D. Khối kiến thức chuyên ngành
5. CƠ SỞ GIẢI TÍCH LỒI (Convex Analysis)
(Convex Analysis) Mã học phần: ANC 331
Số tín chỉ: 3
5.1. Mô tả học phần
Học phần Cơ sở giải tích lồi gồm các nội dung sau: Tập affine, tập lồi và các tính chất cơ bản của chúng; Hàm lồi và các tính chất cơ bản của hàm lồi; Hàm liên hợp và dƣới vi phân của hàm lồi; Cực trị của hàm lồi.
5.2. Mục tiêu về kiến thức
Sau khi kết thúc học phần, ngƣời học phải đạt đƣợc các mục tiêu về kiến thức sau: - Nắm đƣợc định nghĩa tập lồi, tổ hợp lồi, bao lồi, tập affine, tổ hợp affine, bao
affine, phần trong tƣơng đối và những tính chất cơ bản của chúng;
- Có kiến thức về hàm lồi (lõm) cùng những tính chất cơ bản của chúng; Biết cách nhận biết một hàm lồi, hàm lõm; Biết vận dụng bất đẳng thức Jensen vào việc chứng minh các bất đẳng thức; Biết vận dụng định lý Helly trong hình học sơ cập;
- Nắm chắc nội dung của các định lý tách tập lồi;
- Hiểu đƣợc khái niệm hàm liên hợp (biến đổi Young-Fenchel), dƣới vi phân của hàm lồi và các tính chất cơ bản của chúng. Tìm đƣợc hàm liên hợp, cũng nhƣ tính đƣợc dƣới vi phân của các hàm cơ bản;
- Nắm đƣợc những tính chất cơ bản về cực tiểu của hàm lồi hay cực đại của hàm lõm…
- Có khả năng học sâu hơn về giải tích lồi ở các chuyên đề sau đại học.
5.3. Nội dung học phần Chƣơng 1. Tập hợp lồi Chƣơng 1. Tập hợp lồi
1.1. Tập affine và bao affine 1.2. Tập hợp lồi, nón lồi và bao lồi 1.3. Phần trong tƣơng đối, bao lồi đóng 1.4. Các định lý tách
1.5. Cấu trúc các tập lồi
Chƣơng 2. Hàm lồi
2.1. Định nghĩa và tính chất cơ bản 2.2. Các phép tốn về hàm lồi 2.3. Tính liên tục của hàm lồi
Chƣơng 3. Hàm liên hợp và dƣới vi phân
3.1. Hàm liên hợp
3.2. Dƣới vi phân của hàm lồi
4.1. Cực tiểu địa phƣơng và cực tiểu toàn cục 4.2. Cực tiểu hàm lồi (cực đại hàm lõm) 4.3. Cực đại hàm lồi (cực tiểu hàm lõm)