tử của M thỏa mãn limnun = u, limnvn = v trong ˜M. Ta có
lim m lim n hΦun, vmi = lim m lim n hun, vmiM = lim m hu, vmiM = hu, viM.
Tương tự, ta có limnlimmhΦun, vmi = limnhun, viM = hu, viM.
Vì vậy, limmlimnhΦun, vmi = limnlimmhΦun, vmi.Mặt khác, vì limnun =
u, limnvn = v trong H nên ta cũng có lim m lim n hΦun, vmi = lim m lim n hun,Φvmi = lim m hu,Φvmi = limm hΦ∗u, vmi = hΦu, vi.˜
Tương tự, ta cũng có
limn limm hΦun, vmi = limn hun,Φ∗vi = limn hu,Φ∗vi = hu,Φvi.˜
Vì vậy hΦu, vi˜ = hu,Φvi˜ điều này suy ra ˜Φ đối xứng.
• Miền giá trị của R( ˜Φ) là tồn bộ khơng gian H: Xét v là phần tử bất kỳ trong H. Xét ánh xạ Γ : M → L˜ 0 xác định bởi Γu = hu, vi. Ta có |Γu| 6 kvkkuk 6 kvkkukM với mọi u ∈ M. Theo Định lý 3.2.6˜ thì tồn tại v∗ ∈ M˜ sao cho Γu = hu, v∗iM ∀u ∈ M.˜ Vì vậy, với mỗi
u ∈ M hΦu, v∗i = hu, v∗iM = hu, vi. Do đó v∗ ∈ M ∩˜ D(Φ∗) = N và
v = Φ∗v∗ = ˜Φv∗.
• Φ˜ đơn ánh: Thực vậy, Giả sử ˜Φu = θ. Từ chứng minh trên R( ˜Φ) =H ta có v ∈ D( ˜Φ) sao cho u = ˜Φv. Khi đó
hu, ui = hu,Φvi˜ = hΦu, vi˜ = 0 suy ra u = θ.
• Φ tự liên hợp: Vì ˜Φ là đơn ánh và R( ˜Φ) = H nên tồn tại Ψ = ˜Φ−1 :
H → H. Vì ˜Φ đối xứng, Ψ cũng đối xứng. Từ D(Ψ) = H suy ra
Ψ = Ψ∗. Tương tự như trong trường hợp tốn tử tuyến tính tất định, ta thu được Ψ∗ = ( ˜Φ∗)−1. Vì vậy ta có ( ˜Φ)−1 = ( ˜Φ∗)−1 do đó ˜Φ = ˜Φ∗.
Kết quả sau đây cho ta mối liên hệ giữa tốn tử ngẫu nhiên trừu tượng
tuyến tính tự liên hợp và tốn tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính chuẩn tắc.
Định lý 3.3.7. Giả sử Φ : D(Φ) → H là tốn tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính tự liên hợp và α là số phức thỏa mãn Im(α) 6= 0. Đặt Φα = αI− Φ. Khi đó Φα : D(Φ) → H là song ánh và ánh xạ ngược (Φα)−1 : H → H
Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh Bổ đề sau.
Bổ đề 3.3.8. Nếu Φ : D(Φ)→ H là tốn tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính tự liên hợp thì Φ đóng.
Thực vậy, xét (vn) ∈ D(Φ), limnvn = v và limnΦvn = g. Khi đó với
mỗi u ∈ D(Φ)
hu, gi = lim
n hu,Φvni = lim
n hΦu, vni = hΦu, vi
Điều này suy ra v ∈ D(Φ∗) và Φ∗v = g. Từ điều kiện Φ = Φ∗ ta suy ra rằng v ∈ D(Φ) và Φv = g. Như vậy Bổ đề 3.3.8 được chứng minh.
Xét α = a+bi. Ta có
kΦαuk2 = hαu−Φu, αu−Φui = hibu+ (au−Φu), ibu+ (au−Au)i
= |b|2kuk2 + kau−Φuk2 +ihbu, au −Φui −ihau−Φu, bui. Vì Φ đối xứng, nên ta có hu,Φui ∈ L0(Ω). Vì vậy
hbu, au −Φui = bakuk2 −bhu,Φui ∈ L0(Ω). Từ đó ta có
kΦαuk2 = |b|2kuk2 +kau−Φuk2 > |b|2kuk2.
Vì b 6= 0, Φαu= θ nên suy ra u = θ. Do đó Φα là đơn ánh.
Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng R(Φα) = H. Theo Bổ đề 3.3.8 thì Φ đóng, vì vậy Φα cũng đóng. Xét Φ−1α : R(Φα) → H. Dễ dàng kiểm tra được Φ−1α là tốn tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính. Từ Φα là tốn tử đóng, nên Φ−1α cũng đóng. Ngồi ra, với mỗi v ∈ R(Φα), v = Φαu ta có
kvk2 = kΦαuk2 > kbk2kuk2 = kbk2kΦ−1α vk2
suy ra
Do vậy Φ−1α bị chặn. Từ đó suy ra tốn tử D(Φ−1α ) = R(Φα) đóng. Thật vậy, giả sử rằng (un) ⊂ D(Φ−1α ) sao cho limnun = u. Từ Định lý 3.2.5 suy
ra tồn tại limnΦ−1α un = g. Vì Φα−1 đóng, ta thu được u ∈ D(Φ−1α ). Tiếp theo, ta sẽ chứng minh R(Φα) =H theo Định lý 3.1.17, điều kiện đủ để chỉ ra, nếu v⊥R(Φα) thì v = 0. Thực vậy, với mọi u ∈ H ta có Φαu ∈ R(Φα) vì vậy
0 = hΦαu, vi = hαu−Φu, vi = αhu, vi − hΦu, vi
= αhu, vi − hu,Φvi = αhu, v −Φvi = hu,( ¯αI −Φ)vi. Do đó ( ¯αI −Φ)v = θ suy ra v = θ. vì ¯αI −Φ = Φα¯ là đơn ánh.
Do đó, Φ−1α : H → H là toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính bị chặn. Tương tự như trong trường hợp tất định, ta có
(Φ−1α )∗ = (Φ∗α)−1 = ( ¯αI −Φ)−1 = Φ−1α¯ (Φα)−1(Φ−1α¯ ) = (Φ−1α¯ )(Φα)−1.
Vì vậy, (Φα)−1(Φ−1α )∗ = (Φα)−1(Φ−1α¯ ) = (Φ−1α¯ )(Φα)−1 = (Φ−1α )∗(Φα)−1 ta có điều phải chứng minh.
Kết luận và kiến nghị
Kết luận
Các kết qủa chính của luận án là:
• Đưa ra khái niệm độ đo phổ ngẫu nhiên, chứng minh định lý phổ cho các tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính chuẩn tắc và tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Hermit.
• Đưa ra khái niệm độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng, xây dựng được tích phân đối với độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng. Chứng minh được định lý hội tụ bị chặn đối với độ đo phổ ngẫu nhiên.
• Chứng minh được rằng mọi độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng trên (C,B(C)) có bản sao là độ đo phổ ngẫu nhiên. Kết quả này được trình bày trong Định lý 2.2.9.
• Định nghĩa khái niệm tốn tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính. • Phát biểu và chứng minh Định lý 3.2.6 cho toán tử ngẫu nhiên trừu
tượng tuyến tính từ khơng gian Hilbert xác suất H vào không gian các biến ngẫu nhiên nhận giá trị phức là bị chặn khi và chỉ khi nó được biểu diễn như tích trong ngẫu nhiên trên H (có thể xem đây là phiên bản ngẫu nhiên của biểu diễn Riesz quen biết về biểu diễn phiếm hàm tuyến tính tất định bị chặn).
• Nghiên cứu tốn tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính chuẩn tắc, tốn tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính đối xứng và tốn tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính tự liên hợp trong khơng gian Hilbert xác suất H. Chỉ ra điều kiện đủ đề toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính đối xứng nửa bị chặn có thể mở rộng thành tốn tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính tự liên hợp (Định lý 3.3.6). Có thể xem đây là một phiên bản ngẫu nhiên hóa của Định lý Friedrichs - Stone - Wintner trong trường hợp tất định cho toán tử tuyến tính đối xứng nửa bị chặn.
• Chứng minh được rằng nếu Φ : D(Φ)→ H là toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính tự liên hợp và α là số phức với phần ảo khác khơng thì Φα = αI −Φ : D(Φ) → H là song ánh và (Φα)−1 : H → H là toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính chuẩn tắc.
Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo
Hướng nghiên cứu tiếp theo của luận án là một số vấn đề sau:
1. Trong Chương 2 của luận án đã chứng minh được rằng mọi độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng trên (C,B(C)) có bản sao là độ đo phổ ngẫu nhiên. Câu hỏi đặt ra là liệu kết quả này còn đúng cho mọi độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng trên không gian đo bất kỳ (S,A) hay không? 2. Định nghĩa Độ đo phổ ngẫu nhiên trừu tượng và nghiên cứu định lý
phổ cho tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính trừu tượng.
3. Nghiên cứu Lý thuyết nửa nhóm các tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn: Cho H là không gian Hilbert. Ký hiệu LH
b (Ω) là tập các tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn trên H. Cho ánh xạ T : [0,+∞) →
LH
b (Ω) thỏa mãn các điều kiện sau
T(0) = I, T(t+s) =T(t)T(s).
Ta gọi T(t)
t>0 là nửa nhóm các tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn.
Bài tốn: Tìm phiên bản ngẫu nhiên cho các kết quả kinh điển của
lý thuyết nửa nhóm các tốn tử tuyến tính tất định cho lý thuyết các tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính.
4. Tìm một số ứng dụng cụ thể cho các quả nghiên cứu lý thuyết của luận án.
Tuy nhiên, vì điều kiện thời gian và năng lực nên tác giả chưa giải quyết được các vấn đề trên. Tác giả hy vọng rằng những vấn đề này sẽ sớm được giải quyết.
Danh mục các cơng trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án
Các kết quả chính của luận án đã được báo cáo trong các hội nghị:
1. Hội thảo tối ưu và tính tốn khoa học lần thứ 9, 20-23/4/2011, Ba vì, Hà Nội.
2. Hội nghị Khoa học Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Trường ĐH Khoa học Tự nhiên Hà Nội, 2014.
Và đã được công bố trong các bài báo:
[1] Thang D.H., Quy T.X. (2014), Spectral Theorem for Random Opera- tors, Southeast Asia Bulletin for Mathematics,(accepted).
[2] Thang D.H., Thinh N., Quy T.X. (2014), Generalized Spectral Random Measures, J Theor Probab, 27, pp.576-600, (SCI).
[3] Quy T.X., Thang. D.H., Thinh N. (2015), Abstract Random Linear Operators on Probabilistic Unitary Spaces, J. Korean Math. Soc, (ac-
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Phạm Thế Anh. (2015), Điểm bất động và điểm trùng nhau của tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên và ứng dụng, Luận án tiến sĩ toán học, Đại
học Quốc gia Hà Nội.
[2] Tạ Ngọc Ánh. (2012),Một số vấn đề về phương trình ngẫu nhiên, Luận
án tiến sĩ toán học, Đại học Quốc gia Hà Nội.
[3] Trần Mạnh Cường. (2011), Thác triển toán tử ngẫu nhiên trong khơng gian Banach khả ly, Luận án tiến sĩ tốn học, Đại học Quốc gia Hà
Nội.
[4] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến. (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất,
NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[5] Đặng Hùng Thắng. (2006), Quá trình ngẫu nhiên và tính tốn ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[6] Đặng Hùng Thắng. (2013), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc
gia Hà Nội.
[7] Nguyễn Thịnh. (2006),Tích phân ngẫu nhiên Ito và tốn tử ngẫu nhiên trong khơng gian Banach, Luận án tiến sĩ toán học, Đại học Quốc gia
[8] Nguyễn Duy Tiến, Đặng Hùng Thắng. (2001), Các mơ hình xác suất và ứng dụng phần 2: Quá trình dừng và ứng dụng, NXB Đại học Quốc
gia Hà Nội.
[9] Nguyễn Duy Tiến. (2001), Các mơ hình xác suất và ứng dụng phần 3:
Giải tích ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
Tiếng Anh
[10] Astrom K. J. (1970), Introduction to Stochastic Control Theory, Aca-
demic Press, New York.
[11] Birman M. S., Solomjak M. Z. (1987), Spectral theory of Self-Adjoint Operators in Hibert sapce, D. Reidel Pub Com, Holland.
[12] Chow Y. S., Teicher H. (1997), Probability Theory. Independence, In- terchangeability, Martingale, Springer, New York.
[13] Bharucha-Reid A.T. (1972), Random intergral equations, Academic
Press, New York and London.
[14] Billingsley P. (1999),Convergence of Probability measures, Willey, New
York.
[15] Conway J. B. (1990), A Course in Functional Analysis. Springer-
Verlag.
[16] Diestel J., Uhl. J. J. (1977),Vector Meaures. AMS Providence, Rhode
Island.
[17] Dorogovstev A. A. (1986), On application of Gaussian random opera- tor to random elements, Theor.veroyat.i.priment 30, pp.812-814.
[18] Dunford N., Schwarts J. T. (1963), Linear Operator, Part II, Inter-
science Publishers, NewYork.
[19] Feller W. (1971), An introduction to probability theory and its appli- cations, 2, 2nd ed. Wiley, New York.
[20] Guo T. (1999), Some basic theories of random normed linear spaces
and random inner product spaces, Acta Anal Funct Appl, 1(2),
pp.160–184.
[21] Guo T. (2010), Relations between some basic results derived from two kinds of topologies for a random locally convex module, Journal of
Functional Analysis, 258, pp.3024–3047.
[22] Guo T., Shi G. (2011), The algebraic structure of finitely generated L0(F, K)− modules and the Helly theorem in random normed modules.
Journal of Mathematical Analysis and Applications, 381, pp.833-842.
[23] Guo T., Xiao H., Chen X. (2009), A basic strict separation theorem in random locally convex modules. Nonlinear Analysis. 71, pp.3794-3804.