Chương 2 TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU TRƯỚC ĐÂY
2.4 Nghiên cứu Fama and French (2015)
Trong phần này, tác giả xây dựng các công thức để lý giải tác động của việc thêm biến đến sự thay đổi mức độ phân tán tỷ suất sinh lợi. Cụ thể hơn, tác giả muốn làm rõ: tại sao những biến độc lập có mức giải thích mạnh khi đưa vào mơ hình lại chỉ làm tăng một mức nhỏ độ phân tán tỷ suất sinh lợi bình quân.
➢ Xác định độ phân tán tỷ suất sinh lợi từ mơ hình đơn biến – đa biến
Giả định rằng: tỷ suất sinh lợi được tạo ra tn theo mơ hình bên dưới:
𝑹 = 𝒃𝟏𝑿𝟏+ 𝒃𝟐𝑿𝟐+ 𝒗𝒊 (1)
Trong đó: R là tỷ suất sinh lợi cổ phiếu; b1 và b2 lần lượt là hệ số ước lượng của biến X1, X2 trong mơ hình hồi quy 2 biến; X1 và X2 là các yếu tố tác động đến R và được giả định tuân theo phân phối chuẩn; vi là giá trị phần dư và được giả định là không tương quan với các biến độc lập.
Tác giả bắt đầu xem xét vấn đề nghiên cứu như sau. Đầu tiên, tác giả xem xét mơ hình tỷ suất sinh lợi đơn biến được giải thích chỉ bởi biến X1 theo mơ hình sau:
𝑹 = 𝒃𝟏∗𝑿𝟏+ 𝒖 (2)
Giả định rằng: X2 là biến mới có tác động đến tỷ suất sinh lợi được đưa vào mơ hình (2). Đặt ρ là hệ số tương quan giữa hai biến X1 và X2 thì mơ hình diễn đạt mối quan hệ của hai biến này được thể hiện như sau:
𝑿𝟐 = 𝝆𝑿𝟏+ 𝒆 (3)
Với giả định (3), tác giả triển khai phương trình ước lượng (2) để tìm ra mối quan hệ giữa hệ số ước lượng trong phương trình một biến và phương trình hai biến.
𝒃𝟏∗ = 𝒃𝟏+ 𝝆𝒃𝟐 (4)
Thay (4) vào (2), tác giả thu được mơ hình hồi quy đơn biến của R theo X1 trong đó thể hiện mối quan hệ giữa hệ số góc trong mơ hình đơn biến và mơ hình hai biến:
𝑹 = (𝒃𝟏+ 𝝆𝒃𝟐)𝑿𝟏+ 𝒖 (5)
Theo phương trình (1) và (5), tác giả nhận thấy: tỷ suất sinh lợi kỳ vọng có điều kiện từ mơ hình đơn biến và mơ hình hai biến lần lượt là (b1 + ρb2)X1; b1X1 + b2X2 đều tuân theo phân phối chuẩn. Như vậy, nếu sắp xếp cổ phiếu dựa trên tỷ suất sinh lợi kỳ vọng có điều kiện thì mức chênh lệch tỷ suất sinh lợi giữa nhóm danh mục ngũ phân vị có tỷ suất sinh lợi kỳ vọng lớn nhất và nhỏ nhất (hay còn gọi là mức độ phân tán của tỷ suất sinh lợi) sẽ tỷ lệ thuận với độ lệch chuẩn của tỷ suất sinh lợi bình qn có điều kiện. Điều này ám chỉ rằng: mức đóng góp của một biến mới đến độ phân tán tỷ suất sinh lợi sẽ được xác định thơng qua tác động của biến đó đến độ lệch chuẩn của giá trị ước tính biến phụ thuộc trong mơ hình hồi quy.
Thay (3) vào (1), phương trình tỷ suất sinh lợi theo mơ hình đa biến là: 𝑹 = (𝒃𝟏+ 𝝆𝒃𝟐)𝑿𝟏+ 𝒃𝟐𝒆 + 𝒗 (6)
Khi đó, phương sai sẽ bằng:
𝑽𝒂𝒓(𝑹) = (𝒃𝟏+ 𝝆𝒃𝟐)𝟐+ 𝒃𝟐𝟐(𝟏 − 𝒑𝟐) (7)
Lúc này, vế trái trong phương trình (7) chính là phương sai của tỷ suất sinh lợi kỳ vọng có điều kiện từ phương trình hồi quy đơn biến (5). Vì vậy, nếu thêm biến X2
vào phương trình (5) thì đồng nghĩa việc thêm vào giá trị b22(1-p2). Theo đó, X2 sẽ đóng góp đáng kể vào tỷ suất sinh lợi nếu p (tức hệ số tương quan giữa X1 và X2) tiến dần về 0 và b2 (tức độ dốc của X2 trong phương trình hồi quy 2 biến) mang giá trị lớn. Ngược lại, nếu tồn tại mức tương quan mạnh (dù cùng chiều hay ngược chiều) hoặc b2 mang giá trị nhỏ đều sẽ làm giảm mức đóng góp của biến mới vào phương sai của mơ hình.
Phương trình (7) miêu tả tác động của biến tăng thêm đến phương sai của tỷ suất sinh lợi trong mơ hình hồi quy. Như đã phân tích trước đó, mức chênh lệch giữa tỷ suất sinh lợi kỳ vọng trong mơ hình hồi quy đơn biến – đa biến tỷ lệ với độ lệch chuẩn của giá trị phụ thuộc (fitted value), đồng thời tác giả cũng đã giả định độ lệch chuẩn của X1 và X2 mang giá trị 1. Cho nên, độ lệch chuẩn của giá trị biến phụ thuộc trong mơ hình hồi quy đơn biến và đa biến lần lượt là |b1+ρb2| và (b12+ ρb1b2+ b22)1/2. Khi đó, tỷ lệ độ phân tán tỷ suất sinh lợi kỳ vọng bình qn của mơ hình đơn biến và mơ hình đa biến được xác định như sau:
𝑹𝟏∗
𝑹′ = |𝒃𝟏+ 𝒃𝟐|
(𝒃𝟏𝟐+ 𝟐𝝆𝒃𝟏𝒃𝟐+ 𝒃𝟐𝟐)𝟏/𝟐 (𝟖)
Với: 𝑅1∗ là chênh lệch (độ phân tán) tỷ suất sinh lợi bình qn của mơ hình đơn biến. 𝑅′ là chênh lệch (độ phân tán) tỷ suất sinh lợi bình qn của mơ hình đa biến. Giả sử: đặt 𝑟 ≡ 𝑏2/𝑏1 thì phương trình (8) sẽ trở thành ) 1 ( 1 2 / 1 2 * 1 r r r R R
Tóm lại, với giả định độ lệch chuẩn của X1 và X2 mang giá trị 1, tỷ lệ độ phân tán tỷ suất sinh lợi kỳ vọng bình qn của mơ hình đơn biến và mơ hình đa biến sẽ phụ thuộc vào giá trị p (tức hệ số tương quan giữa X1 và X2) và giá trị r (tức tỷ lệ giữa các độ dốc trong phương trình hồi quy đa biến).
Phân tích cụ thể, tác giả nhận thấy rằng: một biến độc lập mới khi thêm vào mơ hình sẽ tác động đến độ phân tán tỷ suất sinh lợi bình qn thơng qua việc thay đổi các cổ phiếu trong nhóm danh mục có tỷ suất sinh lợi ước tính lớn nhất và nhỏ nhất.
Với mơ hình đơn biến, danh mục có tỷ suất sinh lợi bình qn cao được hiểu là danh mục chứa các cổ phiếu được dự đốn có mức sinh lợi cao nhất, (b1b2)X1. Cho nên, danh mục có tỷ suất sinh lợi bình qn cao sẽ tối đa hóa giá trị bình quân của biến X1 nếu độ dốc trong phương trình hồi quy là cùng chiều, hoặc tối thiểu hóa nếu ngược chiều. Trong khi đó, với mơ hình hồi quy hai biến, danh mục có tỷ suất sinh lợi bình quân cao được hình thành từ việc: thay thế những cổ phiếu đang có X1 cao, X2 thấp bằng những cổ phiếu có X1 thấp hơn nhưng X2 cao hơn. Đối với danh mục có tỷ suất sinh lợi bình qn thấp thì sẽ tiến hành ngược lại. Kết quả từ biện pháp thay thế này sẽ làm gia tăng mức chênh lệch tỷ suất sinh lợi kỳ vọng thông qua việc tăng độ phân tán của biến X2 giữa hai danh mục cực hạn, nhưng đồng thời cũng làm giảm độ phân tán của biến X1. Giả sử:
X1* : mức chênh lệch kỳ vọng giữa giá trị trung bình của biến X1 ứng với nhóm danh mục ngũ phân vị cao nhất và thấp nhất trong mơ hình hồi quy đơn biến.
X2* : mức chênh lệch kỳ vọng giữa giá trị trung bình của biến X2 ứng với nhóm danh mục ngũ phân vị cao nhất và thấp nhất trong mơ hình hồi quy đơn biến.
𝑋1′ : mức chênh lệch kỳ vọng giữa giá trị trung bình của biến X1 ứng với nhóm danh mục ngũ phân vị cao nhất và thấp nhất trong mơ hình hồi quy đa biến.
𝑋2′ : mức chênh lệch kỳ vọng giữa giá trị trung bình của biến X2 ứng với nhóm danh mục ngũ phân vị cao nhất và thấp nhất trong mơ hình hồi quy đa biến.
𝐼2 : phần đóng góp tăng thêm của biến X2 đến mức chênh lệch tỷ suất sinh lợi kỳ vọng trong mơ hình hồi quy đa biến.
𝑰𝟐 = 𝑹′− 𝑹𝟏∗ = 𝑹′ − (𝒃𝟏 + 𝝆𝒃𝟐)𝑿𝟏∗ = −𝑏1𝑋1′+ 𝑏2𝑋2′ − (𝑏1+ 𝜌𝑏2)𝑋1∗
= 𝑏2(𝑋2′ − 𝜌𝑋1∗) − 𝑏1(𝑋1∗− 𝑋1′) = 𝑏2(𝑋2′ − 𝑋2∗) − 𝑏1(𝑋1∗− 𝑋1′) ∗ (độ pha loãng của X1) (9)
Dựa vào phương trình trên, tác giả nhận thấy rằng: sự khuếch đại giá trị của biến X2 chính là sự khác biệt giữa giá trị kỳ vọng của 𝑋2′ và X2*, cịn sự pha lỗng giá trị của biến X1 chính là sự khác biệt giữa giá trị kỳ vọng của X1* và 𝑋1′. Rõ ràng, khuếch đại giá trị của biến X2 sẽ làm gia tăng độ phân tán tỷ suất sinh lợi kỳ vọng, nhưng đồng thời sự khuếch đại này cũng làm giảm đi độ phân tán của biến X1 và do đó sẽ làm giảm mức độ đóng góp tăng thêm của biến X2.
➢ Phân tích dựa vào mức độ chênh lệch tỷ suất sinh lợi (return gap)
Trong phương trình (9), tác giả đã sử dụng tác động của biến mới thêm vào đối với kết cấu của danh mục cực trị để giải thích cho ảnh hưởng của tác động này đến sự chênh lệch tỷ suất sinh lợi kỳ vọng giữa các danh mục cực trị. Cụ thể hơn, phần phân tích này sẽ nêu thêm một cách thức khác để xem xét sự khác biệt giữa tổng các mức độ phân tán tỷ suất sinh lợi kỳ vọng trong danh mục ngũ phân vị thông qua phương thức tính tốn từ mơ hình hồi quy sử dụng riêng rẽ từng biến X1, X2 so với phương thức tính tốn từ mơ hình hồi quy sử dụng đồng thời cả hai biến. Giá trị khác biệt này được gọi là mức độ chênh lệch tỷ suất sinh lợi được biểu diễn thông qua hệ số ước lượng trong mơ hình hồi quy nhân với mức độ phân tán trong giá trị kỳ vọng của từng biến.
𝑹𝒆𝒕𝒖𝒓𝒏 𝒈𝒂𝒑 = (R1∗ + R∗2) − R′
= (𝑏1∗𝑋1∗ + 𝑏2∗𝑋2∗) − (𝑏1𝑋1′ + 𝑏2𝑋2′)
= (𝑏1+ 𝜌𝑏2)𝑋1∗ + (𝑏2+ 𝜌𝑏1)𝑋2∗− (𝑏1𝑋1′ + 𝑏2𝑋2′)
= 𝜌(𝑏2𝑋1∗ + 𝑏1𝑋2∗) + [𝑏1(𝑋1∗ − 𝑋1′) + 𝑏2(𝑋2∗ − 𝑋2′)]
= Pha loãng hệ số ước lượng + Pha loãng biến (10) Nếu biến X1 và X2 không tương quan với nhau (ρ=0), hệ số ước lượng của các biến trong mơ hình đơn biến và hai biến là giống nhau và do đó khơng có sự pha lỗng hệ số ước lượng. Tuy nhiên, nếu X1 và X2 tương quan với nhau, giá trị ước lượng của mỗi biến trong mơ hình riêng rẽ, cụ thế là b1+b2ρ (đối với X1) và b2+b1ρ (đối với X2) chính bằng hệ số ước lượng của các biến này trong mơ hình hai biến
cộng thêm một phần giá trị đại diện cho thông tin tỷ suất sinh lợi kỳ vọng hàm chứa trong biến được thêm vào do sự tương quan của biến đó với biến bị loại ra.
Bởi vì với giả định rằng các biến b1, b2 là dương; nếu ρ cũng dương thì hệ số ước lượng của mỗi biến sẽ điều chỉnh giảm đi một phần tương ứng lần lượt là b2ρ hoặc b1ρ khi biến còn lại được thêm vào mơ hình. Phương trình (10) chỉ ra rằng việc pha loãng hệ số ước lượng sẽ làm giảm mức độ phân tán tỷ suất sinh lợi kỳ vọng trong mơ hình hai biến một mức là (b2ρX1*+b1ρX2*) và do đó làm tăng độ chênh lệch tỷ suất sinh lợi (return gap) giữa tổng các giá trị phân tán tỷ suất sinh lợi kỳ vọng của hai mơ hình đơn biến riêng rẽ và độ phân tán tỷ suất sinh lợi kỳ vọng của mơ hình hai biến một khoảng tương tự.
Nếu hệ số ước lượng của mơ hình đơn biến và hai biến đều dương nhưng hệ số ρ âm thì sự pha lỗng hệ số ước lượng sẽ trở thành sự khuếch đại. Ví dụ, bởi vì hệ số B/M có tương quan âm với tỷ suất sinh lợi kỳ trước dùng để xác định biến khuynh hướng (momentum), cho nên hệ số ước lượng của mỗi biến lớn hơn nếu đưa thêm biến khác vào mơ hình. Khi các hệ số ước lượng trong mơ hình đơn biến của X1* và X2* cùng dương và xuất hiện sự cải thiện hệ số bởi tương quan âm sẽ làm giảm chênh lệch tỷ suất sinh lợi.
Sự pha lỗng giá trị của biến cũng có tác động đến chênh lệch tỷ suất sinh lợi. Ví dụ, sự pha lỗng biến X1 chính là mức chênh lệch giữa độ phân tán kỳ vọng của biến X1 trong danh mục ngũ phân vị cực trị của mơ hình hồi quy đơn biến và hai biến (X1*- X1’). Nếu hệ số ước lượng trong mơ hình một biến và hai biến là dương thì X1* và X2* cũng dương. Khi đó, sự pha lỗng biến sẽ làm giảm mức độ phân tán của biến X1 và X2 trong mơ hình hồi quy hai biến, do đó làm giảm mức phân tán tỷ suất sinh lợi kỳ vọng trong mơ hình hồi quy hai biến và làm tăng chênh lệch tỷ suất sinh lợi (return gap).
Tóm lại, sự pha lỗng hệ số ước lượng và pha lỗng biến có tương quan ngược chiều với nhau. Khi hệ số b1, b2 trong mơ hình hồi quy hai biến dương và hệ số tương
quan của hai biến X1, X2 xấp xỉ bằng 1 thì hệ số ước lượng trong mơ hình đơn biến (b1*=b1+ρb2, b2*=b2+ρb1) sẽ lớn hơn so với mơ hình hai biến. Hệ số ước lượng của mỗi biến sẽ bị pha lỗng bằng chính hệ số ước lượng của biến còn lại. Tuy nhiên, nếu tồn tại một hệ số tương quan cùng chiều mạnh giữa biến X1 và X2 thì mức độ pha
lỗng biến của X1 và X2 sẽ trở nên nhỏ đi. Lúc này, X1* sẽ tiến gần về X1’; X2* sẽ tiến gần về X2’ bởi vì một sự sắp xếp danh mục dựa trên cả hai biến cũng tương tự như sắp xếp dựa trên một biến. Bên cạnh đó, nếu tồn tại hệ số ρ thấp hơn, mức độ pha lỗng hệ số ước lượng trong mơ hình hai biến sẽ thấp đi. Ngoài ra, nếu ρ ngược chiều, sự pha loãng hệ số ước lượng chuyển thành gia tăng hệ số ước lượng. Song, nếu mức tương quan giữa biến X1, X2 thấp thì đồng nghĩa phải hi sinh nhiều hơn mức phân tán của biến X1 để gia tăng mức độ phân tán X2 và ngược lại.
Ngồi ra, chênh lệch tỷ suất sinh lợi cịn có một cách giải thích khác. Đó là sự khác biệt trong tổng các mức độ phân tán kỳ vọng giữa các mơ hình đơn biến với mơ hình hai biến cũng chính bằng sự chênh lệch tỷ suất sinh lợi kỳ vọng trong mơ hình đơn biến (với từng biến riêng rẽ) và sự đóng góp tăng thêm của biến đó vào độ phân tán của mơ hình hai biến.
𝑹𝒆𝒕𝒖𝒓𝒏 𝑮𝒂𝒑 = 𝑹𝟏∗ + 𝑹𝟐∗ − 𝑹′
= 𝑹𝟏∗ − (𝑹′− 𝑹𝟐∗) = 𝑹𝟏∗ − 𝑰𝟏
= 𝑹𝟐∗ − (𝑹′− 𝑹𝟏∗) = 𝑹𝟐∗ − 𝑰𝟐 (11)
Lưu ý rằng: X1 và X2 có cùng mức chênh lệch tăng thêm (R1*- I1 = R2*- I2). Hai biến này mặc dù có thể tạo ra độ phân tán tỷ suất sinh lợi kỳ vọng trong mơ hình đơn biến và mức độ đóng góp tăng thêm đối với độ phân tán trong mơ hình hai biến rất khác nhau, nhưng hiệu số giữa hai yếu tố này của mỗi biến đều bằng nhau và bằng với mức chênh lệch giữa tổng các mức phân tán tỷ suất sinh lợi kỳ vọng trong mơ hình đơn biến với mức phân tán tỷ suất sinh lợi kỳ vọng trong mơ hình hai biến.