Chương 1 Tổng quan
2.1. Ma trận trở kháng mặt dạng hiện của sóng Rayleigh đối với bán khơng
đối với bán không gian đàn hồi trực hướng
Xét sự truyền sóng Rayleigh trong bán khơng gian dị hướng tự do ứng suất chiếm bán không gian x2≥0, theo phươngx1 và tắt dần theo phương x2 với vận tốc sóng c >0, số sóng k > 0, phương truyền sóng trùng với phương chính của
vật liệu trực hướng. Khi đó véc tơ chuyển dịch u= [u1u2u3]T cho dưới dạng:
u =U(y)eik(x1−ct), U= [U1(y)U2(y)U3(y)]T, y =kx2, 0≤y <+∞, (2.1) trong đó kí hiệu "T" là phép lấy chuyển vị của ma trận.
Ta kí hiệu t là véc tơ ứng suất tại mặt x2 = const. Khi đó từ (2.1) và mối liên hệ ứng suất - biến dạng ta có
t=ikΣ(y)eik(x1−ct), y =kx2, 0≤y <+∞. (2.2) Ma trận M được gọi là ma trận trở kháng mặt của sóng Rayleigh nếu nó biểu thị mối liên hệ giữa U(0) và Σ(0) bởi đẳng thức
Σ(0) =iMU(0) (2.3)
Ma trận M là hermitian và nó là một cơng cụ quan trọng để nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của sóng Rayleigh trong vật thể dị hướng tổng quát [34]. Ma trận trở kháng mặtM được gọi là dạng hiện nếu biểu thức của các phần tử của nó là các dạng hiện đối với các hằng số vật liệu và vận tốc sóng.
2.1.1. Ma trận trở kháng mặt dạng hiện đối với bán không gianđàn hồi trực hướng nén được đàn hồi trực hướng nén được
Xét bán không gian đàn hồi x2 ≥ 0 trực hướng nén được. Theo Vinh và Ogden [42], sóng Rayleigh hai thành phần sẽ có: U = [U1 U2]T, Σ = [Σ1 Σ2]T. Theo Vinh [60] (trang 182, 183), tác giả chỉ ra rằng ma trận trở kháng mặt của sóng Rayleigh được cho bởi
M= 1 c11+c66√P −X M11 iM12 −iM12 M22 nếu c12+c66 6= 0, M11 iM12 −iM12 M22 nếu c12+c66 = 0, (2.4)
trong đó X =ρc2, ρ là mật độ khối, Mmn là thực và được xác định bởi M11=c66(c11−X)pS+ 2√ P , M12=−c66(c11−X−c12√P), M22=c22c66√PpS+ 2√ P . (2.5)
đối với trường hợp c12+c666= 0, và đối với trường hợp c12+c66 = 0 thì xác định bởi M11=pc66(c11−X), M12 =c12, M22 =pc22(c66−X), (2.6) trong đó b21+b22 =−(c12+c66)2+c22(X−c11) +c66(X−c66) c22c66 :=S, b21.b22= (c11−X)(c66−X) c22c66 :=P. (2.7)
Các hằng số đàn hồi cij thỏa mãn các bất đẳng thức [42]
c11 >0, c22 >0, c66>0, c11c22−c212 >0. (2.8) Chú ý rằng, nếu sóng Rayleigh tồn tại thì
0< X <min{c66, c11}, P >0, S+ 2√
P > 0. (2.9) Nhận xét 2.1. Từ (2.5), (2.8) và (2.9) ta suy ra Mmn là thực và
M11 >0, M22 >0. (2.10) 2.1.2. Ma trận trở kháng mặt dạng hiện đối với bán không gian
đàn hồi trực hướng không nén được
Giả sử bán không gian là trực hướng và không nén được với các hằng số đàn hồicij và mật độ khối ρ. Theo Ogden và Vinh [26], sóng Rayleigh hai thành phần là: U = [U1 U2]T, Σ = [Σ1 Σ2]T. Theo Vinh [60] (trang 182, 183), tác giả chỉ ra rằng ma trận trở kháng mặt của sóng Rayleigh được cho bởi
M= " M11 iM12 −iM12 M22 # (2.11)
trong đó Mik là thực và chúng được tính bởi M11=c66pS+ 2√
P , M12 =c66(√P −1), M22 =c66√PpS+ 2√
với
S = c11+c22−2(c12+c66)−X
c66 , P =
c66−X
c66 (2.13)
và X =ρc2. Các hằng số đàn hồi cij thỏa mãn các bất đẳng thức [26]
c11 >0, c22 >0, c66>0, c11c22−c212 >0. (2.14) Khơng khó để chỉ ra rằng nếu sóng Rayleigh tồn tại thì
0< X < c66, P > 0, S+ 2√
P > 0. (2.15)
Nhận xét 2.2. Từ (2.12), (2.14) và (2.15) ta suy ra Mik là thực và
M11 >0, M22 >0. (2.16)
2.2. Cơng thức tỷ số H/V của sóng Rayleigh đối với bán khơng gian đàn hồi trực hướng nén được
2.2.1. Phương trình tỷ số H/V của sóng Rayleigh
Xét sự truyền sóng Rayleigh trong bán khơng gian đàn hồi trực hướng nén đượcx2 ≥0, như đã mô tả trong phần 2.1, với vận tốc sóng c >0, số sóngk > 0,
theo phương x1 và tắt dần theo phương x2. Từ (2.4), (2.5), (2.6) ta thu được ma trận trở kháng mặt M của sóng Rayleigh. Giả sử bán khơng gian là tự do ứng suất tức là: Σ(0) = 0. Khi đó từ (2.3) ta có MU(0) = 0. Vì U(0) 6= 0 nên det(M) = 0. Bằng cách sử dụng các biểu thức của Mmn xác định bởi (2.5), (2.6) trong phương trình này dẫn tới phương trình tán sắc của sóng Rayleigh
(c66−X)[c212−c22(c11−X)] +X√c22c66p(c11−X)(c66−X) = 0 (2.17) đối với trường hợp c12+c666= 0 và
√
c22c66p(c11−X)(c66−X)−c212= 0 (2.18) đối với trường hợp c12 +c66 = 0. Phương trình (2.17) trùng với phương trình
(2.17) trong [42].
Từ phương trình MU(0) = 0, U(0) = [U1(0) U2(0)]T và phương trình (2.4) ta có hệ M11U1(0) U2(0) +iM12 = 0, −iM12U1(0) U2(0) +M22 = 0. (2.19)
Từ (2.19) ta suy ra U1(0) U2(0) 2 =−M22 M11. (2.20)
Vì −M22/M11 <0 (theo Nhận xét 2.1) nên từ phương trình (2.20) suy ra U1(0) U2(0) =iM22 M11. (2.21) Ta định nghĩa κ là κ= r M22 M11 ↔κ 2= M22 M11. (2.22)
Từ biểu thức thứ 2 của (2.20) và các biểu thức của M22, M11 xác định bởi (2.5) và (2.6) ta suy ra κ2 = r c22 c66 r c66−X c11−X. (2.23)
Đây là cơng thức tỷ số H/V của sóng Rayleigh và nó phụ thuộc vào vận tốc sóng Rayleigh.
Nhận xét 2.3. Từ mối liên hệ (2.23) cho ta ba nhận xét thú vị về tỷ số H/V như sau:
(i) Đối với bán không gian đàn hồi đẳng hướng nén được thì mơ đun của chuyển dịch theo phương ngang luôn nhỏ hơn phương thẳng đứng.
Thật vậy, từ (2.23) suy ra đối với bán không gian đàn hồi đẳng hướng nén được (c11 =c22=λ+ 2µ, c66=µ, λ, µlà các hằng số Lamer), tỷ số H/V xác định bởi κ2 = r 1−x 1−γx, x= c2 c2 2 , γ = µ λ+ 2µ, c2= r µ ρ. (2.24) Vì 0< x < 1, 0< γ <1 nên dễ ràng thấy được 0< κ2<1.
(ii) Đối với bán không gian đàn hồi trực hướng, tỷ số H/V có thể tiến tới vơ cùng theo Nhận xét 2.4 (i) bên dưới.
(iii) Đối với bán không gian đàn hồi đẳng hướng khơng nén được thìκ= 0.5437
Thật vậy, từ (2.24) ta choλ tiến tới vô cùng khi đó tỷ số H/V của sóng Rayleigh đối với bán khơng gian đàn hồi trực hướng khơng nén được có dạng
κ2=√
1−x. (2.25)
Vì theo Ogden và Vinh [26], Vinh [49] ta có x= 0.9126, do đó κ= 0.5437.
Khử X từ (2.23), (2.17) và từ (2.23), (2.18) ta thu được phương trình đối với tỷ số H/V là
đối với trường hợp c12+c66= 0 và
(1−δ)ω3+ω2+α(δσ−1)ω−α= 0, ω=κ2 ∈(0,+∞) (2.27) đối với trường hợp c12+c66 6= 0, trong đó α, δ và σ là các tham số không thứ nguyên và được xác định bởi
α = c22 c11, δ= 1− c2 12 c11c22, σ = c11 c66. (2.28) Từ (2.8) và (2.28) ta suy ra α >0, 0< δ ≤1, σ > 0 (2.29) và nếuc12+c66= 0 thì α >0, σ >0và ασ2>1. (2.30) Nhận xét 2.4. (i) Từ (2.9) và (2.23) ta chỉ ra rằng + Nếu 0< c66< c11 (σ >1) : ω∈(0,√α). + Nếu 0< c11< c66 (0< σ <1) :ω ∈(√ α,+∞). (ii) Khi c11 =c66 (σ = 1), từ (2.23) ta có κ2 =√
α. Trong trường hợp này, tỷ số H/V không phụ thuộc vào c12, trong khi vận tốc sóng Rayleigh c phụ thuộc vào hằng số đàn hồi vì ρc2 =c11δ√α/(1 +√α) (xem Vinh và Ogden [42]).
Trong phần này chúng ta giả sử c666=c11 tức làσ 6= 1. Nếu c12 6= 0: 1−δ >0 thì phương trình (2.27) trở thành
f(ω) :=ω3+a2ω2+a1ω+a0 = 0, ω =κ2 ∈(0,+∞) (2.31) trong đó hệ số ak của phương trình (2.31) được xác định bởi
a2= 1 1−δ, a1= α(δσ−1) 1−δ , a0 =− α 1−δ. (2.32) Rõ ràng từ (2.32) ta thấy a0 <0 và a2 >0.
Nếu c12 = 0 hay 1−δ = 0, phương trình (2.27) trở thành
ϕ(ω) :=ω2+α(σ−1)ω−α= 0, ω =κ2∈(0,+∞). (2.33) Ta có các kết quả sau:
Mệnh đề 2.1. Giả sử c12+c66 6= 0 và c126= 0. Khi đó với mọi α, δ và σ thỏa mãn α > 0, 0 < δ < 1 và σ >0, phương trình (2.31) có nghiệm duy nhất là ωr nằm trong khoảng (0,+∞) sao cho: ωr ∈ (0,√α) nếu σ > 1, và ωr ∈ (√
α,+∞)
Chứng minh. Từ (2.31) ta có f(√
α) = αδ√α(σ −1)/(1−δ). Vì α > 0, 0< δ <1 nên ta suy ra:
f(√α)>0 nếuσ > 1, f(√
α)<0, nếu0< σ <1. (2.34) Cũng từ (2.31) ta suy ra:
f0(w) = 3w2+ 2a2w+a1. (2.35) • Trường hợp 1: Nếu biệt thức ∆0=a22−3a1≤0 thì f0(w)≥0 ∀w. Hàm f(w) là hàm đơn điệu tăng trên khoảng (−∞, +∞). Vì f(0) =a0<0 và f(+∞) = +∞,
phương trình f(w) = 0 có nghiệm duy nhất wr trong khoảng (0,+∞). Từ (2.34)
và hàm f(w) là đơn điệu tăng trong khoảng (0, +∞) nên ta suy ra: wr ∈(0, √α) nếu σ >1, wr ∈(√
α, +∞) nếu 0< σ <1.
• Trường hợp 2: Nếu∆0>0, phương trìnhf0(w) = 0 có hai nghiệm phân biệt, kí hiệu là wmax và wmin, do đó hoặc: wmax < wmin ≤0 hoặc là: wmax <0< wmin vì wmax+wmin =−2a2/3<0.
+ Nếu wmax < wmin ≤0 thìf(w)là hàm đơn điệu tăng trên khoảng (0, +∞)vì nó là hàm đơn điệu tăng đối với w∈(wmin,+∞). Điều này kết hợp với f(0)<0 và f(+∞) = +∞, phương trình f(w) = 0 có một nghiệm duy nhất wr trong khoảng
(0, +∞). Từ (2.34) và hàm f(w) đơn điệu tăng trong khoảng (0, +∞) ta suy ra wr ∈(0, √α) nếu σ > 1, wr ∈(√
α, +∞) nếu 0< σ <1.
+ Nếu wmax <0< wmin thì f(w)<0 với mọi w∈[0, wmin] vì f(0)<0 và f(w) là hàm đơn điệu giảm trong khoảng [wmax, wmin]. Vì f(w) là hàm đơn điệu giảm đối với w∈(wmin, +∞)và f(wmin)<0,f(+∞) = +∞, nên phương trình f(w) = 0 có nghiệm duy nhất wr trong khoảng (wmin, +∞), cũng như trong khoảng (0,+∞)
vì f(w) <0 với mọi w∈ [0, wmin]. Từ bất đẳng thức (2.34), hàm f(w) đơn điệu tăng trong khoảng (wmin, +∞) và wr ∈ (wmin,+∞) ta suy ra wr ∈ (0,√α) nếu σ >1, wr ∈(√
α, +∞) nếu 0< σ <1.
Từ những lập luận ở trên trong quá trình chứng minh Mệnh đề 2.1 ta suy ra ngay mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.2. Giả sử c12+c66 6= 0 và c12 6= 0. Nếu phương trình (2.31) có hai hay ba nghiệm thực thì ωr là nghiệm lớn nhất.
Mệnh đề 2.3. Giả sử c12 = 0 (⇒c12+c66 >0). Khi đó mọi α và σ thỏa mãn α >0 và σ >0, phương trình (2.33) có nghiệm duy nhất là ωr nằm trong khoảng
(0,+∞) sao cho: ωr ∈(0,√α) nếu σ >1, và ωr ∈(√
α,+∞) nếu 0< σ <1. Chứng minh. Vì ϕ(√α) =α√α(σ−1) nên ta có
Ta dễ dàng thấy phương trình (2.33) có hai nghiệm phân biệt w1 và w2 do đó w1 <0 < w2 vì w1w2 =−α < 0. Điều này có nghĩa là phương trình ϕ(w) = 0 có một nghiệm duy nhất wr =w2 trong khoảng (0, +∞). Giả sử w0 = (w1+w2)/2.
Nếu w0 ≤0thì ϕ(w)là hàm đơn điệu tăng với w∈(0, +∞) vì nó là hàm đơn điệu tăng trong khoảng (w0, +∞). Điều này kết hợp với (2.36) ta suy ra: wr ∈(0, √α) nếu σ > 1, wr ∈ (√
α, +∞) nếu 0 < σ < 1. Nếu w0 > 0 thì ϕ(w) < 0 với mọi w∈[0, w0] vì ϕ(0) =−α <0 và ϕ(w) là hàm đơn điệu giảm trong miền (−∞, w0].
Điều này cho thấy wr ∈ (w0, +∞). Từ (2.36), wr ∈ (w0, +∞) và hàm ϕ(w) là hàm đơn điệu tăng đối với w ∈ (w0, +∞) ta có thể kết luận: wr ∈ (0,√α) nếu σ >1, wr ∈(√
α, +∞) nếu 0< σ <1.
Mệnh đề 2.4. Giả sử c12+c66 = 0 (⇔c12 =−c66 ). Khi đó mọi α và σ thỏa mãn α > 0, σ > 0 và ασ2 > 1, phương trình (2.26) có nghiệm duy nhất là ωr nằm trong khoảng (0,+∞) sao cho: ωr ∈ (0,√α) nếu σ > 1, và ωr ∈ (√
α,+∞)
nếu 0< σ <1.
Chứng minh.Giả sử α >0,σ > 0và α σ2 >1. Vì φ(√α) = α(σ√α−1)(σ−1)
do đó suy ra φ(√α)>0 nếu σ > 1 và φ(√α)<0 nếu 0< σ < 1. Công cụ chứng
minh mệnh đề 2.4 hoàn toàn tương tự như chứng minh mệnh đề 2.3.
Chú ý rằng, vì α >0 và σ > 0nên phương trình bậc hai (2.26) và (2.33) ln có một nghiệm âm và một nghiệm dương và nó tương ứng với sóng Rayleigh.
Theo các Mệnh đề 2.1, 2.3, 2.4 ta thấy rằng sóng Rayleigh ln có thể tồn tại đối với bán không gian đàn hồi trực hướng nén được.
2.2.2. Cơng thức chính xác dạng hiện của tỷ số H/V
Định lí 2.1. Ln tồn tại duy nhất một sóng Rayleigh truyền dọc theo phương x1 và tắt dần theo phương x2, trong bán không gian đàn hồi trực hướng nén được (với trục xk là trục của vật liệu) và tỷ số H/V của nó được xác định như sau:
(i) Nếu c12+c66 6= 0 và c12 6= 0 thì κ2 =−1 3a2+p3 R+√ D+ a2 2−3a1 9p3 R+√ D (2.37) trong đó các căn thức được hiểu là các căn phức giá trị chính, R và D xác định bởi
R= 9a1a2−27a0−2a32)
54 , D = 4a0a32−a21a22−18a0a1a2+ 27a20+ 4a31)
108 (2.38)
a0, a1 và a2 được xác định bởi (2.32).
(ii) Nếu c12= 0 (⇒c12+c66 =c66 >0) thì
κ2 = α(1−σ) +pα2(σ−1)2+ 4α
(iii) Nếu c12+c66 = 0 thì
κ2 = ασ(1−σ) +pα2σ2(σ−1)2+ 4ασ
2 . (2.40)
Chứng minh.
(i) Đặt z = w+a2/3, khi đó phương trình (2.31) trở thành phương trình đối với biến z, và có dạng: z3−3q2z+r = 0, (2.41) trong đó r =−2R, q2= (a2 2−3a1) 9 . (2.42)
Theo lý thuyết phương trình bậc 3, ba nghiệm zk(k = 1,2,3) của phương trình (2.41) được tính bởi cơng thức:
z1 =S+T, z2 =−1 2(S+T) + i√3 2 (S−T), z3 =−1 2(S+T)− i√3 2 (S−T) (2.43) trong đó S =p3 R+√ D, T =p3 R−√D, D =R2+Q3, Q=−q2. (2.44) Liên quan đến các công thức (2.44) ta nhấn mạnh hai điểm:
+ Căn bậc ba của một số thực âm là một số thực âm. + Nếu các biểu thức dưới dấu căm bậc ba của S, R+√
D là phức, thì góc pha của T bằng âm của góc pha của S, do đó T =S∗ trong đó S∗ là số phức liên hợp của S.
Nhận xét 2.5.
+ Nếu D > 0, thì phương trình (2.41) có một nghiệm thực và hai nghiệm
phức liên hợp.
+ Nếu D= 0, phương trình này có ba nghiệm thực, ít nhất hai nghiệm bằng
nhau.
+ Nếu D <0, phương trình có ba nghiệm thực phân biệt.
Đặt zr =a2/3 +wr, khi đó zr là một nghiệm thực của phương trình (2.42) và nếu (2.42) có hai hoặc ba nghiệm thực thì zr là nghiệm lớn nhất (theo mệnh đề 2.2). Ta sẽ chứng minh rằng zr được xác định bởi công thức:
zr =p3 R+√ D+ q2 3 p R+√ D , (2.45)
trong đó các căn thức được hiểu là các căn phức giá trị chính, R và D được tính bởi (2.38), q2 xác định bởi (2.42)2. Khi đó, thay (2.45) vào wr = −a2/3 +zr ta
thu được trực tiếp công thức (2.37). Bây giờ, để chứng minh (2.45), ta khảo sát các trường hợp khác nhau của D .
• Nếu D > 0, thì (2.41) có một nghiệm thực duy nhất theo Nhận xét 2.5,
nó được kí hiệu là zr, được tính bởi cơng thức (2.43)1, trong đó các căn thức được hiểu là căn thực. Vì phương trình (2.41) có một nghiệm thực duy nhất, nên phương trình (2.31) cũng vậy.
+ Nếu ∆0≤0 (tức là a2
2−3a1 ≤0, xem chứng minh của Mệnh đề 2.1), khi đó
hàm f(w) là đơn điệu tăng trong miền w ∈(−∞, +∞), như được nói đến trong
chứng minh Mệnh đề 2.1. Ta kí hiệu wN là hồnh độ của điểm uốn N của đường cong bậc 3 y = f(w), khi đó wN = −2a2/3 < 0 vì a2 > 0. Điều này kết hợp với
f(0) <0 và f(w) là hàm đơn điệu tăng nên dẫn tới f(wN)<0. Vì r =f(wN) suy ra r < 0, hoặc R > 0. Do đó ta suy ra R+√ D > 0. Từ bất đẳng thức này và đẳng thức: 3 p R−√D= q2 3 p R+√ D (2.46) cùng với giá trị của căn thực của một số thực dương trùng với căn phức giá trị chính tương ứng do đó z1 xác định bởi (2.43)1 trùng với zr xác định (2.45).
+ Nếu ∆0 > 0, phương trình f0(w) = 0 có hai nghiệm thực phân biệt là wmax và wmin và hoặc wmax < wmin ≤ 0 hoặc wmax < 0 < wmin. Trong cả hai trường hợp trên ta ln có f(wmin) < 0, như đã được chỉ ra trong phần
chứng minh Mệnh đề 2.1. Vì phương trình (2.31) có một nghiệm thực duy nhất nên, f(wmax)f(wmin) > 0, ngược lại nó có hai hoặc ba nghiệm thực. Do đó,
f(wmax) < 0. Điều này kết hợp với f(wmin) < 0 ta suy ra r = f(wN) < 0 ⇒ R=−r/2>0, do đó ta có R+√
D >0. Vậy z1 xác định bởi (2.43)1 trùng với zr xác định bởi (2.45).
• Nếu D = 0, tương tự như trên, ta thấy r < 0, do đó R > 0. Khi D = 0 ta có R2 = −Q3 = q6 ⇒ R = q3 ⇒ r = −2R = −2q3, do đó phương trình (2.41) trở thành z3 −3q2z−2q3 = 0 phương trình này có nghiệm là: z1 = 2q, z2 = −q (nghiệm kép). Từ đó suy ra zr = 2q, vì nó là nghiệm lớn nhất. Với q > 0 và D= 0 ta dễ dàng chỉ ra rằng zr được tính trong (2.45) là 2q.
• Nếu D <0, thì phương trình (2.41), có ba nghiệm thực phân biệt theo nhận
xét 2.5, và zr là nghiệm lớn nhất. Sử dụng các lập luận được trình bày trong tài liệu [42] (trang 255), ta có thể thấy rằng, trong trường hợp này nghiệm lớn nhất của phương trình (2.41) là zr = 3 p R+ √ D+p3 R−√D, (2.47)
góc pha của R+i√−D. Khi đó, ta dễ dàng chỉ ra rằng
3
p R+√
D=qeiθ, p3 R−√D=qe−iθ, (2.48) trong đó các căn thức được hiểu là các căn phức giá trị chính. Từ (2.48) ta suy ra ngay (2.46) và sau đó sử dụng (2.47) ta thu được (2.45). Định lý 2.1 (i) được chứng minh.
(ii) Sử dụng Mệnh đề 2.3 và các biểu thức nghiệm của phương trình bậc hai (2.33).
(iii) Sử dụng Mệnh đề 2.4 và các biểu thức nghiệm của phương trình bậc hai